Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN... Sau đó ngư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

M cl c

L i nói đ u iii

1 Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng 1 1.1 Trư ng h p m t chi u 1

1.1.1 V n đ đ nh y 3

1.1.2 M t đ c a phân b 4

1.1.3 Kỳ v ng có đi u ki n 8

1.2 Trư ng h p nhi u chi u 9

2 Gi i tích Malliavin Brown 12 2.1 Trư ng h p h u h n chi u 12

2.1.1 Các đ nh nghĩa và các tính ch t 12 2.1.2 Các toán t vi phân Các tính ch t cơ b n 14

2.2 Trư ng h p vô h n chi u 18

2.2.1 Mi n xác đ nh t p Dom p (D) = D 1,p 19

2.2.2 Mi n xác đ nh t p Dom p() 20 2.2.3 Các tính ch t 20

2.2.4 Các ví d 25

2.2.5 Công th c Clark - Ocone 30

2.2.6 Mi n xác đ nh t p Dom p (L) 31

2.2.7 Công th c tích phân t ng ph n 33

2.3 Chuy n đ ng Brown nhi u chi u 34 2.4 Các đ o hàm b c cao và các công th c tích phân t ng ph n 41 2.5 Quá trình khu ch tán 44

i

2.6 Ph l c Phân tích h n đ n Wiener (Wiener chaos decomposition) 48

L I NÓI Đ U

Gi i tích Malliavin đư c hình thành t nh ng năm 70 c a th k XX và đ n nh ng

năm 80, 90 m t lư ng kh ng l các công vi c đã đư c th c hi n trong lĩnh v c này Lý thuy t

ph n l n đư c xây d ng trên tính toán ng u nhiên Itô nh m m c đích nghiên c u c u trúc cũng như phân b c a không gian các hàm Wiener Đ u tiên năm 1974, Malliavin đã dùng tiêu chu n liên t c tuy t đ i đ ch ng minh r ng dư i đi u ki n Hormander phân b c aquá trình khu ch tán có m t đ m n và v i cách này ông đã ch ng minh đư c đ nh lý xác

su t Hormander Sau đó ngư i ta đã dùng phương pháp gi i tích này trong nhi u bài toán khác nhau có liên quan t i quá trình ng u nhiên Cu i cùng ngư i ta đã tìm ra ng d

ng c a gi i tích Malliavin trong phương pháp s xác su t, ch y u trong lĩnh v c toán tài chính Nh ng ng d ng này hơi khác nh ng phương pháp trư c đó b i công th c tích phân

t ng ph n trong gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n các v n đ trong thu t toán phi tuy n

B c c lu n văn g m ba chương :

Chương 1: "Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng " Chương này nh m gi i thi u công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng T đó ta đưa ra đư c nh ng k t qu quan tr ng như : v n đ đ nh y, m t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n

Chương 2: "Gi i tích Malliavin Brown" Chương này đưa ra các khái ni m v các hàm đơn gi n, các quá trình đơn gi n, t các khái ni m này ngư i ta m i đưa ra đ nh nghĩa đ o hàm Malliavin Ti p theo đưa ra đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích phân Skorohod v i tích phân Itô, t m i quan h này ta th y đư c tích phân Skorohod là

m r ng c a tích phân Itô như th nào Áp d ng công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng đ suy ra đư c các tính ch t quan tr ng c a tích phân như : công th c đ i ng u, quy t c chu

i, công th c Clark - Ocone và công th c tích phân t ng ph n Malliavin Ngoài ra chương

2 còn gi i thi u quá trình khu ch tán và

phân tích h n đ n Wiener, các t p Dom p (D), Dom p(), Domp (L)

Chương 3: "Áp d ng vào tài chính" Ta áp d ng các k t qu c a chương 1 và

iii

chương 2 vào chương này Trư c tiên áp d

ng công th c Clark - Ocone đ tìm danh

m c đ u tư tái t o, t c là tìm đư c nh ng c phi u  it đ l a ch n vi c đ u tư tái t o;

tìm giá c a tùy ch n (H, T ) ki u châu âu t i th i đi m t, nghĩa là t i kỳ h n thanh

toán T tương ng v i chi tr ng u nhiên H Áp d ng vi c tính toán đ nh y chương

1 và công th c tích phân t ng ph n Malliavin đ tính toán đ nh y Vi c tính toán đ nh y cho ta bi t phương án đ u tư có an toàn hay không, khi đ nh y th p thì phương án đ u

tư là an toàn ngư c l i khi đ nh y cao thì c n tính đ n vi c thay đ i phương án đ u tư khác M t áp d ng n a là tính kỳ v ng có đi u ki n, tính kỳ v ng có đi u ki n giúp ta quy t

