L: S!S;LF = (DF) úng vợi mŁi liản hằ Łi ng¤u sau
2.3 Chuy”n ºng Brown nhi•u chi•u
Trong phƒn n y ta giÊi quy‚t vợi chuy”n ºng Brown d chi•u W = (W 1; : : : ; W d) xĂc ành trản mºt khổng gian xĂc suĐt ı ( ; F; P) , trong õ F = fFtgt2[0;1] ữổc sinh ra bði W v ữổc thảm v o cĂc t“p P - º o 0. ành nghắa ⁄o h m Malliavin v t‰ch phƠn Skorohod cụng nhữ cĂc t‰nh chĐt thu ữổc, cõ th” mð rºng nhữ trong giÊi t‰ch thổng thữớng. Nõ d„ d ng ” mổ tÊ nhœng ỵ tữðng ch‰nh.
V‰ dử : Ta thĐy ⁄o h m Malliavin ữổc cho bði: DtF =
trong õ ⁄o h m ð trản theo "mºt v i nghắa n o õ". Giớ Ơy, tł viằc ta cõ chuy”n ºng Brown d chi•u, v khi õ d chuy”n ºng Brown ºc l“p vợi nhau, khi õ ⁄o h m trð th nh mºt
"gradient" tł nguyản lỵ nõ cõ th” thỹc hiằn Łi vợi tĐt cÊ d chi•u DtF = (Dt1F; : : : ; DtdF ); DtiF = @@F
Wti ; i = 1; : : : ; d
BƠy giớ, liản hằ vợi t‰ch phƠn Skorohod, nõ trð l⁄i vợi toĂn tò liản hổp. Tł cổng cử chı y‚u l mŁi quan hằ Łi ngÔu, õ l : E(hDF; Ui) = E(F (U)), nõ d„ cho thĐy toĂn tò l cỡ sð tĐt y‚u trản quĂ tr…nh nh“n giĂ trà trản Rd. Hỡn nœa, Łi vợi quĂ tr…nh tữỡng th
‰ch Skorohod v t‰ch phƠn Ito s‡ cho ph†p : Łi vợi quĂ tr…nh tữỡng th‰ch Ut = (Ut1; : : : ; Utd) vợi cĂc t‰nh chĐt thổng thữớng cho t‰ch phƠn Ito
1 Z dX
(U) = UtidWti
0 i=1
34
Những ta b›t ƒu b‹ng viằc giợi thiằu cĂc kỵ hiằu.
Cho n; k 2 N, ta bi”u thà tkn = k2 n v
k;i = Wi(tk+1) Wi(tk ); k = 0; : : : ; 2n 1; i = 1; : : : ; d n n n
( Kỵ hiằu * bi”u thà chuy”n và). Ta nh›c l⁄i r‹ng khi i; k khĂc nhau, cĂc bi‚n ngÔu nhiản k;in l nhi•u chi•u, v k;in N(0; 21
n ). Do â, n = ( 0n; : : : ; 2nn1) 2 Rd2n l mºt ma tr“n d 2n.
Khi õ, mºt h m ỡn giÊn b“c n l mºt bi‚n ngÔu nhiản d⁄ng F = f( n) trong õ f 2 Cp1(Rd 2n ). Khổng gian cĂc h m ỡn giÊn b“c n l
Sn = fF = f( n) : f 2 Cp1(Rd 2n )g S
Ta °t S = Sn l t“p t§t c£ c¡c h m ìn gi£n
n
QuĂ tr…nh U : [0; 1] ! Rd ữổc gồi l mºt quĂ tr…nh ỡn giÊn b“c n n‚u Ut = (Ut1; : : : ; Utd) vợi :
2n
Xk
Uti(!) =
=0
nõ cõ tĂc dửng ” chú ỵ r‹ng Ut l mºt bi‚n ngÔu nhiản lĐy giĂ trà trản Rd. Nh›c l⁄i r‹ng thı tửc Uki 2 Sn cho ph†p ta vi‚t v†c tỡ thứ i : Ui cıa mºt quĂ tr…nh ỡn giÊn b“c n l :
2n
U
ti
(!) =
X
k=0
vợi i = 1; : : : ; d: Nh›c l⁄i r‹ng, mºt quĂ tr…nh ỡn giÊn b“c n l tữỡng th‰ch n‚u v ch¿ n‚u :
uik( n) uik( 0n; : : : ;2nn 1) = uik( 0n; : : : ; kn 1
) vợi k v i bĐt ký . Ta k‰ hiằu Pnd
l t“p cıa c¡c qu¡ tr…nh ìn gi£n b“c n v qu¡ tr…nh ìn gi£n .
