Bài 1-Tính đơn điệu

Định lí tính đơn điệu và dấu của đạo hàm: Cho hàm số yf x có đạo hàm trên K... o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng của tập

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa tính đơn điệu:

Cho hàm số yf x( ) xác định trên tập K.

 Hàm số yf x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2K, x1x2  f x( )1  f x( )2

 Hàm số yf x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2K, x1x2  f x( )1  f x( )2

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K.

 Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm ( )f x , ta hay

Nếu T 0 thì hàm ( )f x đồng biến trên K. (Tức là f x( )1  f x( )2 cùng dấu với x1 x2)

Nếu T 0 thì hàm ( )f x nghịch biến trên K. (Tức là f x( )1  f x( )2 trái dấu với x1 x2)

2 Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên K.

 Nếu ( ) 0f x  với mọi x K thì hàm ( )f x đồng biến trên K

 Nếu ( ) 0f x  với mọi x K thì hàm ( )f x nghịch biến trên K.

 Chú ý:

 Định lí trên được mở rộng với ( ) 0f x  (hay ( ) 0f x  ) trong trường hợp ( ) 0f x  tại

một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên a b; 

và có đạo hàm ( ) 0,f x   x ( ; )a b thì hàm số

đồng biến trên a b;  (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên a b;  ).

 Bài toán 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số.

 Phương pháp:

o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số

o Bước 2: Tính yf x( ) ; cho y  0 ¾¾ ¾ ¾®Tìm nghieäm x x1 , 2 (nếu có)

o Bước 3: Lập bảng biến thiên.

o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các

khoảng của tập xác định

 Lưu ý:

o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học

sinh phải tuyệt đối chính xác

o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ

“trong trái ngoài cùng” Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái

dấu a, khu vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a Tuy nhiên nếu đạo hàm

không có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng Vậy

có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán?

 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:

o Để xét dấu đạo hàm y trên một khoảng ( ; )  nào đó, ta chọn một giá trị x0( ; ) 

rồi thay vào y, từ đó suy ra được dấu của y trên ( ; ) 

o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm

Dạng toán 1

Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

x y

1

x y

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 3 Chọn mệnh đề đúng về hàm số

2 12

x y x







A Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

2

y   x

(nhận)

 Bảng biến thiên:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Kết luận: Hàm số đồng biến

trên

30;

2

 

 

  , nghịch biến trên3

;32

 

 

    Chọn A

Ví dụ 5 Cho hàm số y x  3 2 2 x Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2;2).

B Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (  ; 2) và đồng biến trên khoảng ( 2;2).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2)

 Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;1

và nghịch biến trên khoảng 1;2

x

y  x

với x0; Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên 0; B Hàm số nghịch biến trên 0;

C Hàm số nghịch biến trên

70;

x x

25



    Chọn D

 Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;   Chọn A

 Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x 2

x x

nghịch biến trên khoảng nào?

 Do đĩ h x  0 x x  3 0 0  x 3   Chọn A

Ví dụ 13 Cho hàm số yf x 

cĩ đạo hàm liên tục trên  và f x  x x2 1   g x  trong1

đĩ g x  0,    Hàm số x yf 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảngxsau?

A

52;

o Dựa vào bảng xét dấu của g x 

để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Xét g x  2018.f x  0 f x  0 x 1

 Vậy hàm số y2018.f x  đồng biến trên khoảng 1;    Chọn B

Ví dụ 15 Cho hàm số f ( x ) Hàm số y=f '(x ) cĩ bảng xét dấu như sau:

2

11

rút ra thuật toán cho loại toán này.

Bài toán: Xét dấu g x  k f x  h x 

khi đã biết bảng xét dấu của f x 

, k là hằng số.

o Cho h x   0 để tìm các nghiệm x x1, 2 (nếu có).

o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho x k f x h x kf x,  ,  ,  h x 

theo quy

(Cần hiểu rằng với mỗi giá trị x cụ thể, ta cũng chỉ tìm được một giá trị của 3 2x )

 Hợp nghiệm trong hai trường hợp, ta cĩ g x  0 x  1;1  3;     Chọn C

Ví dụ 19 Cho hàm số yf x  cĩ đạo hàm xác định và liên tục trên  Đặt g x  fx3 x

y y

0

y y

cx d



 



o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định y0, x D ad bc 0 ¾¾ ¾®Giải tìm m.

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định y0, x D ad bc 0 ¾¾ ¾®Giải tìm m.