đ nh có bán c phi u theo giá b o hi m hay không

Lu n văn đư c d a trên cơ s chính là tài li u "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" c a các tác gi : Vlad Bally trư ng đ i h c Paris - Est Marne -

la - Vallée, Lucia Caramellino trư ng đ i h c Roma -Tor Vergata và Luana Lombardi trư

ng đ i h c L'Aquila

Tôi xin t lòng kính tr ng và bi t ơn sâu s c đ n các th y cô trư ng đ i h c Khoa h c t nhiên

- Đ i h c Qu c gia Hà N i cùng các th y cô vi n Toán h c đã trang b ki n th c, dìu d t t o

đi u ki n cho tôi trong th i gian h c t p t i đây, đ c bi t là th y TS Nguy n Th nh đã t n tình hư ng d n, giúp đ , ch b o tôi hoàn thành lu n văn này

Hà N i, ngày 01 tháng 7 năm 2015

Bùi Hùng Cư ng

iv

Chương 1

Công th c tích phân t ng ph n

tr u tư ng

Trong chương này, ta s nghiên c u m t phép tính Malliavin tr u tư ng, đó là công

th c tích phân t ng ph n và ta nh n m nh vài k t qu quan tr ng như :tính toán đ nh y,

m t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n

1.1 Trư ng h p m t chi u

Cho (,, P) là m t không gian xác su t và E là kỳ v ng chu n trên P B C k(Rd) c

và C k(Rd ) là không gian các hàm f : R d R kh vi liên t c b c k, compact và các b

đ o hàm đư c h n ch trên các t p tương ng Khi các hàm kh vi vô h n, ta có các

t p tương ng là C(Rd ) và C(Rd)

c

Đ nh nghĩa 1.1.1:

b

Cho F, G :  R là các bi n ng u nhiên kh tích Ta nói r ng công th c tích phân

t ng ph n IP (F ; G) là đúng n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích H(F ; G) sao cho:

Hơn n a, ta có công th c tích phân t ng ph n IP k (F ; G) là đúng n u t n t i bi n

ng u nhiên kh tích H k (F ; G) sao cho:

IP k (F ; G) : E( (k) (F )G) = E ((F )H k (F ; G)) , C(R) c

1

(1.2)

- N u có công th c IP (F ; G) thì t E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1 (1.1)

Hơn n a, H(F ; G) trong IP (F ; G) không ph i là duy nh t : V i b t kỳ bi n ng u

nhiên R th a mãn E((F )R) = 0 (nghĩa là E(RF ) = 0) ta cũng có th s d ng như

H(F ; G) + R ( th c t E(H(F ; G)F )) là duy nh t ) Trong s h c đi u này đóng vai trò

quan tr ng b i vì n u ta mu n tính E((F )H(F ; G)) s d ng phương pháp Monte

Carlo thì nó có th cho ta phương sai t i thi u Cũng lưu ý r ng đ th c hi n thu t

toán Monte Carlo ta có mô ph ng F và H(F ; G) Trong m t s trư ng h p, H(F ; G) có

th tính toán tr c ti p Nhưng gi i tích Malliavin cho ta m t h th ng phép toán đ tính toán

đi u này Thư ng trong các ng d ng F là l i gi i c a phương trình ng u nhiên và H(F ;

G) xu t hi n như m t s t ng h p c a các toán t vi phân trên F Nh ng đi u này cũng có

liên quan t i các phương trình ng u nhiên và vì v y ta có th s d ng m t s x p x c a các phương trình đ t o ra các thu t toán c th

