Phương trình suy rộng và một số vấn đề liên quan

Ch֓ng 1

Ki‚n thøc chu'n bà

Möc n y h» thŁng hâa mºt sŁ kh¡i ni»m v kþ hi»u li¶n quan ‚n c¡c khæng

gian Ìclit thüc Nh÷ th÷íng l», ta s‡ vi‚t Rn ” ch¿ khæng gian gçm c¡c v†c tì

thüc n chi•u (quy ÷îc vi‚t d⁄ng cºt) v Rm n l khæng gian c¡c ma tr“n thüc

cï m n Vîi mºt ma tr“n M kþ hi»u MT ch¿ ma tr“n chuy”n và cıa M N‚u

MT = M ta nâi â l ma tr“n Łi xøng. M l nßa x¡c ành d÷ìng n‚u x T M x 0

vîi måi v†c tì x CuŁi còng, M l x¡cành d÷ìng n‚u xT M x > 0 khi x 6= 0 Cho

tr÷îc hai v†c tì xT = (x1; x2; :::; xn) v yT = (y1; y2; :::; yn) trong Rn, t‰ch

væ h÷îng cıa chóng ÷æc x¡c ành theo bi”u thøc

hx; yi := xT y = x1y1 + x2y2 + ::: + xnyn:

Khi â, chu'n Ìclit t÷ìng øng l h m sŁ k k : Rn ! R cho bði

Vîi mºt ma tr“n A cï m n ⁄i l÷æng kAk :=

ii) kABk kAkkBk; kAxk kAkkxk; 2hAx; yi kAxk2 + kyk2:

Trong c¡c phƒn sau ¥y, chóng ta s‡ cƒn ‚n mºt sŁ kh¡i ni»m v• tæpæ [8]

Cho tr÷îc x 2 Rn v sŁ thüc r > 0 H…nh cƒu mð t¥m x b¡n k‰nh r l

T÷ìng tü, h…nh cƒu âng t¥m x b¡n k‰nh r ành ngh¾a nh÷ sau

T“p hæp S Rn ÷æc gåi l

l vîi i”m x 2 S th… tçn t⁄i mºt l¥n c“n B(x; r) cıa x bao h m trong S T“p

hæp S ÷æc gåi l t“p âng n‚u øng vîi mØi x 2= S th… tçn t⁄i mºt l¥n c“n B(x; r)

cıa x khæng chøa i”m n o thuºc t“p S

Cho S Rn kh¡c rØng, v x 2 Rn l mºt i”m n o â H m kho£ng c¡ch tł x ‚n S

÷æc ành ngh¾a bði

d(x; S) := inffkx yk j y 2 Sg;

vîi quy ÷îc d(x; ;) = +1 Vîi S 6=; b§t ký h m d( ; S) l Lipschitz vîi h‹ng sŁ L = 1.[10]

H…nh 1.1: T‰nh ch§t Lipschitz tr¶n mºt kho£ng X

Mºt ¡nh x⁄ a trà F : Rn Rm ÷æc hi”u l ¡nh x⁄ tł Rn v o t“p hæp gçm c¡c t“pcon cıa Rm ç thà gph F , mi•n hœu hi»u dom F v mi•n £nh rge F cıa ¡nh x⁄ atrà F : X Y t÷ìng øng ÷æc x¡c ành b‹ng bi”u thøc [11]

• Ta nâi F l nßa li¶n töc tr¶n t⁄i x 2 dom F n‚u vîi måi t“p mð V Rm thäa m¢n

F (x) V tçn t⁄i l¥n c“n mð U Rn cıa x sao cho

N‚u F l nßa li¶n töc d÷îi t⁄i måi i”m thuºc dom F , th… F ÷æc gåi l nßa li¶n töc d÷îi.

• Ta nâi F lli¶n töc t⁄i x 2 dom F n‚u F çng thíi l nßa li¶n töc tr¶n v nßa li¶ntöc d÷îi t⁄i x N‚u F l li¶n töc t⁄i måi i”m thuºc dom F , th… F ÷æc gåi l li¶ntöc

ành ngh¾a 1.5 ( nh x⁄ ìn i»u [10]) Cho T : Rn Rn l mºt ¡nh x⁄ a trà.

• T ÷æc gåi l ìn i»u n‚u

hv1 v0; x1 x0i 0; vîi b§t ký v0 2 T (x0); v1 2 T (x1):

• T : Rn Rn ÷æc gåi l ìn i»u cüc ⁄i n‚u nâ l ìn i»u v khæng th”

mð rºng÷æc ç thà cıa nâ trong Rn Rn m khæng ph¡ hıy t‰nh ìn i»u Hay nâi c¡ch kh¡c, vîi mØi c°p (^x; v^) 2 Rn Rnngph T th… tçn t⁄i c°p

(~x; v~) 2 gph T vîi hv^ v;~ x^ x~i < 0

V‰ dö 1.6 (a) N‚u T l ìn i»u cüc ⁄i th… T 1 công l ìn i»u cüc ⁄i

(b) N‚u T l ìn i»u cüc ⁄i, gph T l âng, khi â, T l nßa li¶n töc d÷îi

(c) N‚u T l ìn i»u cüc ⁄i, khi â c£ T v T 1

(b) B§t k… h m tuy‚n t‰nh n o công l nân lçi.

(c) Mºt nßa khæng gian âng công l nân lçi

ành ngh¾a 1.10 (T“p lçi a di»n) T“p hæp P Rn l t“p lçi a di»n n‚u nâ tròngvîi t“p nghi»m cıa h» hœu h⁄n c¡c ph÷ìng tr…nh v b§t ph÷ìng tr…nh tuy‚n t

ành ngh¾a 1.11 (H m lçi a di»n) [2] H m f l h m lçi a di»n n‚u f l

h m lçi v epi f l mºt a di»n

ành ngh¾a 1.12 (D÷îi vi ph¥n cıa h m lçi) [9] Cho X l mºt khæng gian

Banach, ta ành ngh¾a d÷îi vi ph¥n cıa h m lçi f : X ! R [ f+1g t⁄i x 2 dom

ành lþ 1.13 Cho K Rn l mºt t“p lçi, compact, kh¡c rØng Cho G: K K l ¡nh x⁄

a trà nßa li¶n töc tr¶n ð trong K, câ gi¡ trà lçi, âng, kh¡c rØng Khi â tçn t⁄i x 2

K sao cho x 2 G(x)

Chøng minh Tham kh£o [13, 14, 11]

âng tł Rn v o ch‰nh nâ Cho f : (p; x) 2 Rk

sao cho ⁄o h

Lfx0 = f(p0; x0) + f2(p0; x0)(x x0) Gi£ sß r‹ng tçn t⁄i mºt t“p lçi bà ch°n v khængrØng X0 còng vîi c¡c h‹ng sŁ ; ; > 0 vîi X := X0 + B , sao cho vîi mØi x0 2 X ta câ:

(i) X \ (Lfx 0 + T ) 1(0) = X0;

(ii) X \ (Lfx0 + T ) 1 l U:L:( ) t⁄i 0 Łi vîi B;

(iii) vîi mØi y 2 B, t“p hæp X \ (Lfx 0 + T ) 1 (y) l lçi v khæng rØng.

Khi â tçn t⁄i mºt sŁ 2(0; ] v mºt l¥n c“n U (p0) sao cho ¡nh x⁄ a trà x¡c

Þ t÷ðng cì sð cıa chøng minh l ¡nh gi¡ to¡n tß ng÷æc cıa f(p; x) + T (x)

thæng qua to¡n tß ng÷æc cıa

Q( (x))(z) := Lf (x)(z) + T (z)

:= f(p0; (x)) + f2(p0; (x))(z (x) + T (z);

ð ¥y (x) l i”m gƒn vîi x nh§t trong X0 Ti‚p theo ta s‡ sß döng ành lþ i”m b§tºng Kakutani ( ành lþ 1.13) Vîi hai t“p A Rn; C Rn ta ành ngh¾a ⁄i l÷æng d[A; C] = supfd(a; C) j a 2 Ag Kþ hi»u l ph†p chi‚u tł Rn l¶n X0; ÷æc x¡c ành ho n to n

v l ¡nh x⁄ khæng d¢n, do â n¶n nâ li¶n töc

Dòng t‰nh ch§t li¶n töc v compact, ta câ th” ki”m tra ÷æc r‹ng h m sŁ

( ) := maxfkf2(p0; x) f2(p0; (x)k j x 2 X0 + Bg

l x¡c ành khi 0 ı nhä, v li¶n töc t⁄i 0 vîi (0) = 0 V… th‚ ta câ th” chån

2 (0; ] sao cho B( ) 12 v ( ) 12 Ti‚p theo ta câ th” chøng minh ÷æc vîi cŁ ành, h

m sŁ

(p) := maxfkf(p; x) f(p0; x)k j x 2 X g

l x¡c ành vîi måi p 2 Rk v li¶n töc t⁄i p0 vîi (p0) = 0 Do â, ta câ th” chån l¥n c“n

U(p0) sao cho vîi mØi p 2 U; (p) < 12 v (p) 12 B¥y gií chån p 2 U b§t k… v ànhngh¾a h m a trà

Do â, Fp(x) l mºt t“p lçi, compact v khæng rØng nh÷ nh“n x†t tr÷îc ¥y cıa chóng ta Dòng (i), (ii) v (2.3) khi x 2 X0 ta công câ

d[Fp(x); X0] = d[X \ Q( (x)) 1[Lf (x)(x)

kLf (x)(x) f(p; x)k

1 1 (p) + ( )kx (x)k 2 + 2 = :

V… th‚ Fp bi‚n X th nh ch‰nh nâ Ta câ

graph Fp = f(x; y) j x 2 X ; y 2 X ; Lf (x)(x)

= f(x; y) j 0 2 f(p; x) + f2(p0; (x))(y

Sß döng t‰nh li¶n töc cıa f; f2 v , k‚t hæp vîi t‰nh âng cıa T câ th” ki”m tra

÷æc graphFp l âng trong X X V… th‚ ta câ th” ¡p döng ành lþ i”m b§t ºngKakutani [13, 14] ” k‚t lu“n r‹ng câ mºt xp 2 X vîi xp 2 Fp(xp); ngh¾a l

0 2 Lfx0 (x0) + T (x0) = f(p0; x0) + T (x0) V… th‚ x0 2 (p0), v do â (p0) X0 M°t kh¡c, n‚u x 2 (p0) th… x 2 X v 0 2 f(p0; x) + T (x); do â

Lf (x)(x) f(p0; x) 2 Lf (x)(x) + T (x);

n¶n ta suy ra x 2 Fp0 (x) Khi x 2 X , tł (2.4) vîi p = p0 ta câ

d(x; X0) d[Fp 0 (x); X0] kLf (x)(x) f(p0; x)k:

ngh¾a l x 2 X0 do X0 âng H» qu£ l (p0) = X0.

L§y > 0 b§t k… v chån ( 2 (0; ]) sao cho ( 2 [0; ]) Ta câ ( ) 2( + ) Câ th” ki”m tra ÷æc h m sŁ

ð ¥y h(x) := f(p; x) f(p0; x) N‚u ành ngh¾a nh÷ tr÷îc x

M°t kh¡c, n‚u = 0 , th… (2.5) () d(x; (p0)) = 0 , trong tr÷íng hæp n y, (2.6) l hi”nnhi¶n V… v“y, trong c£ hai tr÷íng hæp

(p) (p0) + ( + ) 0(p)B:

Chøng minh ho n th nh

Nh“n x†t 2.2 Vi»c ki”m tra to n bº gi£ thi‚t cıa ành lþ 2.1 trong t…nh huŁng

cö th” th÷íng l kh¡ khâ kh«n Nh“n x†t n y thüc sü óng vîi (ii) v (iii) Do â ng÷íi

ta mong muŁn x¥y düng mºt lîp b i to¡n m vi»c ki”m tra l d„ d ng hìn Trongphƒn tîi, chóng ta s‡ kh£o s¡t cö th” mºt lîp nh÷ v“y cho gi£ thi‚t (ii) Mºt v i i•uki»n £m b£o (iii) s‡ ÷æc l m rª trong m»nh • ti‚p theo ¥y

M»nh • 2.3 [1]

Trong ành lþ 2.1, giœ nguy¶n t§t c£ c¡c i•u ki»n v thay gi£ thi‚t (iii) bðii•u ki»n sau ¥y

(iii)’ f2(p0; x0) l nßa x¡c ành d÷ìng v T l to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i

