MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

Ở chương trình đàotạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậcĐại học và Cao học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, Năm 2014

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.2 Nới rộng độ đo 6

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue 6

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes 7

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric 7

1.3 Hàm đo được 8

1.4 Các khái niệm của giải tích hàm 8

1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass 8

1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số 9

2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 11 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng 11

2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue 12

2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R 13

2.3.1 Một số tính chất của tích phân 13

3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 15 3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell 15

3.1.1 Tích phân trên Daniell 15

3.1.2 Trung bình Daniell 16

3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình 17

3.2 Mở rộng tích phân 18

3.3 Tính đo được Daniell 18

3.3.1 Tính đo được 19

3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric 20

3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 20 3.5 Tính chất Maximality 21

Mở đầu

Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa họcchuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm Ở chương trình đàotạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậcĐại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quanđiểm của giải tích hàm

Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số màtập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc Còn các hàm số đo được tổng quátthì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet) Đểvượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành cáctập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theoquan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quáthơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn Ngoài ra, khi chuyểngiới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe

về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kếtquả quan trong như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn

Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phứctạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach thì tíchphân Lebesgue gặp khó khăn Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phươngpháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúcliên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell

I∗(f ) = infI∗(h) : h ∈ E↑, f ≤ h

Khi đó I∗ có được các tính chất như: I∗ là hàm không giảm; I∗ là tuyến tính;

I∗ là hàm σ - cộng tính dưới Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I∗ là trungbình Daniell

k.k∗ :RΩ → [0, ∞] cho bởi f 7→ I∗(|f |)

với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếmđược Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình cũng dễ dàngđược chứng minh

Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới địnhnghĩa khái niệm độ đo Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân củahàm chỉ tiêu Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tậpBorel là hệ quả của tích phân Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phươngcủa quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minhđược định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian

C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm

ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày những kiến thức

cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ

sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo

Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo Chương này trình bàycách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý vềchuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesguetrên R và một số tính chất của tích phân

Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm Chương này làphần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trungbình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữakhả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả.Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong

tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học

Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoahọc Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên tác giả cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả Cảm ơn các bạntrong lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này

Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế

về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô

và bạn đọc

Hà nội, tháng 08 năm 2014Tác giả luận vănNguyễn Thị Huệ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.5 Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0, ∞) trên F đượcgọi là độ đo nếu với mọi dãy {An} ⊂ F từng đôi không giao nhau thì

Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo

Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gianxác suất

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.8 Không Ω là một không gian mẫu Một độ đo ngoài trên Ω

Định lý 1.2 Cho Ω là một tập không rỗng Cho một tập khác rỗng E ⊂

Định lý 1.3 Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω Tập hợp M µ ∗ tất cả các tập

µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được Ngoài ra

(Ω, Mµ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ

Định lý 1.4 (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập không

âm cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0 Thì µđược mởrộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ(E)

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes

Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd, B(Rd)).Cho F : Rd →R là hàm liên tục phải tức là lim

x→a + F (x) = F (a) Với a ≤ b và

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric

Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + → R + là hàmkhông giảm với g(0) = 0 Định nghĩa h : (X) → R + là hàm A 7→ g(diam(A)) với

diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A 6= ∅

Với mỗi δ > 0 đặt Eδ là tập hợp các tập có đường kính lớn nhất là δ thì hàmtập Hδg định nghĩa bởi:

µ∗(A ∪ B) = µ∗(A) + µ∗(B) nếu d (A, B) > 0.

được gọi là độ đo ngoài metric

Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì

Hδg(A ∪ B) = Hδg(A) + Hδg(B)

Định lý 1.8 (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo ngoài metric thì mọi tập Borel

là µ∗ - đo được

Định nghĩa 1.12 (i) Cho các không gian đo (X, S) và (Y, R) Ánh xạ

f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈R ta có

f−1(A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S

(ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ) Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi

là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂R ta có

f−1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ)

Định lý 1.12 (Egorov) Cho (fn) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ

- hầu khắp nơi Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac) < ε sao cho fn hội

tụ đều tới f trên A

Định lý 1.12 Cho (Ω,F) là không gian đo được và (S, d) là không gianmetric Nếu {fn} ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim

n fn là hàm đođược.par

1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass

Định nghĩa 1.14 Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên

Ω

(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phứcđối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phépnhân từng điểm.

(ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phépcộng và phép nhân vô hướng theo từng điểm, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V;

f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V

(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧1 ∈ V với mọihàm thực f ∈ V

Định lý 1.15 Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó Nếu

E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E

của E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt

Định lý 1.16 (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gianHausdorff compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặtcụt Giả thiết rằng E tách các điểm tức là s 6= t trong S thì tồn tại φ ∈ E thỏamãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có:

(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 }.1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.16 Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ

(i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn)nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (hội tụ bịchặn)

(ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóngdưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với {fn} ⊂ V

thỏa mãn sup kfnku < ∞ và f (x) = limnfn(x) với mọi x thì f ∈ V

(iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp phép nhân thực nếu nó đóng dưới với hữu hạnphép nhân

(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp các phép nhân phức nếu nó đóng dướivới hữu hạn phép nhân và dưới số phức liên hợp.

Định lý 1.18 (Lớp hàm thực đơn điệu) Cho V là không gian véctơ thựccủa các hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu(Tương ứng: Đơn điệu bị chặn) Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặnthì V chứa tất cả hàm đo được giá trị thực σ(M)

Định nghĩa 1.17 Họ V ⊂RΩ là dãy đóng nếu giới hạn của một dãy hội tụtrong V cũng thuộc V

Cho họ E ⊂ RΩ, giao của tất cả các dãy đóng chứa E là dãy đóng bé nhấtchứa E và được gọi là bao đóng của E, kí hiệu là EΣ

Bổ đề 1.3 Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt khiđó:

(i) EΣ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt

(ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín đối với các phép toán +, −, , ∨, ∧, ∧1 hoặc |.| thì EΣ

cũng vậy

(iii) Tập hợp R(E ) các tập con trong EΣ trùng với σ vành R(E ) sinh bởi



φ−1((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 .

(iv) f ∈ EΣ nếu và chỉ nếu f−1(I) ∈R(E ) với mọi khoảng trong R\ {0}

Đặt MR (E ) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E )

là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểmứng với những giá trị gần nhau của f (x) Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậcthang để xấp xỉ f (x).

Định nghĩa 2.1 Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không

âm, {a1, a2, an} là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau của s Khi đó s =

Định nghĩa 2.2 Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f

trên E được cho bởi

Định nghĩa 2.3 Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được

f trên Ω là khả tích nếu R

Ω

|f |dµ < ∞.Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1(Ω,F, µ)

Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân.Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điềukiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này

sẽ được giải quyết đơn giản hơn

Định lý 2.2 (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn}n là dãy các hàm đo được thỏa mãn(i) 0 ≤ ≤ fn(ω) ≤ fn+1(ω) ≤ ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω

Định lý 2.5 (Hội tụ bị làm trội của Lebesgue) Cho {fn}n và {gn}n là dãycác hàm đo được (thực hoặc phức) hội tụ theo từng điểm µ - h.c.c thỏa mãn

f = lim

n fn µ - h.c.c, g = lim

n gn µ - h.c.c và

|f n | ≤ g n µ- h.c.c (2.16)Giả sử rằng

Định nghĩa 2.5 Một hàm f : [a, b] →R là khả tích Riemann nếu

là σ - đại số Lebesgue Thì f ∈ L 1 ([a, b],M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắcchắn Hơn nữa, A(f ) = R

[a,b]

f dλ.Định lý 2.9 (Lebesgue) Một hàm f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu vàchỉ nếu f là hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắc chắn trên [a, b] Khi đó nó khảtích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau

2.3.1 Một số tính chất của tích phân

Cho f là hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết rằng hàm x 7→ ft(x) = f (x, t)

đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME ,B;R,BR ) và ta quan tâm đến tính chất củahàm

Định lý 2.10 (Tính liên tục) Giả sử lim

t→t 0

f (x, t) = l (x) với mọi x ∈ E, t0 ∈ [a, b], |f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b] Khi đó

Định lý 2.11 (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:

