Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn

Trong thuyết tương đối rộng lực hấpdẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng, và không phải là một ngoại lực.. Thuyết tương đối đặc biệt hẹp dựa t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hà Nội – 2012

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Chương 1:

BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN 1.1 Metric Minkowski và Bất biến Lozentz

1.1.1 Metric Minkowski

1.1.2 Bất biến Lorentz

1.2 Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann

1.2.1 Tensor

1.2.2 Metric Riemann không – thời gian cong

1.3 Tensor độ cong

1.4 Trường hấp dẫn

1.5 Phương trình Einstein và tác dụng bất biến

Chương 2

NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN 2.1 Hình thức luận Tetrad

2.1.1 Tetrad

2.1.2 Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad

2.1.3 Nguyên lý bất biến

2.1.4 Biểu thức của Tetrad

2.2 Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát

3

2.3 Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn 48

Chương 3: 51

VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ 3.1 Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ 51

3.2 Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ 57

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….63

4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tương tác cơ bản hay lực cơ bản là các loại lực của tự nhiên mà tất cả mọilực, khi xét chi tiết, đều quy về các loại lực này Mô hình vật lý hiện đại cho thấy cóbốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ,tương tác mạnh và tương tác yếu

Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tươngtác yếu trong mô hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu) Về sau, môhình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model)[5] Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này

Tương tác hấp dẫn là sự hút lẫn nhau giữa bất kì hai vật thể vật lí nào, do liênquan với khối lượng của chúng gây ra Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua mộtthực thể trung gian là trường hấp dẫn lan truyền (sóng hấp dẫn) với vận tốc hữu hạn.Trong trường hấp dẫn yếu, các vật thể chuyển động chậm so với vận tốc ánh sáng

(c) thì định luật vạn vật hấp dẫn của Newton có hiệu lực Với các trường hấp dẫnmạnh và vật thể có vận tốc gần bằng c thì phải sử dụng Thuyết tương đối tổng quátcủa A Einstein Tương tác hấp dẫn là tương tác yếu nhất trong tất cả các tương tácgiữa các hạt cơ bản, nhưng lại là nguyên nhân chi phối chuyển động của các thiênthể Trên Trái Đất, tương tác hấp dẫn là nguyên nhân tạo nên trọng lượng của cácvật, giữ cho các vật không rời khỏi mặt đất Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuấthiện như một ngoại lực tác động lên vật thể Trong thuyết tương đối rộng lực hấpdẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng,

và không phải là một ngoại lực Trong thuyết hấp dẫn lượng tử, hạt graviton đượccho là hạt truyền tương tác của lực hấp dẫn

Nếu như Isaac Newton là người tìm ra Định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổitiếng thế kỷ thứ XVII thì đầu thế kỷ thứ XX, Albert Einstein đã phát minh ra Thuyếttương đối hẹp (1905) và mở rộng thành Thuyết tương đối tổng quát (1916) đặt nềnmóng cho Lý thuyết hấp dẫn lượng tử Cho đến nay Hấp dẫn lượng tử và sự thốngnhất bốn loại tương tác vẫn là một vấn đề lớn của Vật lý học thế kỷ 21

Einstein đã xây dựng Lý thuyết tương đối tổng quát (còn được gọi là Lýthuyết tương đối rộng) là một lý thuyết về trường hấp dẫn Theo lý thuyết tương đối

5

rộng, các vật hút nhau được là do sự uốn cong của không – thời gian và vật chất làyếu tố quyết định sự cong này Nó có thể được coi là phần bổ sung và mở rộng của

lý thuyết hấp dẫn của Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn

Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không – thời gian

Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý,giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tiasáng khi đi gần Mặt Trời Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hìnhcấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phươngtrình trường của mình Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng sốnày và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vàithập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này

Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “ Trường

vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ  ” là một vấn đề hay và thời sự nênmuốn tìm hiểu, nghiên cứu

cứu Mục tiêu

Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ  để

dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng

số hấp dẫn vũ trụ  được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấpdẫn vũ trụ  theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của AlbertEinstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann

6

trong không-thời gian 4 chiều Minkowski Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ 

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận văn gồm 3 chương:

Chương I Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của

Einstein và tương tác hấp dẫn

Chương II Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến

tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn

Chương III Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới

những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ

7

CHƯƠNG 1 BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định luật mà ta

đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa Nói cụ thể hơn, quan hệgiữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác đi, không còn đơn giảnnhư trước đây

Cơ học cổ điển được mở rộng ra để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ

học tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối.

Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [7]

Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà Einstein

nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự không phụ thuộcvào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân không và các thínghiệm khác trong thiên văn trước đó, là như sau:

1 Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu

quán tính (nguyên lí tương đối).

Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lí bất biến đối vớiphép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác (hệ quychiếu không gia tốc) Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơ học cổ điển, ở đâykhông những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lí đều bất biến trongcác hệ quy chiếu quán tính

2 Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng

c  2,99793.108 m / s  3.108 m / s.

Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng với góc độ hạt là các photon không khốilượng, các photon này luôn luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, không phụ thuộcvào người quan sát Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m=0 đều chuyển động với

8

vận tốc c Còn những hạt có khối lượng m  0 sẽ chuyển động với vận tốc V luônluôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c.

Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khácchính là phép biến đổi Lorentz [1]

Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không giantuyệt đối, thời gian tuyệt đối, và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối Nó đã mở

rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như

nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành nguyên lí tương đối

Einstein (Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu

quán tính) Einstein là người tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật và tính thống nhấtcủa thiên nhiên Ông đã nêu lên rằng trong thiên nhiên không có cái gì là tùy tiện,thiên nhiên tuân theo một số không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn giản,

lí tưởng cao nhất của khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ như rờirạc, lẻ tẻ, phải tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó Với tư tưởng đó, ngay saukhi xây dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông đã tiếptục suy nghĩ tìm cách mở rộng lí thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên lí tươngđối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu không quán tính.Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên, và xây dựng một lí

thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát).

Dựa trên hai định luật: định luật vạn vật hấp dẫn của Newton F

, với r 2

 là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thư hai F  m  , với m là khối lượngquán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng thực nghiệm là đốivới mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn  và khối lượng quán tính m là như nhau:

m 

là một hằng số nào đấy Người ta mở rộng tính chất cơ bản của trường hấpdẫn: tất cả các vật, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng, chuyển động trongtrường hấp dẫn đều giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước) Sự đồng nhất

9

của khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫnđến một hệ quả sâu sắc đã được Einstein lấy làm cơ sở của lý thuyết tương đối rộng.

Đó là nguyên lý tương đương:

Nguyên lý Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không quán

tính cũng giống như trong hệ quán tính với sự có mặt của trọng trường Nói mộtcách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đương với một trọng trường (trườnghấp dẫn) nào đó

Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vậttrong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một ngoại trườngnào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu không quán tính Chú ýrằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính không hoàn toànđồng nhất với các trường hấp dẫn “thực”, tồn tại ngay cả trong hệ quán tính Trườngtương đương với hệ quy chiếu không quán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệquán tính [1]

Mối quan hệ giữa vật chất với không- thời gian là nội dung cơ bản của thuyết

tương đối tổng quát, mà Einstein hoàn thành vào năm 1915 Ở đây ông đã sử dụng

rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ toán học của hình học Riemann Trongtrường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian), thì trong một miềnkhông gian dV và một khoảng thời gian dt vô cùng nhỏ, bao giờ ta cũng có thể chọnđược một hệ tọa độ H0 tương đương với một hệ quán tính ở nơi không có trườnghấp dẫn Đối với hệ H0 đó thì khoảng cách giữa hai điểm lân cận trong không gian 4chiều được xác định bởi:

Mặc dù biểu thức của dS là khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau, nhưngbản thân dS có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ, và là mộtbất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều Trong tất cả các hệ H (trừ hệ

các hiện tượng vật lí diễn ra không giống nhau như trong các hệ quán tính Theo cơhọc Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn Theo thuyết tương đối rộng, đó

là do không gian 4 chiều bị cong đi Tensor G gọi là tensor metric, xác định độ congcủa không gian 4 chiều tại từng điểm của nó Ở miền có trường hấp dẫn lớn thìkhông gian bị cong nhiều Ở miền không có trường hấp dẫn thì không gian làphẳng Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì không gian được coi gần đúng là phẳng.Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm cho các vật rơi tự do với vận tốc v<<c Theo địnhnghĩa đó thì không gian ở lân cận Trái Đất được coi là không gian phẳng Khônggian 4 chiều phẳng bao gồm không gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn nhưtrên Trái Đất Không gian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit vàthời gian trôi chậm hơn Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nócàng khác xa hình học Ơclit, và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất.Như vậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm chokhông gian 4 chiều cong đi Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trường hấp dẫntương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn của Newton, có kểđến các hiệu ứng của thuyết tương đối [8]

11

H0),

1.1 Metric Minkowski và Bất biến Lozentz

Một trong những phát minh quan trọng nhất của Vật lí học vào khoảng đầuthế kỉ 20 là tính chất sóng và hạt của ánh sáng, thể hiện trong luận thuyết của Planckđưa ra năm 1900 về lượng tử ánh sáng Đó chính là tiền đề cho một nguyên lý cơbản của Cơ lượng tử- tính đối ngẫu của vật chất do De Broglie đề xướng năm 1924nhằm tổng quát hóa ý tưởng của Planck, khẳng định rằng mọi vật thể vi mô đều tựthể hiện đồng thời với hai tính chất tương phản nhau là sóng và hạt Ánh sáng làsóng điện từ đồng thời cũng là dòng hạt photon Ta nói rằng hạt photon tương ứngvới trường điện từ và các lượng tử của trường điện từ chính là các hạt photon Mộtcách tổng quát, bất kì một hạt vi mô nào cũng tương ứng với một trường và cáclượng tử của trường này chính là các hạt đó

Mỗi trường đều được mô tả bằng một hàm (x) phụ thuộc vào tọa độ thời gian x gọi là hàm trường, nói chung hàm trường có thể là hàm phức nhiềuthành phần, do đó để tổng quát hóa ta viết i(x), i1, 2, ,n (n là số thành phần)

không-Một trong những nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết trường nói riêng và củaVật lý học hiện đại nói chung là nguyên lý bất biến tương đối tính, khẳng định rằngmọi hệ quy chiếu diễn ra như nhau, cũng có nghĩa là các phương trình vật lý đều códạng như nhau, trong hệ quy chiếu không- thời gian liên hệ với nhau bởi phép biếnđổi Lorentz

1.1.1 Metric Minkowski

Minkowski đã đưa ra ý tưởng thống nhất không gian ba chiều thông thường

và thời gian thành không - thời gian 4 chiều Trong đó thời gian được xem là chiềuthứ tư

Kí hiệu x là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian x:

x   x0 ; x1 ; x2 ; x3

trong đó: x0= ct là tọa độ thời gian (c là vận tốc ánh sáng, t là thời gian)

12

x1; x2; x3 là các tọa độ không gian

đôi khi còn viết: 

Ở đây, cũng như về sau ta quy ước rằng khi trong biểu thức có các chỉ số lặp lại hai lần thì lấy tổng theo các chỉ số đó Như vậy (1.1.1) phải hiểu là:

Viết tường minh là: A0  A ,

số Hy Lạp   cho 0, 1, 2, 3 và các chỉ số Latinh cho 1, 2, 3)

Với (1.1.4) ta viết lại (1.1.1) thành:

Một số phép biến đổi Lorentz cơ bản:

Phép biến đổi Lorentz đồng nhất:

x  x '



 x

trong đó: xx0;x1;x2;x3 là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian

 là các hệ số thực và để tích vô hướng của hai vector bất kì không thay

đổi:

