Giải tích malliavn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... Ch÷ìng n y nh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

2 Gi£i t‰ch Malliavin Brown

2.1.12.1.2

2.2.12.2.22.2.32.2.42.2.52.2.62.2.7

i

3 p döng v o T i ch‰nh

3.1 Cæng thøc Clark - Ocone v danh möc ƒu t÷ t¡i t⁄o 3.2 T‰nh to¡n º nh⁄y

3.2.13.2.23.3 Ký vång câ i•u ki»n 3.3.1

3.3.2

ii

y trong nhi•u b i to¡n kh¡c nhau câ li¶n quan tîi qu¡ tr…nh ng¤u nhi¶n CuŁi còng ng÷íi

ta ¢ t…m ra øng döng cıa gi£i t‰ch Malliavin trong ph÷ìng ph¡p sŁ x¡c su§t, chı y‚utrong l¾nh vüc to¡n t i ch‰nh Nhœng øng döng n y hìi kh¡c nhœng ph÷ìng ph¡p tr÷îc

â bði cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn trong gi£i t‰ch Malliavin ÷æc dòng ” gi£i th

‰ch mºt c¡ch ch›c ch›n c¡c v§n • trong thu“t to¡n phi tuy‚n

BŁ cöc lu“n v«n gçm ba ch÷ìng :

Ch÷ìng 1: Cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn trłu t÷æng Ch÷ìng n y nh‹m giîi thi»u cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn trłu t÷æng Tł â ta ÷a ra ÷æc nhœng k‚t qu£ quantrång nh÷ : v§n • º nh⁄y, m“t º cıa ph¥n bŁ v ký vång câ i•u ki»n Ch÷ìng 2: Gi£i t

‰ch Malliavin Brown Ch÷ìng n y ÷a ra c¡c kh¡i ni»m v• c¡c

h m ìn gi£n, c¡c qu¡ tr…nh ìn gi£n, tł c¡c kh¡i ni»m n y ng÷íi ta mîi ÷a ra ành ngh¾a ⁄o

h m Malliavin Ti‚p theo ÷a ra ành ngh¾a t‰ch ph¥n Skorohod, mŁi quan h» giœa t

‰ch ph¥n Skorohod vîi t‰ch ph¥n Itæ, tł mŁi quan h» n y ta th§y ÷æc t‰ch ph¥nSkorohod l mð rºng cıa t‰ch ph¥n Itæ nh÷ th‚ n o p döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłngphƒn trłu t÷æng ” suy ra ÷æc c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa t‰ch ph¥n nh÷ : cængthøc Łi ng¤u, quy t›c chuØi, cæng thøc Clark Ocone v cæng thøc t‰ch

ph¥n tłng phƒn Malliavin Ngo i ra ch÷ìng 2 cÆn giîi thi»u qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n v ph¥n t‰ch hØn ºn Wiener, c¡c t“p Domp(D); Domp( ); Domp(L)

Ch÷ìng 3: p döng v o t i ch‰nh Ta ¡p döng c¡c k‚t qu£ cıa ch÷ìng 1 v

ch÷ìng 2 v o ch÷ìng n y Tr÷îc ti¶n ¡p döng cæng thøc Clark Ocone ” t…m danhmöc ƒu t÷ t¡i t⁄o, tøc l t…m ÷æc nhœng cŒ phi‚uit ” lüa chån vi»c ƒu t÷ t¡i t⁄o;

t…m gi¡ cıa tòy chån (H; T ) ki”u ch¥u ¥u t⁄i thíi i”m t, ngh¾a l t⁄i ký h⁄n thanh to¡n Tt÷ìng øng vîi chi tr£ ng¤u nhi¶n H p döng vi»c t‰nh to¡n º nh⁄y ð ch÷ìng 1 v cængthøc t‰ch ph¥n tłng phƒn Malliavin ” t‰nh to¡n º nh⁄y Vi»c t‰nh to¡n º nh⁄y cho

ta bi‚t ph÷ìng ¡n ƒu t÷ câ an to n hay khæng, khi º nh⁄y th§p th… ph÷ìng ¡n ƒu t÷ l

an to n ng÷æc l⁄i khi º nh⁄y cao th… cƒn t‰nh ‚n vi»c thay Œi ph÷ìng ¡n ƒu t÷ kh¡c.Mºt ¡p döng nœa l t‰nh ký vång câ i•u ki»n, t‰nh ký vång câ i•u ki»n gióp taquy‚t ành câ b¡n cŒ phi‚u theo gi¡ b£o hi”m hay khæng

Lu“n v«n ÷æc düa tr¶n cì sð ch‰nh l t i li»u "An Introduction to Malliavin Calculusand its applications to Finance" cıa c¡c t¡c gi£ : Vlad Bally tr÷íng ⁄i håc Paris - EstMarne - la - Vall†e, Lucia Caramellino tr÷íng ⁄i håc Roma -Tor Vergata v LuanaLombardi tr÷íng ⁄i håc L’Aquila

Tæi xin tä lÆng k‰nh trång v bi‚t ìn s¥u s›c ‚n c¡c thƒy cæ tr÷íng ⁄i håc Khoa håc

tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi còng c¡c thƒy cæ vi»n To¡n håc ¢ trang bà ki‚nthøc, d…u d›t t⁄o i•u ki»n cho tæi trong thíi gian håc t“p t⁄i ¥y, °c bi»t l thƒy TS.Nguy„n Thành ¢ t“n t…nh h÷îng d¤n, gióp ï, ch¿ b£o tæi ho n th nh lu“n v«n n y

H Nºi, ng y 01 th¡ng 7 n«m 2015

Bòi Hòng C÷íng

iv

Cho ( ; F; P) l mºt khæng gian x¡c su§t v E l ký vång chu'n tr¶n P Bº Cck(Rd) v

Cbk(Rd) l khæng gian c¡c h m f : Rd ! R kh£ vi li¶n töc b“c k, compact v c¡c ⁄o h m

÷æc h⁄n ch‚ tr¶n c¡c t“p t÷ìng øng Khi c¡c h m kh£ vi væ h⁄n, ta câ c¡c t“p t÷ìngøng l Cc1(Rd) v Cb1(Rd)

IP (F ; G) : E( 0(F )G) = E ( (F )H(F ; G)) ; 8 2 Cc1(R)Hìn nœa, ta câ cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn IPk(F ; G) l óng n‚u tçn t⁄i bi‚nng¤u nhi¶n kh£ t‰ch Hk(F ; G) sao cho:

IPk(F ; G) : E( (k)(F )G) = E ( (F )Hk(F ; G)) ; 8 2 Cc1(R):

1

T÷ìng tü nh÷ v“y cho c¡c ⁄o h m b“c cao hìn.

V‰ dö: Trong IPk(F ; 1) cho chóng ta x¡c ành Hk(F ; 1) Hk(F ) b‹ng c¡ch x¡c ành l⁄i:

H0(F ) = 1; Hk(F ) = H(F ; Hk 1(F )); k 1

- N‚u câ cæng thøc IP (F ; G) th… tł E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1 ð (1.1)

Hìn nœa, H(F ; G) trong IP (F ; G) khæng ph£i l duy nh§t : Vîi b§t ký bi‚n ng¤unhi¶n R thäa m¢n E( (F )R) = 0 (ngh¾a l E(R jF ) = 0) ta công câ th” sß döng nh÷H(F ; G) + R ( thüc t‚ E(H(F ; G) jF )) l duy nh§t ) Trong sŁ håc i•u n y âng vai trÆquan trång bði v… n‚u ta muŁn t‰nh E( (F )H(F ; G)) sß döng ph÷ìng ph¡p MonteCarlo th… nâ câ th” cho ta ph÷ìng sai tŁi thi”u Công l÷u þ r‹ng ” thüc hi»n thu“tto¡n Monte Carlo ta câ mæ phäng F v H(F ; G) Trong mºt sŁ tr÷íng hæp, H(F ; G)

câ th” t‰nh to¡n trüc ti‚p Nh÷ng gi£i t‰ch Malliavin cho ta mºt h» thŁng ph†p to¡n

” t‰nh to¡n i•u n y Th÷íng trong c¡c øng döng F l líi gi£i cıa ph÷ìng tr…nh ng¤unhi¶n v H(F ; G) xu§t hi»n nh÷ mºt sü tŒng hæp cıa c¡c to¡n tß vi ph¥n tr¶n F Nhœng i•u n y công câ li¶n quan tîi c¡c ph÷ìng tr…nh ng¤u nhi¶n v

sß döng mºt sŁ x§p x¿ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh ” t⁄o ra c¡c thu“t to¡n cö th”

V‰ dö: Cho f = v G = g( ) trong â f, g l c¡c h m kh£ vi v

nhi¶n Gauss câ ký vång 0 cıa ph÷ìng sai Khi â:

E(f0( )g( )) = E f( )[g( )

v… v“y ta câ cæng thøc IP (F ; G) vîi H(F ; G) = g( )

ti‚p cıa cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn nh÷ng vîi sü câ m°t cıa m“t º Gauss

= E(f( )[g( ) g0( )])

Gi£i t‰ch Malliavin t⁄o ra H(F ; G) cho mºt lîp lîn c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n - (1.3) ⁄i di»ncho v‰ dö ìn gi£n ki”u n y, nh÷ng â khæng ph£i l möc ti¶u cıa phƒn n y — ¥y tach¿ ÷a ra mºt v i h» qu£ cıa t‰nh ch§t tr¶n

Trong nhi•u øng döng ta xem x†t ‚n nhœng sŁ câ d⁄ng E( (F x)) trong â F x l mºt lo⁄ibi‚n ng¤u nhi¶n ch¿ sŁ tr¶n tham sŁ hœu h⁄n x Mºt v‰ dö i”n h…nh l F x = Xtx lmºt qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n b›t ƒu tł x ” nghi¶n cøu º nh⁄y cıa y‚u tŁ n y vîi

tham sŁ x, ta chøng minh r‹ng x 7!E( (F x)) l kh£ vi v t…m bi”u thøc ⁄o h mcıa nâ Câ hai c¡ch ” gi£i quy‚t v§n • n y, â l : c¡ch ti‚p c“n theo tłng quÿ ⁄oho°c c¡ch ti‚p c“n theo ph¥n bŁ

C¡ch ti‚p c“n theo tłng quÿ ⁄o : gi£ sß r‹ng x 7!F x(!) l kh£ vi hƒu kh›p nìi ! ( v ¥y ltr÷íng hæp x 7!Xtx(!) trong v‰ dö) v công kh£ vi Khi â :

@xE( (F x)) = E ( 0(F x)@xF x)nh÷ng c¡ch ti‚p c“n n y khæng thüc hi»n ÷æc n‚u khæng kh£ vi.

C¡ch ti‚p c“n theo ph¥n bŁ : v÷æt qua trð ng⁄i tr¶n nhí sß döng sü uy”n chuy”n m“t

º cıa ph¥n bŁ cıa F x V… v“y trong c¡ch ti‚p c“n n y ta gi£ thi‚t r‹ng F x px(y)dy v x7!px(y) l kh£ vi vîi mØi y

Khi â:

@xE( (F x)) = (y)@xpx(y)dy = (y)@x ln px(y)px(y)dy = E ( (F x)@x ln px(F ))

3

æi khi ng÷íi ta gåi @x ln px(F ) l h m i”m Nh÷ng c¡ch l m n y ch¿ dòng ÷æc khi

ta bi‚t m“t º cıa ph¥n bŁ cıa F x N‚u khæng bi‚t m“t º cıa ph¥n bŁ cıa F x th… sßdöng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn IP (F x; @xF x) ta câ flng thøc :

@xE( (F x)) = E ( 0(F x)@xF x) = E ( (F x)H(F x; @xF x)) :

Ta th§y r‹ng flng thøc tr¶n óng ngay c£ khi khæng kh£ vi bði v… khæng câ ⁄o h mcıa c¡c sŁ h⁄ng ƒu v cuŁi Trong thüc t‚ ta câ th” sß döng mºt sŁ l“p lu“n thængth÷íng v sau â chuy”n qua giîi h⁄n Do â ta thu ÷æc H(F x; @xF x)

Gi£i t‰ch Malliavin nh÷ mºt c¡i m¡y cho ph†p t‰nh to¡n sŁ l÷æng lîn c¡c lîp bi‚nng¤u nhi¶n cho tr÷íng hæp m“t º cıa ph¥n bŁ khæng bi‚t mºt c¡ch rª r ng (v‰ dönh÷ qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n) ¥y l c¡ch ti‚p c“n trong Fourni’e, [12] v [13] Łi vîi t‰nhto¡n ki”u Hy L⁄p ( º nh⁄y cıa gi¡ cıa ng÷íi ch¥u u v lüa chån cıa ng÷íi Mÿ vîi c¡c tham

sŁ nh§t ành) trong c¡c v§n • To¡n t i ch‰nh

1.1.2 M“t º cıa ph¥n bŁ

8

< 1; n‚u x 2 ASau ¥y kþ hi»u 1A(x) ho°c 1x2A l h m ch¿ ti¶u, ngh¾a l : 1A(x) =

: 0; n‚u x 2= A

BŒ • 1.1.3

Gi£ sß r‹ng F thäa m¢n cæng thøc IP (F ; 1) Khiâ ph¥n bŁ cıa F l li¶n töc tuy»t Łi

Łi vîi º o Lebesgue v m“t º cıa ph¥n bŁ ÷æc cho bði:

p(x) = E(1[x;1)(F )H(F ; 1))Hìn nœa p li¶n töc v p(x) ! 0 khi jxj ! 1

” câ suy lu“n ch‰nh x¡c, ta l m theo h m Dirac V… v“y ta câ mºt h m d÷ìng

2 Cc1(R) nh“n gi¡ trà khæng Œi tr¶n [-1;1] Nh÷ v“y R

(y)dy = 1 v vîi mØi > 0

y

R

c¡i m ºc l“p vîi F V… hºi tö y‚u tîi 0 khi ! 0 n¶n vîi mØi f 2 Cc1(R) ta câ :

E(f(F )) = lim E(f(F ))

ZE(f(F )) = f(z)E(1[z;1)(F )H(F ; 1))dzvîi b§t ký f 2 Cc1(R), v… v“y z ! E(1[z;1)(F )H(F ; 1)) l h m m“t º x¡c xu§t cıa F , nâcông l h m li¶n töc Th“t v“y, n‚u zn ! z ta câ 1[z n ;1)(F ) ! 1[z;1)(F ) V… v“y ¡p döngành lþ hºi tö Lebesgue, ta câ:

p(zn) = E(1[z n ;1)(F )H(F ; 1)) ! E(1[z;1)(F )H(F ; 1)) = p(z)

tøc p l h m li¶n töc

CuŁi còng, n‚u z ! +1 th… 1[z;1)(F ) ! 0 v khi â p(z) ! 0

N‚u thay b‹ng z ! th… ta sß döng l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ng bi”u di„n l :

Gi£ sß r‹ng H(F ; 1)

l ta câ :

b…nh ph÷ìng kh£ t‰ch Khi â sß döng b§t flng thøc Chebishev

pp(x) P(F x) kH(F ; 1)k2

°c bi»t, lim p(x) = 0 v t¿ l» hºi tö ÷æc i•u ch¿nh l¶n ‚n t“n còng cıa ph¥n bŁ

! 1 Tr÷íng hæp t÷ìng tü khi x ! ta sß döng cæng thøc (1.6)B¥y gií ta nghi¶n cøu xa hìn nœa v nghi¶n cøu v§n • ⁄o h

E( (F

Do â :

ZE(f(F )) = f(z)E( (F z)H 2 (F ; 1))dz

6

1.1.3 Ký vång câ i•u ki»n

i•u cŁt y‚u cıa vi»c t‰nh to¡n ký vång câ i•u ki»n l ” gi£i th‰ch mºt c¡ch ch›cch›n c¡c v§n • phi tuy‚n tł c¡c thu“t to¡n l“p tr…nh ºng lüc håc Mºt sŁ t¡c gi£ ( xemFourni’e [13], Lion v Regnier [19], Bally [5], Kohatsu - Higa v Petterson [15],Bouchard [10]) ¢ sß döng c¡c cæng thøc düa tr¶n c¡c kÿ thu“t gi£i t‰ch Malliavin ”t‰nh to¡n c¡c ký vång câ i•u ki»n Trong phƒn n y ta ÷a ra d⁄ng trłu t÷æng cıacæng thøc n y

Cho (x) ⁄i di»n cho sŁ h⁄ng b¶n tr¡i cıa flng thøc tr¶n Ta câ th” ki”m tra r‹ng vîi 8f 2

Cc1(R) ta câ E(f(F )G) = E(f(F ) (F )) Sß döng c¡c h m quy t›c tł vi»c chøng minh

BŒ • 1.1.3 ta câ :

E( (F )f(F )) = R

f(z) (z)p(z)dzR

= ( 1; :::; k) 2 f1; :::; dgk, ta bi”u thà j j = k v @ = @ 1 ::: @ k vîi quy ÷îc r‹ng

@0 l phƒn tß ìn và B¥y gií ta ành ngh¾a t‰ch ph¥n tłng phƒn nh÷ sau :

ành ngh¾a 1.2.1

Cho F : ! Rd v G : ! R l c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n kh£ t‰ch Cho 2 f1; :::; dgk; k 2

N l mºt a ch¿ sŁ Ta nâi r‹ng ta câ cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn IP (F ; G) n‚u tçn t⁄i bi‚n ng¤u nhi¶n kh£ t‰ch H (F ; G) sao cho :

IP (F ; G) : E(@ (F )G) = E( (F )H(F ; G)); 8 2 Cc1(R)Nh›c l⁄i, cho j j = k , t“p Cc1(Rd) câ th” bi‚n Œi th nh Cck(Rd) , Cb1(Rd) ho°c

ii) Gi£ sß r‹ng vîi måi t“p a ch¿ sŁ ta câ cæng thøc IP (F ; 1) Khi â @ p tçn t⁄i v

÷æc cho bði :

@ p(x) = ( 1)j jE(1I(x)(F )H( +1)(F ; 1))

trong â ( + 1) =: ( 1 + 1; : : : ; d + 1) Hìn nœa, n‚u H (F ; 1) 2 L2( ) v

hœu h⁄n tòy þ th… p 2 S, S l khæng gian Schwartz cıa c¡c h m kh£ vi væ h⁄n m gi£m ‚n væ h⁄n còng vîi t§t c£ c¡c ⁄o h m

Chøng minh :

i) L“p lu“n ch‰nh cıa chøng minh phƒn (i) l düa tr¶n cì sð 0(y) = @(1;:::;1)1I(0)(y) vcæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn ” ch°t ch‡, ta câ th” sß döng quy t›c h m Diracnh÷ trong chøng minh BŒ • 1.1.3

ii) ” chøng minh (ii) ta câ th” sß döng nh÷ " ph¥n phŁi Schwartz" l“p lu“n nh÷ chøng minh BŒ • 1.1.5

CuŁi còng, ” thu ÷æc giîi h⁄n ta vi‚t :

j@ p(x)j

N‚u x1 > 0; : : : ; xd > 0 b§t flng thøc Chebishev cho ta j@ p(x)j Cq jxj q ; 8q 2 N.N‚u tåa º cıa x khæng d÷ìng ta câ th” sß döng ph÷ìng sai cıa (1.12) m ( ; xi] thaycho (xi; 1)

Ta câ i•u cƒn chøng minh

K‚t qu£ li¶n quan ‚n ký vång câ i•u ki»n nh÷ sau :

10

Q (xi) v thüc t‚ r‹ng @(1;:::;1) (x) = (x) ta câ i•u ph£i chøng minh i=1

11

Vîi mØi n; k 2 N ta bi”u thà tkn = k2 n v :

k

n = W(tkn+1) W(tkn); k = 0; : : : ; 2n 1:

12

0

chi•u, nh“n gi¡ trà trong R2n

N(m; bi”u thà ph¥n bŁ Gauss theo m v ma tr“n hi»p ph÷ìng sai

tr“n ìn và d d):

ành ngh¾a 2.1.1

f 2 Cp1(R2n ) Ta bi”u thà khæng gian Sn cıa c¡c h m ìn gi£n b“c n bði :

F = f(: : : ; kn; : : :) = f(: : : ; 2nk+1 + 2nk+1+1; : : :):

2. S Lp( ; F1; P); 8p 1 l mºt h» qu£ cıa thüc t‚ r‹ng f câ tŁc º a thøc v b§t ký bi‚n ng¤u nhi¶n Gauss câ b“c hœu h⁄n tòy þ

3. S l t“p con tuy‚n t‰nh trò m“t cıa L2( ; F1; P) Câ mºt v i c¡ch ” ch¿ ra t‰nh hæp

lþ cıa khflng ành n y, xem chøng minh ð Phö löc 2.6 (Xem ti‚p ð ành lþ 2.6.4).ành ngh¾a 2.1.3

Tł Uk 2 Sn ta câ Uk = uk( 0n; : : : ; 2nn1); uk 2 Cp1(R2n ) Do â uk phö thuºc v o t§t c£ c¡cgia sŁ cıa chuy”n ºng Brown, v… v“y qu¡ tr…nh ìn gi£n nh…n chung l khæng t÷ìng th

@

n

14

N‚u ta bi”u thàtn = kn vîi t 2 [tkn; tkn+1 â

ta câ th” sß döng kþ hi»u sau ¥y :

ngh¾a l (U) tròng vîi t‰ch ph¥n Ito Łi vîi

W i•u n y cho th§y r‹ng t‰ch ph¥n

Skorohod nh‹m möc ‰ch mð rºng t

‰ch ph¥n Ito qua t“p hæp cıaqu¡ tr…nh khæng t÷ìng th‰ch B¥y gií ta câ th” chøng minh mŁi li¶n h» giœa

⁄o h m Malliavin vîi t‰ch ph¥n

15

Skorohod v nghi¶n cøu nhœng t‰nh ch§t trüc ti‚p cıa c¡c to¡n tß.

ành lþ 2.1.8

(i) [ Łi ng¤u] Vîi b§t ký F 2 S v U 2 P ta câ :

(ii) [Quy t›c chuØi] Cho F

Cp1(Rm) Khi â (F ) 2 S v

(F U) = F (U) h DF; UiChøng minh:

(i) Cho n l mºt sŁ nguy¶n sao cho F 2 Sn v

@xB‹ng c¡ch thay th‚ ta câ :

(iii) L§y G 2 S B‹ng c¡ch sß döng cæng thøc Łi ng¤u v quy t›c chuØi, ta câ :

E[G (F U)] = E[hDG; F Ui ]

16

Khi â :

E[G (F U)] = E[G(F (U) h DF; Ui )]

vîi b§t ký G 2 S v suy ra (iii) ÷æc chøng minh.

B¥y gií ta ¢ sfin s ng ” chøng minh cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn ƒu ti¶n trong

Malliavin Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong â F i 2 S; i = 1; : : : ; m T“p F nh÷ l h» ma

F ÷æc gåi l ma tr“n hi»p ph÷ìng sai li¶n quan ‚n F ¥y l

x¡c ành d÷ìng, bði v… vîi b§t ký 2 Rm ta câ :

17

Do â

E @x i

@

Cæng thøcŁi ng¤u l cæng thøc ÷æc sß döng ” ch¿ ra to¡n tß D, l c¡c to¡n tß âng v

t‰nh ch§t cuŁi còng cho ph†p ta mð rºng ra tr÷íng hæp væ h⁄n chi•u, ngh¾a

l cho bi‚n ng¤u nhi¶n v qu¡ tr…nh khæng nh§t thi‚t ph£i phö thuºc v o c¡c sŁ gia

cıa chuy”n ºng Brown nh÷ng phö thuºc v o tŒng nhœng c¡ch thüc hi»n

Ta h¢y b›t ƒu b‹ng nhœng dœ ki»n sau ¥y, ta th§y r‹ng:

D : S L2( ) ! P L2(H1) v : P L2(H1) ! S L2( )

c¡c to¡n tß D, l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh nh÷ng khæng bà ch°n, tøc l khæng tçn t⁄i mºt

h‹ng sŁ C sao cho vîi b§t ký F 2 S ta câ :

Dò v“y ta công câ th” n¶u t‰nh ch§t sau ¥y

(i) Cho f F ngn

18

V… P l trò m“t trong L2(H1), i•u â ı chøng tä r‹ng E(hU; V i) = 0; 8V 2 P Th“t v“y,

n‚u V 2 P , b‹ng c¡ch sß döng cæng thøc Łi ng¤u ta câ :

E(hU; V i) = lim E(hDFn; V i) = lim E(Fn (V )) = 0

Ta nh“n th§y r‹ng D1;2 khæng phö thuºc v o d¢y Fn; n 2 N bði v… D l âng nh÷ng

khæng ph£i l mºt ⁄i sŁ Ta chó þ r‹ng D1;1 l mºt ⁄i sŁ v ành ngh¾a cıa DF khæng

mºt d¢y Cauchy trong k:k1;p.

(ii) Khi â ta câ : D

(iii) Domp(D) l ƒy ı, tøc l

tß cıa Domp(D) Th“t v“y, xem x†t mºt d¢y Cauchy (Fn)n2N vîi chu'n k:k1;p D¢y

n y công l mºt d¢y Cauchy vîi chu'n k:kp v ta bi‚t r‹ng Lp l ƒy ı, v… v“y tçn

t⁄i F 2 Lp( ) sao cho Fn ! F trong k:kp V… Fn 2 Domp(D) n¶n ta câ th” t…m th§y

mºt d¢y c¡c h m ìn gi£n F 0

n

Cauchy vîi k:k1;p v Fn0 ! F trong k:kp V… v“y F 2 Domp(D)

2.2.2 Mi•n x¡c ành t“p Domp( )

Nh›c l⁄i r‹ng ta giîi thi»u mºt t“p phò hæp vîi t‰ch ph¥n Skorohod l x¡c ành tŁt

v khi â mð rºng t“p P cıa qu¡ tr…nh ìn gi£n Ta b›t ƒu t÷ìng tü nh÷ ành ngh¾a

2.2.2

ành ngh¾a 2.2.4

Cho p 2 N Ta nâi r‹ng U 2 Domp( ) n‚u tçn t⁄i mºt d¢y fUngn P; n 2 N sao cho

Trong tr÷íng hæp n y ta x¡c ành (U) = F = lim (U n ) trong Lp( ).

Tr¶n P ta xem x†t chu'n kUk ;p = kUkL p (H 1 ) + k (U)kp

2.2.3 C¡c t‰nh ch§t

æi khi ta g°p khâ kh«n trong t‰nh to¡n ⁄o h m Malliavin ho°c l t‰ch ph¥n

Skorohod thæng qua giîi h⁄n Ta nh§t thi‚t cƒn mºt ti¶u ch‰, v‰ dö nh÷ sau :

(i) B§t ký t“p bà ch°n n o trong khæng gian Hilbert

•u l compact t÷ìng Łi, v… v“y

ta câ th” t…m ÷æc F 0 2

D1;2 sao cho : Fn hºi tö y‚utîi F 0 Ta sß döng BŒ • Mazur 1

p döng BŒ • Mazur ta câ: Vîi mØi n 2 N, tçn t⁄i kn v

V cuŁi còng k

(ii) L“p lu“n t÷ìng tü cho

Ta th§y r‹ng trong tr÷ínghæp hœu h⁄n chi•u cængthøc t‰ch ph¥n Malliavin câth” câ mºt sŁ t‰nh ch§t ÷æccæng nh“n, °c bi»t trong mŁiquan h» Łi ng¤u, quy t›c

1 BŒ • Mazur : Cho (X; k:k) l mºt khæng gian Banach v

fu n g n X sao cho u n hºi tö y‚u

‚n u (ngh¾a l : f(u n ) ! f(u) vîi mØi h m tuy‚n t‰nh li¶n töc f) Khi

chuØi Łi vîi c¡c möc ‰ch thüc h nh, °c bi»t l t‰ch ph¥n Skorohod Nâi c¡ch kh¡c, n‚u ành lþ 2.1.8 v¤n óng, c¥u tr£ líi l rª r ng, v trong thüc t‚ ta câ

ành lþ 2.2.6

(i) [ Łi ng¤u] Cho F 2 Dom2(D) v U 2 Dom2( ) , ta câ :

E(hDF; Ui) = E(F (U))

(ii)[Quy t›c chuØi] Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong â F i 2 D1;2; i = 1; : : : ; m v

N‚u F i 2 D1;1 th… k‚t lu“n l óng vîi 2 C p1(Rm).

Fu 2 Dom2( ) Khi â :

(F U) = F (U) h DF; UiChøng minh

(i) Cho F 2 Dom2(D) v U 2 Dom2( ) L§y fFngn S v fUngn P , sao cho khi n ! 1, ta câ

Fn ! F; (Un) ! (U) trong L2( ) v DFn ! DF; Un ! U trong L2(H1) B‹ng c¡ch ¡pdöng mŁi li¶n h» Łi ng¤u giœa S v P ( ành lþ 2.1.8.)

E(hDF; Ui) = lim E(hDFn; Uni) = lim E(Fn (Un)) = E(F (U))

v i•u n y cho ta i•u cƒn chøng minh.

B¥y gií gi£ sß r‹ng F k

= E[GF (U)]

23