Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí

ep aa BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Le scan] ==== - TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

SU TON TAI DIEM BAT DONG

CUA ANH XA TANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ những năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất

phát từ kinh tế học,

Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình

với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng Các kết quả về toán tử dạng này cho phép

nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các

toán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế Đã có nhiều

định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương pháp khác nhau trong các bai bao cua Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn

Bích Huy, Để có thé tim ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ tăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại,

phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất

động của ánh xạ tăng mà chúng tôi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng

Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm

bất động của ánh xạ tăng Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co.

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng đụng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tinh chất của nghiệm của các phương trình vi

phân, tích phân phat sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, cũng như trong

nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học,

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có bốn chương

Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong việc tìm điểm bắt động của ánh xạ tăng

Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất động

của ánh xạ tăng

Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán

điểm bất động

Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài toán điểm bát động;

khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm

Vì khả năng và thời gian có hạn nên bản luận văn này chắc có thê thiếu sót,

em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả.

ii Đối xứng: Nếu x< y va y<x thi x=y Vx,yeP

iii Bac cầu: Nếu x< y và y<z thì x<z VWx,y,zeP

Thật vậy, lấy y C7 thì ye(Œ; và y<x

Mà +x = min(C; \C,) nên y # C; \C, Suy ra y eC,

Vay C? =C} hay y= F(C?)= F(Cš)= x mâu thuẫn vì yeC, và xeŒ,

Hơn nữa dấu “=” không xảy ra vì x=F(C*)<y=F(C’)

Nhu vay 3¢=min(C’ \C*)

"Ta sẽ chứng minh x=z thì sẽ có xeC

Trước tiên, ta chứng minh C” = C”

Do z=min(C’ \C*) nên CÝ CC* (Thật vậy, lấy w e C”, tacd ueC,u<z<y

Mà z=min(C’ \C*) suy ra u#C”\C” >weC”)

Giả sử dấu “=” không xảy ra Khi đó 3 eC” \ C?

Vì t va z thuộc C nên chúng so sánh được với nhau Và từ cách chọn /, ta có

Z<t<x

Tức là z eC`, mâu thuẫn vì z= min(C” \C?) Do đó C?=C?

Suy ra x=F(C*)=F(C*) =< Vay xeC.

Lấy tập con AC C, A # Ø Ta sẽ chứng minh 3x = min A

Chọn C, €M sao cho ANC, #0

Do C, sap t6t nén ax =min(ANC,)

Ta chimg minh x =minA

Lấy y bất kì thuộc A Ta chứng minh x< y, Vy A

Khi đó, 3C, eM sao cho yeC,

Nếu yeC, thi yeC, NA dodo x<y

Néu y¢C, thi C, ZC, nén theo bé dé 1.1.1 tacé C,=C} voi k=min(C, \C,)

Cé yeC,, yéC, nén yEC,\C, doddk<y

Suy ra Ck CC} tite lA C, = Ck <C}

Do xEC, CC) nén x<y Vay xs y, VyeA

Suy ra x =min A tổn tai hay C 1a xich sắp tốt

= Ching minh C thỏa (*)

=>/Lay xeC thì tồn tại Œạ M sao cho x 6C,

Lấy yeC” thì tồn tại C, eM sao cho yeC?

Nếu Œ, cC, thì Œ CC? do đó yeCƑ

Nếu Œ, ZC, thì theo bổ đề 1.1.1 ta có C = C2, k= min(C; \Œ,)

Do xe(Œ¡,C¿ =Cÿ nên xe Cƒ Suy ra x<k=Œ =(Œ)` =Œ

Mà ye(Œ7 nên ye(C? Tức là ye C?, VycC” hay C” C CƑ

Hiển nhiên ta có C? c C* Do đó Cỷ =C*

Suy ra x= F(C?}= F(C*) (do C.-M) Vay CeM

<=/ Gia sit x= F(C*) Cn ching minh x eC

Gia str trai lai x EC

Ta đã chứng minh C eM nén tir bé dé 1.1.2, taphaicd x <y,VyeC (1)

Hién nhién C* #@ vi néu khong, ta có x=F(@)=x, EC

Dat C, =C* U{x} Chứng minh C, sắp tốt

Với DCC,D#Ø,D#z{x} thì ta co minD = min(C* ¬ D) nên theo định nghĩa 1.1.2 ta có C¡ sắp tốt (min(C*¬ D) tén tai vi C7 NDCC’ CC,C sip tốt và

theo dinh nghia 1.1.2)

Do (1) nên C? =C’, Vy EC,

That vay, lay yeC, =C" U{x}

Nếu y =x thi C? =Cf =(C*U{x}) =C*=C”

Nếu ye(C” thì y< x nên ta có Cc =(C'©{x}) =C”

Do dé C,eM

Thật vậy, lấy yC,, chứng minh y= F(C})

Néu y=x thi y=x=F(C*)=F(C’)=F(C?)

Néu yeC* thi yeC ma CeM nén y= F(C")= F(C?)

Suyra xe, mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh

«Ching minh C thỏa (**)

Thật vậy, nếu C D và a= Ƒ(C) là một cận trên chặt của C, thì C“ =C.

Suy ra F(C")= F(C)=a

Do (*) nên ta có ø C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C)

Vay C thoa (**),

Kết luận: Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn

1.2 Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một ánh xạ

Bổ đề 1.2.1

Cho tap c6 thir tz (P,<), anh xa G:P > P và ae P

Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho

2) Nếu CeD thì ƒ(C) không phải là cận trên chặt của C

"_ Ta kiểm tra C thỏa (1)

Dat x, =minC (vi C sap tét nén tén tai min)

Ta có xạ eC nên theo l) ta có xạ =f(C*)=f(@)=a tức là a= minC

Với a<x thì CỶ #Ø Do đó xe€Œ © x= ƒ(C")= supƠ(C") (định nghĩa ƒ )

Vậy C chính là xích sắp tốt duy nhất của P thỏa điều kiện (1)

Định nghĩa 1.2.1

Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lap G ti a

Định lí 1.2.1

Cho tập có thứ tự (P,<}, ánh xạ G:P > P,aeP

Giả sử C là xích sắp tốt của phép lap G tira

Nếu a< Ga và x, =sup G(C) ton tai thi x, =maxC va Gx, <x

Chứng minh

Giả sử ø< Ga và x, =supG(C) t6n tai

Ta chứng minh x, = max Œ

= Lay xeC

Néu x =a thi do a<Ga<supG(C) =x, nên x<x,

Nếu a< xeC ta có x =supG(C*)<supG(C) =x,

Suy ra x<*,, VxeC

= Gia str x, ¢C

Khi đó tacó x<x., VxeC hay C* =C

Ta có +, = supG(C) =supG(C* )

Suy ra x €C (mau thuan) Do d6 x, EC

Vậy ta đã chứng minh được x, =maxC

Và Œx, <supG(C)= x

Bồ đề 1.2.2

Nếu A va B 1a tap con cia P va néu sup A, sup Ö tồn tại thì

sup(A UB) =sup {sup A, sup B}

Chứng minh.

Dễ thấy hai tập hop AUB va {sup A, sup B} có cận trên giống nhau, từ đó suy ra

điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.2

Cho C là xích sắp tốt Với mỗi x 6C, x maxC, sẽ có một phần tử tiếp sau $x

trong C, tacé Sx:=min{yeC/x<y}

Ménh dé 1.2.1

Cho G:P—> P la anh xa tang va a<Ga

Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ đ

Khi đó:

a Nếu xeC thì x<Œx và GxeC

b 5ø tổn tại khi và chỉ khi a< Ga và do đó Sa = Ga

c Nếu ø<xeC thì Sx t6n tại khi và chỉ khi Gx Éx và sup{x,Gx} tồn tại,

va do dé Sx =sup{x,Gx}

d Néu a<xe€C thì x=supC” khi và chỉ khi x không là phần tử tiếp sau

e Ơ(C) là xích sắp tốt của P

Chứng minh

a Lay x eC, chimg minh x < Gx

Néu x =a thi x < Gx (do gia thiét a< Ga)

Nếu a<xeC tacó VyeC” thì y<x mà Œ tăng nên Gy <Gx

Suy ra supG(C*)<Œx hay x <Gx Vay xeEC thì x<Œx

" Chứng minh Gx eC

Ta chỉ cần xét trường hợp x< GŒx

Ta sẽ chứng minh C* = C* U{x} That vay

Hiển nhiên có C* U{x} <C™ (do x<Gx) (1)

Lay yeC™ thi yeC va y<Gx

Néu x <y thì xeC”

Nên Gx <supG(C”)=y (mau thudn vi y < Gx)

Suy ra y<x hay yeC* U{x}, vy ec* hay C CC” Uf{x} (2)

Tir (1) va (2) suy ra C* =C* U {x}

Do đó supG(c*) = supG(C" U {x}) =Gx do G tang Vay GreC

b Néu Sa tén tai thido Sa>a, SaeC khi va chi khi

Sa=supG(C™) (theo (1))

Ma C“ =C* U {a} ={a} (vi a= mỉnC nên C° =Ø)

nên Sa=supG({a})=Ga va a<Sa=Ga

* Dao lai, gid sit a < Ga Chimg minh Sa ton tai

Ta có C” = {a} Thật vậy

Hiển nhiên {2} c C“” do a<Ga

Ta chimg minh C™ c {a} Lay xeC™ tacé xeC va x<Ga

Nếu a< x thì aeC” nên Ga<supG(C")=x (đo (7))

mau thuan vi x<Ga Vay x<a,ma a=minC nén x=a hay xe {a} tức là C" c{a}

Vậy C“" ={a}

Khi do: supG(C™) = supG({a}) =Ga do (7) nén GaeC

Tacd a<GaeCnén a#maxC

Theo dinh nghia ta c6é Sa tồn tại.

c Giả sử g<xeC và Šx tổn tại

Ap dung (T), định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta có

Sx =supG|C° ]=supG[C* t2{x} |

= sup(G[C' | {Gx}) =sup{x,Gx}

Vì x< §x=sup{x,Gx} nên Ơx £ x

" Dao lai, gia st a<x eC va Ơx #x và z=sup{+x,Gx} tồn tại

Ta chimg minh Sx t6n tai

Nhu vay tacd x<zeC nén x #maxC

Theo dinh nghia 1.2.2 tacd Sx tồn tại

d Giả sử a<x€C và x không là phần tử tiếp sau

Rõ ràng x là một cận trên của C” Lấy w là một cận trên khác của C”

Với yeC” thì a<y<x

Do y€C và y# maxC nên tổn tai Sy

y=a thì do b) ta có a< Sa=Ga

y>a thì do c) Sy =sup{y,Gy}

Vay voi yeC” ta luén cd Sy =sup{y,Gy}

Suy ra Gy < SyeC* (do y<x va x ¥ Sy nén Sy<x)

Do đó Ơy <w, Vy eC” Suy ra supG(C*)<w hay x <w (do (/))

Như vậy theo định nghĩa sup ta có x = supC”

= Gia str x là phần tử tiếp sau, tức là x=.Sy với y nào đó thuộc C

Khi dé y<Sy=x>yeC*

Ta chứng minh z< y, Vz e C” Thật vậy

Nếu tồn tại zeC” và y<z thì x=.Šy<z mâu thuẫn vì zeC”

Khi đó Šy = x =supC” < y, mâu thuẫn

Suy ra điều phải chứng minh

Các kết qua trên kéo theo các hệ qua sau

Hệ quả 1.2.1

Nếu C là xích sắp tốt của phép lặp Œ từ e P thì

a a=maxC khi và chỉ khi ø# Ga

b Nếu a<x thì x=maxC khi và chỉ khi Gx <x hoac sup {x,Gx} khong

Theo mệnh đề 1.2.1.a) xe nén GreC

Khi đó tổn tại sup {x,Gx} =Gx do x<Gx

Theo ménh dé 1.2.1.c) ta cd t6n tai Sx = sup{x,Gx} =Gx (dpem)

1.3 Điểm bắt động của ánh xạ tăng

"_ Vì z là cận dưới của G(P) nén a<Ga

Mà theo giả thiết ta có x, = supG(C) tồn tại

Nên theo định lí 1.2.1 thi x, =maxC va Gx, < x

Mặt khác theo ménh dé 1.2.1 thi x eC nên x, < Gx

Suy ra x, = Gx, =maxC

= Ching minh x, =min{a<x/Gx <x}

Dat D={a<x/Gx<x}

Lay ye D, ta cần chứng minh x„ < y Thật vậy

Giả sử x >y.Tacd A={xeC/x>y}¥O vixneA

Đặt z= min A ta có z> y

Ma a<y nén z¥a hay C° #0

Voi teC* thi t<y theo dinh nghia z

Suy ra z= supG(C°) <Gy<y do ye D Mâu thuẫn

Vậy x,< y, VyeD={a<x/Gx<x} hay x, =min{a<x/Gx <x}

(do x, =maxC >a va Gx, <x, nén x, € D)

Két luan: x, = Gx, =maxC = min{a< x/ Gx < x}

"_ Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của Œ

Mà x„ =min D nén x, là điểm bất động bé nhất của Œ

Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự > thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn còn đúng Đặc biệt ta có kết quả sau

Cho P là tập sắp thứ tự một phần và anh xa ting G: P > P

a Nếu G (P) có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G(P) đều có sup thì Œ

có điểm bất động bé nhất x, và x, = min{x / Œx < x}

b Nếu G(P) có một cận trên và mọi xích sắp tốt của G(P) đều có inf thì G

có điểm bất động lớn nhất x” và x` = max {x /Gx< x}

Chứng minh

Ta chỉ chứng minh a), trường hợp b) hoàn toàn tương tự

Gọi a là cận dưới của G(P), ta có a<Ga

Nếu A=P thì P gọi là tập sắp tốt đầy đủ

Định nghĩa 1.3.2

Cho tập hợp sắp thứ tự một phần P Khi đó:

a c được gọi là sup — center của P nếu tồn tại sup{c,y}eP, VyeP

b c được gọi là inf— center của P nếu tồn tại inf{c,y}, WyeP

c c được gọi là order — center của P nếu nó vừa là sup — center vira 1a inf — center cua P

Với a,beP,a<b Kí hiệu

a Nếu P có một sup - center c thì G có điểm bất động x” thỏa mãn

x =max {x €(b]/x<Gx}

với b=min{x e[c)/ sup{e,Gx} < x}

b Nếu P có một inf - center c thì G có điểm bất động x„ thỏa mãn

Hiển nhiên ƒ được định nghĩa tốt

Khi đó, rõ ràng ƒ tăng và ƒ(P) là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,

G(P) đầy đủ tương đối theo thứ tự)

=" Tacó c< sup {c,Gc} = f(c) hay c là cận dưới của f(e)

Goi C laxich sắp tốt của ƒ từ e

Vì ƒ(P) đầy đủ tương đối và ƒ(C)c ƒ(P) là tập sắp tốt nên theo định nghĩa 1.3.1 sẽ tồn tại b =sup ƒ (C)

Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của ƒ và b= min{x e[e)/ ƒ(x)< x}

" Tacé b= f(b)=sup{c,Gb} nén Gb<b

Gọi C' là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b

Khi đó vì G(C') sắp tốt nghịch đảo và G(P) đầy đủ tương đối nên tồn tại

x" =inf G(C')

Theo định lí 1.3.2 thi x” là điểm bất động của Ơ va x" =max {x <(b]/ x < Gx}

với b=min{x e [c)/sup{c,Gx} <x}.

Hệ quả 1.3.2

Cho (P.<) là tập sắp thứ tự một phần có order — center c va anh xa tang

G:P—>P, G(P) là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P Khi đó

a Phuong trinh x =inf {c,Gx} có nghiệm lớn nhất trong (cl

b Phuong trinh x = sup {c,Gx} có nghiệm bé nhất trong [c)

c G cé diém bat dong bé nhất x, và điểm bất động lớn nhất x” trong [a,b]

với a,b xac dinh 6 dinh lí 1.3.3

Hé qué 1.3.3

Cho P là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ va cé mét order — center

Khi đó, mỗi ánh xạ ting G: P > P đều có điểm bắt động lớn nhất x” và điểm bắt

động bé nhất x, thỏa định lí 1.3.3

Ví dụ

Kí hiệu P= |(„x, x„)€ */]x|” +|x;|”+ +|x„|” <r’} với pe(0,œ)

và r>0 Giả sử P được sắp thứ tự theo “thứ tự từng tọa độ” (nghĩa là nếu

x<y<©x,<y,, Vi=1,m)

Khi đó, mọi ánh xạ tăng Œ:P-—>P đều có điểm bất động x, và x” thỏa định lí

1.3.3

Chứng minh

Đặt c= (0,0, ,0) thi c 1a order — center cua P

That vay, lay x =(Xi;3;› X„) eP,tacó

sup{c,x} = {max (0, x, ),max(0, x, ), ,max(0,x,, )}

và |max(0.x, | <|x, » Vi=lm

Suy ra sup{c, x} PP hay c là sup - center của P

Tương tự c là inf— center của P Vay c 1a order — center

m

Mặt khác P là tập đóng, bị chặn, con của “” nên P là đầy đủ tương đối theo thứ

tự Áp dụng hệ quả 1.3.2 ta có đpcm

Định lí 1.3.4

Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ae P Giả sử ánh xạ tăng G: P > P thỏa

a<Ga và C là xích sắp tốt của phép lap G ti a

Xét dãy lặp {x,}, thoa x) =, X,,,, =Gx,,

Khi đó, néu x, ¢P thoa x,=sup{x,} thi x, là điểm bất động bé nhất của G

trong] a) :

Chứng minh

Có thể viết lại {x,}, thanh {a, Ga, G’a, .,G"a, -}

Suy ra {x,}_ 1a day ting va x,eC Wn

= Néu x,,,, =X, voi m nao dé thi

G""'a=G"a hay G"*“*ạ=Œ"**a Vke

Mặt khác nếu xe C*” thi xeC va x<x,

Do x,= sup{x„} nên tổn tại ø sao cho x< x„

Khi đó Gx < Œx„ <Œ+x, nên supG(C* ) <supGx,

Vậy Gx, =supG(C*)

Ma x, =supx, = SUD *, na] = SUP GX, = Gx,

Suy ra x, = supG(C* ) hay x, EC

Vi x, =Gx, nén khéng tén tai Sx, vatacé x, =maxC

Theo dinh li 1.3.1 thi x, 14 diém bat dong bé nhat cia G trong [a)

1 Các tập có thứ tự (X,<y),(Y.,<y) được gọi là đồng dạng nếu tồn tại song

ánh ƒ:X —>Y sao cho Vx,yeX, x<y y= ƒ(*)4y ƒ(y)

Quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp toàn phần là quan hệ tương đương

Do đó tập tất cả các tập được sắp toàn phần được chia thành các lớp tương đương Các tập trong cùng một lớp được gọi là có cùng kiểu thứ tự

Ta kí hiệu kiểu thứ tự của tập Ø bởi số 0, kiểu thứ tự của tập {I, n} với thứ tự thông thường bởi số ø, kiểu thứ tựcủa , , , - với thứ tự thông

thường kí hiệu tương ứng bởi ø,Z,?J, Â

Giả sử tập (X,<) có kiểu thứ tự là ø Ta định nghĩa thứ tự "<°" trong X như sau x<” y<> y<x

Khi đó kiểu thứ tự của (X,<`) kí hiệu là Z"

Ví dụ: kiểu thứ tự của tập {0, -1, —2, .} với thứ tự thông thường là ø`

5 Kiểu thứ tự gọi là vô hạn nếu tập tương ứng là vô han

Định nghĩa 2.1.2

Cho tập có thứ tự toàn phần 7 và các tập có thứ toàn phan X,,(i¢/) thoa diéu

kiện X,X,=Ø (¡# j) Ta sắp tập X =JX, như sau Giả sử ae X,,be X, ta

iel

định nghĩa ø<b nếu ¿< j hoặc nếu ¡= j và a<b trong X, Nếu X, có kiểu thứ

tự là ø, thì ta kí hiệu kiểu thứ tự của X là 5 ø,

còn (1) không có) Vậy I+ø#@+1

3) Tap [a,b] = {a} U (a,b) {b} 06 kiéu thir ty 1a 1+ 2 +1

Dinh nghia 2.1.3

1) Tập được sắp toàn phần X gọi là được sắp hoàn toàn (sắp tốt) nếu mọi tập con không trống của X có phần tử nhỏ nhất

2) Kiểu thứ tự của tập được sắp hoàn toàn gọi là số thứ tự

3) Số thứ tự vô hạn gọi là số siêu hạn

Ví dụ

1) Các kiểu thứ tự ne ”,ø, ø@+1 là số thứ tự; @, +1 là số siêu hạn

2) Các kiểu thứ tự ø@°, z, 7, A khéng là số thứ tự

Số thứ tự ø gọi là loại 1 nếu tồn tại số thứ tự lớn nhất nhỏ hơn z (kí hiệu là ø —1)

Trường hợp ngược lại # gọi là số thứ tự loại 2

Vidụ Tất cả các số thứ tự ne ° là số loại l

Tổng quát hơn, các số dạng ø +1 là số loại 1 Số œ là loại 2.

Nguyên lí qui nạp siêu hạn

Giả sử 7 (a) 1a mệnh đề phát biểu cho các số thứ tự z,, thoả mãn các điều kiện i) T(a,) ding

ii) Néu T(a) da ding cho moi sé thir ty @, <a <P thi T(f) ding

Khi đó 7(ø) đúng cho mọi số thứ tự ø > øạ

2.2 Ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ tăng

Xét toán tir A trong tập sắp thứ tự một phần X

Các định nghĩa

"Toán tử A được gọi là y - đóng trên trên tập M4 X nếu với bất kì tập hợp có

thứ tự tuyến tính {x„} và {Ax„}, phần tử y= sup{Ax„} tồn tại và thuộc M

" Tương tự, ta có định nghĩa y — đóng dưới của một toán tử

" Một toán tử vừa là y — đóng trên, vừa là y — đóng dưới được gọi là y — đóng

3 Có ít nhất một toán tử Á, eT là y - đóng trên trên M

Khi đó các toán tử AI có một điểm bắt động chung trong M

Chứng minh

Trước tiên chúng ta chứng minh rằng với bất kì x e Ä⁄, tồn tại trong Ä⁄' ít nhất một

điểm bất động x” > x cia A)

Xét một thứ tự mới trong # : x< y nếu x< y và A,x< Ayy

Mỗi tập có thứ tự tuyến tính {x„ } là bị chặn trên trong thứ tự mới

Thực vậy, {x,} va {Ayx, } là các tập có thứ tự tuyến tính trong thứ tự cũ

Vì vậy, phần tử y = sup{A,x„} là tồn tại và thuộc M

Khi đó x, < Ayx, Sy

Va Ayx, Sy SA,y.Do dd x, <y

Tức là {x„} bị chặn trên trong thứ tự mới

Do bổ đề Zorn, với mỗi xe Mƒ, tồn tại trong M ít nhất một phần tử cực đại

x'>x

Hién nhién, y* = A,x* >x*, Asy”> y” = A,x” Tức là xÌ < y”

Vi vay, do tính cực đại của x” nên A,x” =x”, với xÏ >x

Chúng ta chứng mỉnh rằng các toán tử A có ít nhất một điểm bất động chung trong

M

Giả sử trái lại, với mỗi điểm bất dong x,<€M cia A), tồn tại một AI sao cho y= A% >1

Theo chứng minh trén, tén tai trong M một điểm bất động x; 3 y của Á,

Chúng ta sẽ xây dựng một dãy siêu hạn tăng các điểm bất động của Ay bang cach tương tự như sau

Néu x, là xác định với mọi z < và con số siêu hạn / là loại I, thi do giả thiết, tồn tại một điểm bất động x > x„_¡ của Ay,

Nếu / là loại II, thì chúng ta định nghĩa x„ là điểm bất động bất kì

x> sup{x, = AX,) cua A)

Quy trình này được tiếp tục đến vô hạn, do đó, chúng ta có thể xây dựng một dãy

siêu hạn tăng các điểm bất động x„ eM của Aạ, có lực lượng tuỳ ý, nói riêng có lực lượng lớn hơn lực lượng của ø > z„ Ta gặp mâu thuẫn