Hàm số mũ, hàm số logarit và một số vấn đề liên quan

2.3 Chứng minh bất đẳng thức ……… 3 Phương trình, bất phương trình mũ và logarit 3.1 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit ………... Một trong những nguyên nhâ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ

Mục lục

Lời nói đầu

1 Một số kiến thức cơ bản

1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngược ………

1.2 Hàm số mũ ………

1.3 Hàm số logarit ………

1.4 Định lý Lagrange ………

2 Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit 2.1 Tính giá trị biểu thức ………

2.2 Chứng minh đẳng thức ………

2.3 Chứng minh bất đẳng thức ………

3 Phương trình, bất phương trình mũ và logarit 3.1 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit ………

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 Bài tập áp dụng ………

3.2.1

3

3.2.2 Giải và biện luận phương trình, bất phương trình ………… 3.2.3 Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước ….

Kết luận

Tài liệu tham khảo

4

LỜI NÓI ĐẦU

Hàm số là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, … Ở bậc trunghọc phổ thông thì hai hàm số sơ cấp quan trọng là hàm số mũ và hàm số logarit Các bài toán liên quan đến hai hàm số này cũng là các bài toán khó và xuất hiện nhiều trongcác kỳ thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm Một trong những nguyên nhân làm cho học sinh trung học phổ thông khó tìm ra lời giảicủa các bài toán này là do các bài tập liên quan đến hàm số mũ, logarit rất phong phú,

đa dạng với nhiều phương pháp giải Do đó, tác giả đã chọn đề tài “Hàm số mũ, hàm sốlogarit và một số vấn đề liên quan” để làm luận văn của mình

Nội dung của luận văn gồm lời nói đầu, kết luận và được chia thành ba chương

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, hàm ngược, hàm số mũ vàhàm số logarit và định lý Lagrange, định lý Rolle

Chương 2 Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit

Chương này tác giả trình bày một số bài tập liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức

mũ và logarit : rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Chương 3 Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Trong chương này, tác giả nêu được một số phương pháp cơ bản giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit như : phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt

ẩn phụ, phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích, phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số, phương pháp so sánh và phương pháp sử dụng đạo hàm kèmtheo một số bài tập minh họa Cuối chương là bài tập áp dụng các phương pháp đã nêu

5

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Thành Văn Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong suốt thời gian xâydựng đề tài cho đến khi hoàn thành luận văn.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán –

Cơ – Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên –Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong được các thầy côgiáo và các bạn góp ý xây dựng

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 25 tháng 2 năm 2012

Học viên

Phùng Thị Hoàng Nghĩa

6

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

1.1 Khái niệm hàm số, hàm ngược.

Định nghĩa 1.1 Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực ¡

Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi số xÎD với một và chỉ một số thực y , kí hiệu là f (x )

Phần tử x Î D bất kỳ gọi là biến số độc lập (hay biến số, hay đối số)

Số thực y tương ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x

D gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f

Tập f (D ) = {y Î ¡ | $ x Î D : y = f (x ) }gọi là tập giá trị của hàm số f

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên K

"x 1, x 2 Î K : x 1 < x 2 Þ f (x 1)> f (x2).

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K

Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f : D ® ¡ với tập giá trị

f (D ) = {y Î ¡ | $ x Î D : y = f (x ) }:= Y

Nếu với mọi giá trị yÎY , có một và chỉ một xÎD sao cho f (x ) = y , tức là phương

trình f (x ) = y với ẩn x có nghiệm duy nhất xÎD thì bằng cách đặt tương ứng với mỗi

Định nghĩa 1.4 Hàm số mũ (hay còn gọi là hàm mũ) là hàm có dạng y = a x với

0 < a ¹ 1 , a được gọi là cơ số của hàm số mũ.

Định nghĩa 1.5 Hàm số ngược của hàm số y = a x được gọi là hàm số logarit cơ số a

và được ký hiệu là y = log a x

Hàm số logarit y = log a x có tập xác định là (0; + ¥ ), tập giá trị là ¡

9

loga a x = a 1 loga x , " a ¹ 0, " x > 0 .

Đặc biệt : Nếu a = - 1 thì ta có log

Các hàm số logarit với cơ số đặc biệt

• Nếu a = 10 thì quy ước không cần viết cơ số : log10 x = log x hoặc lg x

Nếu a=e thì hàm logarit được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe và được kí

hiệu loge x = ln x

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Hàm số mũ y = a x có đạo hàm tại mọi x Î ¡ và (a x)' = a x ln a

10

Định lý Rolle

f (a ) = f (b) thì tồn tại c Î (a ; b) sao cho f ' (c) = 0

11

Chương 2

Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit

2.1 Tính giá trị biểu thức

Để tính được giá trị của các biểu thức có chứa mũ và logarit, ta cần nắm chắc định

nghĩa và các tính chất của hai hàm số này Ta giả thiết rằng các biểu thức có mặt trong

các bài toán sau là có nghĩa

Bài toán 2.1 Rút gọn các biểu thức sau

Suy ra A = ( x x logx 2 + 22 log2 x

12

2 ë

1 é

k p

Ta có

100

13

log 30 54 = log2.3.5 (2.3

14

Bước 2 Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn, ta thu được hệ

Bài toán 2.4 Tìm phần nguyên của số S

Khi chứng minh đẳng thức có chứa mũ và logarit ta cần chú ý định nghĩa và áp dụng

các tính chất của hàm số mũ và logarit một cách thích hợp Trước hết ta xét bài toán

đơn giản mà kết quả của nó cũng thường được sử dụng trong các bài giải phương trình,

bất phương trình

Bài toán 2.5 Cho a, c > 0 và 0< b ¹ 1 Chứng minh rằng a logb c = clogb a

Giải

Cách 1 Nếu a = 1 hoặc c = 1 thì đẳng thức (1) đúng.

Xét a, c ¹ 1 Khi đó ta có

16

alogb c

= a logb alog

a c = (aloga c )logb a = clogb a .Vậy (1) được chứng minh

Cách 2 Lấy logarit cơ số b hai vế ta có ngay điều phải chứng minh.

Bài toán sau có phương pháp giải tương tự bài toán 2.3

Bài toán 2.6 Cho log12 18 = a , log24 54 = b Chứng minh rằng

-17

Bài toán 2.8 Chứng minh rằng

loga A log b A + log b A log c A + log c A log a A = log a A log b A log c A log A abc

Alogb A log c A log A(ac)

loga A log b A + log b A log c A + log c A log a A = log a A log b A log c A log A(ac )+ logc A log a A

= log

= loga A log c A log b(abc )= loga A log b A log c A log A(abc)

Bài toán 2.9 Cho ba số dương a , b, c đôi một khác nhau.

18

Chứng minh tương tự ta có ylogz+zlogy = 2xyzt ,

Từ đó suy ra (2) Vậy (1) được chứng minh

2.3 Chứng minh bất đẳng thức

Một trong những bất đẳng thức thường hay được sử dụng để chứng minh bất đẳng thứckhác là bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean) Cụ thể ta xét các bài toán sau :

19

Bài toán 2.11 Chứng minh rằng log1sin 70°log1sin 50°log1 sin 10° <1.

Giải

Ta có sin 70° sin 50° sin 10° =

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương khác nhau ta được

3 log 1sin 70° log 1 sin 50° log 1 sin 10° <

Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta được

Nhận xét Đặt a = 3,b = 4,c= 5 ta đi đến bài toán tổng quát sau với cách giải tương

1+ a (

log

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Ngoài việc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc đã biết, khi chứng minh bất đẳngthức mũ và logarit ta cũng cần chú ý sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ vàlogarit

21

Dấu đẳng thức xảy ra khi c= 0 hoặc a =b

Áp dụng kết quả của bài toán 2.15 ta giải được các bài toán sau :

Bài toán 2.16 Cho a > 1 Chứng minh rằng loga(a + 1)> loga+ 1(a + 2)

Giải

Cách 1 Áp dụng bài toán với a> 1 và b=a + 1 >a, c= 1 > 0 với chú ý rằng ở đây

đẳng thức không xảy ra ta có ngay điều phải chứng minh

Ngoài ra bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM

22

Û log 9 29 < log 8 28

Áp dụng bài toán 2.15.b với a = 8,b = 28,c= 1 ta có điều phải chứng minh

23

b Áp dụng bài toán 2.15.b ta có

Mặt khác ta có

611 = 6.365 > 6.355 = 6.55.75 > 18000.75 > 350.50.75 > 73.72.75 = 710

Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Bài toán 2.18 Cho

24

Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được

25

2 (a lg a + b lg b + c lg c )³ a (lg b + lg c )+ b (lg a + lg c )+ c (lg a + lgb).

Cộng hai vế với (a lg a + b lg b + c lgc) ta thu được (2) và (1) được chứng minh

Nhận xét Thực chất bất đẳng thức (2) là bất đẳng thức Trêbưsép nên bài toán 2.19 có

thể được khái quát hơn như sau

Bài toán 2.20 Với a , a

Bài toán 2.21 Cho a, b, c >

1. Trong bài toán trên cho a, b, c > 0 thỏa mãn a +b+c= 4 ta có bài toán sau :

Bài toán 2.22 Cho a , b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 4 Chứng minh rằng

3 3 3

a 4 + b 4 + c 4 > 2 2

2 Bài toán trên cũng có thể được phát biểu dưới dạng khái quát sau :

26

Bài toán 2.23 Cho a 1, a 2 , , a n > 0 và x < 1 Chứng minh rằng

Bài toán 2.24 Chứng minh rằng nếu a ³

Vậy (1) được chứng minh.

Bài toán 2.25 Không sử dụng máy tính chứng minh rằng

(2)

(3)

(4)

logn(n + 1), logn - 1 n > 0 Do đó bài toán có thể phát biểu dưới dạng

khái quátsauBài toán 2.26 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³3 ta

có

éêæ

êç

si n

êç

ç

êë

ö cosn+1

úû

28

chất nghịch biến của hàm số y = log a x

2(logx y + log y z + log z t + log t

£ log

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 2 1

Bài toán 2.28 Cho

a n1x 1 + a n2x 2 + + a nn x n = y n

trong đó a ij là các số hữu tỉ dương, x ij > 0(i , j = 1, 2, , n )

29

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau

Nếu A1, A2 , , A n là các số hữu tỉ dương và A1 + A2 + + A n = 1 thì với mọi số dương X 1, X 2, , X n ta có

30

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Ngoài việc sử dụng các bất đẳng thức đã biết và tính chất đơn điệu, ta cũng thường sửdụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 2.29 Chứng minh rằng với mọi số dương x , a , b thỏa mãn a ¹

Giải

Xét hàm số f

( )

Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ³

Bài toán 2.31 Chứng minh với x > 0,a> 1 ta có

2 Chứng minh tương tự bài toán 2.30 ta có bài toán sau :

Bài toán 2.32 Chứng minh với mọi x < 0 ta có

3 Với x < 0, a > 1 thì xlna< 0 , áp dụng bài toán 2.32 ta có

Bài toán 2.33 Chứng minh với x < 0, a > 1 ta có

Bài toán 2.34 Chứng minh rằng với mọi a ³

33

Tùy theo giá trị được chọn của C ta có các bài toán khác nhau Nếu chọn C = 4 thì ta

có bài toán 2.34 Nếu chọn

34

Bài toán 2.35 Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a £ b £ c £ d và bc £ ad

ln

Bài toán 2.36 Chứng minh rằng với mọi số dương x , y

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Nhận xét Bài toán này xuất phát từ tính chất sau của hàm số

(

f ax + by

Bằng phương pháp sử dụng đạo hàm kết hợp với định

lý Lagrange ta có thể giải được các bài toán sau :

Bài toán 2.38 Chứng minh rằng với 0 < a < b ta có

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Bài toán 2.39 Chứng minh rằng với mọi x Î

(i)

(ii)

ç

Vậy bổ đề được chứng minh.

Sử dụng các hệ thức cơ bản trong tam giác 0 < sin

2

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos

Từ giả thiết tam giác ABC là tam giác nhọn, ta nhận được

40

2 < sin A + sin B + sin C £

f f

Giải

Với a = 0 hoặc a = 1 thì rõ ràng f t

41 ( )

Với a ¹ 0,a¹ 1, ta có f ' t

( )

Với 0 <a< 1 ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra f (t )£ f (1) = 0, " t Î ¡ +

Với a < 0 hoặc a> 1 ta có bảng biến thiên

t

f ' (t )( )

f t

( )

Từ bảng biến thiên ta suy ra f t

Bài toán 2.42 Với a, b, c > 0 , chứng minh

rằng

(3)

42

(5)

43

Vậy (4) được chứng minh.

