Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS... th… t‰chp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, Năm 2014

1.2.21.2.31.3 H m o ÷æc 1.4 C¡c kh¡i ni»m cıa gi£i t‰ch h m 1.4.1

1.4.2

2 T‰ch ph¥n theo quan i”m cıa lþ thuy‚t º o

2.1 T‰ch ph¥n Lebesgue tr…u t÷æng 2.2 Chuy”n giîi h⁄n d÷îi d§u t‰ch ph¥n Lebesgue 2.3 T‰ch ph¥n Riemann v t‰ch ph¥n Lebesgue tr¶n R 2.3.1

3 T‰ch ph¥n: C¡ch ti‚p c“n theo gi£i t‰ch h m

3.1 T‰ch ph¥n sì c§p v trung b…nh Daniell 3.1.1

1

3.1.23.1.33.2 Mð rºng t‰ch ph¥n 3.3 T‰nh o ÷æc Daniell 3.3.1

3.3.23.4 Sü t÷ìng ÷ìng giœa kh£ t‰ch Daniell v kh£ t‰ch Lebesgue-Caratheodory3.5 T‰nh ch§t Maximality

T i li»u tham kh£o

Mð ƒu

Lþ thuy‚t º o v t‰ch ph¥n l n•n t£ng x¥y düng cho nhi•u mæn khoa håcchuy¶n ng nh nh÷: Lþ thuy‚t x¡c su§t, gi£i t‰ch h m — ch÷ìng tr…nh ot⁄o ⁄i håc, cao håc ¢ b÷îc ƒu nghi¶n cøu v• lþ thuy‚t º o, t‰ch ph¥n Tronglu“n v«n n y s‡ sß döng c¡c k‚t qu£ cì b£n v• º o v t‰ch ph¥n ð b“c ⁄i håc vCao håc ” nghi¶n cøu s¥u hìn v• T‰ch ph¥n theo quan i”m º o Ngo i ra, lu“nv«n t“p trung nghi¶n cøu v• c¡ch ti‚p c“n t‰ch ph¥n theo quan i”m cıa gi£i t

‰ch h m

Ta ¢ bi‚t r‹ng lîp h m kh£ t‰ch Riemann r§t hµp bao gçm c¡c h m sŁ mt“p c¡c i”m gi¡n o⁄n câ th” bä qua üìc CÆn c¡c h m sŁ o ÷æc tŒng qu¡t th…nâi chung câ th” khæng kh£ t‰ch Riemann (v‰ dö nh÷ h m sŁ Dirichlet) ”v÷æt qua ÷æc sü h⁄n ch‚ §y, Lebesgue ¢ chia mi•n l§y t‰ch ph¥n th nh c¡ct“p nhä, mØi t“p bao gçm nhœng i”m øng vîi gi¡ trà gƒn nhau cıa f(x), theoquan i”m cì b£n â Lebesgue ¢ x¥y döng mºt kh¡i ni»m t‰ch ph¥n tŒng qu¡thìn, ¡p döng cho t§t c£ c¡c h m sŁ o ÷æc v bà ch°n Ngo i ra, khi chuy”n giîih⁄n d÷îi d§u t‰ch ph¥n cıa t‰ch ph¥n Lebesgue khæng cƒn Æi häi kh›t khev• i•u ki»n hºi tö •u nh÷ t‰ch ph¥n Riemann, tł â ÷a ra ÷æc nhi•u k‚t qu£quan trång nh÷ t‰nh hºi tö ìn i»u, hºi tö bà l m trºi

Tuy nhi¶n, n‚u muŁn mð rºng ành ngh¾a t‰ch ph¥n v o nhœng l¾nh vüc phøct⁄p hìn nh÷ x†t t‰nh tuy‚n t‰nh, t‰ch ph¥n tr¶n khæng gian Banach th… t‰chph¥n Lebesgue g°p khâ kh«n Do â, lu“n v«n t“p trung nghi¶n cøu ph÷ìng ph¡p ti‚pc“n t‰ch ph¥n b‹ng gi£i t‰ch h m, sß döng t‰nh tuy‚n t‰nh v c§u tróc

