11 SKKN toán 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Việc tìm ra phơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

I-sơ yếu lí lịch

-Họ và tên : hoàng trung dơng

-Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1981

-Năm vào ngành :2005

-Ngày vào Đảng :

-Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Thái Hòa

-Trình độ chuyên môn :Cao Đẳng S Phạm

-Hệ đào tạo : Chính quy

-Bộ môn giảng dạy:Toán

-Ngoại ngữ

-Trình độ chính trị

-Sơ cấp

-Trung cấp

-Đại học :Đại Học Quốc Gia Hà Nội -Toán Tin

-Sau đại học

-Khen thởng :Giáo viên giỏi cấp trờng

II-nội dung của đề tài

-Lý do chọn đề tài :

Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề

đặc biệt quan tâm Vì nó đợc sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phơng trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh

Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực t duy toán học Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học đợc tốt

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm ra phơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu

và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức,

kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó

Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn Toán

và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán

8 tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí lực của

học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em nắm vững

một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc đó là công

cụ đắc lực trong giải một số loại toán Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học

-Phạm vi và thời gian thực hiện :

Một số phơng pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8

Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó áp dụng vào hai lớp 8A và 8B trờng THCS TháI Hòa

III-quá trình thực hiện

1-Khảo sát thực tế (Giới thiệu hiện trạng khi cha thực hiện ):

Qua quá trình nghiên cứu dự giờ và giảng dạy tại trờng tôi thấy tình hình giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh về bộ môn Đại số mà cụ thể là phần “Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng của các phơng pháp đó vào giải Toán cấp 2 “ có những u khuyết điểm sau :

a-Ưu điểm :

Giáo viên giảng dạy nhiệt tình ,luôn cải tiến phơng pháp dạy học Nhiều giáo viên đi sâu vào việc dạy học các phơng pháp tìm lời giải các bài toán

Giáo viên đã chú trọng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng ,phơng pháp cần

thiết ,thói quen cần thiết để làm toán sao cho khoa học ,nhanh gọn ,dễ hiểu mà không dài dòng mất thời gian

Giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo những phơng pháp khác nhau làm cho bài toán trở nên phong phú và đa dạng

Đồng thời giáo viên dẫn dắt học sinh biết ứng dụng những kiến thức đã học vào việc giải toán

Học sinh rất ham học ham tìm hiểu ,các em thờng tự tìm gặp giáo viên để hỏi những bài toán khó

b-Nhợc điểm :

Một số giáo viên cha chú trọng rèn luyện cho học sinh một số thói quen và phơng pháp giải toán cha đi sâu cải tiến phơng pháp giải toán ,cải tiến phơng pháp dạy và học

Một số giáo viên biến giờ luyện tập thành giờ chép bài tập với một số câu hỏi rời rạc cha phát huy tính tích cực chủ động và sáng tạo của học sinh ,giáo viên còn ít chú trọng đến việc lựa chọn những loại bài tập cho thích hợp với đối tợng học sinh và cho học sinh giải theo một trật tự nhất định

Một trong những nguyên nhân của thiếu sót đó là sự thiếu thốn tài liệu về phơng pháp dạy học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Đối với giáo viên điều quan trọng không phải là vấn đề dạy học sinh giải bài toán này hay giải bài toán kia để tìm

ra lời giải mà là vấn đề dạy học sinh để học sinh giải bài toán này nh thế nào mà cụ thể hớng dẫn học sinh phân tích đa thức này thành nhân tử bằng phơng pháp phân tích nào hợp lí nhất

Cũng có những giáo viên cha chú trọng vào việc hớng dẫn học sinh ứng dụng những kiến thức đã học vào giải toán

Một số học sinh còn lúng túng khi giải các bài tập không biết bài tập này nên áp dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử nào

Nhiều em hiểu bài toán sau khi giáo viên giảng dạy nhng khi cho một bài toán tơng tự thì lại không giải đợc Sở dĩ nh vậy là do nhiều học sinh cha nắm vững đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Học trớc quyên sau ,học vẹt ,do cha có một

ph-ơng pháp khoa học

Một số em do cha phát huy hết khả năng học tập t duy ,một số em có những sai sót nhng giáo viên không chú ý phát hiện và sửa chữa kịp thời do đó các em lại mắc phải những sai sót đó

Đôi khi cũng có một số giáo viên cha hớng dẫn cho học sinh suy nghĩ trớc khi giải một bài toán nên học sinh thờng không đọc kĩ đầu bài mà giải bài luôn do đó thờng hay lạc đề

2-Số liệu điều tra trớc khi thực hiện :

8A 38 20 52,6% 18 47,4%

3-Những biện pháp thực hiện (nội dung chủ yếu của đề tài )

Chơng I:Các phơng pháp cơ bản.

-Phơng pháp đặt nhân tử chung

-Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

-Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

-Phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp

Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt.

-Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

-Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

-Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)

-Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

-Phơng pháp hệ số bất định

-Phơng pháp xét giá trị riêng

Chơng III phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức

thành nhân tử

- Bài toán chứng minh sự chia hết

-Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm

-Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức

-Bài toán chứng minh đẳng thức

-Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên

4-Những biện pháp thực hiện :

Chơng I:Các phơng pháp cơ bản.

A Phơng pháp đặt nhân tử chung

Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:

hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng

Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân

đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A(B +C)

B Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức cơ bản là :

1 Bình phơng của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2

2 Bình phơng của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2

3 Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B )

4 Lập phơng của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3

5 Lập phơng của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3

6 Tổng hai lập phơng : A3+ B3 =( A +B )(A2 - AB + B2 )

7 Hiệu hai lập phơng : A3 - B3 =( A - B )(A2 + AB + B2 )

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1

Giải :

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 25x4 + 10x2y + y2

Giải :

25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2

C phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phơng phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y

Giải :

4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2+ 8xy ) - (3x + 6y)

= 4x.(x+2y) - 3(x+2y)

= (x+2y)(4x-3)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2

Giải :

x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2

=(x+z)2 - y2

=(x+y+z)(x-y+z)

D phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp

Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :

+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn + Nhóm hạng tử

+ Dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz

Giải :

x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

= (x + y)2- z(x+y)

= (x+y)(x+y-z)

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy

Giải:

3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)

= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]

= 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)

Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt.

A phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8

Giải :

Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)

Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)

Cách 3 :

x2- 6x + 8 = x2 - 4 - 6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-2-2)= (x-2)(x-4)

Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác tổng đó có 2 cách thông dụng là :

Một là : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Hai là : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai bình phơng

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8

Giải :

9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8

= 3x(3x -2)+4(3x-2)

=(3x -2)(3x+4)

Hoặc : 9x2+6x-8 =9x2+6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)

*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng

Nh vậy trong tam thức bậc hai :ax2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau :

Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử

Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

Tích a.c =9.(-8) =-72

Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt

đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9

Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12

Từ đó ta phân tích

9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử

Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6

+ Tích a.c =1.(-6) = -6

Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt

đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)

-6 = 1.(-6) = 2.(-3)

Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3

Từ đó ta phân tích

x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)

*Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai

B Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không

có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Giải :

Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng

tử 4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)

Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a4 + b4 thành nhân tử

Giải :

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2

64a2 + b4 = 64a4 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2

= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)

C Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ).

Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử

Giải :

Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12

Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y

Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = y(y+6) -2(y+6)

= (y+6)(y-2)

= (x2 + x+6)( x2 + x -2)

=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)

=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

=(x2 + x+6)(x+2)(x-1)

*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)

Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử

Giải :

Đặt (x2+ 3x + 1) = y

Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6

= y2 + y - 6

= y2 + 3y - 2y - 6

= (y + 3)(y - 2)

= (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)

= (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)

( phơng pháp hạ bậc đa thức )

D Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 nh vậy nếu f(x) chứa

nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức

-Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi

-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1

-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1

Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân tử

Giải:

Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c

Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ớc của -4 ( 1;  2; 4) Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức Nh vậy đa thức chứa nhân tử x – 1 Do đó ta tách các hạng tử của

đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Cách 1:

x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1)(x+1) = (x-1)(x2 +4x+4)= (x-1)(x+2)2

Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3

=(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)

=(x-1)( x2 + x +1 +3x+3)

=(x-1)(x2 +4x+4)

= (x-1)(x+2)2

ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1

Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 thành nhân tử

Các ớc của -3 là :  1 ;  3 mà  1;  3 không là nghiệm của đa thức Nh

vậy đa thức không có nghiệm nguyên Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.

*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q p với p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.

Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :

-1 ; -

2

1

; - 3 ; -

2 3

Kiểm tra thấy x=

2

1

là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử

x-2

1 hay 2x-1

Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1

Ta có: 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3

=x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1)

=(2x-1)(x2-2x-3)

E Phơng pháp hệ số bất định

Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử

Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc:

2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử) Do đó a=2 hoặc a=1 Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

=> b có thể là  1 hoặc  3

Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên

=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3

F Phơng pháp xét giá trị riêng

Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử

Giải :

Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)

Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)

2 = -2k => k=-1

Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)

Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử

Giải :

Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi -b thì

Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò của a,b,c nh nhau trong

đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng

số k

(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)

Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có :

(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)

18 = 6 k => k=3 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)

*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong đa thức thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên.

Chơng III phát huy trí lực của học sinh qua việc

Phân tích đa thức thành nhân tử

A Bài toán chứng minh sự chia hết

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho 3 với mọi số nguyên x

Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)

Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên Do đó:

P = (x+1) x (x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 Vậy P 3 x Z

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x

= x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4)

=x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)