Bất đẳng thức (5) được chứng minh tương tự và bổ đề được chứng minh

Tương tự ta chứng minh được kết quả

Với a = 0 hoặc a = 1 hoặc a = b = c thì ta có

Nhận xét Với a , b, c là các số thực dương và a < 0 hoặc a > 1 , áp dụng bài toán 2.42

ta có

3

44

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta thu được

Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 2.43 Với a , b, c là các số thực dương, ta có

45

3.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Khi sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để giải phương trình, bất phương trình mũ

và logarit ta cần chú ý một số vấn đề sau :

Đối với phương trình mũ

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa phương trình về dạng a f (x)

=a g(x)

Nếu a là một số dương và khác 1 thì (1) Û f

Nếu cơ số a

• Đối với bất phương trình mũ

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa phương trình về dạng a

(1)

(2)

(3)(4)

46Nếu a> 1 thì

Nếu 0 <a< 1 thì

Tổng quát ta có

• Đối với phương trình logarit

Biến đổi phương trình đã cho về dạng log

• Đối với bất phương trình logarit

Ta sử dụng các công thức biến đổi đưa bất phương trình logarit về dạng

hoặcNếu a> 1 thì

Nếu 0 <a< 1 thì

Tổng quát ta có

(5)(6)

0

47

Bài toán 3.1 Giải phương trình

(5)

(1) Û x 2- log2x- logx2 = x - 1 Û (x - 1) (2 - log2 x - log x 2 + 1)= 0

Giải phương trình trên và kết hợp với điều kiện thì ta thu được các nghiệm

48

x = 1

-Vậy phương trình (5) có hai nghiệm x = 2; x = 1 - 33

Bài toán 3.2 Giải bất phương trình

c (3) Û log

2 x + 1

50

Bài toán 3.3 Trong tất cả các nghiệm (x ; y ) của bất phương trình logx2 +y2(x + y )³

1, hãy tìm nghiệm có tổng k=x + 2y lớn nhất Giải

3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là bí quyết thành công của nhiều lời giải bài toán Trong quá trình giải mộtbài toán ta có thể đặt một biểu thức của phương trình, bất phương trình làm ẩn phụ Tùy theo sự hiểu biết về góc độ bài toán mà ta có các cách đặt ẩn phụ khác nhau Khi đặt ẩn phụ, có thể xảy ra các trường hợp sau

Ẩn mới thay thế hoàn toàn ẩn cũ, ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ toàn phần

Ẩn mới không thay thế hoàn toàn ẩn cũ mà cả ẩn mới và ẩn cũ cùng tồn tại trong mộtphương trình Ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ không toàn phần Trong trường hợp này, cách xử lý với hai ẩn cũng khác nhau

- Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới hoàn toàn bình đẳng với nhau, khi đó bài toán thườngđược đưa về giải hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình hai ẩn

- Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới không bình đẳng với nhau, khi đó thường ẩn cũ trởthành các hệ số của phương trình, bất phương trình

Bài toán 3.4 Giải phương trình

ï

ï

ï log ï

îĐặt log

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 22

52

Bài toán 3.5 Giải phương trình

ï ï

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 43

Bài toán 3.6 Giải phương trình

a 9x + 6x = 4x+ 1

ë

= 0 ta có cách giải như sau

Chia hai vế của phương trình cho b 2x ¹ 0 ta thu được

54

Đặt x x

55

Chia hai vế cho

Đặt

Giải phương trình này ta được t= 1 và t

56

3-Vậy phương trình (2) có hai nghiệm

Bài toán 3.8 Giải phương trình

Nhận thấy nghiệm t = - 1 - 2 không thỏa mãn điều kiện.

Với t = 1 thì

Với t = - 1 +

Vậy phương trình (1)

có hai nghiệm là

x = 0; x =

log 2 (- 1 + 2)

3

b Chia hai vế củaphương trình (2) cho (2 -

3 )3x ¹

0 ta được