CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT BÀI TOÁN 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập, hệ biế

CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ

ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

BÀI TOÁN 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến

cố giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ

Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu không phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì không giải quyết được bài toán, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất

Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp CĐ LNK8 trường cao đẳng KT –

KT Quảng Nam Gọi A là biến cố “Sinh viên đó biết nói tiếng Anh” và B là biến

cố “Sinh viên đó biết nói tiếng Nga”

a A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?

Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ

nhất được số chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai được số chấm trên mặt con súc sắc là lẻ”

a Hai biến cố A và B độc lập hay không ?

b Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?

Hướng dẫn

a Hai biến cố A và B độc lập vì khi gieo súc sắc hai lần liên tiếp thì việc xảy ra hay không xảy ra mặt có số chấm chẵn ở lần gieo thứ nhất cũng không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra mặt có số chấm lẻ ở lần gieo thứ hai

b Giao của hai biến cố A và B là biến cố “lần gieo thứ nhất được số chẵn

và lần thứ hai được số lẻ”

Bài 3: Gieo 3 hạt giống 1, 2, 3 Gọi Ai là biến cố “hạt giống i nảy mầm”; A i

là biến cố “hạt giống i không nảy mầm” (i = 1, 2, 3); B j là biến cố “có j hạt nảy mầm” (j = 0, 1, 2, 3)

a Các biến cố Ai có độc lập hay không?

b Các biến cố Bj có tạo thành hệ đầy đủ không?

c Hai biến cố B1 và B2 có đối lập không?

d Biểu diễn quan hệ giữa biến cố Bj với các biến cố A i và A i

Hướng dẫn

a Khi gieo ba hạt giống thì sự nảy mầm hay không nảy mầm của hạt giống

1 cũng không làm ảnh hưởng đến sự nảy mầm hay không nảy mầm của hạt giống 2 và 3, tương tự như vậy đối với hai hạt giống 2, 3 Như vậy các biến cố

A1, A2 và A3 độc lập với nhau từng đôi một và độc lập trong toàn thể

b Khi gieo ba hạt giống thì hoặc cả ba hạt đều không nảy mầm (B0), hoặc

có một hạt trong số đó nảy mầm (B1), hoặc có hai hạt nảy mầm (B2), hoặc cả ba hạt đều nảy mầm(B3); những trường hợp này không xảy ra đồng thời khi tiến hành gieo 3 hạt giống, vì vậy mà: B0  B1 = B1  B2 = B2  B3 = B3  B0 =  hay các biến cố Bj đôi một xung khắc

Ngoài ra, ta thấy rằng: ngoài các trường hợp có thể xảy ra ở trên khi gieo 3 hạt giống thì không còn trường hợp nào khác, hay: B0  B1  B2  B3 =  Vậy, các biến cố Bj (j =0, 3) tạo thành một hệ đầy đủ

c Hai biến cố B1 và B2 xung khắc với nhau, nhưng B1 = {B0, B2, B3}  B2, nên B1 và B2 không đối lập

Bài 4: Trong phòng có 4 máy vi tính hoạt động độc lập Kí hiệu Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động tốt Hãy viết các biến cố sau đây:

Ta có Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động tốt;

A i (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động không tốt (biến cố đối

lập của Ai); vì các máy vi tính hoạt động độc lập nên các Ai , A i: độc lập

Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường dựa

vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố Nhưng cũng có những bài toán xác định được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác suất, dưới đây là

P AB  Hỏi hai biến cố A và B có:

a Xung khắc hay không?

b Độc lập với nhau hay không?

Hướng dẫn

Vậy A và B là hai biến cố độc lập

Bài 6: Tung 2 con súc sắc Gọi A là biến cố “số chấm trên súc sắc 1 chia hết cho

số chấm trên súc sắc 2”, B là biến cố “tổng số chấm trên 2 súc sắc là một số chẵn” Hỏi A và B có độc lập nhau không, có xung khắc nhau không?

Vậy A, B không xung khắc

Nhận xét: Để nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ cần:

- Nắm vững các khái niệm về quan hệ giữa các biến cố, điều kiện xảy ra biến cố

- Phân tích kỹ thực tế bài toán, dựa theo diễn biến sự việc xảy ra dự kiến và gọi tên cho các biến cố liên quan cần vận dụng để biểu biễn mối quan hệ giữa chúng

BÀI TOÁN 2: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài toán tính xác suất

Định nghĩa cổ điển của xác suất cho ta công thức tính xác suất của một biến cố trong trường hợp khả năng xuất hiện của mỗi biến cố sơ cấp là như nhau (đồng khả năng xảy ra, không gian biến cố sơ cấp được phân bố đều), và thường áp dụng để tính cho một biến cố riêng lẻ nào đó Để giải các bài toán này, ta cần phải xác định được không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho sự xuất hiện của biến cố Tùy theo thực tế bài toán ta có thể chia thành 2 dạng:

Dạng 1 Các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :

Các bài toán dạng này có không gian mẫu với số kết quả hữu hạn, mang tính rời rạc và không nhiều, ta dùng phương pháp liệt kê để liệt kê và đếm số các kết quả có thể cũng như số kết quả thuận lợi

Bài 1: Giả sử một gia đình có 3 con Khi đó xác suất để gia đình đó có 2 con trai, 1 con gái là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Chúng ta có thể lập mô hình xác suất với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 trai

1 gái, 1 trai 2 gái, 3 gái Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng” với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là 1/4

Để có không gian mẫu, ta có thể lập mô hình xác suất với 8 sự kiện thành phần

1 Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất để :

a Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9

b Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau là 2

2 Gieo đồng thời ba con súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10

Hướng dẫn

1 Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra Vì có hai con súc sắc, mỗi con

có sáu khả năng xuất hiện nên :n ( )= 6.6 = 36

a Gọi A là biến cố” tổng các chấm xuất hiện trên hai con súc sắc là 9” Khả năng thuận lợi là: (3;6), (4;5), (6;3), (5;4) nên có n ( A)= 4

Từ đó ta có ( ) ( )

( )

A n

Từ đó ta có ( ) ( )

( )

B n

2 Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra Vì có ba con súc sắc, mỗi con

có sáu khả năng xuất hiện nên : n ( )= 6.6.6 = 216

Gọi C là biến cố “tổng các chấm xuất hiện trên ba con súc sắc là 10” Các khả năng thuận lợi của C là chính là các tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây: (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị của các tổ hợp ấy

Dạng 2 Các bài toán tính xác suất có không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn:

Để tính xác suất các biến cố theo phương pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số các trường hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể Ở dạng này không gian biến cố sơ cấp cũng hữu hạn nhưng được mô tả trừu tượng hơn,

số các kết quả nhiều hơn nên dễ bị thiếu sót và khó khăn để liệt kê Vì vậy cần nắm vững các phương pháp giải tích tổ hợp để vận dụng tính trong trường hợp này Điều khó khăn là phải biết sử dụng đúng các công thức với thực tế bài toán

Bài 1: Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ

nhớ được rằng chúng khác nhau Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được

đúng số cần gọi

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố “quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”

Số các trường hợp có thể là số các cặp hai chữ số khác nhau từ 10 chữ số từ

Bài 2: Một công ty cần tuyển 3 nhân viên Có 10 người nộp đơn trong đó có 4

nữ và 6 nam Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 10 người là như nhau Tính xác suất biến cố:

a Gọi A: biến cố “Ba người trúng tuyển là nữ”

Số kết quả thuận lợi của A là: n(A) = C43

Xác suất của A:

3 4 3 10

1( )

b Gọi B: biến cố “Hai người nam trúng tuyển” Để tuyển chọn 2 nam và 1

nữ ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp:

Công đoạn 1: Chọn 2 nam từ 6 nam có C62

Bài 3: Một hộp đựng 12 hạt giống, trong đó có 5 hạt giống cây loại A Lấy ngẫu

nhiên có thứ tự không hoàn lại 3 hạt ra để ươm Tìm xác suất để:

a 3 hạt lấy ra đều là giống cây loại A

b 3 hạt lấy ra đều không phải cây loại A

c Chỉ có hạt lấy ra lần thứ hai là hạt cây loại A

a Gọi B: biến cố “3 hạt lấy ra đều là loại A”

Số trường hợp thuận lợi cho biến cố B: n ( B)= 3

5

A

Xác suất của B:

3 5 3 12

( )

( )

B A n

b Gọi E: biến cố “3 hạt lấy ra đều không phải cây loại A”

Số trường hợp thuận lợi cho biến cố E: n ( E)= 3

7

A

Xác suất của E:

3 7 3 12

( )

( )

E A n

c Gọi D: biến cố “Chỉ có hạt lấy ra lần thứ hai là hạt cây loại A.”