 Lưu ý: Nếu hàm số

ax b y

Ax Bx C y

a b A d

o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định y  0, x D

ax bx c y

dx ex f

 



  thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên

 Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài tốn 2, bài tốn 3 là: Đối với bài

tốn 2, đạo hàm ychỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ khơng được cho y0, y Lý do 0

là nếu ta cho y thì sẽ cĩ vơ số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ 0 y tại một 0

số hữu hạn điểm x mà thơi)

 Ta thấy m  thỏa mãn đề bài 2   Chọn A

Ví dụ 21 Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số ym1x3m1x2 2m1x5nghịch biến trên tập xác định

thỏa mãn đề bài   Chọn D

 Nhận xét: Hai ví dụ trên cĩ sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a luơn khác 0; trường

hợp cịn lại thì a chứa tham số m, khi đĩ ta phải xét thêm a 0 để kiểm tra xem đạo hàm cĩ luơnmang một dấu thỏa mãn đề bài khơng

Ví dụ 22 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

2

4

x m y

x





 đồng biến trên từngkhoảng xác định của nĩ?

Lời giải:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Tập xác định: D \ 4  Đạo hàm:  

2 2

4

.4

m y

 Vậy cĩ 3 giá trị của m thỏa mãn   Chọn C

Ví dụ 23 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

91

x m y

mx





 nghịch biến trên từngkhoảng xác định của nĩ?

91

m y

mx



 

 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

x



 ( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của

nĩ khi các giá trị của m là

A m 1 B m 1 C

52

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ khi và chỉ khi y 0,  x D

(Dấu " " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D) g x  x24x2m 1 0, x D

o Tìm Max-Min cho hàm số h x  trên . (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm h x ).

o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.

 Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y ax b  Vì đạo hàm của

nó không đổi dấu trên  ;  bất kì nên chỉ cần ( ) 0, ( ) 0y   y   thì y0,  x  ; ; tương

A

52

m 

52

m 

52

m 

3.2

m   

  D

14; 2

3

m   

  thỏa mãn đề bài

trên khoảng K cho trước.

Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 28 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

65

x y

x m





 nghịch biến trênkhoảng 10;

m x





 nghịch biến trênkhoảng 3;1

4

m y

m x



 



 Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1  y 0,  x  3;1

3;1

m m

m m m

 Do m  nên m  Vậy cĩ một giá trị m thỏa mãn đề bài 1   Chọn C

Ví dụ 30 (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

tan

x y

 Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho

là tích hai vế phải của (1) và (2).

1tan

m y

Đạo hàm của hàm số đã cho

là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt tsin 2x t2cos 2x (1)

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.2 cos 2sin 2

m 

thỏa mãn đề bài

C

  Chọn

 Bài tốn 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với

K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y¢ =f x¢ ( ).

 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên K Û y¢³ 0," Ỵx K.

 Hàm số nghịch biến trên K Û y¢£ 0," Ỵx K.

 Bước 3:

Cách 1:  Biến đổi theo dạng m³ g x( )," Ỵx K (hoặc m£ g x( )," Ỵx K).

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) với mọi x KỴ .

 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

Cách 2:

 Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y¢=0 (x phụ thuộc m).

 Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm)

Bài tốn mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y=ax3 +bx2 +cx d+ đơn điệu trên một

khoảng cĩ độ dài p.

 Phương pháp:

o Bước 1: Đạo hàm y¢=3ax2+2bx c+

o Bước 2:

 Hàm số đồng biến trên khoảng cĩ độ dài pÛ y¢ cĩ hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

1 2

0

y y

a

p a

p a

 Do đĩ giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài tốn là m  2   Chọn C

Ví dụ 34 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

ê ³

ë   Chọn B

 Nhận xét: Trong cả ba ví dụ trên, ta đều cơ lập được m về một vế khi xét dấu đạo hàm Vì vậy

mà việc cịn lại chỉ là khảo sát hàm số thuộc vế cịn lại để đưa ra kết luận về điều kiện của m Tuy

nhiên, trong quá trình giải tốn hàm số, các em học sinh cũng sẽ gặp nhiều bài tốn mà khi xét dấu

đạo hàm thì khơng thể cơ lập được m, khi đĩ, ta dùng cách 2 trong mục phương pháp để xử lý.

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Mẹo nhỏ: Để tìm nghiệm đẹp trong phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máytính chức năng giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay m 100 Nghiệm tìm được ta sẽ

liên hệ với 100 để đưa về dạng x phụ thuộc m.

Chẳng hạn, trong bài này, ta giải: x2 2m1x m m  1  0

Nhập vào máy chức năng giải phương trình bậc hai với   

 Nếu m là số nguyên thuộc a b;  với ,a b   thì số các giá trị m là: b a  1

Ví dụ 37 Tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

 (xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên).