(i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x 7→ f (x, t0) là µ – khả tích trên E

(ii) ∂f∂t tồn tại trên E × [a, b]

(iii) Tồn tại hàm g µ – khả tích trên E sao cho:

∂f

∂t (x, t)

≤ g (x) với mọi

Định lý 2.12 (Tính khả tích Riemann) Với các điều kiện sau:

(i) t 7→ f (x, t) liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E

(ii)Tồn tại g µ – khả tích trên E sao cho: |f (x, t)| ≤ g (x)

Cho Ω là một tập hợp, E là tập không rỗng các hàm thực bị chặn trên Ω và

là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là một vành

Định nghĩa 3.1

(i) Một tích phân sơ cấp trên E là phiếm hàm tuyến tính giá trị thực trên E.(ii) Tích phân sơ cấp I là dương nếu I (f ) ≥ 0 khi 0 ≤ f ∈ E

(iii) Tích phân sơ cấp I là δ - liên tục nếu I (fn) & 0 khi E 3 fn & 0

3.1.1 Tích phân trên Daniell

Bổ đề 3.1 Giả sử rằng E là một dàn véctơ Khi đó, không gian E↑ là đóngđối với:

(i) Phép cộng

(ii) Nhân với vô hướng không âm.

(iii) inf hữu hạn

(iv) sup đếm được

Định nghĩa 3.2 Tích phân trên của hàm h ∈ E↑ được định nghĩa bởi

I∗(h) = sup {I (φ) : φ ∈ E , φ ≤ h} (3.1)Tích phân trên của hàm thực f bất kỳ trên Ω được định nghĩa bởi

(i) I∗ không giảm và thuần nhất dương

(ii) Nếu {hn} ⊂ E↑ là dãy không giảm thì I∗(hn) % I∗(sup

n

hn).(iii) I∗ là tuyến tính trên E↑

(iv) I∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu fn ≥ 0 thì I∗(P

n

fn) = P

n

I∗(fn).3.1.2 Trung bình Daniell

Định nghĩa 3.3 Giả sử E là một dàn véctơ Trung bình Daniell của tíchphân sơ cấp (E,I) là ánh xạ k.k∗ :RΩ → [0, ∞] cho bởi f 7→ I∗(|f |)

Định lý 3.2 Trung bình Daniel k.k∗ là hữu hạn trên E Ngoài ra,

(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈RΩ, kaf k∗ = |a| kf k∗.(ii) Tính vững: Nếu |f | ≤ |g| thì kf k∗ ≤ kgk∗

(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu {fn} là dãy các hàm giá trị thực suy rộngkhông âm thì kP

fnk∗ ≤Pkfnk∗

(iv) Nếu 0 ≤ φ n ∈ E và sup

Định nghĩa 3.4 Cho E ⊂ RΩ là không gian véc tơ các hàm bị chặn Mộtphiếm hàm k.k trên RΩ là hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2được gọi là trung bình đối với E

Định lý 3.4 Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành.Nếu k.k là một trung bình đối với E thì

(i) F = {f ∈RΩ : kf k < ∞} là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt

(ii) (F, k.k) là không gian đủ có nửa chuẩn

(iii) Nếu {fn} ⊂ F và lim

n kf − fnk = 0 thì có một dãy con {fnk} hội tụ theotừng điểm tới f - hầu chắc chắn

(iv) Bao đóng của E trong (F , k.k)kí hiệu bởi L1(k.k) là dàn véctơ đóng với phépchặt cụt

Các hàm số trong L1(k.k) được gọi là khả tích đối với trung bình k.k

3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình

Định lý 3.5 (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử rằng {fn} ⊂ L1 là dãy tănghoặc dãy giảm thỏa mãn sup

n

kfnk < ∞ Nếu fn hội tụ theo từng điểm tới f thì

f ∈ L 1 và lim

n kf − f n k = 0

Hệ quả 3.1 Nếu E là một dàn véctơ thì E↑⊂ F ⊂ L 1

Định lý 3.6 (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử {fn} ⊂ L1 hội tụhầu chắc chắn đến f Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn| ≤ g hầu chắc chắn với mọi