3

li¶n töc cıa t‰ch ph¥n sì c§p ” x¥y düng t‰ch ph¥n tr¶n Daniell

I (f) = inf I (h) : h 2 E"; f h

Khi â I câ ÷æc c¡c t‰nh ch§t nh÷: I l h m khæng gi£m; I l tuy‚n t‰nh; I l h

m - cºng t‰nh d÷îi Ngo i ra, t÷ìng øng vîi t‰ch ph¥n tr¶n I l trung

b…nh Daniell

k:k : R ! [0; 1] cho bði f 7!I (jfj)

vîi c¡c t‰nh ch§t cì b£n nh÷ t‰nh thuƒn nh§t tuy»t Łi, t‰nh cºng t‰nh d÷îi

‚m ÷æc C¡c inh lþ hºi tö ìn i»u, hºi tö bà trºi theo trung b…nh công d„ d

ng ÷æc chøng minh

i•u °c bi»t cıa t‰ch ph¥n Daniell l x¥y düng t‰ch ph¥n tr÷îc rçi mîi ànhngh¾a kh¡i ni»m º o Khi â, º o Lebesgue ⁄t ÷æc nh÷ l t‰ch ph¥n cıa h mch¿ ti¶u C¡c t‰nh ch§t cì b£n nh÷ cºng t‰nh, t‰nh o ÷æc cıa t“p Borel lh» qu£ cıa t‰ch ph¥n T‰nh o ÷æc Daniell mæ t£ c§u tróc àa ph÷ìng cıaqu¡ tr…nh kh£ t‰ch Daniell v sß döng t‰ch ph¥n Daniell d„ d ng chøngminh ÷æc ành lþ bi”u di„n Riesz cho phi‚m h m tuy‚n t‰nh bà ch°n tr¶nkhæng gian C(X) cıa c¡c h m li¶n töc tr¶n khæng gian tæpæ compact X

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o, lu“n v«n ÷æc chia l m bach÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cìb£n v• º o, mð rºng º o v c¡c ki‚n thøc cì b£n v• gi£i t‰ch h m l m cì sð ” x¥ydüng nºi dung c¡c ch÷ìng ti‚p theo

Ch÷ìng 2: T‰ch ph¥n theo quan i”m º o Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡ch x¥ydüng t‰ch ph¥n cıa h m o ÷æc - t‰ch ph¥n Lesbegue, c¡c ành lþ v• chuy”ngiîi h⁄n d÷îi d§u t‰ch ph¥n, t‰ch ph¥n Riemann v t‰ch ph¥n Lebesguetr¶n R v mºt sŁ t‰nh ch§t cıa t‰ch ph¥n

Ch÷ìng 3: T‰ch ph¥n: Ti‚p c“n b‹ng gi£i t‰ch h m Ch÷ìng n y l phƒn ch

‰nh cıa lu“n v«n, tr…nh b y c¡ch x¥y düng t‰ch ph¥n tr¶n Daniell, trung

b…nh Daniell v c¡c t‰nh ch§t, kh¡i ni»m o ÷æc Daniell, sü t÷ìng ÷ìng giœakh£ t‰ch Lebesgue v kh£ t‰ch Daniell, t‰nh ch§t maximality cıa trung b…

nh Daniell

5

Líi c£m ìn

Tr÷îc khi tr…nh b y nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n t¡c gi£ xin b y tä lÆngbi‚t ìn s¥u s›c tîi PGS.TS Phan Vi‚t Th÷ ng÷íi ¢ t“n t…nh h÷îng d¤n t¡c gi£.Còng to n th” c¡c thƒy cæ gi¡o trong khoa To¡n - Cì - Tin håc, thƒy cæ trong

tŒ bº mæn "Lþ thuy‚t x¡c su§t v thŁng k¶ to¡n håc" tr÷íng ⁄i håc Khoa håc TüNhi¶n ¢ t“n t…nh d⁄y b£o t¡c gi£ trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i tr÷íng