Vợi mỉi ! cŁ ành, ! 2 ; t 7!Ut l mºt phƒn tò cıa :
L2([0; 1]; B[0; 1]; dt; Rd) = f’ : [0; 1] ! Rd : ’ l o ữổc Borel v 35
Khi õ trản P d ta cõ th” xĂc ành mºt t‰ch vổ trản L2
hữợng b‹ng cĂch sò dửng thữớng xuyản Vsids
chó þ r‹ng gi¡ trà k‚t qu£ l mºt bi‚n ngÔu nhiản.
Gií ¥y ta bi”u thà : Lp(Hd) = fU : Khi â, P d Lp(Hd); 8p 2 N.
ành nghắa 2.3.1.
⁄o h m Malliavin cıa bi‚n F = f( n) 2 Sn l mºt qu¡ tr…nh ìn gi£n fDtF gt2[0;1]
2 Pnd ữổc cho bði
DtF = (Dt1F; : : : ; DtdF ) trong â
2n
DtiF =
Xk
Chú ỵ r‹ng Dti l ⁄o h m Malliavin mổ tÊ trong phƒn trữợc n‚u ta xem x†t chuy”n ºng Brown W i . Trong mºt sŁ nghắa n o õ, ” xĂc ành Dti ngữới ta phÊi õng bông tĐt cÊ cĂc nguỗn ký vồng ngÔu nhiản thứ i. õ l lỵ do t⁄i sao Dti thữớng ữổc gồi l ⁄o h m Malliavin theo hữợng i cıa chuy”n ºng Brown.
ành nghắa 2.3.2.
d
T‰ch phƠn Skorohod ữổc ành nghắa l toĂn tò
: P d ! S; (U) = Pi(Ui)
trong â i=1
Ui =
t
i i
(U)=
i = 1; : : : ; d:
Nh›c l⁄i r‹ng, i(Ui) phũ hổp vợi ành nghắa mºt chi•u cıa t‰ch ph¥n Skorohod : ìn giÊn, thỹc hiằn trản chuy”n ºng Brown W i ho°c tữỡng ữỡng trản hữợng thứ i cıa chuy”n ºng Brown W .
Cụng chú ỵ r‹ng bĐt cứ khi n o U tữỡng th
‰ch, @x@u
k;ik = 0; 8i, v… v“y
d
(U) = i=1
X X 36
nghắa l t‰ch phƠn Skorohod trũng vợi t‰ch phƠn Ito.
Tữỡng tỹ cho nhœng i•u ữổc vi‚t trong Mửc 2.1.2, nõ cho k‚t quÊ tữỡng tỹ nhữ trong ành lþ 2.1.8.
ành lþ 2.3.3
(i)[ Łi ng¤u ] Cho b§t ký F 2 S v U 2 P , E(hDF; Ui) = E(F (U))
(ii)[Quy t›c chuỉi]Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong õ F i 2 S; i = 1; : : : ; m v 2 Cb1
(Rm). Khi â (F ) 2 S v
X m
Di (F ) = @xl (F )DiF l; i = 1; : : : ; d:
l=1
(iii) [T‰ch ph¥n Skorohod cıa mºt t‰ch ] Cho U 2 P d v F 2 S, (F U) = F (U) h DF; Ui
CĂc chứng minh tữỡng tỹ nhữ ành lỵ 2.1.8. °c biằt, mŁi liản hằ Łi ngÔu cho ph†p mð rºng cĂc toĂn tò ra trữớng hổp vổ h⁄n chi•u. Th“t v“y, b‹ng nhœng l“p lu“n tữỡng tỹ nhữ Mửc 2.2, ta chứng minh ữổc ngay cĂc toĂn tò D v l cĂc toĂn tò õng. Khi õ :
D : D1;2 L2( ) ! L2(Hd) v : Dom2( ) L2(Hd) ! L2( ):
T§t c£ c¡c t‰nh ch§t trongành lþ 2.3.3 câ th” mð rºng v cho nh÷ sau ành lþ 2.3.4.
(i)[ Łi ng¤u ] Cho b§t ký F 2 D1;2 v U 2 Dom2( ), E(hDF; Ui) = E(F (U))
(ii)[Quy t›c chuỉi]Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong õ F i 2 D1;2; i = 1; : : : ; m v 2 Cb1(Rm). Khi â (F ) 2 S v
X m
Di (F ) = @xl (F )DiF l; i = 1; : : : ; d:
l=1
(iii) [T‰ch ph¥n Skorohod cıa mºt t‰ch ] Cho U 2 Dom2( ) v F 2 D1;2 sao cho F U 2 Dom2( ),
(F U) = F (U) h DF; Ui 37
Nh›c l⁄i r‹ng, chứng minh b‹ng l“p lu“n m“t º tữỡng tỹ nhữ trong ành lỵ 2.2.6. Liản quan ‚n v‰ dử tr…nh b y trong Mửc 2.2.4, ta xem vĐn • trong trữớng hổp nhi•u chi•u ( viằc chứng minh tữỡng tỹ nản ta bọ qua). V‰ dử 2.3.5[Chuy”n ºng Brown - xem V‰ dử 2.2.9]
Cho F = Wti; t 2 [0; 1]. Khi â F 2 Dom2(D) v DsjWti = 1i=j1s t.