Các phép biến đổi này gọi là phép biến đổi Lorentz đồng nhất Dễ dàng thấy

Nếu kí hiệu:  là ma trận 4x4 có phần tử hàng  , cột  là 

14

Dùng hệ thức này kết hợp với quy luật biến đổi của x ta suy ra quy luật biến

đổi của x như sau:

Tập hợp các phép biến đổi Lorentz đồng nhất có det 1 thường được kí

hiệu bởi L+, có det 1 kí hiệu bởi L

-Bên cạnh các phép biến đổi Lorentz đồng nhất (1.1.6) ta còn xét các phép

biến đổi không đồng nhất dạng:

15

độ được gọi là phép biến đổi Poincare’ riêng và được kí hiệu bởi P

Như đã biết, khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều là đạilượng bất biến đối với phép biến đổi Galilei Còn trong không- thời gian 4 chiều,khoảng cách S giữa điểm M được xác định bởi 4 vector x và điểm N được xác địnhbởi 4 vector y là đại lượng được định nghĩa như sau:

S 2   x  y  2   ( x y  )( x y )

Ta thấy S2 là bất biến đối với phép biến đổi (1.1.12)

Nếu M và N là hai điểm vô cùng gần nhau thì (1.1.13) trở thành:

dS 2  dx dx hay dS 2 



Với dS2 gọi là khoảng cực vi giữa hai điểm trong không- thời gian phẳng Minkowski

Chú ý, các phép biến đổi (1.1.12) không làm biến đổi đại lượng

 x  y 2 nhưng làm biến đổi đại lượng x2

1.2 Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann

Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lýđều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trìnhvật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

16

Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa

vào khái niệm tensor Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất

biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến

1.2.1 Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:

Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần T1 2 n( x)

biến đổi theo qui luật:

17

18

Một số trường hợp của tensor:

Đại lượng  ( x) được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến với

Lưu ý rằng x không phải là vector phản biến vì x '

nhưng dx là vector phản biến có các thành phần là vi phân của các tọa độ





dx '

Đại lượng G ( x) được gọi là vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng 1 nếu

nó biến đổi theo quy luật:

Đại lượng T( x) được gọi là tensor hỗn hợp (1,1)hạng 1 nếu nó biến đổi

theo quy luật:

T '  ( x ') 



Ký hiệu Dirac  là tensor hỗn hợp (1,1) vì:

20

 

1.2.2 Metric Riemann không – thời gian cong

Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski  ,  không phải là

tensor Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.2.1) thay vì 

g  ( x )  g ( x)

g '  ( x ') 

(dựa theo công thức (1.2.6) ở trên)

Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

21

Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo quy tắc:

22

Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến F( x) biến đổi theo

quy luật (1.2.4) Cụ thể như sau:

Trong đó ( x) được gọi là liên thông Affine hoặc kí hiệu Christoffel.

không phải là tensor mà được chọn sao cho  F  ( x) là tensor, tức là khi chuyển

23

Công thức trên chính là quy luật biến đổi của liên thông Affine.

Cũng hoàn toàn tương tự, đạo hàm hiệp biến:

 G ( x )  G ( x ) 

 (x) được chọn sao cho  G ( x) là một tensor, tức là:



24

Ta tính biểu thức của liên thông affine qua tensor metric g  ( x) biến đổi

theo quy luật (1.2.14) thỏa mãn các điều kiện sau:

1, Điều kiện đối xứng:

Nhân hai vế hệ thức này với g , ta có g 0

Ta có phương trình metric với các chỉ số   ,  ,   hoán vị vòng như sau:



25

Tóm lại, trong trường hợp tổng quát khi tensor metric

không - thời gian cong Riemann Trường hợp đặc biệt khi:

g  ( x )  

ta có không - thời gian phẳng Minkowski Từ (1.2.22)

ta thấy rằng khi không - thời gian là phẳng thì

  0.

26

27(thay   )

Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:

(1.3.5)

(1.3.6)

Cộng vế với vế của 3 phương trình này, sau đó kết hợp tính chất đối xứng