çng thíi t¡c gi£ công gßi líi c£m ìn tîi c¡c çng nghi»p trong Khoa Khoahåc Cì b£n, ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc Sao ä ¢ gióp ï v t⁄o i•u ki»n tŁt nh§t ”t¡c gi£ ho n th nh khâa håc

Nh¥n dàp n y t¡c gi£ công xin ÷æc gßi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia …nh,b⁄n b– ¢ luæn b¶n tæi cŒ vô, ºng vi¶n, gióp ï t¡c gi£ C£m ìn c¡c b⁄n trong lîp

¢ gâp þ gióp ï t¡c gi£ trong lu“n v«n n y

Do lƒn ƒu mîi l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cøu khoa håc v cÆn h⁄n ch‚ v•ngo⁄i ngœ, thíi gian n¶n khi l m lu“n v«n khæng tr¡nh khäi nhœng sai sât T¡cgi£ mong nh“n ÷æc sü gâp þ v nhœng þ ki‚n ph£n bi»n cıa qu‰ thƒy cæ vb⁄n åc

H nºi, th¡ng 08 n«m 2014T¡c gi£ lu“n v«nNguy„n Thà Hu»

L1(k:k): T“p hæp c¡c h m kh£ t‰ch Łi vîi trung b…nh k:k.

Cho E l mºt d n v†ctì âng vîi ph†p ch°t cöt ho°c l d n v nh khi â:

E: Bao âng cıa E

u: Bao âng •u cıa E

Ch֓ng 1

Ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng n y s‡ h» thŁng l⁄i ki‚n thøc v• º o, ph÷ìng ph¡p nîi rºng º o,

h m o ÷æc, ành lþ Stone Weierstrass, ành lþ v• lîp h m thüc C¡c ki‚n thøc

vîi måi d¢y fAkg S sao cho AkAj = ; vîi k 6= j v

Trong c¡c phƒn ti‚p theo ta gi£ thi‚t hå c¡c bi‚n cŁ F l mºt - ⁄i sŁ

ành ngh¾a 1.5 Mºt h m cºng t‰nh ‚m ÷æc : F ! [0; 1) ÷æc gåi l º o tr¶n F, tøc l n‚u vîi måi d¢y fAng F tłng æi khæng giao nhau th…

Bº ba ( , F, ) ÷æc gåi l khæng gian câ º o

N‚u ( ) = 1 th… ÷æc gåi l º o x¡c su§t v ( , F, ) gåi l khæng gian

(3)li¶n töc d÷îi, tøc l n‚u An" A th… (An) " (A).

N‚u th¶m i•u ki»n l hœu h⁄n th… c¡c i•u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi mºt trongc¡c i•u ki»n sau:

(4)li¶n töc tr¶n, tøc l n‚u An# A th… (An) # (A)

(5)li¶n töc t⁄i ;, tøc l n‚u An# ; th… (An) # 0

Cho tr÷îc mºt º o d÷ìng tr¶n mºt v nh C Khi â, ta câ th” nîi rºng º o n y l¶n

v nh sinh bði C b‹ng c¡ch dòng º o ngo i cıa Caratheodory

ành lþ 1.4 (Mð rºng cıa Caratheodory) Gi£ sß r‹ng l h m t“p cºng t‰nh

v cºng t‰nh d÷îi ‚m ÷æc tr¶n nßa v nh E thäa m¢n (;) = 0 Th… ÷æc mð rºng th nh mºt º o ı tr¶n - ⁄i sŁ M chøa (E)

Chøng minh Ta câ, c¡c h m cho bði (1.1) vîi h =

11

(i) Gi£ sß I 2 E v I1; I2::: l d¢y c¡c t“p con cıa I bao phı I Tł ành ngh¾a cıa ,t‰nh - cºng t‰nh d÷îi v t‰nh cºng t‰nh hœu h⁄n cıa chøng tä r‹ng

V“y, (I) = (I)

(ii) Cho I 2 E v gi£ sß r‹ng k

H» qu£ 1.1 Cho ( ; (E) ; ) l mð rºng Caratheodory cıa tr¶n nßa v nh E,

l º o ngo i cho bði (1.1) v E" l hå cıa c¡c hæp ‚m ÷æc c¡c t“p trong

E Th…, vîi måi E , tçn t⁄i B 2 (E) sao cho E B v

N‚u l mºt mð rºng kh¡c cıa tr¶n ( ; (E)) th… Th¶m nœa, n‚u E l mºt v nh

ành lþ 1.5 Gi£ sß E l nßa v nh tr¶n v l h m cºng t‰nh d÷îi ‚m ÷æc N‚u mðrºng Caratheodory l - hœu h⁄n tr¶n (E) th… M = (E) v mð rºng â l duy nh§t

1.2.2 º o Lebesgue v º o Lebesgue- Stieltjes

Trong phƒn n y ta s‡ tr…nh b y º o tr¶n khæng gian Borel (Rd, B(Rd)) Ta

k‰ hi»u E l t“p hæp t§t c£ c¡c kho£ng d - chi•u (a k ; b k ] = (a; b] , vîi a k b k.

Khi â, E l nßa v nh

B¥y gií ta chøng minh l - cºng t‰nh d÷îi tr¶n E N‚u (a; b] =m=1(a(m); b(m)],

t‰nh li¶n töc ph£i v câ gia sŁ khæng ¥m cıa F suy ra l vîi måi " S

13

ành ngh¾a 1.10 Vîi mØi F 2 F tçn t⁄i duy nh§t mºt º o - hœu h⁄n tr¶n

Ng÷æc l⁄i, n‚u F thäa m¢n (i)-(iii) th… câ º o tr¶n Rd; B Rd vîi ph¥n bŁ F

Gi£ sß (X; d) l mºt khæng gian metric v gi£ sß r‹ng g : R + ! R + l h mkhæng gi£m vîi g(0) = 0 ành ngh¾a h : P(X) ! R + l h m A 7!g(diam(A)) vîi

Vîi mØi > 0 °t E l t“p hæp c¡c t“p câ ÷íng k‰nh tŁi a l th… h m

t“p Hg ành ngh¾a bði:

l º o ngo

Tł

ành ngh¾a 1.11 Mºt º o ngo itr¶n khæng gian metric thäa m¢n (A

14

÷æc gåi l º o metric ngo i.

Chó þ: N‚u A; B X v d(A; B) = inffd(x; y) : x 2 A; y 2 Bg > 0 th…

Hg (A [ B) = Hg (A) + Hg (B)

ành lþ 1.8 (Caratheodory) N‚ul º o metric ngo i th… måi t“p Borel l - o

־c

i•u ki»n Lipschitz: Mºt h m f giœa khæng gian metric (X; d) v (Y; ) l

Lipschitz b“c > 0 n‚u tçn t⁄i h‹ng sŁ L 0 thäa m¢n:

(f (x1) ; f (x2)) Ld (x1; x2) vîi måi x1; x2 2 X

ành lþ 1.9 (Thuºc t‰nh Lipschitz) Cho f l mºt h m Lipschitz giœa khænggian metric (X; d) v (Y; ) b“c > 0 Vîi måi s 0,

Hs= (f (A)) Ls= Hs (A)

Chøng minh Chó þ r‹ng diam(f(A)) L(diam(A)) Cho > 0 °t = L N‚u fAn E l phı

‚m ÷æc cıa A, th… ff(An)g E l phı mð cıa f(A) Khi â:

ành ngh¾a 1.12 (i) Cho c¡c khæng gian o ÷æc (X, S) v (Y , R) nh x⁄ f : X !

Y gåi l ¡nh x⁄ o ÷æc n‚u vîi måi A 2 Rta câ

3.N‚u f o ÷æc v g(x) = f(x) - hƒu kh›p nìi th… g công o ÷æc.

4.Cho (fn) l d¢y h m o ÷æc khi â c¡c h m

sup fn; inffn; lim sup fn; lim inffn

l o ־c

ành lþ 1.12 (Egorov) Cho (fn) ; f l c¡c h m o ÷æc sao cho fn ! f - hƒu kh›pnìi Khi â vîi måi " > 0 tçn t⁄i t“p A vîi (Ac) < " sao cho fn hºi tö •u tîi f tr¶n A

ành ngh¾a 1.13 Cho hai khæng gian o ÷æc ( , A) v ( , B) v f l ¡nh

x⁄ tł v o X nh x⁄ f ÷æc gåi l ((A - B)) o ÷æc hay gåi t›t l o ÷æc

BŒ • 1.1 Cho ( ; F) l khæng gian o ÷æc Mºt h m f tr¶n vîi gi¡ trà tr¶n

1.4 C¡c kh¡i ni»m cıa gi£i t‰ch h m

Trong möc n y tr…nh b y k‚t qu£ trong Gi£i t‰ch cŒ i”n: ành lþ

Stone-Weierstrass d⁄ng cŒ i”n, c¡c lîp h m li¶n töc, h m li¶n töc trong t“p compact

câ th” x§p x¿ •u bði a thøc K‚t qıa n y s‡ ÷æc sß döng nhi•u khi ta x¥y

düng lþ thuy‚t t‰ch ph¥n theo quan i”m gi£i t‰ch h m

ành ngh¾a 1.14 Cho E v V l hå c¡c h m thüc ho°c phøc x¡c ành tr¶n .

(i) E gåi l v nh thüc ho°c phøc n‚u nâ l khæng gian v†ctì thüc ho°c

phøc Łi vîi cºng tłng i”m v ph†p nh¥n væ h÷îng v nâ l âng d÷îi vîi ph†p

nh¥n tłng i”m

(ii)V l d n v†ctì thüc ho°c phøc n‚u nâ l khæng gian v†ctì Łi vîi ph†p

cºng theo tłng i”m v ph†p nh¥n væ h÷îng, v f ^ g := min ff; gg 2 V; f _ g :=

(iii) Mºt hå c¡c h m V gåi lâng vîi ph†p ch°t cöt n‚u f ^ 1 2 V vîi måi h m thüc f

BŒ • 1.2 ( ành lþ Dini) Cho S l t“p compact v cho f ngn l mºt d¢y c¡c h m li¶n

i”m t«ng hºi tö i”m ‚n h m li¶n töc Th… n hºi tö •u ‚n

17

ành lþ 1.15 Cho E l t“p hæp c¡c h m bà ch°n tr¶n mºt t“p n o â N‚u E

l mºt v nh ho°c mºt d n v†ctì âng vîi ph†p ch°t cöt th… baoâng •u E cıa

E công l v nh ho°c d n v†ctì âng vîi ph†p ch°t cöt

ành lþ 1.16 ( ành lþ Stone Weierstrass) Gi£ sß S l mºt khæng gian

Hausdorff compact v E C(S) l mºt v nh ho°c d n v†ctì âng vîi ph†p ch°t cöt

Gi£ thi‚t r‹ng E t¡ch c¡c i”m tøc l vîi måi c°p i”m s 6= t trong S th… tçn t⁄i 2

E thäa m¢n (s) 6= (t) th… ta câ:

(i) N‚u E khæng câ khæng i”m chung z 2 S th… hæp bao âng •u E =

(ii)N‚u E câ khæng i”m chung duy nh§t z 2 S th… E = f 2 C(S): (z) = 0 g

Chøng minh K‰ hi»u V l khæng gian t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n S n‚u (i)

thäa m¢n, ho°c l khæng gian t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n S tri»t ti¶u t⁄i x n‚u

tr÷íng hæp (ii) thäa m¢n Khi â E l mºt v nh âng vîi ph†p ch°t cöt v

E = E V“y nâ lƒy ı vîi gi£ thi‚t E l d n v nh âng vîi ph†p ch°t cöt Cho f 2 V Vîi

måi s 6= t trong S, chån st 2 E sao cho st (s) 6=st(t) V“y,

vîi mØi t 2 S trong tr÷íng hæp (i) ho°c t 2 Sn fzg trong tr÷íng hæp (ii), chån

18

ành ngh¾a 1.15 Cho E l t“p hæp c¡c h m bà ch°n tr¶n t“p S T‰nh E - •u

cıa S l t“p hæp gi£ metric d : 2 E ành ngh¾a bði

d (x; y) = j (x) (y)j

Mºt h m f : S ! E, vîi (E; d) l khæng gian metric l E - li¶n töc •u n‚u

vîi måi " > 0 câ < 0 v f 1; 2::: ng E thäa m¢n

W

d k (x; y) < 0 suy ra d (f (x) ; f (y)) < ":

1 k n

ành lþ 1.17 ( ành lþ Stone Weierstrass tŒng qu¡t) Cho E l mºt v nh ho°c

mºt d n v†ctì âng vîi ph†p ch°t cöt cıa c¡c h m thüc bà ch°n tr¶n S Mºt h m

thüc f l E- li¶n töc •u n‚u v ch¿ n‚u f l tŒng cıa mºt h‹ng sŁ v mºt h m tr¶n Eu

ành ngh¾a 1.16 Cho l t“p khæng rØng b§t ký

(i) Mºt t“p V R l mºt lîp ìn i»u (T÷ìng øng: Lîp ìn i»u bà ch°n)

n‚u nâ âng d÷îi giîi h⁄n tłng i”m cıa d¢y hºi tö ìn i»u ( ìn i»u bà ch°n)

(ii)Mºt t“p V cıa c¡c h m phøc ho°c thüc bà ch°n l lîp bà ch°n n‚u nâ âng

d÷îi giîi h⁄n theo tłng i”m cıa d¢y hºi tö bà ch°n; Khi â, vîi ffng V thäa m¢n

(iii) T“p hæp M R l lîp nh¥n t‰nh thüc n‚u nâ âng d÷îi hœu h⁄n ph†p

nh¥n

(iv) Mºt t“p M C h m phøc l lîp nh¥n phøc n‚u nâ âng d÷îi hœu h⁄nph†p nh¥n v âng d÷îi ph†p l§y sŁ phøc li¶n hæp

ành lþ 1.18 (Lîp h m thüc ìn i»u) Cho V l khæng gian v†ctì thüc cıa c¡c h

m (T÷ìng øng: H m bà ch°n) chøa h m h‹ng v nâ l lîp ìn i»u (T÷ìng øng: ìni»u bà ch°n) N‚u M V l lîp nh¥n cıa c¡c h m bà ch°n th… V chøa t§t c£ h m o

÷æc gi¡ trà thüc (M)

ành ngh¾a 1.17 Hå V R l âng theo d¢y n‚u giîi h⁄n cıa mºt d¢y hºi tö trong

V công thuºc V

Cho hå E R , giao cıa t§t c£ c¡c t“p âng theo d¢y chøa E l t“p âng theo d

¢y b† nh§t chøa E v ÷æc gåi l bao âng theo d¢y cıa E, k‰ hi»u l E

BŒ • 1.3 Gi£ sß E l mºt v nh ho°c mºt d n âng vîi ph†p ch°t cöt khi â:(i) E công l mºt v nh ho°c mºt d n âng vîi ph†p ch°t cöt

(ii) N‚u E 2 Râng k‰n Łi vîi c¡c ph†p to¡n +; ; :; _; ^; ^1 ho°c j:j th… E công v“y

(iii) T“p hæp R(E) c¡c t“p con trong Etròng vîi v nh R (E) sinh bði 1 ((r;

1)) : 2 E; r > 0 :

(iv) f 2 E n‚u v ch¿ n‚u f1(I) 2 R (E) vîi måi kho£ng mð I trong Rn f0g

°t MR (E) l t“p hæp c¡c h m thüc o ÷æc cıa (E)

ành lþ 1.19 Gi£ sß E l mºt v nh ho°c mºt d n v†ctì cıa c¡c h m bà ch°n ângvîi ph†p ch°t cöt th… E l ⁄i sŁ khi v ch¿ khi câ d¢y f ng E thäa m¢n supn n > 0

tr¶n Trong tr÷íng hæp âR(E) = (E) v E = MR (E)

Mºt øng döng quan trång cıa ành lþ lîp ìn i»u cıa h m sŁ l ” x¡c ành xemli»u hai º o hœu h⁄n tr¶n B(Rd) câ tròng nhau khæng

20

l chia mi•n l§y t‰ch ph¥n th nh c¡c t“p hæp nhä, mØi t“p bao gçm nhœngi”m øng vîi nhœng gi¡ trà gƒn nhau cıa f(x) Khi â, ta câ th” dòng nhœng h mb“c thang ” x§p x¿ f(x).