Số trường hợp thuận lợi cho biến cố D: hạt lấy ra lần 1 không phải loại A, lần 2 là loại A, lần 3 không là hạt loại A: n ( D)= 1 1 1

Bài 4: Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa Mỗi hành khách độc lập

với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có

1 người, 2 toa còn lại không có ai

Hướng dẫn

Phép thử T: “Xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu 4 toa” Số phần tử của

không gian mẫu: Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa n( ) 44

Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.” Xét 2 công đoạn liên tiếp:

- Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn C C43 14 16

- Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách 1

a Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông

b Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau

c 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông

- Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách

- Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040

Nhận xét: Để tính được số phần tử của không gian mẫu được mô tả trừu tượng

hơn cần phân tích đề bài và vận dụng toán Tổ hợp Lưu ý phân biệt dùng công thức tổ hợp và chỉnh hợp: Ta để ý rằng cả 2 dạng công thức cũng đều lấy không hoàn lại k phần tử từ n phần tử cho trước nhưng đối với tổ hợp thì k phần tử lấy

ra không có thứ tự, còn chỉnh hợp thì trong k phần tử lấy ra có thứ tự (trước sau, trên dưới, đầu cuối, trong ngoài, ) Ngoài ra, nếu k phần tử lấy ra có thứ

tự và hoàn lại thì ta dùng chỉnh hợp lặp

BÀI TOÁN 3: Áp dụng các quy tắc tính xác suất

Việc tính xác suất của một biến cố không chỉ mô tả tìm được không gian mẫu, không gian các kết quả thuận lợi của nó mà có những bài toán, để tính được xác suất yêu cầu sinh viên phải biết cách sử dụng khái niệm biến cố, phân biệt được quan hệ giữa các biến cố trong bài toán và phải biểu diễn được quan

hệ giữa các biến cố cần tìm xác suất với các biến cố khác Khi chưa phân biệt được thì việc tính toán sẽ khó khăn, sinh viên không thể tiếp cận đến công thức tính xác suất được

1 Sử dụng quy tắc cộng xác suất trong các bài toán tính xác suất:

Để bắt đầu giải toán xác suất theo quy tắc ta cần quan sát và gọi tên cho các biến cố để biểu diễn quan hệ Khi sử dụng quy tắc cộng chúng ta cần hiểu rõ một biến cố tổng xảy ra khi nào và phân tích xem giữa các biến cố có sự xung khắc, độc lập với nhau hay không Những bài toán dạng này ta thường hay bắt gặp từ “ít nhất” trong yêu cầu của nó

Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối, gọi A là biến cố “mặt trên có 1 chấm hoặc

2 chấm hoặc 3 chấm” và B là biến cố “mặt trên có 3 chấm hoặc 4 chấm hoặc 5 chấm” Xác định các xác suất: P A P B P A( ), ( ), ( B P A), ( B),P A P B( ), ( )

2

P A   P A  và ( ) 1 ( ) 1

2

Bài 2: Một lớp có 60 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh Văn, 15 sinh

viên giỏi Nga Văn, 10 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp Tính xác suất:

a Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ

b Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết

c Sinh viên này chỉ giỏi Anh Văn

d Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ

Hướng dẫn

Gọi A : biến cố sinh viên này giỏi Anh văn

B : biến cố sinh viên này giỏi Nga văn

Bài 3: Một hộp đựng 7 bi trắng, 8 bi đen Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra 5 bi

Tính xác suất lấy được:

a ít nhất 1 bi trắng

b nhiều nhất 2 bi đen

Hướng dẫn

Gọi Bi (i 0;5): biến cố “lấy được i bi trắng”

Số các trường hợp có thể xảy ra: C155

a Gọi E: biến cố “lấy được ít nhất 1 bi trắng”

E = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = B 0

Vì khi lấy 5 bi thì hoặc lấy được hoặc 5 đen, hoặc 1 trắng 4 đen, , hoặc 5 trắng nên các biến cố Bi không đồng thời xảy ra

5 8

 

 

 

2 1 4

 

 

 

1 4

 

 

  ; P(A6) =

6 3 4

 

 

  Gọi B là biến cố lớp có đủ ánh sáng Ta có : B = A4 + A5 + A6

Các biến cố Ai không xảy ra đồng thời nên:

P(B) = P(A4) + P(A5) + P(A6) = 0,8305

Nhận xét: Để giải bài toán áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta cần:

- Gọi tên các biến cố thành phần có liên quan;

- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất

- Sử dụng biến cố tổng, biểu diễn biến cố cần tìm xác suất với các biến cố liên quan; cần phân tích kỹ bài toán để đưa ra mối quan hệ này (thường có ít nhất một trong các biến cố xảy ra, hoặc biến cố này hoặc biến cố kia xảy ra)

- Kiểm tra tính xung khắc của các biến cố, tính các xác suất thành phần và áp dụng quy tắc cộng để tính xác suất theo yêu cầu

2 Sử dụng xác suất có điều kiện và quy tắc nhân xác suất:

Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau nào đó mà có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm) Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện

Bài 1: Một lớp học có 30 sinh viên, trong đó có 17 bạn nữ và 13 bạn nam Có 3

bạn tên là Thanh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam Thầy giáo gọi ngẫu nhiên

1 bạn lên bảng Tìm xác suất để:

a Bạn đó có tên là Thanh

b Bạn đó có tên là Thanh, nhưng với điều kiện “đó là bạn nữ”

c Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Thanh lên bảng, thì xác suất để bạn đó

c Xác suất để bạn được gọi là nữ có tên là Thanh

Trong 3 bạn Thanh có 1 bạn là nữ, bởi vậy xác suất là 1/3

Hoặc sử dụng công thức P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) với xác suất có điều

kiện, ta cũng có

1 ( ) 30 1 ( / )

Bài 2: Có 40 phiếu thi Toán, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi, trong đó có 13 câu

hỏi lý thuyết (gồm: 5 câu hỏi khó, 8 câu hỏi dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm: 12 câu hỏi khó, 15 câu hỏi dễ) Rút ngẫu nhiên một phiếu thi Tìm xác suất rút được câu lý thuyết khó

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút được là một trong số 17 câu khó) thì

xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (tức là câu hỏi đó là một trong số 5 câu hỏi lý

thuyết khó) chính là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi điều kiện B đã xảy

Bài 3: Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối Tính xác suất để tổng số chấm

xuất hiện trên hai con súc sắc  10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra nốt 5

Những bài toán xảy ra xác suất có điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng dụng quy tắc nhân xác suất, khi gặp bài toán dạng này ta cần lưu ý đến sự độc lập hay phụ thuộc của biến cố để vận dụng công thức đúng

Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại

lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác Tính xác suất để được lá bài là bích và

lá bài là cơ

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”

B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”

Ta biết A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút

lá bài thứ hai Do đó xác suất cần tìm là: P(AB) = P(A).P(B)

Bài 5: Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống

hệt nhau nhưng trong đó chỉ có đúng 2 chiếc mở được kho Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không trúng thì bỏ ra) Tính xác suất để mở được kho

ở lần thứ ba

Hướng dẫn

Gọi Ai là biến cố “thử đúng chìa ở lần thứ i” Lần thử sau được thực hiện hay không phụ thuộc vào lần thử trước đó có thành công hay không và do chìa nào không trúng thì bỏ ra nên xác suất cần tìm là:

7 6 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( / )

9 8 7 6

P A A A  P A P A A P A A A  

Bài 6: Có 12 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư, được chia làm 3 gói mỗi gói 4 hộp

Tính xác suất để trong mỗi gói đều có một hộp hư

Hướng dẫn

Gọi Ai là biến cố “gói thứ i có một hộp hư” và B là biến cố cần tìm xác suất

Để trong mỗi gói đều có hộp hư thì các biến cố Ai phải xảy ra đồng thời Áp dụng quy tắc nhân ta có: