Giáo án ôn thi vào lớp 10 môn toán 2 cột

Giáo án ôn thi vào 10 môn toán 2 cột

CHUYấN ĐỀ I: CĂN THỨC BẬC HAI

b) Tỡm x để Q > - Q

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

H ớng dẫn :

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2 .

H ớng dẫn :

x x

a) Rỳt gọn biểu thức sau A

b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tỡm x để A < 0

d) Tỡm x để A = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1 Biểu thức rút gọn : A =

b) Xác định a đĨ biĨu thức A >

2

1

2

1

Bài 5 : Cho biểu thức: A =

2 2

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P





 b) Ta thấy x7 4 3  ĐKXĐ Suy ra

22

3 3 103

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

3 P

b So sánh A với 1

A ( KQ : A =

96

x x

 )

b Tìm x để A < -1

2

 )

ÔN THI HọC Kì ICHUYấN ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤTB

ài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

B

ài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tỡm điều kiện của m để hàm số luụn nghịch biến

2) Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3.

B

ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

B

ài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .

B

ài 6 : Giả sử đường thẳng (d) cú phương trỡnh y = ax + b Xỏc định a, b để (d) đi qua hai điểm

A(1; 3) và B(-3; -1)

Bài 7 Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm

số đồng biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?

Bài 8: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua

điểm A(2;7)

2x  và (d2): y = x2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B Tính BA ?

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

+ Nếu a = 0 và b = 0  phương trình có vô số nghiệm.

x a'

c

by

1

x x

1-2x

3

 + 1 ≠ 0Vậy x =

+ Nếu m 2 thỡ (1)  x = - (m + 2).

+ Nếu m = 2 thỡ (1) vụ nghiệm

Vớ dụ 3 : Tỡm m  Z để phương trỡnh sau đõy cú nghiệm nguyờn

(2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0

Giải :

Ta cú : với m  Z thỡ 2m – 3 0 , võy phương trỡnh cú nghiệm : x = - (m + 2) -

3 - m 2

4

ài 1 : Giải hệ phương trỡnh:

2) Gọi nghiệm của hệ phương trỡnh là (x, y) Tỡm cỏc giỏ trị của m để x + y = -1

3) Tỡm đẳng thức liờn hệ giữa x và y khụng phụ thuộc vào m

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

 cú nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tỡm đẳng thức liờn hệ giữa x và y khụng phụ thuộc vào a

2) Tỡm cỏc giỏ trị của a thoả món 6x2 – 17y = 5

3) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của a để biểu thức 2x 5y

x y



 nhận giỏ trị nguyờn

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.

0 3)y (m

mx

0

y m -

ài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì

gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tínhvận tốc của mỗi xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.

B

ài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.

5

6 giờ nữa mới nay bể Nếumột mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể

y 2,5

x

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C

B

ài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50% Lại thêm

300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít trong dungdịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

% 100 500

y 200) (

% 50

% 100 200

y 200) (

y 400

x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%

CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

- hoặc vô nghiệm

- hoặc vô số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 ( / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm

*  = 0 ( / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -

a

b

2 (hoặc x1,2 = -

p = x1x2 =

a c

Đảo lại: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu có )của phương trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3 Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phươngtrình Ta có các kết quả sau:

S

4 Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

a c

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

 Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và   0 thì phương trình có nghiệm

c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện   0)

d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trước Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và

giải phương trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai

này có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước

ài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

B

ài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tỡm điều kiện của m để hàm số luụn nghịch biến

2) Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3

B

ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

B

ài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .

B

ài 6 : Giả sử đường thẳng (d) cú phương trỡnh y = ax + b Xỏc định a, b để (d) đi qua hai điểm

A(1; 3) và B(-3; -1)

Bài 7 Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm

số đồng biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?

Bài 8: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua

điểm A(2;7)

2x  và (d2): y = x2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d) cắt (d) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B Tính BA ?

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

- Với m =3 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thỡ phương trỡnh cú nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu  / < 0  -3 < m < 3 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

Kết kuận:

 Với m = 3 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = 4

 Với m = - 3 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = -2

 Với m < - 3 hoặc m > 3 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt

 Với -3< m < 3 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phương trỡnh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Hướng dẫn

 Nếu m – 3 = 0  m = 3 thỡ phương trỡnh đó cho cú dạng

- 6x – 3 = 0  x = -

2 1

* Nếu m – 3 0  m  3 Phương trỡnh đó cho là phương trỡnh bậc hai cú biệt số  / = m2

Với m = 2 phương trỡnh cú nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phương trỡnh cú nghiệm x1,2 =

3

2 3

Với m < 2 phương trỡnh vụ nghiệm

Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh sau bằng cỏch nhẩm nhanh nhất

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3  5)x - 15 = 0

d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

7 2 - 3 x x 2 1 2 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7

Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)

2 1

m

m x

1)(

1(

2)(

2 1

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

1 = 0  9X2 + X - 1 = 0

Bài 6 : Cho phương trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

1 Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

3 Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) Tìm k để : x1 + x2 > 0

9) = 5(k2 – 2

5

3

k + 25

9 + 25

36) = 5(k -

5

3) + 5

36 > 0 với mọi giá trị của k Vậy phươngtrình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p < 0

 - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2

2

1

k + 4

1 + 4

7) < 0

87]

Do đó x1 + x2 > 0  (k – 1)[(2k -

4

5)2 + 16

87] > 0  k – 1 > 0 ( vì (2k -

4

5)2 + 16

87 > 0 với mọi k)  k > 1

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phương trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.)

1 + 4

19 = (m +

2

1)2 + 4

19 > 0 với mọi m Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

19]

=> x 1 x2 = 2

4

19 ) 2

 = 19 khi m +

2

1 = 0  m = -

2 1

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Giải:

1) Thay m = -

2

9 vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 5x2 - 20 x + 15 = 0

phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;

4 2

m m

m

Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11 vào phương trình đã cho ta được phương trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 =

15

5 = 3

1 (thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0  x =

4 3

+ Nếu m 0 Lập biệt số /

 = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m

2 4 2

m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x =

2 1

0  m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu 

m m

m m

Trường hợp 





 0 3

m m

không thoả mãnTrường hợp 





 0 3

m m

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4 9 thoả mãn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện  /  0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m =

-4

9.Sau

đó thay m =

-4

9 vào phương trình (1) : -

2

1

x x

Vậy với m =

-4

9 thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = -

4

9 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 =

9 7

(Như phần trên đã làm)

Cách 2: Thay m =

-4

9 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 =

9344

9

)24

9(2)2(2

Cách 3: Thay m = -

4

9 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 =

9214

9

34

93

9

21 : 3 = 9 7

Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:

- 2k và x1x2 = 2 – 5k

Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – 7 = 0

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào /

 = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 =>  / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn

+ k2 = -

2

7 =>  /=

8

29 4

8 70 49 2 2

35 4

+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3

+ Với k2 = -

2

7 (1) => x2- 7x +

2

39 = 0 (có  = 49 -78 = - 29 < 0 ) Phương trình vô nghiệmVậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài 2 : Cho phương trình: 2x2 – 5x + 1 = 0

Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 3 : Cho phương trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 4 : Cho phương trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

x1 (1 – x2) + x2 (1 – x1) = -8

Bài 5 : Cho phương trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0

1) Giải phương trình với m = 0

2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4

Bài 6 : Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1)

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tính B = x1 + x2

Bài 7 : Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0