BŒ• 2.1 Cho s v t l hai h m ìn gi£n khæng ¥m Cho : F ! [0; 1] x¡c ành bði

Chøng minh Gi£ sß r‹ng fa1; a2; :::ang l t§t c£ c¡c gi¡ trà x¡c ành bði s v °t

Ak = s 1 (fakg) Tł (2.1) d„ d ng câ ÷æc (;) = 0 N‚u Ei

22

khi f+; f l c¡c h m o ÷æc T÷ìng tü, mºt h m gi¡ trà phøc g l o ÷æc khi

v ch¿ khi u = Re(g) v v = Im(g) l c¡c h m o ÷æc.

ành ngh¾a 2.3 Mºt h m gi¡ trà phøc ho°c gi¡ trà thüc mð rºng o ÷æc f

Rtr¶n l kh£ t‰ch n‚u jfjd < 1

RN‚u g l h m phøc, u = Re(g) 2 L1 v v = Im(g) 2 L1 th… gd ành ngh¾a

K‰ hi»u: P xu§t hi¶n - hƒu ch›c ch›n ho°c - h.c.c

2.2 Chuy”n giîi h⁄n d÷îi d§u t‰ch ph¥n Lebesgue

Trong gi£i t‰ch v x¡c su§t ta th÷íng ph£i chuy”n giîi h⁄n d÷îi d§u t‰chph¥n Łi vîi t‰ch ph¥n Riemann vi»c chuy”n qua giîi h⁄n nh÷ th‚ Æi häi nhi•ui•u ki»n kh›t khe nh÷ i•u ki»n hºi tö •u Łi vîi t‰ch ph¥n Lebesgue v§n • n ys‡ ÷æc gi£i quy‚t ìn gi£n hìn

ành lþ 2.2 (Hºi tö ìn i»u) Cho ffngn l d¢y c¡c h m o ÷æc thäa m¢n

(i) 0 ::: fn (!) fn+1 (!) ::: 1; 8! 2

(ii) lim fn(!) = f (!) ; 8! 2

n!1

H» qu£ 2.3 Gi£ sß f :

25

th… f l mºt º o tr¶n F v

ành lþ 2.3 (BŒ • Fatou) N‚u fn:

Zành lþ 2.4 N‚u f 2 L1( ; F; ) th…

flng thøc trong (2.14) óng n‚u v ch¿ n‚u câ mºt h‹ng sŁ 2 C vîi k k = 1 thäam¢n f = jfj, - hƒu ch›c ch›n

Chøng minh Tł h m thüc mð rºng f ta câ k‚t qu£ j fj f jfj, tł h m

N‚u câ flng thøc trong (2.14) th… tł jfj

lu“n ÷æc r‹ng j fj = Re ( f) - hƒu ch›c ch›n; f = Re ( f) = jfj - hƒu ch›c ch›n

BŒ • 2.3 Gi£ sß f 2 L1 th… vîi mØi " > 0 câ > 0 m vîi mØi A 2 F, n‚u

R

(A) < th… j f d j "

A

ành lþ 2.5 (Hºi tö bà l m trºi cıa Lebesgue) Cho ffngn v fgngn h m

o ÷æc (thüc ho°c phøc) hºi tö theo tłng i”m - h.c.c thäa m¢n

Chøng minh Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta câ th” gi£ thi‚t r‹ng hºi tö theo

tłng i”m v (2.16) óng hƒu kh›p nìi

Rª r ng jfj g v“y f 2 L1 Tł gn+ g j fnfj 0, bŒ • Fatou v (2.17) câ ngh¾a l

ành lþ sau ¥y mð rºng ành lþ hºi tö bà l m trºi

ành lþ 2.6 Cho d¢y (fn) L1(X; ) hºi tö tîi f - hƒu kh›p nìi Gi£ sß d¢y (fn) l kh£

t‰ch •u theo ngh¾a sau ¥y

28

L⁄i câ n R

(f + flim

X†t khæng gian o ÷æc ([a; b], B([a; b]); ) Mºt ph¥n ho⁄ch hœu h⁄n cıa

[a,b] l t“p P = fa = t0; t1; :::; tn= bg ành ngh¾a mk = inf ff (t) ; t 2 [tk 1; tk]g v

Mk = sup ff (t) ; t 2 [tk

ngh¾a bði

L (f; P ) =

°t P l t“p hæp t§t c£ c¡c ph¥n ho⁄ch cıa [a; b]

ành ngh¾a 2.5 Mºt h m f : [a; b] ! R l kh£ t‰ch Riemann n‚u

Gi¡ trà duy nh§t A(f) trong (1.19) gåi l t‰ch ph¥n Riemann cıa f tr¶n [a; b]

D„ th§y r‹ng vîi måi ph¥n ho⁄ch P1; P2 cıa [a; b]

L (f; P1) L (f; P1 [ P2) U (f; P1 [ P2) U (f; P1)

Nâ chøng tä r‹ng f kh£ t‰ch Riemann tr¶n [a; b] khi v ch¿ khi f l bà ch°n

v vîi måi "> 0 câ ph¥n ho⁄ch P" thäa m¢n

U (f; P") L (f; P") < " (2.20)

ành lþ 2.8 Gi£ sß r‹ng f l kh£ t‰ch Riemann tr¶n [a; b]

vîi måi i”m x 2= Pn[ D:

Vîi måi T [a; b] mædun li¶n töc cıa f tr¶n T ÷æc cho bði

! x

f (

ành lþ 2.9 (Lebesgue) Mºt h m f l kh£ t‰ch Riemann tr¶n [a; b] n‚u vch¿ n‚u f l h m bà ch°n, li¶n töc - hƒu ch›c ch›n tr¶n [a; b] Khi â nâ kh£ t‰chtheo ngh¾a Lebesgue v hai t‰ch ph¥n b‹ng nhau

Chøng minh Vîi mØi r > 0, x¡c ành Jr=

con âng trong

mØi J 1=k l t“p comp«ct câ æ o zero V“y, vîi mØi k , câ hœu h⁄n t“p mð Ak

30

phı Jk câ º d i nhä hìn 1=k Phƒn bò cıa hæp c¡c kho£ng Ak l

diam(T ) < k th…

cıa c¡c kho£ng âng Bk Tł bŒ • 1.5 câ k> 0 m n‚u T

v kho£ng con chøa trong Bk º d i nhä hìn k Th…

ð ¥y S1 l chu'n bði kho£ng con Ak v S2 kho£ng con chøa Bk Th… S1

ành lþ 2.10 (T‰nh li¶n töc) Gi£ sß t limt0

jf (x; t)j g (x), g kh£ t‰ch vîi måi t 2 [a; b] Khi â

lim

Chøng minh Gi£ sß ftng [a; b] v

fn : x 7!fn (x) = f (x; tn)

V ¡p döng ành lþ hºi tö bà l m trºi ta câ i•u ph£i chøng minh

ành lþ 2.11 (T‰nh kh£ vi) Vîi c¡c i•u ki»n sau ¥y:

31

(i) Tçn t⁄i t02 [a; b] sao cho x 7!f (x; t0) l kh£ t‰ch tr¶n E.

(ii) @f tçn t⁄i tr¶n E [a; b]

@t

(iii) Tçn t⁄i h m g kh£ t‰ch tr¶n E sao cho:

t 2 [a; b]

RKhi â, h m sŁ t 7!F (t) = f (x; t) d (x) kh£ vi tr¶n

Theo (iii), ta câ th” ¡p döng ành lþ hºi tö bà l

Suy ra i•u ph£i chøng minh

ành lþ 2.12 (T‰nh kh£ t‰ch Riemann) Vîi c¡c i•u ki»n sau: