Một số công thức phần xác suất
Trang 1i M t s công th c ph n xác su t ộ ố ứ ầ ấ
I. Xác su t c a bi n c ấ ủ ế ố :
*
n(A )
m (A ) P(A )=
P(B)+P(C) n u ế B và C là xung kh c ắ
* A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) n u ế B và C là không xung kh c ắ
P(B).P(C) n u ế B và C là đ c l p ộ ậ
• A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) n u ế B và C là không đ c l p ộ ậ
* A 1 A 2 A n =A 1 +A 2 + +A n
*A 1 +A 2 + A n = A 1 A 2 A n
* P(A)+ P( )A =1
• Công th c ứ Bernoulli: ( ) x x( )n x
n
P = − − , x = 0,1,2,…,n
• Công th c ứ Xác su t đ y đ ấ ầ ủ: ∑
=
1
) )P(A /H P(H
P(A )
• Công th c ứ Bayes:
n 1,2, ,
i /A )
)P(H P(H
/A ) )P(H P(H
P(A )
/A ) )P(H
P(H /A )
1
i i
i i
∑
=
II. Bi n ng u nhiên và quy lu t phân ph i xác su t ế ẫ ậ ố ấ :
1. Các tham s đ c tr ng ố ặ ư :
∑
=
n
1
i x i p i n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r c ờ ạ
E(X) =
∫−+∞∞xf(x) n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ liên t c ụ
∑
=
n i
i
i p
x
1
2
n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r c ờ ạ
E(X 2 ) =
∫−+∞∞x2 f ( x ) n u ế X là bi n ng u nhiên liên t cế ẫ ụ
V(X)= ( ( ) )2
X E X
E − = E( )X2 −(E( )X )2
( )X = V ( X)
σ
Trang 22. M t s quy lu t phân ph i xác su t thông d ng ộ ố ậ ố ấ ụ :
♦X∼ A(P) ⇒
* P ( X = x ) = px( 1 − p )1−x x = 0 ; 1
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ( )X = p(1− p)
♦ X∼ B(n,p) ⇒
( q=1-p )
* P ( X x ) Cx px( p )n x x n
=
* E(X)=np ; V(X)=npq ; σ ( ) X = npq
x0 ∈ N
* M t c a Xố ủ ∼ B(n,p): x 0 =
np + p − 1 ≤ x0 ≤ np + p
♦ X∼ P(λ) ⇒
!
1 )
(
x
e p
p C x
X P
x x
n x
x n
λ
λ −
−
=
( n khá l n, p khá nh ; ớ ỏ λ=np )
* E(X)=V(X)=λ; σ ( ) X = λ
* M t c a Xố ủ ∼ P(λ): λ − 1 x ≤ 0 ≤ λ ; x 0∈N
♦ X∼ N(µ ,σ 2 )
2 2
2σ
μ x
e 2
1 f(x)
−
−
∏
=
* E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ
− Φ
−
− Φ
=
<
<
a b
b X a
* P(X<b) 0 + 0 , 5
− Φ
≈ bσ µ
* P(X>a)
− Φ
−
≈
a
0
5 , 0
Φ
=
<
−
σ ε ε
X P
X 0 1
P 1-p p
X 0 1 … x … n
P 0 0 n− 0
n p q
C C1np1qn−1… Cn xpxqn−x … Cnpnq0
n
Trang 3• Giá tr t i h n chu n ị ớ ạ ẩ :
* Đ nh nghĩa: ị P(U >Uα) =α , U∼N(),1)
* Chú ý:
645 ,
1
; 96 , 1
• Giá tr t i h n Student ị ớ ạ :
* Đ nh nghĩa: ị P ( T > Tα( )n ) = α , T∼T(n)
* Chú ý: T −(nα) = − Tα(n) Tα(n) ≈ Uα
• Giá tr t i h n Khi bình ph ị ớ ạ ươ : ng
* Đ nh nghĩa: ị P ( χ2 > χα2( )n ) = α
, χ2∼χ2(n)
• Giá tr t i h n Fisher- Snedecor ị ớ ạ :
* Đ nh nghĩa: ị P(F >Fα(n1,n2)) =α , F ∼ F(n1,n2)
* Chú ý: ( )
( 2 1 )
2 1
, 1
n n n
n
F
F
α
α
−
=
III Bi n ng u nhiên hai chi u r i r c ế ẫ ề ờ ạ
X
Y
1
y P(x1,y1) P(x2,y1) … P(xi,y1) … P(xn,y1) P(Y=y1)
2
y P(x1,y2) P(x2,y2) … P(xi,y2) … P(xn,y2) P(Y=y2)
j
y P(x1,yj) P(x2,yj) … P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj)
m
y P(x1,ym) P(x2,ym) … P(xi,ym) … P(xn,ym) P(Y=ym)
