một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự

L ỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Toán gi ải tích

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS Nguyễn Bích Huy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt

những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập cao học,

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Sau cùng tôi xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập

TPHCM, tháng 9 năm 2013

Học viên

Trần Gia Huy

M ỤC LỤC

0

M Ở ĐẦU0 1

0 Chương 1.SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ0 3

1.1 0Sử dụng nguyên lý Entropy0 3

1.2 0Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát0 11

0 Chương 2 SỬ DỤNG LÁT CẮT0 23

2.1 0Các định nghĩa0 23

2.2 0Sự tồn tại hàm chọn (lát cắt) của ánh xạ đa trị0 25

2.3 0Ứng dụng vào bài toán điểm bất động0 30

0 Chương 3.SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ0 32

3.1 0Các định nghĩa0 32

3.2 0Chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị0 33

3.3 0Ứng dụng vào bài toán điểm bất động0 35

0 K ẾT LUẬN0 41

0 TÀI LI ỆU THAM KHẢO0 42

Một trong những hướng nghiên cứu gần đây của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự là xét các phương trình trong không gian có thứ tự với ánh xạ đa

trị Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học từ những năm

1950 – 1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả, tìm

hiểu các mô hình, hiện tượng mới của khoa học và xã hội Các phương trình chứa ánh

xạ đa trị trong không gian có thứ tự được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau

Một mặt, ta có thể áp dụng các phương pháp tổng quát như phương pháp ánh xạ co, phương pháp bậc tôpô kết hợp với các tính chất thứ tự của không gian Mặt khác, ta có

thể áp dụng các phương pháp đặc thù trong không gian có thứ tự như sử dụng nguyên

lý Entropy, nguyên lý về dãy lặp suy rộng, …

Luận văn trình bày một cách hệ thống và chi tiết 3 phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ tự Đó là phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy, nguyên lý đệ quy; phương pháp lát cắt đơn điệu; phương pháp bậc tôpô

Luận văn có 3 chương:

Chương 1 trình bày 2 nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự, đó là nguyên lý Entropy

và nguyên lý Đệ quy tổng quát Sau đó áp dụng 2 nguyên lý này vào việc xét sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [2], [3], [4]

Chương 2 trình bày về sự tồn tại lát cát (hàm chọn) đơn điệu của ánh xạ đa trị, kết

hợp với định lý Tarskii, ta được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa

trị trong không gian Banach sinh bởi nón minihedral mạnh Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong các tài liệu [1], [8]

Chương 3 giới thiệu chỉ số điểm bất động của ánh xạ đa trị, từ đó chứng minh sự

tồn tại điểm bất động của các toán tử cô đặc trong nón Các kết quả chính của chương này chủ yếu được trích dẫn trong tài liệu [10]

Chương 1 SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

1.1 S ử dụng nguyên lý Entropy

Định nghĩa 1.1.1

Cho X là không gian Banach trên trường số thực  Tập con K của X được

gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Mà lim n , lim n lim( n n)

Do đó: S u( ) ( )=S u o

 Nếu βn >S u( )n , ta tìm được u n+1 thỏa mãn:

1 1

12

Cho X Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu , 2Y là họ tất cả các tập con của Y Một ánh

xạ :F X →2Y gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y

Cho M ⊂ X và ánh xạ đa trị F M →: 2 \M { }∅ Khi đó v M∈ được gọi là

điểm bất động của F nếu v Fv∈

v Fv∈ được gọi là điểm bất động cực đại của F nếu với u Fu∈ và v u≤ thì

u v=

v Fv∈ được gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu với u Fu∈ và u v≤ thì

u v=

Định nghĩa 1.1.6

Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K Gọi A B là các tập ,con của X

i) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập ,A B như sau:

Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K = 0;+∞)

Ta xét các tập con của X như sau: A= 2;3 , B = 1;4 , C = 3;4

i) F x đóng, x M( ) ∀ ∈

ii) Tồn tại x o ∈ sao cho X { }x o <F x( )o

iii) ∀ ∈x M y y,∀ 1, 2∈F x( ),∃ ∈y F x( ) sao cho y1 ≤y y, 2 ≤ y

iv) Nếu các dãy ( ) ( )x n , y là các dãy tăng sao cho n y n ∈F x( )n thì dãy ( )y hội n

Ta kiểm tra G thỏa mãn các điều kiện i), ii), iii), iv) của định lý

i) Xét x M∈ , giả sử có dãy ( )x n ⊂G x( ) sao cho x n → z

Khi đó ( )x n ⊂F x( ) và do F x đóng nên ( ) z F x∈ ( )

Mặt khác do x x≤ n,∀ nên x z n ≤

Suy ra z G x∈ ( ), vậy G x đóng ( )

ii) Theo giả thiết, tồn tại x o ∈ sao cho X { }x o <F x( )o

Khi đó tồn tại z o ∈F x( )o sao cho x o ≤ z o

Suy ra z o ∈F x( )o x o + ∞ =) G x( )o , nghĩa là { }x o <G x( )o

iii) ∀ ∈x M y y,∀ 1, 2 ∈G x( ), suy ra y y1, 2∈F x( )

Do đó tồn tại y F x∈ ( ) sao cho y1 ≤y y, 2 ≤ y

Vì y y1, 2 ∈G x( ) nên x y x y≤ 1, ≤ 2, vậy x y≤ hay y G x∈ ( )

Vậy: ∀ ∈x M y y,∀ 1, 2∈G x( ),∃ ∈y G x y( ): 1 ≤y y, 2 ≤ y

iv) Giả sử các dãy ( ) ( )x n , y là các dãy tăng sao cho n y n ∈G x( )n

Khi đó y n ∈F x( )n nên dãy ( )y hội tụ n

Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau:

Do ( )x là dãy đơn điệu tăng nên n *

Vậy với y n ∈F x( )n , tồn tại y n+1∈F x( )n+1 sao cho y n ≤y n+1

Như vậy, ( ) ( )x n , y là các dãy tăng và n y n ∈F x( )n nên theo iv) ta có ( )y là dãy n

Khi đó tồn tại z n ∈F y( ) sao cho y n ≤z n

Do điều kiện iii), ta có thể giả sử ( )z là dãy tăng n

Khi đó dãy ( )z hội tụ về n z F y∈ ( )

Ta có z n ≤ ∀ ⇒z n, y n ≤ ∀ z n,

Suy ra y z≤ ⇒{ }y <F y( ), nghĩa là y M∈ o

Vậy dãy tăng ( )x có cận trên n y M∈ o

Điều kiện 2: Chứng minh tồn tại một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên xác định

Vậy S là hàm giảm, do đó ( )− là hàm tăng S

Áp dụng nguyên lý Entropy cho M và hàm o ( )− , tS ồn tại a M∈ o sao cho

( ) ( ),

o

x M x a∈ ≥ ⇒ S x =S a (1.1.8.2)

Ta chứng minh S a = ( ) 0

Giả sử tồn tại c > sao cho 0 S a( ) > c

Khi đó tồn tại x x y y1, , ,2 1 2 ∈M o sao cho:

Vì y2 ∈F x( )2 nên theo (1.1.8.1) ta có: x2 ≤ , suy ra y2 x2 ≤x3

Vì y3 ∈F x( )3 nên theo (1.1.8.1) ta có: x3 ≤ , suy ra y3 y2 ≤y3

Khi đó a y≤ 3 ∈M o, theo (1.1.8.2) ta có S y( ) ( )3 =S a > c

Tiếp tục quá trình trên, ta có các dãy tăng ( ) ( )x n , y sao cho n y n ∈F x( )n thỏa mãn: y2 1n− −y2n >c Điều này mâu thuẫn với điều kiện iv)

Vậy S a = ( ) 0

Ta chứng minh mỗi b F a∈ ( ) là điểm bất động của F trong M

Thật vậy, với mỗi d F b∈ ( ), ta có: b d F b≤ ∈ ( )

Vì a b F a≤ ∈ ( ) nên ( )b d, ∈M a

Suy ra b d− ≤S a( ) = ⇒ = ∈0 b d F b( ) nên b là điểm bất động của F

Vậy F có điểm bất động b F a∈ ( )

Ta chứng minh b F a∈ ( ) là điểm bất động cực đại của F trong M

Thật vậy, nếu x là điểm bất động của F trong M và x b ≥ thì a x ≤ (do b x≤

và b F a∈ ( )), suy ra ( )b x, ∈M a ⇒ b x− ≤S a( ) = Vậy x b0 =

Do đó b F a∈ ( ) là điểm bất động cực đại của F trong M

1.2 S ử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát

Định nghĩa 1.2.1

Cho tập hợp X ≠ ∅ , khi đó ( )X ≤ được gọi là tập được sắp (được sắp bộ phận) ,

nếu trên X có quan hệ thứ tự ≤ thỏa mãn:

i) Tính chất phản xạ: x x x X≤ ∀ ∈ ,

ii) Tính chất phản đối xứng: Nếu x y ≤ và y x≤ thì x y x y X= ∀, , ∈

iii) Tính chất bắc cầu: Nếu x y ≤ và y z≤ thì x z x y z X≤ ∀, , , ∈

Ta ký hiệu x y < nếu x y ≤ và x y≠

Định nghĩa 1.2.2

Cho tập được sắp ( )X ≤ , , A X⊂ , a X∈

i) a được gọi là một chặn trên của A nếu x a x A≤ ∀ ∈ ,

a được gọi là một chặn dưới của A nếu x a x A≥ ∀ ∈ ,

ii) a được gọi là phần tử tối đại của X nếu (x X a x∈ , ≤ ) ⇒ = x a

a được gọi là phần tử tối tiểu của X nếu (x X a x∈ , ≥ )⇒ = x a

iii) A là một xích (tập sắp thẳng, sắp toàn phần, dây chuyền) nếu

i) Nếu C C1, 2∈M và C2 ⊄C1 thì C1 =C2x, với x = min(C C2 \ 1)

(min A được hiểu theo nghĩa phần tử nhỏ nhất của tập hợp A)

Do x y< nên C x ⊂C y Hơn nữa C x ≠C y vì x F C= ( )x < =y F C( )y

Như vậy, tồn tại z = min(C y \C x) Ta cần chứng minh x =z

i) Theo mệnh đề 1.2.3, hai xích bất kỳ thuộc M đều chứa nhau

Đặt C =M Nếu ta chứng minh được C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) thì suy

ra C chính là xích duy nhất của P thỏa mãn điều kiện của mệnh đề

Vậy x y y D≤ ∀ ∈ , suy ra , x = minD tồn tại hay C là xích sắp tốt

b) Chứng minh C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1)

⇒: Lấy x C∈ , chọn C1∈M sao cho x C∈ 1

Lấy y C∈ x, khi đó tồn tại C2∈M sao cho y C∈ 2x

• Nếu C2 ⊂C1 thì y C∈ 1x

• Nếu C2 ⊄C1 thì theo bổ đề trên C1 =C2k, trong đó k = min(C C2\ 1)

Với D ⊂C D1, ≠ ∅,D ≠{ }x thì ta có minD =min(C x D nên theo đinh )

nghĩa tập sắp tốt ta có C sắp tốt (1 min(C x D tồn tại vì ) C x D ⊂C x ⊂C ,

Nếu =y x thì y x F C= = ( ) ( ) ( )x =F C y =F C 1y

Nếu ∈y C thì ∈ x y C mà ∈ C M nên y F C= ( ) ( )y =F C 1y

Suy ra x C , mâu thuẫn ∈

Vậy C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1) và ta có đpcm

ii) Nếu C D∈ , đặt a F C= ( )

Giả sử a là cận trên đúng của C , nghĩa là x a x C< ∀ ∈ ,

Khi đó C C= a, suy ra a F C= ( ) =F C( )a , suy ra a C∈ , mâu thuẫn

Vậy F C không phải là một cận trên đúng của C ( )

Cho ( )X ≤ là một không gian topo có thứ tự, W là một tập hợp khác rỗng, ,:

ii) Nếu u n ≤v n ∈Fu n n, ∈  và ( )v là dãy tăng thì n ( )v có giới hạn trong n P o

Khi đó F có điểm bất động cực đại và cũng là phần tử lớn nhất của P o

Ch ứng minh:

