L: S!S;LF = (DF) úng vợi mŁi liản hằ Łi ng¤u sau
3.3 Ký vồng cõ i•u kiằn
3.3.2 Cổng thức àa phữỡng
BƠy giớ ta hÂy thÊo lu“n v• cĂc cổng thức liản quan ‚n cĂc h m àa phữỡng. N‚u ta h⁄n ch‚ nhœng i•u ta quan tƠm tợi h m àa phữỡng d⁄ng t‰ch, khi õ trữợc tiản ta cõ th” nảu cổng thức àa phữỡng cho toĂn tò Ts;t[f]( ).
°t L1 =
v Ld = f : Rd ! [0; +1) ; (x) =
ành lỵ 3.3.4 [Cổng thức II : àa phữỡng ] Cho b§t ký 0 s < t; 2 "b; 2 R+d v
vợi
Ts;t [f] ( ) = E
trong õ i bi”u thà h m phƠn bŁ xĂc suĐt liản quan ‚n Chứng minh
Chứng minh dữợi Ơy tł cỡ sð thỹc t‚ : trong trữớng hổp sŁ chi•u d = 1, BŒ • 3.3.2 cho ta
E (f(Xt)g0(Xs
= E f(Xt)(g
v… v“y
E (f(Xt)g0(Xs )) = E f(Xt) (Xs
BƠy giớ sò dửng flng thức n y, viằc chứng minh cıa ành lỵ 3.3.3 cõ th” ữổc l°p i l°p l⁄i v ta cõ i•u cƒn chứng minh.
74
Nh“n x†t 3.3.5.
Chú ỵ r‹ng v• nguyản t›c cĂc h m cõ th” àa phữỡng hõa khĂc nhau cho mỉi toĂn tò, â l
Ta thảm v o mºt sŁ chi ti‚t v• h m àa phữỡng.
ƒu tiản ta phÊi xem x†t nõ bði v… trong thỹc h nh (v‰ dử nhữ giĂ thanh toĂn ngÔu nhiản ki”u Mÿ) cổng thức khổng àa phữỡng khổng l m viằc ( thỹc t‚, thu“t to¡n thŒi gi¡).
Sau õ, cƠu họi °t ra l : lỹa chồn nõ nhữ th‚ n o ? Chúng ta hÂy thÊo lu“n v• i•u n y. Ta bọ qua viằc chứng minh v cõ th” xem trong Bally, Caramellino, zanette [7].
Ta h¢y b›t ƒu tł k‚t qu£ cıa ành lþ 3.3.4 : ” t‰nh E( (Xt)jXs = ) ta ¡nh gi¡
Ts;t [f] ( ) = E
vợi f = v f = 1. Mºt ký vồng nhữ v“y l Ănh giĂ thổng qua kinh nghiằm thỹc t‚, nghắa l tł nhi•u ứng dửng. Mửc tiảu bƠy giớ l chồn h m àa phữỡng cho ph†p giÊm phữỡng sai . ” ⁄t ữổc mửc ‰ch n y, ta cõ th” ữa ra tŁi ữu hõa trong trữớng hổp mºt chi•u b‹ng Kohatsu - Higa v Petterson [15]. Nõ xò lỵ trong viằc t…m ki‚m h m àa phữỡng m l m cỹc ti”u hõa phữỡng sai t‰ch hổp, cho bði :
Z Idf ( ) =
Rd
0
E f2(Xt)
B
@
321
Wi 5 Cd : (3.37) s;t A e
lản ‚n h‹ng sŁ ( Łi vợi h m k‚t qu£ sau ¥y
ành lþ 3.3.6
Cho L1 = : R ! [0;+1);
v Ld = f : Rd ! [0; +1) ; (x) =
Khi â ta câ
trong â (x) =
75
Laplace trản R v j = j [f] cõ hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh sau Ơy :
j =E f2(X
2
! E f2(Xt) Q
j2) + 2s;t;ii: i6=j
Ws;ti
trong â s;t;i = ; i = 1; : : : ; d:
iis(t s)Xesi
Trong trữớng hổp f = 1, giĂ trà tŁi ữu cõ th” vi‚t mºt cĂch rê r ng Hằ
qu£ 3.3.7 Ta câ
j [1] =eh sj
Mửc ‰ch thỹc sỹ, dĐu hiằu sŁ ch¿ ra r‹ng chồn =
viằc, v… v“y trĂnh ữổc sức n°ng cho thu“t toĂn vợi viằc phÊi t‰nh toĂn thảm cĂc ký vồng. Khi f = 1, rê r ng i•u n y ữổc suy tł Hằ quÊ 3.3.7. Trong trữớng hổp tŒng quĂt, sỹ giÊi th‰ch lỵ thuy‚t ữổc cho nhữ sau
ành lþ 3.3.8.
tửc th…
Cho b§t ký j = 1; : : : ; d, ta câ
76
K‚t lu“n :
Lu“n vôn  tr…nh b y ữổc cĂc vĐn • sau:
1) Nảu ữổc cĂc cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn trłu tữổng cho cÊ trữớng hổp mºt chi•u, nhi•u chi•u . p dửng cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn trłu tữổng ” nghiản cứu : vĐn • º nh⁄y, m“t º cıa phƠn bŁ, ký vồng cõ i•u kiằn.
2) GiÊi t‰ch Malliavin trong cÊ trữớng hổp hœu h⁄n chi•u, vổ h⁄n chi•u hay chuy”n ºng Brown nhi•u chi•u •u ữa ra ữổc cĂc ành nghắa : ⁄o h m Malliavin cıa bi‚n ngÔu nhiản, t‰ch phƠn Skorohod v cĂc t‰nh chĐt. Cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn Malliavin cÊ trữớng hổp riảng v trữớng hổp tŒng quĂt. Nghiản cứu ữổc quĂ tr…nh khu‚ch tĂn v phƠn t‰ch hỉn ºn Wiener.
3) p dửng cĂc ki‚n thức Chữỡng 1 v Chữỡng 2 v o nghiản cứu ” t…m ra Danh mửc ƒu tữ tĂi t⁄o giúp cho ngữới ƒu tữ bi‚t phÊi mua v o nhœng cŒ phi‚u n o v bĂn ra nhœng cŒ phi‚u n o. Nghiản cứu ữổc º nh⁄y cıa giĂ cŒ phi‚u, nghiản cứu
ữổc ký vồng cõ i•u kiằn.
77
T i liằu tham khÊo
[1] Nguy„n Vi‚t Phú - Nguy„n Duy Ti‚n: Cỡ sð lỵ thuy‚t XĂc suĐt, NXB ⁄i hồc QuŁc gia H Nºi, 2004.
[2] Trƒn Hũng Thao: Nh“p mổn ToĂn hồc T i ch‰nh, NXB Khoa hồc v kÿ thu“t, 2004.
[3] °ng Hũng Th›ng: XĂc suĐt nƠng cao, NXB ⁄i hồc QuŁc gia H Nºi, 2013.
[4] V. Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus. Rapport de recherche 4718. INRIA, 2003.
[5] V. Bally, M.P. Bavouzet, M. Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations. Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007.
[6] V. Bally, L. Caramellino, L. Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010.
[7] V. Bally, L. Caramellino, A. Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach. Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005.
[8] M.P. Bavouzet-Morel, M. Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s calculus in jump type market models. Electronic Journal of Probability, 11, 276-300, 2006.
[9] K. Bichteler, J.-B. Gravereaux, J. Jacod. Malliavin calculus for processes with jumps. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987.
78
[10] B. Bouchard, I. Ekeland, N. Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45- 71, 2004.
[11] N. Chen, P. Glasserman. Malliavin Greeks without Malliavin calculus.
Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007.
[12] E. Fourni’e, J.M. Lasry, J. Lebouchoux, P.-L. Lions, N. Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance. Finance and Stochastics, 3, 391 - 412, 1999.
[13] E. Fourni’e, J.M. Lasry, J. Lebouchoux, P.-L. Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II. Finance and Stochastics, 5, 201 - 236, 2001.
[14] P.E. Kloeden, E. Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations. Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991.
[15] A. Kohatsu-Higa, R. Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space. SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002.
[16] S. Kusuoka, D. Strook: Applications of the Malliavin calculus. II. J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo Sect. IA Math., 32, 1 76, 1985.
[17] N. Ikeda, S. Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes. North Holland, second ed. 1989.
[18] D. Lamberton, B. Lapevre. Introduction to stochastic calculus applied to finance. Chapman and Hall, London, 1996.
[19] P-L. Lions, H. Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo. Preprint, 2000.
[20] P. Malliavin: Stochastic analysis. Springer, 1997.
79