T ngổ P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) … P(X=xn) 1
• P(x i, y j ) =P(X =x i,Y = y j )
=
=
=
=
=
i i j j
m
j i j
i P x y P Y y P x y x
X
P
1 1
,
; ,
j
j i
j i
y Y
P
y Y
x X
P y
Y x
X
P
=
=
=
=
=
•
1 1
Y E X E y
x P y x Y
E Y X E X E Y
X
i
m j
j i j i
= =
µ
XY
XY σ µ σ
Trang 4• V ( aX + bY ) = a2V ( X ) + b2V ( Y ) + 2 abCov ( X , Y )
III M t s quy lu t s l n ộ ố ậ ố ớ :
• B t đ ng th c Trêb sépấ ẳ ứ ư :
X b t kỳ; E(X), V(X) h u h n; ấ ữ ạ ε>0
) ( 1
ε
X E X
( )
) (
ε
X E X
⇔
• Đ nh lý Trêb sépị ư :
X1, X2,…, Xn đ c l p t ng đôi; E(Xộ ậ ừ i), V(Xi) h u h n ữ ạ ∀i=1,2,…,n; ε>0
1 1
1 1
=
∑
∑
=
=
∞
i
i n
i
i
n
X n
P Lim
• Đ nh lý Bernoulliị :
f là t n su t xu t hi n bi n c ầ ấ ấ ệ ế ố A trong lược đ Bernoulli v i 2 tham s n, pồ ớ ố
∞
Lim
n
B M t s công th c trong ph n Th ng kê toán ộ ố ứ ầ ố
I M t s công th c trên m u ộ ố ứ ẫ :
( )
∑
∑
∑
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
=
k
i
i i
k
i
i i k
i
i i
x
n n
s
Ms n
n s
x x
Ms x
n n
x x
n n
x
1
2 2
*
2 2
1
2 2
1
) (
1
; 1
;
1
; 1
µ
* T n su t m u f là hình nh c a tham s p trong t ng th trên m u.ầ ấ ẫ ả ủ ố ổ ể ở ẫ
* T ng th : Xổ ể ∼ N ( µ , σ2) ⇒ X ∼
n N
2
,σ
µ ⇒
E
2
, σ
=
* T ng th ổ ể X∼ A(p) ⇒ f ∼
n
pq p
n
pq f
V p
f
( khi n đ l n).ủ ớ
II M t s công th c v ộ ố ứ ề ướ ượ : c l ng
1 Ướ ượ c l ng giá tr tham s ị ốµtrong quy lu t ậ N(µ , σ 2)
Trang 5Cô
ng
th cứ
Trường h p đã bi t ợ ế σ 2
(ít g p) ặ Trường h p ch a bi t ợ ư ế
2
σ (th ườ ng g p) ặ
n≤30 n>30
KTC
đ iố
α
σ
U n
x
U n
2
) 1 ( 2
−
− < < +
n
s x
T n
s
2 2
α
n
s x
U n
s
x − < < +
KTC
c
ướ
lượ ng
max
µ
α
σ
n
x +
< µ < + T (n− 1 )
n
s
n
s
x +
KTC
c
ướ
lượ ng
min
µ
α
σ
n
x −
> µ > − T (n− 1)
n
s
x α µ > Uα
n
s
x −
Công
th c ứ
xác
đ nh ị
kích
th ướ c
m u m i ẫ ớ
(n * ) sao
cho: Giữ
nguyên độ
tin c y ậ
(1-α) và
mu n đ ố ộ
dài
kho ng ả
tin c y ậ
đ i x ng ố ứ
I≤ I 0
2 2 / 2
0
2
* 4
α
σ U
I
2 / 2
0
2
* ≥ 4 ( T n− )
I
s
0
2
* 4
α
U I
s
n ≥
Chú ý :
2
I
=
ε
2 Ướ ượ c l ng giá tr tham s p trong quy lu t A(p ị ố ậ )
KTC đ i x ngố ứ
2 2
) 1 ( )
1
(
α
n
f f f
p
U n
f f
+
<
<
−
−
KTC ướ ược l ng pmax
n
f f
f
p ( 1 − )
+
<
KTC ướ ược l ng pmin
n
f f
f
p > − ( 1 − )
Trang 6Công th c xác đ nh ứ ị kích
th ướ c m u m i (n ẫ ớ * ) sao cho:
Gi nguyên đ tin c y (1- ữ ộ ậ α )
và mu n đ dài kho ng tin ố ộ ả
c y đ i x ng I ậ ố ứ ≤ I 0
2 / 2
0
α
U I
f f
Chú ý :
2
I
= ε
Chú ý :
N u P=ế
N
M
thì có th ể ướ ược l ng M qua P và N (quan h M và P là thu n chi u), có thệ ậ ề ể
c l ng N qua P là M (quan h N và P là ng c chi u)
3 Ướ ượ c l ng giá tr tham s ị ốσ 2trong quy lu t ậ N ( μ , σ2)
Công th c ứ Trường h p ợ đã bi t ế µ
(ít g p ặ )
Trường h p ợ ch a bi t ư ế µ
(th ườ ng g p) ặ
s n s
n
2 2 1
2
* 2
) ( 2 2 /
2
*
α
2 1
2 2
) 1 ( 2 2 /
2 ( 1) )
1 (
−
−
−
−
<
<
−
n n
s n
s n
α
χ
KTC ướ c
lượng σ2max ns( )n
2 1
2
* 2
α
χ
σ
−
1
2
2 ( 1 )
−
−
−
α
χ
σ
KTC ướ c
lượng σ2min
( )n
ns
2
2
* 2
α
χ
2
2 ( 1 )
−
−
α
χ σ
III M t s công th c v ki m đ nh gi thuy t th ng kê ộ ố ứ ề ể ị ả ế ố
♦Ki m đ nh v tham s c a quy lu t phân ph i g c ể ị ề ố ủ ậ ố ố
1 Bài toán ki m đ nh v tham s ể ị ề ố µtrong quy lu t ậ N(µ , σ 2):
a Bài toán so sánh µv i giá tr th c cho tr ớ ị ự ướ c µ0
Trường h pợ σ 2đã bi t ( ế ít g p ặ )
C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể
đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: µ = µ 0
H1: µ > µ 0 ( )
>
−
=
n x
U
H0: µ = µ 0
H1: µ < µ 0 ( )
−
<
−
=
n x
U
H0: µ = µ 0
H1: µ ≠ µ 0 ( )
>
−
=
n x
U W
Trường h pợ σ 2ch a bi t ( ư ế th ườ ng g p ặ )
Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
Trang 7C p gi thuy tặ ả ế
c nầ
ki m đ nhể ị
Trường h p ợ n≤30 Trường h p ợ n>30
H0: µ = µ 0
H1: µ > µ 0 ( ) ( )
>
−
=
= 0 ;T T n− 1
s
n x
T
>
−
=
s
n x
U
H0: µ = µ 0
H1: µ < µ 0 ( ) ( )
−
<
−
=
= 0 ;T T n− 1
s
n x
T
−
<
−
=
s
n x
U
H0: µ = µ 0
>
−
=
2 /
0 ; T T n
s
n x
T
>
−
=
U U s
n x
U W
b Bài toán so sánh hai tham s ố µ 1v i ớ µ 2c a 2 quy lu t phân ph i chu n ủ ậ ố ẩ
Trường h pợ 2
2
2
1 , σ
σ đã bi t ( ế ít g p ặ )
C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể
đ nhị
Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ > 1 µ 2
>
+
−
=
α
σ
n n
x x U
2
2 2 1
2 1
2 1
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ < 1 µ 2
−
<
+
−
=
α
σ
n n
x x U
2
2 2 1
2 1
2 1
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ ≠ 1 µ 2
>
+
−
=
2
2 2 1
2 1
2
α
σ
n n
x x U
W
Tr ườ ng h p ợ 2
2
2
1 , σ
σ ch aư bi t; n ế 1 ≥ 30, n 2 ≥ 30 (th ườ ng g p) ặ
C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể
đ nhị
Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ > 1 µ 2
>
+
−
=
n
s n s
x x U
2
2 2 1
2 1 2 1
Trang 8H0: µ = 1 µ 2
H1: µ < 1 µ 2
−
<
+
−
=
n
s n s
x x U
2
2 2 1
2 1
2 1
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ ≠ 1 µ 2
>
+
−
=
2
2 2 1
2 1
2
n
s n s
x x U
W
Tr ườ ng h p ợ 2
2
2
1 , σ
σ ch aư bi t ế
C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể
đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ > 1 µ 2
( )
>
+
−
=
n
s n
s
x x
T
2
2 2 1
2 1
2 1
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ < 1 µ 2
( )
−
<
+
−
=
n
s n
s
x x
T
2
2 2 1
2 1
2 1
H0: µ = 1 µ 2
H1: µ ≠ 1 µ 2
( )
>
+
−
=
n
s n
s
x x
T
2
2 2 1
2 1
2
α
2 2 1
2 1
1
2 1 2
1
2 2
2 1
/ /
/
; 1
1 1
1 1
n s
n s
n s
c c
n c
n
n n
k
+
=
−
− +
−
−
−
=
2 Bài toán ki m đ nh v tham s ể ị ề ố σ 2trong quy lu t ậ N(µ , σ 2):
a. Bài toán so sánh σ 2v i giá tr th c cho tr ớ ị ự ướ c 2
0
σ
Trang 9C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể
đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế
0
H0: 2
0
2 σ
σ =
H1: 2
0
2 σ
σ > ( )
>
−
=
2 0
2
σ
χ
H0: 2
0
2 σ
σ =
H1: 2
0
2 σ
σ < ( )
<
−
=
−( 1)
2 1
2 2
0
2
σ
χ
H0: 2
0
2 σ
σ =
H1: 2
0
2 σ
σ ≠
( )
−
2 / 1 2 )
1 ( 2 2 /
2 2
0
2
Wα χ χα χ χ α
σ χ
b Bài toán so sánh hai tham s ố 2
1
σ v i ớ 2
2
σ c a 2 quy lu t phân ph i chu n ủ ậ ố ẩ
C p gi thuy t c nặ ả ế ầ
ki m đ nhể ị
Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: 2
2
2
1 σ
σ =
H1: 2
2
2
1 σ
σ >
>
=
2 2
2
1 ; F F n1 n2
s
s F
H0: 2
2
2
1 σ
σ =
H1: 2
2
2
1 σ
σ <
<
=
( 1 2
2
2
1 ; F F n1 n2
s
s F
H0: 2
2
2
1 σ
σ =
H1: σ12 ≠σ22
<
>
=
−
−
− ( 1 , 1 )
2 / 1 )
1 , 1 ( 2 / 2
2
2
s
s F
3 Bài toán ki m đ nh v tham s p trong quy lu t A(p) ể ị ề ố ậ :
a. Bài toán so sánh giá tr tham s p v i giá tr th c p ị ố ớ ị ự 0 cho tr ướ c:
C p gi thuy t c n ặ ả ế ầ
ki m đ nhể ị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế
0
H0: p = p0
>
−
−
=
p p
n p
f U
1 0 0
0
H0: p= p0
H1: p< p0 ( )
−
<
−
−
=
p p
n p
f U
0 0
H0: p= p0
>
−
−
=
0 0
p p
n p
f U
W
b. Bài toán so sánh hai tham s ố p1v i ớ p2c a 2 quy lu t Không-M t ủ ậ ộ
Trang 10Trong đó:
2 1
2 2
1 1
n n
f n f
n f
+
+
=
♦ Ki m đ nhphi tham s ể ị ố
• Ki m đ nh v d ng quy lu t phân ph i g c: ể ị ề ạ ậ ố ố
* C p gi thuy t c n ki m đ nh: ặ ả ế ầ ể ị
H0: X ∼ Quy lu t Aậ
H1: X ∼ Quy lu t Aậ
(Xét quy lu t A là r i r c) ậ ờ ạ
* Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0:
>
′
′
−
=
=
1
2
i i
n
n n
Trong đó:
M u ng u nhiên 1 chi u v X là ẫ ẫ ề ề X(n); xi xu t hi n nấ ệ i l n ; ầ k n n
i
i =
∑
= 1
; ni′ = npi;
( i)
i P X x
p = = ; r là s tham s trong quy lu t A c n ố ố ậ ầ ướ ược l ng, tham s c a quy lu t A đố ủ ậ ượ c
c l ng b ng ph ng pháp c l ng h p lý t i đa;
C p gi thuy t c nặ ả ế ầ
ki m đ nhể ị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0
H0: p1 = p2
>
+
−
−
=
n n
f f
f f
U
1 1
1
2 1
2 1
H0: p1 = p2
−
<
+
−
−
=
n n
f f
f f U
1 1
1
2 1
2 1
H0: p1 = p2
>
+
−
−
=
2 1
2
1 1
1
α
n n
f f
f f
U W
Trang 11• Ki m đ nh v tính đ c l p hay ph thu c c a 2 d u hi u đ nh tính: ể ị ề ộ ậ ụ ộ ủ ấ ệ ị
* C p gi thuy t c n ki m đ nh: ặ ả ế ầ ể ị
H 0 : X , Y là đ c l p ộ ậ
H 1 : X , Y là ph thu c ụ ộ
* Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0:
( )( )
>
−
=
1 1
2
i
k
j i j
ij
m n
n n
Trong đó:
M u ng u nhiên 2 chi u v X,Y là ẫ ẫ ề ề X(n); giá tr (xị i,yj )xu t hi n nấ ệ ij l n;ầ
n m
n n
n n
m
j
j h
i
i h
i
k j
ij i
k j
ij j
h
i
∑
=
=
=
,
• Ki m đ nh Jarque-Bera v d ng phân ph i chu n: ể ị ề ạ ố ẩ
H 0 : X tuân theo quy lu t phân ph i chu n ậ ố ẩ
+> H 1 : X không tuân theo quy lu t phân ph i chu n ậ ố ẩ
→ MBB c a Hủ 0 :
>
=
α
2 4
2 3
24
3) (a
6
a n JB
W
( a 3 là h s b t đ i x ng, a ệ ố ấ ố ứ 4 là h s nh n) ệ ố ọ