Đặt D = ∅{W ⊂ P W o | được sắp thứ tự tốt và có chặn trên trong P o}

:

f D →X , ứng mỗi tập W trong D với phần tử v = f W( )∈F u( ), u v≤ , trong đó u là một chặn trên đúng của W trong P o

Hiển nhiên ∅ ∈ D

Theo mệnh đề 1.2.4, tồn tại tập sắp tốt C trong X thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1)

Nếu ( )v là một dãy tăng trong C thì theo định nghĩa của f , tồn tại dãy n ( )u n

trong P thỏa mãn o u n ≤v n ∈Fu n (n ∈  )

Từ ii) suy ra ( )v có giới hạn trong n P o

Theo tính chất (C) của X , C chứa một dãy tăng ( )v sao cho n

Áp dụng ii) cho dãy hằng u n ≡u v, n ≡ v ta được v P∈ o

Nếu u v P< ∈ , ta có o u v F u u< ∈ ( ), = supC P∈ o nên theo định nghĩa hàm f ,

( )

f C tồn tại và là chặn trên đúng của C (theo (1.2.4.1)), mâu thuẫn với kết luận

cuối của mệnh đề 1.2.4

Vậy u v F u= ∈ ( ) hay u là điểm bất động của F

Để chứng minh u là điểm bất động cực đại của F , ta lấy v là một điểm bất động nào đó của F thỏa mãn u v ≤ Vì v v Fv≤ ∈ nên v P∈ o

Theo lý luận trên, ta có u v= , hay u là điểm bất động cực đại của F

Lập luận tương tự, ta được u là phần tử lớn nhất của P o

Định lý 1.2.6

Cho F M: ⊂ X →2 \X { }∅ thỏa mãn các giả thiết sau:

i) Tập M o ={x M x∈ |{ }<Fx} không rỗng

ii) Nếu ( ) ( )x n , y là các dãy tăng trong n M và nếu o y n ∈Fx n (n ∈  ) thì ( )y n

hội tụ trong X

iii) Nếu x M∈ o và x y Fx≤ ∈ thì y M∈ o

iv) Mỗi dãy tăng và hội tụ của M đều có chặn trên trong o M o

Khi đó tập M có phần tử lớn nhất, và mỗi phần tử lớn nhất của o M cũng là điểm o

bất động cực đại của F

Ch ứng minh:

Với tập P được định nghĩa ở mệnh đề 1.2.5, ta có o M o ≡ P o

Cho tập D và ánh xạ f như ở mệnh đề 1.2.5, khi đó ∅ ∈ D

Theo mệnh đề 1.2.5, tồn tại chuỗi C được sắp thứ tự tốt trong X thỏa mãn

(1.2.4.1)

Nếu ( )v là một dãy tăng trong C thì theo định nghĩa của f , tồn tại dãy n ( )u n

trong P thỏa mãn o u n ≤v n ∈Fu n n,( ∈  Theo giả thiết iii), ta suy ra ) ( )v là n

dãy trong P o

Mặt khác, ( )u , n ( )v là các dãy tăng trong n M , o v n ∈Fu n thì ( )v hội tụ trong n

P (theo giả thiết ii)) Đặt lim n

n

v v

→∞

=Theo giả thiết iv), ( )v có chặn trên n v o = supv n trong M o

Ta có v n ≤ Cho n → ∞ , ta có v o v v≤ o

Mà v n ≤ ≤ v v o nên theo định nghĩa sup, v o ≤ v

Suy ra v v= o Vậy v M∈ o hay giả thiết ii) của mệnh đề 1.2.5 được thỏa mãn

Theo mệnh đề 1.2.5, F có điểm bất động cực đại và cũng là phần tử lớn nhất của

iv) Mỗi dãy tăng và hội tụ của L W có một chặn trên trong ( )o L W ( )o

Khi đó bao hàm thức Lu Nu∈ có nghiệm

Vậy bao hàm thức Lu Nu∈ có nghiệm

Ta chứng minh toán tử F được định nghĩa như trên thỏa mãn các giả thiết của

hay ∃ ∈u W Lu x o : = và y Nu∈

Do u W∈ o nên { } { }x = Lu < Nu ⊂Fx

Suy ra: x M∈ o, vậy M ≠ ∅ o

• Nếu ( )x và n ( )y là hai dãy tăng của n M sao cho o y n ∈Fx n Ta chứng minh ( )y hội tụ trong X n

y ∈Fx nghĩa là ∃ ∈u n W Lu o : n =x n và y n ∈Nu n (n ∈  )