V‰ dử 2.3.6[T‰ch phƠn Ito cıa cĂc h m b…nh phữỡng khÊ t‰ch - xem v‰ dử 2.2.10]
1
Cho 2 L2([0; 1]) v t“p Wj( ) := R
0
DsiWj( ) =
V‰ dử 2.3.7[xem V‰ dử 2.2.11]
Cho lj 2 L2(0; 1); l = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; d v d 1
F = (P R
j1(s)dWsj; : : : ;
j=1 0
Khi â F 2 D1;2 v
d 1 P R j
m(s)dWsj j=1 0 ):
m
DsiF =
kP
=1
V‰ dử 2.3.8
Cho U l mºt qu¡ tr…nh t÷ìng th‰ch sao cho E(R
0
Ta giÊ thi‚t r‹ng vợi mỉi r cŁ ành, r 2 [0; 1]; Ur
(i) sup kUrk1;2 < 1.
r 1
(ii) °t n(r) = br2nc
/2n v Urn = U n(r), Khi â:
1kUr Urnk12
R0
38
Khi õ, Ii(U) 2 D1;2 vợi i = 0; 1; : : : ; d v ta cõ:
v vợi i = 1; : : : ; d
:
(2.8)
(2.9)
Łi vợi to¡n tò L Orns tein - Uhle mbe ck, trản lợp c¡c h m ìn gi£n S ta câ:
v… v“y E(F LG) = E(hDF; DGi) = E(LF G) Khi
â, ta chứn g minh
ữổc L l
âng, v… v“y DompL = Sk:kL;p , trong â F 2 S,
Nh›c l⁄i r‹ng, Dom1L = ành lþ 2.3.9.
Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong â F i 2 Dom1L; i = 1; : : : ; m v (F ) 2 Dom1L v
L (F)=
Łi vợi cổng thức Clark - Ocone, ta nh“nữổc k‚t quÊ
t÷ìng tü, â l ành lþ 2.3.10.
(i) [Cổng thức Clark - Ocone]
d R1
N‚u F 2 D1;2 th… F = E(F ) + P E(DtkF jFt)dWtk:
k=1 0
(ii) N‚u F 2 D1;2 th… F l mºt h‹ng sŁ n‚u v ch¿ n‚u DF = 0
(iii) N‚u A 2 F1 th… 1A 2 D1;2 n‚u v ch¿ n‚u ho°c P(A) = 1 ho°c P(A) = 0.
BƠy giớ ta thÊo lu“n v• cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn. Ta hÂy b›t ƒu b‹ng cĂch giợi thiằu ma tr“n hiằp phữỡng sai Malliavin v giÊ thi‚t khổng suy bi‚n (N D) trong trữớng hổp nhi•u chi•u.
39
ành nghắa 2.3.11.
Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong õ F l 2 D1;2 . Ma tr“n hiằp phữỡng sai Malliavin l ma tr“n Łi xứng xĂc ành dữỡng bði 3
1
Flj = DF l; DF j =Z
Ta nõi r‹ng F Ăp ứng giÊ thi‚t khổng suy bi‚n n‚u
N‚u (2.10) óng th… F hƒu ch›c ch›n kh£ nghàch, ta bi”u thà: F = F
câ:
ành lỵ 2.3.12. [Cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn Malliavin]
Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong â F l
F i;j 2D1;1; DjFl
1 T
p2N
F . Khi â 8 2 Cb (R ) ta câ :
E(@i (F )G) = E( (F )Hi(F; G)); i = 1; : : : ; m trong â
m
H
i
(F; G) = j=1
X Ta công d„ câ i•u tŒng qu¡t sau. X†t
b§t ký i = 1; : : : ; m. Cho F = (F 1; : : : ;
i = ( i1; : : : ; im) trong õ i 2 Dom1( ) vợi F m), v t“p
F;ij
= DF i; j Khi õ, ta d„ d ng th‰ch ứng vợi chứng minh cıa cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn
Malliavin ” câ i•u sau
38 2 Rm ta câ
m
h F ; i = l;j=1 Flj
P
thỹc sỹ phı ành ành nghắa ma tr“n.
40
ành lỵ 2.3.13. [Cổng thức t‰ch phƠn tłng phƒn Malliavin tŒng quĂt]
Cho F = (F 1; : : : ; F m) trong â F i 2 D1;1 v cho i = ( i1; : : : ; im) trong â i 2
Dom1( ) vợi bĐt ký i = 1; : : : ; m. GiÊ sò r‹ng F;ij 2 D1;1 vợi bĐt ký i; j = 1; : : : ; m v E(jdet F; j p) < 1 vợi bĐt ký p. V… v“y 8G 2 D1;1; 2 Cp1(Rm) ta cõ :
trong â
H (F; G) =
l
vợi F; = F;1.