Có khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI đỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ MÔN: TOÁN CAO CẤP A 3 (đHTC) Thời gian: 30 phút
(Các ựề khác giải tương tự)
Câu 1 Cho hàm số f (x, y)=y e2 x −x2+xy 1+ , kết quả vi phân cấp một df (0, 1)− là:
C 6dx + 4dy; D 2dx Ờ 4dy
HD
A
Câu 2 Cho hàm số z=x3−x y2 +y2, kết quả vi phân cấp hai d2z(1,Ờ1) là:
A 12dx2 Ờ 8dxdy + 2dy2; B Ờ12dx2 + 8dxdy + 2dy2;
C 8dx 2 Ờ 4dxdy + 2dy 2; D Ờ8dx2 + 4dxdy + 2dy2
HD
= − +
C
Câu 3 Tìm cực trị của hàm số z = x3 + 2y3 Ờ 3x2 Ờ 3x Ờ 10y Khẳng ựịnh nào sau ựây là ựúng ?
C z có 2 ựiểm dừng; D z có 1 ựiểm dừng
HD
x
y
Câu 4 Tìm cực trị của hàm số 3 2
f (x, y)=x −3y −6y−3 với ựiều kiện x Ờ y = 1
Khẳng ựịnh nào sau ựây là ựúng ?
A f(x,y) ựạt cực ựại tại ựiểm M(2; 1); B f(x,y) ựạt cực ựại tại ựiểm M(0;Ờ1);
C f(x,y) ựạt cực tiểu tại ựiểm M(0;Ờ1); D f(x,y) không có cực trị
HD x− =y 1⇒y= −x 1⇒f =x3−3x2 ⇒f/ =3x2−6x= ⇔ =0 x 0, x =2
Lập bảng biến thiên, ta thấy f ựạt cực ựại tại x = 0 Suy ra M(0;Ờ1) đáp án B
Câu 5 Xác ựịnh cận của tắch phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong ựó D là miền giới hạn bởi các ựường 2
y = −x và y = ta có kết quả là: x
A
2
0 x
1 x
I dx f(x, y)dy
−
−
2
0 x
1 x
I dx f(x, y)dy
− −
C
2
1 x
0 x
I dx f(x, y)dy
−
2
1 x
0 x
I dx f(x, y)dy
−
Trang 2HD
Vẽ miền D (xem hình), ta có:
D= − ≤ ≤1 x 0, x≤ ≤ −y x ⇒ A
Câu 6 ðổi biến trong tọa ñộ cực của tích phân 2 2
D
I = ∫∫ (x +y )dxdy, trong ñó D là miền giới hạn bởi các ñường x2 +(y−2)2 = 4 và x2 +(y−1)2 =1 ta có kết quả là:
A
4 cos 3
0 2 cos
ϕ
2 2
0 1
π
C
2 sin 3
0 sin
ϕ
4 sin 3
0 2 sin
ϕ
= ∫ ϕ ∫
HD
J r, x y r
y r sin
Thế x, y vào phương trình hai ñường tròn: 1
2
r 2 sin
r 4 sin
Vẽ miền D (xem hình), ta có:
2
π
= ≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ≤ ϕ⇒
Câu 7 ðổi biến tổng quát của tích phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy bằng cách ñặt u = + , vx y = − x y trong ñó D là miền giới hạn bởi 1≤ + ≤ và 0x y 2 ≤ − ≤ ta có kết quả là: x y 3
A
2 3
1 0
2 3
1 0
C
2 3
1 0
2 3
1 0
HD
u v x
y 2
+
=
= +
; Duv = ≤ ≤{1 u 2,0≤ ≤v 3}⇒ B
Câu 8 Giá trị của tích phân
V
I = 4∫∫∫ xydxdydz, trong ñó miền V =[0;1] [0;2] [1;2]× × , là:
A I = ; 8 B I = ; 6 C I = ; 4 D I = ; 2
Trang 3HD
I 2xdx 2ydy dz
= ⇒
∫ ∫ ∫ C
V
I = ∫∫∫ cos x +y dxdydz, trong ñó V giới hạn bởi z = −4 x2 −y2 và z = 0
có biểu diễn sang tọa ñộ trụ là:
A
2
I d cos rdr dz
2
I d r cos rdr dz
C
2
I d r cos rdr dz π
−
2
I d cos rdr dz π
−
HD
x r cos
y r sin J r, x y r
z z
Chiếu V lên Oxy ta ñược D : x2 y2 4 0 r 2
≤ ≤
+ ≤ ⇒
≤ ϕ ≤ π
Thế x, y vào phương trình z = −4 x2 −y2 ⇒ ≤ ≤ −0 z 4 r2 ⇒ B
Câu 10 Tích phân
V
I = ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz, trong ñó V : x2 +y2 +z2 ≤ 2z có biểu diễn sang tọa ñộ cầu là:
A
2
I d sin d r f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
B
2
I d sin d r f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
C
2 2 2 cos
2
I d sin d r f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π
D
2 2 2 sin
2
I d sin d r f(r sin cos , r sin sin , r cos )dr
π
HD
Biên của V là mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 −2z = 0 ⇒(S)
tiếp xúc Oxy tại O
x r cos sin
y r sin sin J r sin , 0
2
z r cos
π
Thế x, y, z vào phương trình (S): r=2 cosθ⇒0≤ ≤r 2 cosθ
Chiếu V lên Oxy, ta ñược D : x2+y2 ≤1⇒0≤ ϕ ≤ π2 ⇒ C
-Hết -