Khi đó ta có u n ∈W o, y n ∈Nu n: ( ) ( )x n = Lu n và ( )y là hai dãy tăng n

Theo giả thiết ii), ( )y hội tụ n

Thật vậy, do ( )x n ⊂ M o nên x n =Lu n (n ∈  ) với ( )u n ⊂W o

Theo giả thiết iv), ∃ ∈u W Lu o : n ≤ Lu

Điều này tương đương với điều x n ≤ , vx ới x Lu M= ∈ o

Vậy F có điểm bất động, hay bao hàm thức Lu Nu∈ có nghiệm

Định lý 1.2.8

Cho L N là hai toán tử thỏa mãn các giả thiết i), ii), iv) của định lý 1.2.7 và thỏa ,mãn thêm giả thiết sau đây:

v) Toán tử L là toàn ánh Hơn nữa, Lu Lv≤ ⇒Nu Nv<

Khi đó bao hàm thức Lu Nu∈ có nghiệm

Suy ra { }Lv <Nv hay v W∈ o Hơn nữa, x Lv= nên x L W∈ ( )o

Vậy định lý 1.2.7 được thỏa mãn, ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2.9

Cho L N là hai toán tử thỏa mãn các giả thiết i), ii) của định lý 1.2.7, giả thiết v) ,

của định lý 1.2.8 và thỏa mãn thêm giả thiết sau đây:

vi) Với mỗi u W∈ , tập Nu được định hướng lên; và mỗi dãy tăng của Nu hội

tụ đến một phần tử của Nu

Khi đó bao hàm thức Lu Nu∈ có nghiệm

Ch ứng minh:

Ta chứng minh ,L N thỏa mãn giả thiết iv) của định lý 1.2.7

Giả sử ( )Lu là một dãy tăng và hội tụ của n L W Đặt ( )o lim n,

Mặt khác { }Lu n <Nu n nên { }Lu n <Nu, nghĩa là ∃ ∈y n Nu Lu: n ≤y n (n ∈  )

Vì Nu được định hướng lên nên ta có thể giả sử ( )y là dãy tăng n

Do giả thiết vi), tồn tại lim ,n

Do y Lv Nu Nv= ∈ < , nên Lv Nv< ⇒Lv L W∈ ( )o

Mặt khác, Lu n ≤y n ≤ =y Lv L W∈ ( )o , vậy ( )Lu bị chặn trên trong n L W ( )o

Vậy iv) được chứng minh, nghĩa là các giả thiết của định lý 1.2.8 được thỏa mãn,

ta có điều phải chứng minh

Chương 2 SỬ DỤNG LÁT CẮT

2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1

Cho tập được sắp ( )X ≤ , , A ∈2X và a X∈

• a được gọi một chặn dưới của A nếu x a x A≥ ∀ ∈ ,

a được gọi một chặn trên của A nếu x a x A≤ ∀ ∈ ,

• Chặn dưới lớn nhất của A, ký hiệu inf A , là 1 chặn dưới z X∈ của A sao cho

z z′ ≥ , với z′ là một chặn dưới bất kỳ của A

Chặn trên nhỏ nhất của A, ký hiệu supA, là 1 chặn trên z X∈ của A sao cho

z z′ ≤ , với z′ là một chặn trên bất kỳ của A

• X được gọi là một dàn nếu với hai phần tử bất kỳ , x y X∈ thì sup ,{ }x y và

{ }

inf ,x y luôn tồn tại

Trong một dàn, ta ký hiệu sup ,{ }x y bởi x y∨ và inf ,{ }x y bởi x y∧

• X được gọi là dây chuyền đầy đủ bên dưới nếu inf A tồn tại trong X , với mọi dây

Một quan hệ hai ngôi ≥ trên * 2 \Y { }∅ được gọi là một thứ tự mở rộng của ≥ từ Y

lên 2 \Y { }∅ nếu nó thỏa mãn: { } { }y ≥* z ⇔ ≥ ∀y z y z Y, , ∈