(SKKN 2022) một số kinh nghiệm hướng dẫn khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường THCS

Lý do chọn đề tài Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói chung và đề thi học sin

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN 3 2.3 Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.3 Cập nhật các bài toán có trong đề thi HSG Toán 6

năm học 2021-2022

15

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói chung và đề thi học sinh giỏi nói riêng đó chính là các bài tập về phần số học Thực tế trong nhiều năm liền trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, rất ít học sinh giải quyết hết được phần số học Đối với huyện Như Thanh hầu như chỉ

giải quyết được một nửa số lượng về phần này Vì thế mà ảnh hưởng không nhỏ đến khả năng đạt giải của các em

Thực tế, thời lượng cho phần số học trong chương trình Toán THCS là không nhiều, chủ yếu kiến thức cơ bản nằm ở chương trình Toán 6 Điểm khó là với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu học lên THCS, với yêu cầu cao hơn trong tư duy và suy luận Mặt khác, khả năng về ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề và lập luận có căn cứ đối với các em lớp 6 còn rất hạn chế Và với chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 hiện nay thì việc tiếp cận và khai thác các vấn đề số học càng khó khăn hơn Vì thế, mà đối với học sinh lớp 6 gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập và giải toán

Một thực tế nữa là kiến thức Số học trong chương trình GDPT 2018, mới chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản ban đầu Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu khác còn hạn chế, thường chú trọng đến việc đưa ra lời giải cụ thể cho từng bài mà chưa quan tâm đến việc khái quát và phân dạng

Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy bài toán về so sánh dãy phân số là một dạng toán rất hay và khó đối các em học sinh lớp 6 Vậy, làm thế nào để ngay cả các em lớp 6 có thể tiếp cận, tìm tòi và giải quyết tốt bài toán? Và đặc biệt cách tiếp cận đó làm sao phải phù hợp quá trình nhận thức của học sinh, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp

Từ những lý do đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến “Một số kinh nghiệm khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường THCS Thị trấn Bến Sung” để cùng

trao đổi thảo luận và chia sẻ với các đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm tòi, khai thác bài toán, đặc biệt trong bài toán về so sánh dãy phân

số Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài toán và biết cách suy luận logic Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt sáng tạo trong giải toán Đây không phải là đề tài mới mẻ và đặc sắc nhưng với sáng kiến này giúp các em có thể nhìn nhận vấn đề một cách có hệ thống, mạch lạc và tự tin hơn khi gặp các dạng toán này

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về so sánh tổng của dãy phân số thuộc phạm vi trong chương trình toán 6

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế bài toán so sánh

- Phương pháp thực hành giải toán

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Chúng ta biết rằng, dù là dạng toán nào thì đều phải yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu Từ đó hướng dẫn các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài toán cụ thể

Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức

Trong học tập nói chung và học toán nói riêng, nếu người học mà tự tìm tòi, khai thác và hệ thống được kiến thức từ những bài toán cơ bản thì không những giúp cho người học nhớ, lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà còn tạo được thói quen suy nghĩ tích cực, tư duy linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua việc dạy học các lớp chọn và ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, bản thân nhận thấy các bài toán về phân số có giá trị nguyên luôn là nội dung khó đối với các em học sinh lớp 6, kể cả với các em trong đội tuyển học sinh giỏi môn toán

Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã tiến hành khảo sát kiến thức với

20 học sinh lớp 6D1 trường THCS Thị trấn Bến Sung Các em là những học sinh

có lực học khá, giỏi môn Toán

Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 30 phút)

Bài 1: (8,0 điểm) So sánh

1.2 2.3 3.4 2021.2022

b) 12 12 12 1 2

Bài 2 (2,0 điểm) Cho 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8

C        Chứng minh 3 13

2C 6

Kết quả kiểm tra

Tổng

số HS

Từ kết quả trên cho thấy, tuy các em có lực học khá giỏi nhưng kết quả còn nhiều hạn chế Kinh nghiệm làm bài chưa có, khả năng suy luận, lập luận còn hạn chế Nhiều em còn không xác định được hướng giải quyết bài toán Đặc biệt, không có học sinh nào có phương án làm bài 2

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Kiến thức cơ bản về so sánh phân số

- So sánh phân số cùng mẫu; cùng tử;

- Tính chất bắc cầu;