Gi i tích Malliavin t o ra H(F ; G) cho m t l p l n các bi n ng u nhiên - (1.3) đ i

di n cho ví d đơn gi n ki u này, nhưng đó không ph i là m c tiêu c a ph n này đây ta

ch đưa ra m t vài h qu c a tính ch t trên

1.1.1 V n đ đ nh y

Trong nhi u ng d ng ta xem xét đ n nh ng s có d ng E((F x )) trong đó F x là m t

lo i bi n ng u nhiên ch s trên tham s h u h n x M t ví d đi n hình là F x = X x t

là m t quá trình khu ch tán b t đ u t x Đ nghiên c u đ nh y c a y u t này v i

tham s x, ta ch ng minh r ng x E((F x)) là kh vi và tìm bi u th c đ o hàm

c a nó Có hai cách đ gi i quy t v n đ này, đó là : cách ti p c n theo t ng qu đ o

ho c cách ti p c n theo phân b

Cách ti p c n theo t ng qu đ o : gi s r ng x F x() là kh vi h u kh p nơi

 ( và đây là trư ng h p x X x() trong ví d ) và  cũng kh vi Khi đó : t

xE((F x)) = E ( (F x)x F x)

nhưng cách ti p c n này không th c hi n đư c n u  không kh vi

Cách ti p c n theo phân b : vư t qua tr ng i trên nh s d ng s uy n chuy n m t đ c a

phân b c a F x Vì v y trong cách ti p c n này ta gi thi t r ng F x ∼p x (y)dy và x

p x (y) là kh vi v i m i y

Khi đó:

xE((F x)) = (y) x p x (y)dy = (y) x ln p x (y)p x (y)dy = E ((F x)x ln p x (F ))

3

Đôi khi ngư i ta g i  x ln p x (F ) là hàm đi m

Nhưng cách làm này ch dùng đư c khi

ta bi t m t đ c a phân b c a F x N u không bi t m t đ c a phân b c a F x thì

s d ng công th c tích phân t ng ph n IP (F x ;  x F x) ta có đ ng th c :

xE((F x)) = E ( (F x)x F x) = E ((F x )H(F x ;  x F x ))

Ta th y r ng đ ng th c trên đúng ngay c khi  không kh vi b i vì không có đ o

hàm c a các s h ng đ u và cu i Trong th c t ta có th s d ng m t s l p lu n

thông thư ng và sau đó chuy n qua gi i h n Do đó ta thu đư c H(F x ;  x F x)

Gi i tích Malliavin như m t cái máy cho phép tính toán s lư ng l n các l p bi n

ng u nhiên cho trư ng h p m t đ c a phân b không bi t m t cách rõ ràng (ví d

như quá trình khu ch tán) Đây là cách ti p c n trong Fourni'e, [12] và [13] đ i v i tính toán ki u Hy L p (đ nh y c a giá c a ngư i châu Âu và l a ch n c a ngư i M v i các tham

s nh t đ nh) trong các v n đ Toán tài chính

1.1.2 M t đ c a phân b

 1

Gi s r ng F th a mãn công th c IP (F ; 1) Khi đó phân b c a F là liên t c tuy t

đ i đ i v i đ đo Lebesgue và m t đ c a phân b đư c cho b i:

Đ có suy lu n chính xác, ta làm theo hàm Dirac Vì v y ta có m t hàm dương

 C(R) nh n giá tr không đ i trên [-1;1] Như v y c (y)dy = 1 và v i m i  > 0

ta xác đ nh (y) = 1(y1) Hơn n a ta xác đ nh  là nguyên hàm c a ,

y

(y) = (z)dz và ta xây d ng m t vài bi n ng u nhiên  c a phân b (y)dy,



cái mà đ c l p v i F Vì  h i t y u t i 0 khi  0 nên v i m i f C(R) ta có : c

E(f (F )) = lim E(f (F 0 )) (1.5)

Bây gi  đư c h n ch trên  và (y) 1 [x,) (y) khi  0 v i y Khi đó s

d ng đ nh lý h i t Lebesgue thông qua gi i h n ta đư c :

đi u đó đư c suy t th c t sau 1[x;+) = 1 1(;x) và nh c l i r ng E(H(F ; 1)) = 0

(Xem Nh n xét 1.1.2) Ta có đi u c n ch ng minh

Nh n xét 1.1.4 [B ch n]

5

Đ c bi t, x lim p(x) = 0 và t l h i t đư c đi u ch nh lên đ n t n cùng c a phân b 

c a F Ví d n u F có b c p h u h n cho b i p(x) Cx p/2 Đi u đáng chú ý trong

các ví d , quá trình khu ch tán thư ng có d ng mũ Vì v y v n đ c a gi i h n trên cho hàm m t đ là khá đơn gi n ( Ngư c l i, v n đ gi i h n dư i cho hàm m t đ là

m t thách th c l n) Công th c trên áp d ng cho trư ng h p x Trư ng h p tương t khi x ta s d ng công th c (1.6)

Bây gi ta nghiên c u xa hơn n a và nghiên c u v n đ đ o hàm c a hàm m t đ

hàm công th c trên cho ta :

p (z) =E(1 [z;) (F )H2(F ; 1))

6

và ta đã hoàn thành ch ng minh

v i i = 1

Đ l y đ o hàm b c cao, ta s d ng thêm tích phân t ng ph n đ nh n đư c :

p (z) = E (i (F z) Hi+1 (F; 1))

trong đó  i là hàm kh vi b c i sao cho : (ii) (x) = (1) i1[0;)(x)

Ta có ngay đi u c n ch ng minh

B đ 1.1.5 ch ra r ng có m t m i quan h tương đương (h u tương đương) gi a tích

phân t ng ph n và s t n t i "t t" m t đ c a phân b c a F Trong th c t , gi s

=E(f (F )p ((F ))1 (p>0) (F )) F

p

Vì v y ta có công th c IP (F ; 1) v i H(F ; 1) =p ((F ))1 (p>0) (F ) L1 (b i vì p (F )F

p

L1()) B ng vi c l p đi l p l i, ta thu đư c chu i tác đ ng sau đây :

Công th cIP k+1 (F ; 1)

⇒ p kh vi b c k và p (k) (F ) L1()

⇒ Công th cIP k (F ; 1) và H k (F ; 1) = (1) k pp(FF )1 (p>0) (F ) L1() (k)(

)7

1.1.3

Kỳ v ng có đi u ki n

Đi u c t y u c a vi c tính toán kỳ v ng có đi u ki n là đ gi i thích m t cách ch c

ch n các v n đ phi tuy n t các thu t toán l p trình đ ng l c h c M t s tác gi ( xem

Fourni'e [13], Lion và Regnier [19], Bally [5], Kohatsu - Higa và Petterson [15], Bouchard [10]) đã s d ng các công th c d a trên các k thu t gi i tích Malliavin đ tính toán các kỳ v

ng có đi u ki n Trong ph n này ta đưa ra d ng tr u tư ng c a công th c này

Cho (x) đ i di n cho s h ng bên trái c a đ ng th c trên Ta có th ki m tra r ng

v if C(R) ta có E(f (F )G) = E(f (F )(F )) S d ng các hàm quy t c t vi c c

1.2 Trư ng h p nhi u chi u

Trong ph n này ta nghiên c u v i bi n ng u nhiên d chi u F = (F 1, F 2, , F d) Các

k t qu liên quan đ n m t đ c a phân b và kỳ v ng có đi u ki n là khá gi ng nhau

Ta gi i thi u m t s ký hi u Cho i = 1, , d Ta đ t  i   i Cho m t đa ch s x

Cho F :  R d và G :  R là các bi n ng u nhiên kh tích Cho 1, , d k , k

N là m t đa ch s Ta nói r ng ta có công th c tích phân t ng ph n IP(F ; G) n u

t n t i bi n ng u nhiên kh tích H(F ; G) sao cho :

i) L p lu n chính c a ch ng minh ph n (i) là d a trên cơ s 0(y) =  (1, ,1)1I(0) (y) và

công th c tích phân t ng ph n Đ ch t ch , ta có th s d ng quy t c hàm Dirac

như trong ch ng minh B đ 1.1.3

ii) Đ ch ng minh (ii) ta có th s d ng như " phân ph i Schwartz" l p lu n như ch ng minh

(x i ) và th c t r ng  (1, ,1)(x) = (x) ta có đi u ph i ch ng minh

i=1

11

Chương 2

Gi i tích Malliavin Brown

2.1 Trư ng h p h u h n chi u

Trong ph n này ta gi i thi u nh ng hàm đơn gi n h u h n chi u và quá trình đơn

gi n h u h n chi u Ta đ nh nghĩa đ o hàm Malliavin và tích phân Skorohod cho các đ i tư

ng h u h n chi u và ta thu đư c nh ng tính ch t quan tr ng c a tích phân như : công th c

đ i ng u, quy t c chu i, công th c Clark - Ocone và công th c tích phân t ng ph n

Cho W = (W1, , W d ) là m t chuy n đ ng Brown d chi u đư c đ nh nghĩa trên

không gian xác su t (,, P) và ta gi s r ng nó có b l c cơ s tt[0;1] v i W là

m t chuy n đ ng Brown, nó đư c t o ra b i W và đư c khu ch tán b i các t p P có

đ đo 0 Đ đơn gi n các ký hi u, ta gi s trong trư ng h p này d = 1 Trư ng h p

nhi u chi u s đ c p sau trong M c 2.3

V i m i n, k N ta bi u th t k = k2 n và : n

∆k = W(t k+1 ) W(t k ), k = 0, , 2 n  1

12

Ta bi u th ∆n = (∆0 , , ∆2n1) Chú ý r ng ∆ n là bi n ng u nhiên Gauss nhi u

chi u, nh n giá tr trong R2n v i các véc tơ đ c l p : ∆n ∼ N (0; 2 n I2n2n) ( đây

d d)

Đ nh nghĩa 2.1.1

M t hàm đơn gi n c p n là m t bi n ng u nhiên d ng F = f (∆ n), trong đó

f C(R2n ) Ta bi u th không gian S n c a các hàm đơn gi n b c n b i : p

kỳ bi n ng u nhiên Gauss có b c h u h n tùy ý

3 S là t p con tuy n tính trù m t c a L2(,1, P) Có m t vài cách đ ch ra tính

h p lý c a kh ng đ nh này, xem ch ng minh Ph l c 2.6 (Xem ti p Đ nh lý 2.6.4)

Đ nh nghĩa 2.1.3

M t quá trình U : [0; 1]  R đư c g i là m t quá trình đơn gi n b c n n u

v i b t kỳ k = 0, , 2 n  1 t n t i m t quá trình U k  S n sao cho :

T U k  S n ta có U k = u k(∆0 , , ∆2n1), u k

C(R2n ) Do đó u k ph thu c vào t t

c các gia s c a chuy n đ ng Brown, vì v y quá trình đơn gi n nhìn chung là không

tương thích Nhưng U s tương thích n u và ch n u U k = u k(∆0 , , ∆ k1 ),k =

nhìn chung thu c vào L p ([0; 1] , B [0; 1] , dt),p 1 Khi đó n u U, V P ta có th

đ nh nghĩa tích vô hư ng trên không gian này b ng cách s d ng m t trong các tiêu

2.1.2 Các toán t vi phân Các tính ch t cơ b n

Bây gi ta có th gi i thi u đ o hàm Malliavin và toán t liên h p c a nó, tích phân

= f (∆ )1 k+1 (t)

k

= 0

N u ta bi u th ∆tn = ∆k v i t [t k , t k+1), ∆tn tương ng v i s gia c a W theo t Do

P





S ,

Chú ý nh c l i r ng đ nh nghĩa không ph thu c vào n vì v y đ nh nghĩa là phù h p

Nh n xét 2.1.7 (Tích phân Skorohod và tích phân Ito)

Ta đã chú ý r ng quá trình U P n làt - tương thích n u và ch n u u k(∆n) ch ph

thu c vào các bi n ∆1 , , ∆ k1 Do đó u k = 0 và trong trư ng h p này

nghĩa là (U ) trùng v i tích phân Ito đ i v i W Đi u này cho th y r ng tích phân

Skorohod nh m m c đích m r ng tích phân Ito qua t p h p c a quá trình không tương thích

Bây gi ta có th ch ng minh m i liên h gi a đ o hàm Malliavin v i tích phân

15

D F , U

)

=

E(

f (∆ )u (∆ ) 1 )

k

= 0

hi đó :

E[G(F U )] = E[G(F (U ) DF, U )]

v i b t kỳ G S và suy ra (iii) đư c ch ng minh

Bây gi ta đã s n sàng đ ch ng minh công th c tích phân t ng ph n đ u tiên trong

Malliavin Cho F = (F 1, , F m ) trong đó F i  S, i = 1, , m T p  F như là h ma

ijij F

Đ nh lý 2.1.9 [Công th c tích phân t ng ph n Malliavin]

Cho F = (F 1, , F m ) và G sao cho : F 1, , F m , G S Gi s r ng F là kh

F

)

(

j=1 DF jji G) F

2.2 Trư ng h p vô h n chi u

Công th c đ i ng u là công th c đư c s d ng đ ch ra toán t D,  là các toán t

đóng và tính ch t cu i cùng cho phép ta m r ng ra trư ng h p vô h n chi u, nghĩa là cho

bi n ng u nhiên và quá trình không nh t thi t ph i ph thu c vào các s gia c a chuy n đ

ng Brown nhưng ph thu c vào t ng nh ng cách th c hi n

Ta hãy b t đ u b ng nh ng d ki n sau đây, ta th y r ng:

D và  là hai toán t đóng, nghĩa là :

(i) N uF nn  S sao cho: lim F n = 0 trong L2() và lim DF n = U trong L2(H1) thì

(ii) N uU nn  P sao cho: lim U n = 0 trong L2(H1) và lim (U n ) = F trong L2()

Vì P là trù m t trong L2(H1), đi u đó đ ch ng t r ng E( U, V ) = 0,V P

Th t

v y, n u V P , b ng cách s d ng công th c đ i ng u ta có :

E( U, V ) = lim E( DF n n , V ) = lim E(F n n (V )) = 0

(ii) đư c ch ng minh tương t

2.2.1 Mi n xác đ nh t p Domp(D) = D1,p

Trư c tiên ta gi i thi u m t t p phù h p v i đ o hàm Malliavin D là xác đ nh t t và

khi đó m r ng t p S các hàm đơn gi n

Đ nh nghĩa 2.2.2

Cho p N Ta nói r ng F Dom p (D) = D 1,p n u t n t i m t dãyF nn  S sao

cho: lim F n = F trong L p () và lim DF n = U trong L p (H1) v i U L p (H1) Trong

n

1,p trên D1,p như sau :

m t dãy Cauchy trong 1

,p (ii) Khi đó ta có : D1,p  Dom p (D) = S ¯ . 1,p

(iii) Dom p (D) là đ y đ , t c là m i dãy Cauchy trong Dom p (D) h i t t i m t ph n

t c a Dom p (D) Th t v y, xem xét m t dãy Cauchy (F n)nN v i chu n 1

,p Dãy

này cũng là m t dãy Cauchy v i chu n và ta bi t r ng L p là đ y đ , vì v y t n p

t i F L p () sao cho F n  F trong p Vì F n  Dom p (D) nên ta có th tìm th y

m t dãy các hàm đơn gi n F n sao cho : F n  F n 1,p  1 vì v y (F n)nN là m t dãy

n

Cauchy v i 1,p và F n  F trong p Vì v y F Dom p (D)

2.2.2 Mi n xác đ nh t p Domp()

Nh c l i r ng ta gi i thi u m t t p phù h p v i tích phân Skorohod  là xác đ nh t t

và khi đó m r ng t p P c a quá trình đơn gi n Ta b t đ u tương t như đ nh nghĩa 2.2.2

Đ nh nghĩa 2.2.4

Cho p N Ta nói r ng U Dom p() n u t n t i m t dãyUnn  P, n N sao cho

: lim U n = U trong L p (H1) và lim (U n ) = F trong L p () v i F L p()

ta

có

:

1 ) +  (U )

(i) B t kỳ t p b ch n nào trong không gian Hilbert đ u là compact tương đ i, vì v y

ta có th tìm đư c F D 1,2 sao cho : F n h i t y u t i F

Ta th y r ng trong trư ng h p h u h n chi u công th c tích phân Malliavin có th có m t stính ch t đư c công nh n, đ c bi t trong m i quan h đ i ng u, quy t c

1B đ Mazur : Cho (X, ) là m t không gian Banach vàu nn  X sao cho u n h i t y u

đ n u (nghĩa là : f (u n ) f (u) v i m i hàm tuy n tính liên t c f) Khi đó t n t i m t hàm

chu i đ i v i các m c đích th c hành, đ c bi t làtích phân Skorohod Nói cách khác,

n u Đ nh lý 2.1.8 v n đúng, câu tr l i là rõ ràng, và trong th c t ta có Đ nh lý

2.2.6

(i) [Đ i ng u] Cho F Dom2(D) và U Dom2() , ta có :

E( DF, U ) = E(F (U )) (ii)[Quy t c chu i] Cho F = (F 1, , F m ) trong đó F i D1,2 , i = 1, , m và

 C1(Rm ) Khi đó : (F ) D 1,2 và b

D(F ) =

m i=1

(ii) Trư c tiên ta ch ng minh r ng n u F k  S v i b t kỳ k = 1, , m và  C1(Rm) b

thì (F ) D 1,2 và th a mãn quy t c chu i Th t v y, chonn  C(Rm)b

C(Rm) là m t dãy sao cho p