 Vì m 2 m , m   nên ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 38 Cho hàm số y= +(x m)3- 7(x m+ )2- 5 (với m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;1)- .

m m

- Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên

âm của m để hàm số đã cho đồng biến trên 2;

 Với bất phương trình (*), ta không thể cô lập m về một vế, cũng không thể tìm được nghiệm đẹp

trong phương trình g x( )=0 Thật may mắn rằng hệ số a không phụ thuộc m , vì vậy ta vẫn sử dụng được bảng xét dấu tạm thời, kết hợp định lí Vi-ét để xử lý dạng toán này

>-

 Kết hợp cả hai trường hợp trên ta cĩ được mỴ  Mặt khác m nguyên âm nên cĩ vơ số

giá trị m thỏa mãn đề bài   Chọn D

Ví dụ 40 Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số y x 3(m1)x24x7 cĩ độ dài khoảng

nghịch biến đúng bằng

4.3

A

5.3

m m

m m

m m

Ví dụ 41 Cho hàm số y x33x2(m1)x2m 3 Với m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm

số đã cho đồng biến trên một khoảng cĩ độ dài lớn hơn 1?

A m    ( 2; ) B m    ( ; 2) C

5

; 4

m   

  D

5

; 4

a

m

m a

m  

thỏa mãn đề bài   Chọn C

 Bài tốn 7: Bài tốn tham số đối với những dạng hàm số khác.

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y¢=f x¢ ( ).

 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên K Û y¢³ 0," Ỵx K.

 Hàm số nghịch biến trên K Û y¢ £ 0, " Ỵx K.

 Bước 3:

 Biến đổi theo dạng m³ g x( )," Ỵx K (hoặc m£ g x( )," Ỵx K).

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) với mọi x KỴ .

 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

Ví dụ 42 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

Vậy cĩ 2 giá trị của m thỏa mãn   Chọn A

Ví dụ 43 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2   1

1

 Vậy  *  m  , mà m nguyên thuộc 1 2018; 2018

suy ra m   2018; 2017; ; 1  

Do đĩ cĩ tất cả:   1  2018 1 2018 

giá trị m thỏa mãn   Chọn A

Ví dụ 46 Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y(m2 3)sinx tanx nghịch

Đặt tsinx tcosx (1)

  

2 2 2

.cos1

a

m m

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

A.

32

2

.2

u u u

u u

Ví dụ 49 (Chuyên Đại học Vinh – Lần 2 năm 2020) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của

tham số m sao cho hàm số

Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 20

để hàm số yf x 23x m 

đồng biến trênkhoảng 0; 2?

 Hợp nghiệm vừa tìm được, ta có:

113

m m

 Bước 1: Tính đạo hàm ( )f x và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương).

 Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:

 Nếu hàm ( )f x đồng biến trên a b; 

 Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng ( )f u f v( ) với ,u v D .

 Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng ( )f t đơn điệu trên D ( ( ) f t luôn âm hoặc luôn dương

trên D ).

 Bước 3: Giải phương trình:

( ) ( ) ( )

 Bước 2: Tính đạo hàm ( )f x và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là hàm ( )f x

đơn điệu trên miền xác định)

 Bước 3: Chứng minh hàm số ( )g x là hàm hằng hoặc đơn điệu (ngược lại hàm ( ) f x ) Từ đó

khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x x 0

Dạng toán 3

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

 

 

31; 2

Lời giải:

 Điều kiện:

12

a

a b x

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1. Cho hàm số y x 3 3 x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1

và nghịch biến trên khoảng 1; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng (   ; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1

và đồng biến trên khoảng 1; .

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên  ?

A

2 13

x y

 D y 1 x3

Câu 4. Hàm số y2x41 đồng biến trên khoảng nào ?

A 0; 

1

;2

x y x

x y x





 Khẳng định nào sau đây là đúng?

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1

và nghịch biến trên khoảng 1; .

Câu 8. Cho hàm số y x 3 2x2  Khẳng định nào sau đây đúng?x 1

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng

1

;13

Câu 11. Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 2 x1 3 2 x Hàm số f x  đồng biến trên

khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Câu 13. Cho hàm số yf x 

liên tục trên  và có đạo hàm f x   x2 x12018x 22019

.Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x 2

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1; 2 và 2;  .

y x  mx  m x

đồng biến trên  khi và chỉ khi

A  3 m5 B

53

m m

m m

Câu 16. Cho hàm số y x21 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 

Câu 17. Hàm số y x2 x nghịch biến trên khoảng

A

1

;2

Câu 18. Cho hàm số f x( ) (1  x2 2019) Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Hàm số đồng biến trên R B Hàm số đồng biến trên ( ;0)

C Hàm số nghịch biến trên ( ;0) D Hàm số nghịch biến trên R

Câu 19. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số

21

x m y