Khi â k‚t lu“n cıa ành lþ v¤n cÆn óng

Chøng minh Ta th§y r‹ng gi£ thi‚t cuŁi k‚t hæp vîi c¡c gi£ thi‚t kh¡c cıa ành lþ

2.1 ta s‡ ÷æc (iii) Chån x0 2 X0 b§t k…; d÷îi (iii)0 h m Lfx0 s‡ l mºt to¡n tß ìni»u cüc ⁄i V… T công l ìn i»u cüc ⁄i v domLfx0 = Rn (domLfx0

l mi•n hœu hi»u cıa Lfx0 ) Düa theo k‚t qu£ trong [15, Corollary 2.7], ¡nh x⁄

Q(x0) l ìn i»u cüc ⁄i Do â, Q(x0) 1 công l ìn i»u cüc ⁄i. Qx0 1(0) l

t“p lçi, v… th‚ tł (i) suy ra Q(x0) 1(0) = x0 Tł â, cho y 2 B th… bao h m thøc X

\Q(x0) 1(y) X0 + kykB x£y ra (bði (ii)) B¥y gií, chån 2 (0; ] vîi < N‚u y 2 B, th… tł t

‰nh lçi cıa Q(x0) 1(y) ta suy ra X \Q(x0) 1(y) = Q(x0) 1(y), v“y n¶n Q(x0) 1 l U:L:( )

àa ph÷ìng t⁄i 0( tr¶n Lipschitz vîi mæ- un t⁄i 0) Nh÷ng i•u n y k‚t hæp vîi t‰nh bàch°n cıa Q(x0) 1(0) k†o theo r‹ng Q(x0) 1 câ bà ch°n àa ph÷ìng t⁄i 0 Tr¶n thüc t‚,

nâ bà ch°n àa ph÷ìng t⁄i mØi i”m trong cıa h…nh cƒu B, v… £nh cıa mºt h…nhcƒu xung quanh mØi i”m nh÷ th‚ s‡ ÷æc chøa trong £nh cıa B, m t“p £nh §y

÷æc bao h m trong t“p bà ch°n X = X0 + B Sß döng k‚t qu£ tł [16, Theorem 1] tath§y r‹ng t“p c¡c i”m trong int( B) cıa B khæng chøa b§t k… i”m bi¶n n o cıa

domQ(x0) 1 Tuy

nhi¶n, bði v… 0 2 dom Q(x0) 1, v B l li¶n thæng( t“p li¶n thæng l t“p hæpkhæng th” bi”u di„n d÷îi d⁄ng hæp cıa hai t“p mð khæng rØng ríi nhau),chóng ta k‚t lu“n r‹ng int B int dom Q(x0) 1 Do â, vîi mØi y m kyk < th… t“p

Q(x0) 1(y) l lçi, khæng rØng v ÷æc bao h m trong X \ X B¥y gií chån 0 sao cho

0 < 0 < Do gi£ thi‚t (ii) cıa ành lþ 2.1 l óng cho v , th… gi£ thi‚t s‡ thäa m¢n vîi

0 Hìn nœa, gi£ thi‚t (iii) công óng vîi 0, v i•u n y chøng tä k‚t lu“n M»nh • 2.3 lóng

Nh“n x†t 2.4 Gi£ thi‚t (iii)0 ìn gi£n hìn (iii), tuy nhi¶n (iii) phı l¶n mºt lîp b i to¡ntŒng qu¡t hìn V‰ dö, x†t ph÷ìng tr…nh suy rºng tuy‚n t‰nh

Trong phƒn n y, ta s‡ tr…nh b y mºt lîp b i to¡n m gi£ thi‚t (iii) cıa ành lþ

2.1 luæn óng ” thu“n ti»n, chóng tæi nh›c l⁄i mºt v i kh¡i ni»m cƒn thi‚t

ành ngh¾a 2.5 [1] Mºt ¡nh x⁄ a trà Q: Rn Rm ÷æc gåi l l a di»n n‚u ç thà cıa

nâ l hæp hœu h⁄n (câ th” rØng) t“p hæp c¡c t“p a di»n lçi ( ÷æc gåi l th nhphƒn)

Rª r ng mºt ¡nh x⁄ a trà a di»n th… luæn âng, v nghàch cıa nâ th… t÷ìng

tü nh÷ a di»n Hìn nœa,câ th” ki”m chøng ÷æc hå c¡c ¡nh x⁄ a trà a

di»n l âng d÷îi ph†p nh¥n vîi væ h÷îng, ph†p l§y tŒng hœu h⁄n v ph†p l§yhæp th nh M»nh • d÷îi ¥y cho th§y r‹ng ¡nh x⁄ a di»n câ nhœng t‰nh ch§ttŁt nh÷ l tr¶n Lipschitz li¶n töc.

M»nh • 2.6 ([17, 1]) Cho t⁄i

mºt h‹ng sŁ sao cho F l

F : RnRm l mºt ¡nh x⁄ a di»n Khi â tçn U:L( ) àa ph÷ìng t⁄i mØi x0 2 Rn

Mºt i•u r§t ¡ng chó þ l h‹ng sŁ ch¿ phö thuºc v o F chø khæng phö thuºc

v o x0 (xem [1]), m°c dò t§t nhi¶n t‰nh li¶n töc trong vòng l¥n c“n cıa x0 nâichung s‡ phö thuºc v o x0 Tƒm quan trång cıa lîp ¡nh x⁄ a di»n trong c¡c øngdöng ÷æc th” hi»n qua m»nh • sau ¥y, ÷æc l§y tł [2]

M»nh• 2.7 [1] Chån f l mºt h m a di»n lçi tł Rn ‚n ( ; +1] Khi â d÷îi vi ph¥n @f

l mºt ¡nh x⁄ a trà a di»n

Tł m»nh • ta th§y r‹ng d÷îi vi ph¥n cıa h m a di»n lçi li¶n töc Lipschitztr¶n thäa trong ành lþ 2.1 Theo c¡c nh“n x†t ð tr¶n v• ¡nh x⁄ a di»n, t‰nhch§t a di»n n y s‡ khæng m§t i n‚u ta k‚t hæp c¡c d÷îi vi ph¥n vîi ¡nh x⁄ a trà

a di»n kh¡c nhau th‰ch hæp V‰ dö, chån C l mºt t“p lçi a di»n khæng rØngtrong Rn v °t

sß döng c§u tróc b i to¡n cö th” (v‰ dö, trong quy ho⁄ch phi tuy‚n, xem 2.2)

2.3 T‰nh Œn ành cıa ph÷ìng tr…nh suy

rºng tuy‚n t‰nh

” minh håa mºt øng döng cıa ành lþ 2.1, chóng ta s‡ kh£o s¡t d¡ng i»u

nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh suy rºng

trong â A l mºt ma tr“n cï n n, a 2 Rn v C l mºt t“p lçi a di»n khæng

rØng trong Rn Tr÷íng hæp °c bi»t bao gçm c¡c b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh,

quy ho⁄ch to n ph÷ìng v b i to¡n bò tuy‚n t‰nh Chóng ta s‡ °c tr÷ng t‰nh

Œn ành t“p nghi»m cıa (2.7) khi ma tr“n A l nßa x¡c ành d÷ìng (nh÷ng khæng

cƒn ph£i Łi xøng); mð rºng hìn (nh÷ng phøc t⁄p hìn), k‚t qu£ câ th” ⁄t ÷æc

b‹ng c¡ch bä gi£ thi‚t nßa x¡c ành d÷ìng nh÷ng thła nh“n gi£ thi‚t (iii) trong

ành lþ 2.1

ành lþ 2.8 [1] Cho A l

t“p lçi a di»n khæng rØng trong Rn v

֓ng

(a) T“p nghi»m cıa (2.7) l

(b) Tçn t⁄i 0 > 0 sao cho vîi mØi ma tr“n A0 cï n n v

t“p hæp

S(A0; a0) := fx j 0 2 A0x + a0 + @

l

Hìn th‚ nœa, gi£ sß i•u ki»n ÷æc giœ nguy¶n Chån l

v l mºt h‹ng sŁ tr¶n Lipschitz àa ph÷ìng cıa ¡nh x⁄

0 (tçn t⁄i bði k‚t qu£ cıa möc tr÷îc) Khi â,vîi b§t k… t“p mð bà ch°n

S(A; a) tçn t⁄i mºt 1 > 0 sao cho vîi mØi A0; a0

ta câ

CuŁi còng, n‚u (A0; a0) ÷æc h⁄n ch‚ ð c¡c gi¡ trà m S(A0; a0) l t“p li¶n thæng(nâi ri¶ng, n‚u A0 l ma tr“n nßa x¡c ành d÷ìng), th… câ th” thay th‚ ÷æc bði

Rn

Chøng minh Ta lƒn l÷æt chøng minh tłng ph¡t bi”u cıa ành lþ 2.8.

Chøng minh (b) ) (a). N‚u (b) óng th… S(A0; a0) l khæng rØng cho t§t c£ a0

trong mºt h…nh cƒu n o â quanh a i•u n y ngh¾a l 0 thuºc phƒn trong

t“p £nh cıa to¡n tß A( ) + a + @ C ( ) ¥y l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i ([15,Corollary 2.7]) Tł ¥y suy ra, nghàch £o cıa to¡n tß n y bà ch°n àa ph÷ìng

t⁄i 0 theo [15, Proposition 2.9] V… th‚, t“p hæp S(A; a) l bà ch°n

Chøng minh (a)) (b). Chóng ta s‡ ¡p döng ành lþ 2.1 Nh‹m möc ‰ch â, tal§y k = n2 + n v çng nh§t Rk vîi khæng gian v†c tì gçm c¡c c°p (A0; a0) ð â A0 l

ma tr“n tòy þ cï n n v a0 l i”m cıa Rn (MØi c°p (A0; a0) nh÷ v“y

÷æc t÷ìng øng vîi mºt v†c tì k-chi•u t⁄o th nh b‹ng c¡ch gh†p li¶n ti‚p c¡c cºtcıa A0 th¶m v o v†c tì a0.) Kho£ng c¡ch giœa hai i”m câ d⁄ng (A0; a0) v

(A"; a") ÷æc cho bði maxfkA0

f((A0; a); x) := A0x + a0 Khi â t“p hæp X0 tròng vîi S(A; a) Ta chån l

mð chøa X0 b§t k…, v v… LFx0

thäa m¢n (Chó þ r‹ng M»nh • 2.3 k†o theo (iii) óng.) Khi â ta th§y r‹ng, cho

> 0; 0 > 0 v vîi måi (A0; a0) vîi 0 < 0, ta câ S(A0; a0) \[s(A; a) + @B] khæng rØng,

v i•u n y suy ra (b)

Chøng minh (2.9) Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta câ th” gi£ sß r‹ng

÷æc chån tròng vîi trong ph†p chøng minh ð tr÷îc Khi l bà ch°n, ta câ th”t…m ÷æc 1 2 (0; 0] vîi 1 < 1 sao cho vîi mØi x 2 ; 1(1 + kxk) , trong â l tham sŁ

÷æc sß döng trong ành lþ 2.1 B¥y gií cho (A0; a0) b§t k… Vîi

Nh÷ng v… x0 2; ta câ

k(A A0)x0 + (a a0)k maxfkA A0k; ka a0kg(1 + kx0k)

1 (1 + kx0k) ;

v bði t‰nh tr¶n Lipschitz

d(x0; S(A; a)) k(A A0)x0 + (a a0)k:

B¥y gií chån x0 l i”m gƒn vîi x0 nh§t trong S(A; a), ta câ ¡nh gi¡

k(A A 0 )x 0 + (a a0)k k(A A0)x0 + (a a0)k + k(A A 0 )(x 0

x0)k

V… kx 0 x0k = d(x0; S(A; a)) ta câ

d(x0; S(A; a)) 0 (1 + ) + 0 d(x 0 ; S(A; a));

vi ph⁄m gi£ thi‚t li¶n thæng Do â, n‚u S(A0; a0) l

ho n to n trong

n‚u A0 l nßa x¡c ành d÷ìng th… A0(:) + a0 + @

Nh“n x†t 2.9 ” þ l t“p

häi tü nhi¶n °t ra l câ th” thay th‚ bði Rn trong måi tr÷íng hæp ÷æc hay

khæng? V‰ dö sau ¥y s‡ cho th§y r‹ng i•u n y l khæng th”, th“m ch‰ Łi vîi

n = 1 X†t C = R+; A = [0] v a = [1], v“y n¶n b i to¡n b¥y gií l

0 2 [0]x + [1] + @ R+ (x);

t“p nghi»m cıa b i to¡n l S([0]; [1]) = f0g Tuy nhi¶n, ta ki”m tra ÷æc, vîi b§t k…

> 0 n o th… S([ ]; [1]) = f0; 1g V… th‚ ta khæng th” thay = R trong tr÷íng hæp ny

Nh÷ ¢ ÷æc • c“p trong [1], ành lþ 2.8 nâi ri¶ng cung c§p cho ta mºt lþthuy‚t Œn ành ƒy ı cho quy ho⁄ch to n ph÷ìng (bao gçm quy ho⁄ch tuy‚n t

‰nh) v cho b i to¡n bò tuy‚n t‰nh vîi ma tr“n nßa x¡c ành d÷ìng i•u n y mðrºng k‚t qu£ tr÷îc â cıa Daniel [18] cho quy ho⁄ch to n ph÷ìng lçi ng°t,

v cıa S M Robinson [19] cho quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh K‚t qu£ v• t‰nh Œnành nghi»m cıa b i to¡n quy ho⁄ch phi tuy‚n s‡ ÷æc • c“p trong phƒn sau cıalu“n v«n n y

D⁄ng ph¡t bi”u m⁄nh cıa ành lþ 2.8(vîi A0 bà h⁄n ch‚ l nßa x¡c ành d÷ìng)

æi khi câ th” óng bði c§u tróc °c bi»t cıa lîp b i to¡n cö th” V‰ dö, x†t b i to¡nquy ho⁄ch to n ph÷ìng

— ¥y Q l ma tr“n m m, B l

i•u ki»n KKT cıa (2.10) nh÷ mºt ph÷ìng tr…nh suy rºng (khi Q l

câ d⁄ng

2030

607

6 7

4 5trong â C = Rm Rs Rr+ Ta th§y ma tr“n trong (2.11) l ma tr“n cıa ành lþ 2.1

Nâ l ma tr“n nßa x¡c ành d÷ìng khi v ch¿ khi Q l nßa x¡c ành d÷ìng (Ngh¾a

l , khi v ch¿ khi b i to¡n (2.10) l lçi) B¥y gií, n‚u Q l x¡c

ành d÷ìng, khi â vîi t§t c£ c¡c nhi„u ı nhä cıa c¡c dœ ki»n trong (2.10) ( â l ,cıa Q; q; p; B; D v d), ma tr“n trong (2.11) s‡ v¤n cÆn l nßa x¡c ành d÷ìng Dov“y, ph¡t bi”u l m m⁄nh ành lþ 2.8 s‡ óng Theo k‚t qu£ trong [19], c¡c nh“n x†t

ð ¥y nâi ri¶ng ¡p döng ÷æc Łi vîi t§t c£ b i to¡n quy ho⁄ch quy‚n t‰nh

Ch֓ng 3

Mºt sŁ øng döng v o b i to¡n quy ho⁄ch phi tuy‚n

Mºt tr÷íng hæp °c bi»t ÷æc quan t¥m nghi¶n cøu rºng r¢i l C = Rn v Q = Rk+

Rl Trong tr÷íng hæp n y ta câ b i to¡n quy ho⁄ch phi tuy‚n

Łi vîi b i to¡n tŒng qu¡t (3.1), i•u ki»n cƒn tŁi ÷u câ d⁄ng (xem [21])

0 2 Lx(x; u) + @ C (x);

0 2 Lu(x; u) + @ Q(u);

ð â L(x; u) := f(x) + hu; g(x)i l h m Lagrange, v

hi»u ⁄o h m ri¶ng theo bi‚n t÷ìng øng Kþ hi»u @

@ C (x) :=(

T÷ìng tü, ¡nh x⁄ @

B§t ký i”m x n o thäa m¢n (3.3) øng vîi mºt u n o â ÷æc gåi l i”m dłng cıa

ch‰nh s‡ ÷æc chøng minh trong möc 3.3, sau â ta xem i•u ki»n cƒn ch‰nhquy trong möc 3.2 N‚u ta vi‚t l⁄i (3.3) theo f v g, v… @ C Q(x; u) = @ C (x) @

ð â g0(x) l to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n hæp cıa g0(x)

i•u ki»n ı c§p hai l mºt i•u ki»n ch‰nh quy nŒi ti‚ng trong quy ho⁄chphi tuy‚n, v‰ dö, xem [22, Section 2.3], [23], [24] v [25] Trong phƒn n ychóng ta s‡ kh£o s¡t mºt d⁄ng cıa i•u ki»n th‰ch hæp cho b i to¡n (3.1)

Nh‹m möc ‰ch ph¡t tri”n i•u ki»n ı c§p hai cho (3.1), chóng ta quay trðl⁄i ph÷ìng tr…nh suy rºng (3.4) ph¡t bi”u i•u ki»n cƒn tŁi ÷u C¡c k‚t qu£ trong[1, 26] cho th§y i”m quan trång cıa d¡ng i»u cıa ph÷ìng tr…nh suy rºng ÷æcgiœ l⁄i trong ph†p tuy‚n t‰nh hâa cıa nâ quanh mºt i”m ¢ cho ” v“n döngtuy‚n t‰nh hâa ð t…nh huŁng hi»n t⁄i, ta gi£ sß (x0; u0) l mºt i”m thäa

(3.3); d⁄ng tuy‚n t‰nh cıa (3.3) (ho°c t÷ìng tü, cıa (3.4)) t⁄i (x0; u0) khi â l

câ chøa L"(x0; u0) chø khæng ph£i l f"(x0)) Tuy nhi¶n, ng÷íi ta ¢ ch¿ ra r‹ng

â l mºt x§p x¾ hæp l‰ cıa (3.1) cho möc ‰ch t‰nh to¡n sŁ [27, 28] V…ph†p tuy‚n t‰nh hâa trong (3.3) ÷æc suy ra trüc ti‚p, ta s‡ coi (3.6) nh÷ ld⁄ng tuy‚n t‰nh cıa (3.1)

Düa tr¶n nhœng kh£o s¡t chi ti‚t cö th”, t¡c gi£ Robinson trong cængtr…nh [21] ¢ ÷a ra i•u ki»n ı c§p hai mð rºng sau ¥y

ành ngh¾a 3.1 Gi£ sß (x0; u0) l i”m thäa m¢n (3.3) Ta nâi i•u ki»n ı c§phai óng t⁄i (x0; u0) vîi mæ- un > 0 n‚u vîi mØi h 2 TC (x0) vîi

g0(x0)h 2 TQ0 (g(x0)); f0(x0)h = 0;

ta câ hh; L"(x0; u0)hi khk2 (— ¥y, kþ hi»u TC (x0) ch¿ nân ti‚p xóc cıa t“p C t⁄ii”m x0 2 C, ÷æc x¡c ành l nân Łi cüc cıa @ C (x0), v ành ngh¾a t÷ìng tü cho

TQ0 (g(x0)).)

Nh÷ ÷æc chó th‰ch trong [21], ành ngh¾a 3.1 s‡ khæng thay Œi n‚u ta vi‚t

f0(x0)h = 0 trong (3.3) ” th§y i•u n y, chó þ r‹ng h v

t÷ìng øng thuºc v o TC (x0) v @ C (x0) V… th‚

0hf0(x0) + g0(x0) u0; hi = f0(x0)h + hu0; g0(x0)hi:

Tuy nhi¶n, v… g(x0) thuºc v o nân ph¡p tuy‚n ‚n Q t⁄i u0, u0 thuºc v o nân ph¡ptuy‚n cıa Qo t⁄i g(x0) (xem [2, Corollary 23.5.4]) Khi g0(x0)h thuºc v o nân ti‚ptuy‚n t÷ìng øng, ta câ hu0; g0(x0)hi 0 v v… th‚ f0(x0)h 0 Bði v… i•u n y, ta ki”mtra ÷æc th§y r‹ng v†c tì h thäa m¢n f0(x0)h 0 ¡p döng trong ành ngh¾a 3.1

tr÷îc ¥y

Công theo [21], trong cæng thøc n y, i•u ki»n ¢ ÷æc th£o lu“n cho b ito¡n (3.2) bði Han v Mangasarian trong [29, Theorem 2.5] cho c¡c tr÷ínghæp t÷ìng ÷ìng vîi i•u ki»n ı c§p hai ti¶u chu'n nh÷ ÷æc cho trong [22] V…th‚ ta ki”m tra ÷æc r‹ng i•u ki»n cıa ành lþ 3.1 s‡ cho ph†p ch¿ ra mºt d⁄ng to

n ph÷ìng x¡c ành d÷ìng l m non hâa h m möc ti¶u (3.1) tr¶n mºt bº ph“n cıat“p kh£ thi gƒn x0, v nh“n mºt cüc ti”u b‹ng f(x0) t⁄i x0 Do s‡ cƒn ‚n trong möc

ành lþ 3.2 [21] Gi£ sß r‹ng (x0; u0) thäa m¢n (3.3), f v g l hai h m kh£

vi Fr†chet t⁄i x0, v i•u ki»n ı c§p hai óng t⁄i ¥y vîi mæ un Khi â

vîi mØi 2 [0; ) th… tçn t⁄i mºt l¥n c“n V cıa x0 sao cho n‚u x 2 C \ V v g(x) 2 Qo, th… f(x) > f(x0) + 12 kx x0k2 ho°c x = x0

Chøng minh Gi£ sß cho 0 v mºt d¢y fxig C hºi tö ‚n x0 vîi xi 6=x0,