- Khái niệm làm trội, làm giảm trong so sánh;

- Phương pháp khử trong tính tổng dãy số có quy luật

2.3.2 Các giải pháp đã thực hiện

Giải pháp 1 Dùng phương pháp khử để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh a) Đối với tổng của các phân số có mẫu ở dạng tích

Ví dụ 1 (Bài 1a, phần khảo sát thực trạng)

Cho 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2021.2022

* Phân tích và hướng dẫn:

- HS dễ dàng nhận ra đây là một tổng khá quen thuộc, ta có thể dùng phương pháp khử liên tiếp để tính (thu gọn) rồi so sánh với 1

* Sơ lược cách giải:

- Ta có:

1

2022

Suy ra: A 1

* Nhận xét: Ta có thể tổng quát thành bài toán sau:

So sánh

1.2 2.3 3.4    n 1 n với 1 (n N n , 1)

Từ phương pháp như trên, tương tự ta giải quyết ví dụ 2

Ví dụ 2 So sánh:

3.5 5.7 7.9 97.99

6

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

4

* Phân tích và hướng dẫn

- Với 2 biểu thức này, học sinh đã khá quen thuộc Tư duy bài toán ở đây là ta chỉ cần dùng phương pháp khử liên tiếp để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh

* Sơ lược cách giải

3.5 5.7 7.9 97.99

2 3.5 5.7 7.9 97.99

2 3 99 2 3

    

Suy ra: 1

6

P 

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100

1 1 1 1 1

2 1.2 99.100 2 2

Suy ra: 1

2

Q 

* Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta cũng có thể phát biểu thành bài toán tổng quát.

Chẳng hạn, bài toán: So sánh

1.2.3 2.3.4 3.4.5    n 1 n n1 với 1

4

Ví dụ 3 So sánh 23 2 25 2 27 2 243 2

1 2  2 3 3 4  21 22 và 1

* Phân tích và hướng dẫn :

- Yêu cầu quan sát đặc điểm và liên hệ giữa các thừa số dưới mẫu và tử số

- Mỗi phân số có tách thành hiệu hai phân số, để thực hiện việc khử liên tiếp như các ví dụ trên không ?

* Sơ lược cách giải

Ta có:

22

Vậy, 232 25 2 27 2 243 2

1 2 2 3 3 4   21 22 

* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng quát thành bài toán sau :

Chứng minh :

 2

n

n n



 với n N n , 1

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11!

A          

So sánh A với 1 Trong đó : n! 1.2.3  n 1  n, n N *

* Phân tích và hướng dẫn

- Quan sát kĩ ta thấy trên tử : 1 2 1; 2 3 1; ;10 11 1      Vì thế có thể tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số : 1 2 1 2 1 1 1

2! 2! 2! 2! 1! 2!



Tương tự : 2 3 1 1 1 3; 4 1 1 1 ; ;10 11 1 1 1

3! 3! 2! 3! 4! 4! 3! 4! 11! 11! 10! 11!

- Từ đó khử liên tiếp các phân số, từ đó thu gọn và so sánh

* Sơ lược cách giải :

Ta có 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11!

A          

2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1

* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng quát thành bài toán sau :

So sánh 1 2 3 1

n n



    với 1 (n N *)

Với phương pháp này, ta có thể khai thác và xây dựng hệ thống các bài tập với các mức độ khác nhau cho dạng này, như sau :

Bài 1 So sánh : 1 1 1 1

2.4 4.6 6.8 2020.2022

4

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2019.2020.2021.2022

So sánh B với 1

18

Bài 3 Cho 36 36 36 36

1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29

Bài 4 Chứng tỏ rằng : 1 1 1 1 2

S      

So sánh H với 2

b) Đối với tổng các phân số có mẫu là lũy thừa cùng cơ số

Ví dụ 5 So sánh : a) 12 13 14 1001

2 b) 1 12 13 14 199 1001

B        với 1

4

* Phân tích và hướng dẫn

- Quan sát, ta nhận thấy mẫu là các lũy thừa tăng dần của cơ số 2

- Từ đó, việc đầu tiên ta có thể nghĩ đến là tính (thu gọn) A, B bằng phương pháp khử, rồi so sánh

* Sơ lược các giải :

a) Ta có : 12 13 14 1001

A     

2 1 12 13 199

A     

Suy ra : 2 1 12 13 199 12 13 14 1001

A A             

A    Vậy 1

2

A 

b) Ta có : 1 12 13 14 199 1001

B       

3 1 1 12 13 198 199

B       

Ta được :

B B                

100

1

3

B   

Suy ra : 1

4

B 

* Nhận xét : Để khử các số hạng, cần lưu ý ở câu a ta lập hiệu, nhưng với câu b thì ta phải lập tổng Và với ví dụ trên ta cũng hoàn toàn phát triển thành bài toán

tổng quát

Và để tăng thêm độ khó và phức tạp, ta tìm hiểu ví dụ sau :

Ví dụ 6 So sánh : a) 1 22 33 44 20222022

M       với 2 b) 1 22 33 2021 20222021 2022

N       với 5

36

* Phân tích và hướng dẫn :

- Quan sát thấy, mẫu của các phân số vẫn là các lũy thừa cùng cơ số và điểm khác so với ví dụ trên đó là, các phân số có tử số là các số tự nhiên liên tiếp và bằng đúng số mũ của lũy thừa dưới mẫu

- Từ đặc điểm trên, bài toán ta vẫn được giải quyết tương tự ví dụ trên, dùng phương pháp khử (khử dần các số hạng) để thu gọn biểu thức và so sánh

* Sơ lược cách giải :

a) Ta có : 1 22 33 44 20222022

M      

2 1 2 32 43 20222021

M      

Suy ra : 2 1 2 32 43 20222021 1 22 33 20222022

M M             

Đặt : 1 12 13 20211

P      , tương tự như ví dụ trên, ta so sánh được P 1 Suy ra, M 2

b) Ta có : 1 22 33 2021 20222021 2022

N      

5 1 2 32 2021 20222020 2021

N      

Suy ra :

N N              

N             

Đặt : 1 1 12 13 20211

Q       , tương tự ví dụ trên, ta so sánh được 5

6

Q 

N   N 

* Nhận xét : Ví dụ trên có phần phức tạp và khó hơn đối với học sinh, nhưng

phương pháp và hướng tư duy bài toán vẫn như vậy Và ta cũng có thể phát triển thành bài toán tổng quát

Khai thác một khía cạnh khác của dạng bài này, chúng ta cùng đến với ví

dụ sau :

Ví dụ 7 So sánh : a) 1 13 15 199

E      với 7

48 b) 1 14 17 110 131 134

F        với 4

9

* Phân tích và hướng dẫn :

- Quan sát và nhận thấy ở câu a, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 7 với số

mũ hơn kém nhau 2 đơn vị, ở câu b, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị

- Đặc điểm trên, sẽ là gợi ý để ta lựa chọn thừa số nhân với các biểu thức và thu gọn từng tổng rồi so sánh

* Sơ lược cách làm

a) Ta có : 1 13 15 199

E     

2

E     

Suy ra : 49 7 1 13 197 1 13 15 199

E E             

99

E    E  b) Ta có : 1 14 17 110 131 134

F       

3

F       

Suy ra :

4 7 28 31 4 7 10 31 34

F F                

34

F     F 

Từ phương pháp trên, ta có thể xây dựng hệ thống các bài tập ở mức độ nâng cao cho dạng này như sau :

Bài 1 Cho 12 14 16 18 20201 20221

5

M 

Bài 2 Cho tổng 1 22 33 20222022

P      So sánh P với 1

2

Bài 3 Chứng minh : 1 22 33 44 2021 20222021 2022 3

A        

Bài 4 Cho tổng 21 32 43 20212021

T      So sánh T với 3

Giải pháp 2 Làm trội, làm giảm giá trị phân số để so sánh

a) Đối với tổng của dãy các phân số có mẫu là bình phương của một số tự nhiên

Ví dụ 8 (Bài 1b, khảo sát thực trạng)

Cho 12 12 12 1 2

B      Hãy so sánh B với 1

* Phân tích và hướng dẫn:

- Yêu cầu học sinh quan sát kĩ đặc điểm của mỗi phân số, để phát hiện ra mẫu là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp

- Ta có thể so sánh mẫu với tích hai số tự nhiên liên tiếp

- Làm trội mỗi phân số, như sau:

2 1.2 3 2.3 4 3.4 2022 2021.2022

- Khi đó, biểu thức trung gian để so sánh là: 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4   2021.2022

* Sơ lược lời giải:

Ta có: 12 1 1; 2 1 ; 12 1 ; ; 1 2 1

2 1.2 3  2.3 4 3.4 2022 2021.2022

Suy ra: 12 12 12 1 2 1 1 1 1

2 3 4  2022 1.2 2.3 3.4    2021.2022

B

1

B

 

* Nhận xét: Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát:

2 3  4   n  (n N n , 2)

Tương tự ví dụ này, với các phân số mà mẫu là các lũy thừa bậc 3, bài toán cũng giải tương tự Nhưng với kiến thức lớp 6, việc so sánh và biến đổi biểu thức bậc 3 là khó khăn nên không đề cập đến trong đề tài lần này

Và để học sinh có cơ hội sáng tạo, ta cùng đi khai thác bài toán với ví dụ sau:

Ví dụ 9 a) So sánh 12 12 12 1 2

2021 b) Cho 12 12 12 1 2

3

D 

* Phân tích và hướng dẫn

- Nhận thấy, dãy các cơ số của lũy thừa dưới mẫu là các số cách đều 2 đơn vị ở câu a, và cách đều 3 đơn vị ở câu b

- Từ đặc điểm trên, ta làm trội từng phân số, tạo thành tổng các phân số có mẫu dạng tích của 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị (ở câu a) và 3 đơn vị (ở câu b)

* Sơ lược cách làm

a) Ta có: 12 12 12 1 2 1 22 22 22 2 2

C           

2 1.3 3.5 5.7 7.9 2019.2021

1

1010 2021

C

b) 12 12 12 1 2 1 32 32 32 3 2

3 1.4 4.7 7.10 2017.2020

1

1 3

D

Từ các ví dụ trên ta có thể xây dựng một hệ thống các bài tập tương tự:

Bài 1 Cho

M

n

     Chứng minh 4M  1 0

Bài 2 Cho 32 32 32 32

3

S 

So sánh D với 3

4

b) Đối với tổng của dãy phân số có mẫu là các số tự nhiên liên tiếp

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hãy so sánh: a) A với 1

2 ; b) A với 1.

* Phân tích và hướng dẫn

- Nhận thấy A có 10 số phân số, tử đều là 1, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp từ

10 đến 19 Để chứng minh bài toán ta có thể liên hệ với phân số 1

10 và

1 20

- Khi đó, ta có thể so sánh mỗi phân số của tổng với 1

10 (làm trội), với

1

20 (làm giảm)

* Sơ lược cách làm:

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Suy ra: 1

2

A 

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Suy ra: A 1

* Nhận xét: Ví dụ này khá đơn giản, với yêu cầu đề bài cho thì dễ dàng nhận ra

cách làm Sau đây, ta cùng đến bài 2 ở phần khảo sát:

Ví dụ 11 Cho 1 1 1 1

A      Chứng minh 3 7

2 A 4

* Phân tích và hướng dẫn

- Để chứng minh 3 7

2 A 4 ta có hai bài toán so sánh Không đơn giản như ví

dụ 10 để chúng ta đánh giá đồng loạt tất cả các số hạng Để chứng minh 3

2

A  ,

ta có thể phải nhóm các số hạng và làm giảm giá trị của nó, còn để chứng minh

4

A  ta cũng phải nhóm các số hạng và làm trội giá trị của nó Việc so sánh

với 3

2 và

7

4 có mẫu lần lượt là 2 và 4, đây có thể xem là gợi ý để chúng ta nhóm các số hạng

- Ta có thể nhóm: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A           

giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với 3

2.

Ta có thể nhóm: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A             

rồi làm giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với 7

4

- Lưu ý: Số các số hạng trong mỗi nhóm cũng là một gợi ý quan trọng trong cách làm dạng toán này

* Sơ lược cách làm

A           

1 2.1 5 1 3

A

2

A

A             

         

2.1 4.1 2.1 7

A

7

4

A

2 A 4

* Nhận xét: Với bài toán trên, việc phân tích để tìm tòi cách làm là khá khó

khăn đối với học sinh lớp 6, vì cùng một tổng nhưng tùy từng yêu cầu so sánh

mà có cách nhóm và đánh giá khác nhau Để làm tốt được, các em cần được thực hành nhiều và có sự nhạy cảm nhất định về toán

Tương tự, quay lại với bài 2 phần khảo sát: