chuyên đề 22

Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện e⁄Zgọi là mặt cầu ngoại tiếp H va H goi la nội tiếp mặt cầu.. Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có

Chương l MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

§1 MẶT CẤU

A Tom tat li thuyết

1 Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm Ó cố định một khoảng R không

đổi gọi là mặt cầu tâm Ó bán kính R Ta thường kí hiệu mặt cầu dé 1a S(O › Ñ)

2 Cho mặt cầu Š(Ó ; R) và mặt phẳng (2) Gọi d 1a khoảng cách từ Ø tới mat

phẳng (ø) và H là hình chiếu vuông góc của Ó trên (2)

Khi đó :

+ Néu d<R thi (a) cat S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn tâm #ƒ bán kính

\|RÊ ~ d2 Đặc biệt, khi ở = 0 thi (a) cét S(O ; R) theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính lớn nhất (bằng R), đường tròn đó được gọi là đường tròn lớn

của S(O ; R)

+ Néu d=R thi (a) va S(O ; R) cé diém chung duy nhat 1a H Khi d6, ta nói

mat phang (a) tiép xtic vi S(O ; R) tai H

+ Néu d > R thì (ø) và S(Ó ; R) không có điểm chung

3 Cho mat cdu S(O ; R) và đường thẳng A Gọi đ là khoảng cách từ O toi A va H

là hình chiếu vuông góc của Ó trên A Khiđó: _

+ Nếu đ < 8 thì đường thẳng A cắt S(O ; R) tai hai diém A, B,

AB = 2Rˆ - dˆ và H là trung điểm của AỞ

+ Nếu ¿ = R thì A va S(Ó ; R) có điểm chung duy nhất là H Khi đó, ta nói A

tiếp xúc với S(Ó ; R) tại H

+ Nếu ở > R thi A va S(O ; R) không có điểm chung

4 Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện e⁄Zgọi là mặt cầu ngoại tiếp

H va H goi la nội tiếp mặt cầu |

5 Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có

đường tròn ngoại tiếp Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp là giao

điểm giữa trục của đường tròn ngoại tiếp đáy và mặt phẳng trung trực của một

cạnh bên

6 Điều kiện cần và đủ để một lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là lăng trụ đó phải

là lãng trụ đứng và đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp Khi đó, tâm mặt cầu

ngoại tiếp của lăng trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đường tròn ngoại

tiếp của hai đáy

7 Mot mat cầu có tâm nằm bên trong hình đa diện é#? và tiếp xúc với tất cả các

mặt của đa diện đó gọi là mặt cầu nội tiếp da dién 6% va SH goi 1a ngoai tiép

8 Tứ diện, hình chóp đều, hình lập phương có mặt cầu nội tiếp

9 Mat cdu S(O ; R) có thể tích là V = on va cé dién'tich lA S = 4nR?

B Cac vi du

Vi du 1 Cho hình chóp §.ABCP có đáy là hình chữ nhật, $4 vuông góc với đáy

Ha AB’ 1 SB, AC' 1 SC, AD' 1 SD (B' € SB, C' € SC, D' € SD) Ching

minh rang :

a) Các điểm A, B, C, D, B', C', D' thudc cing một mặt câu ;

b) Bốn điểm A', B', C', D' đông phẳng

c) Hình chóp §S.ABCD nội tiếp một mặt cầu

b) Theo chứng minh Ở câu a), ta cĩ: AD' L (SCD) => AD' 1 SC

Tương tự ta cĩ AB' 1 SC

Do À', AC", AD' cùng vuơng gĩc với SC nên A, 8, C, D' đồng phẳng

c) Goi / 1a trung điểm của SC, khi dé IO 1 (ABCD)

Mat khac ASAC vudng tai A nén JA = JS = IC (6)

Từ (5) và (6) ta cĩ JA = IB =IC = 1D = IS hay hình chĩp S.ABCD noi tiếp một

mặt cầu

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuơng tại C Đường thắng A vuơng gĩc với mặt

phang (ABC) tai A Diém S thay đổi trên đường thang A (S khác A) Hạ AD 1 SC

và AE L $B Chứng minh rằng :

a) Các điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một mặt cầu

b) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường trịn

Lời giải (h.26)

a) Gọi Ĩ là trung điểm của AB,khiđĩ _

AAEB vuơng tại E nén OF =OA=OB (2)

Theo gia thiét : BC L AC, BC 1 AS (do AS (ABC))

Từ (1), (2), (3), tac6 OA = OB = OC = OD = OE Do dé cac diém A, B, C,

D, E cùng thuộc mặt cầu tâm O, ban kinhR = OA = S-

b) Theo câu a), A, 8, C, D, E cùng thuộc mặt cầu tâm Ĩ

Lại cĩ B, C, D, E cùng thuộc một mặt phẳng

Do đĩ B,C, D,E cùng thuộc một đường trịn (đường trịn giao tuyến của mặt

phang (SBC) véi mat cdu tam O, ban kinh R = `”

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác đều ŠS.AðC có đáy là tam giác đều cạnh a,

mặt bên tạo với đáy góc ø Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Khi đó, Ó e 5ƒ và ÓK L $C, suy ra ASKO đồng dạng với ASIC

l2tanø ABC

Ví dụ 4 Cho tứ diện ABŒD có bán kính mặt cầu nội tiếp r Gọi Sip la tổng

điện tích các mặt của tứ diện, hy, hg, hc, hp ln luot 14 do dai dudng cao xuất phát

từ A, B, C, D của tứ diện Chứng minh rằng :

I a) Vasco = Pie

piety ty byt

r hạ hg te Ip

Lời giải (h.28)

Goi / 1a tâm mặt câu nội tiếp tứ diện ABCD và l¿, lạ, le, l› lần lượt là khoảng

cách từ ï đến các mặt phang (BCD), (CDA), (DAB), (ABC ) Ta có :

Vi du 5 Cho hinh.chép déu S.ABCD cé day canh bang a Goi M va N 14n luot

là trung diém cha SB va SD Biét AM | CN Tinh ban kinh mặt cầu ngoại tiếp

hinh chép S.ABCD

(1) © x? cosASC ~ aX cosSCD - ax.cosSAB - a? = 0

<> x2.cos4$C — 2ax.cosa — a” = 0 (2) |

Gọi O 1a giao điểm của AC và BD, | la tam mat cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD thì ï là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của $D, nghĩa là

C Bai tap

1 Cho hình chóp S.ABCD cé day 1a hinh nita lục giác đều, AB = 2a, BC = CD =

DA =u, SA vuông góc với đáy, $A = h

Mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C, D'

a) Chứng minh rằng tứ giác A, P', C, D' nội tiếp một đường tròn

b) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B,C, D' thuộc cùng một mặt cầu

c) Tính thể tích khối chóp $.AB'C'Đ'

d) Tính diện tích tứ giác ABC D

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Cho tứ diện ÓABC vuông tai O, OA = a, OB = b, OC = c Tinh ban kinh mat

cầu ngoại tiếp tứ diện

Cho tứ diện ABC vuông tại Ó Gọi E, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại

tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ Ø của tứ diện Chứng minh rằng :

<4 V5;

p) Rp SANS

Cho hình chép S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S4 vuông góc với

đáy, $C tạo với đáy góc 45” và tạo với mặt phẳng (S4B) góc 30” Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho tam giác đều ABC Đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A

Điểm M thay đổi trên A Kẻ BE L AC, BF 1L MC (E e AC, F e MC) Đường

thẳng EF cắt đường thẳng A tại N Chứng minh rằng :

a) AM.AN không đổi ;

b) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC có tâm thuộc một đường thẳng cố định

Cho hình chóp tam giác đều Š.4BC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng ở

(b>a) Tinh ban kính mặt cầu tiếp xúc với mp(AðC) tại A và tiếp xtic véi SB

Cho tu dién ABCD Qua ba đỉnh tùy ý của tứ diện, ta đựng một mặt cầu cắt ba

cạnh xuất phát từ đỉnh còn lại tại M, N, P Chứng minh rằng hình dạng tam

giác MANP không phụ thuộc vào mặt cầu cũng như ba đỉnh đã chọn

9 Cho một hình cầu và một điểm trong nó Có ba mặt phẳng vuông góc với

nhau, đi qua điểm này một cách tùy ý và cắt mặt cầu theo ba hình tròn Chứng

minh rằng tổng diện tích ba hình tròn này là một hằng số

D Lời giải

1 (h.30)

a) Hiển nhiên Ö' là hình chiếu vuông góc

cua A trén SB

Do ABCD là nửa lục giác đều với AB = 2a,

BC = CD = DA = a nên nếu gọi Ó là trung

điểm của AB thì : OA = @B = OC = OD =a

Suy ra

AACB vuông tại C và AADB vuông tại D

Vì BC L AC, BC LSA nén BC L AC’

Mặt khác, AC' L $B Do đó AC' L SC

và AC' L ĐC'

Tương tự, ta có AD' | SD va AD' 1 D'B’

Suy ra A, B’,C’, D' cùng thuộc đường tròn đường kính A?' hay tứ gidc A’, B’,

Œ, D' nội tiếp

b) Ta chứng minh A, Ö, C, D, P, C, D' thuộc mặt cầu tâm O, bán kính

R=ÓA =u Thật vậy, theo câu a) ta có :

Hình 30

AAB'B vuông tại ' nên B'O = „ÁP = a (2)

AC' | (SCB) > AC' L C'B > C'0 = 2AB.= a (3)

AD 1 (SDB) > AD' 1 D'B = D0 = 24B = a, (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra điều phải chứng minh

c) Gọi Wị,W2,V lần lượt là thể tích các hình chóp S.ABC, S.ACD, S.ABCD

Ta co V, = 2U => V =3V, = 3M

- Gọi W/,V,V' lần lượt là thể tích các hình chóp $.ABC', S.ACĐ', S.AB'C'D'

_ 5a (he + 2a’ x3 Á(hˆ + 4a”)(h? + 3a?)(hˆ + a?)

Do đó

Swpep = 3V xgợp: _ 33h a? (h2 + 2a) |

SB’ 4y he +4a° (h + 34?)(h? + a’) (h.31)

Goi /, J 1én luot 1a trung điểm của AB, CD Vì

AADC = ABCD nén AJ = BJ, suy ra JI L AB

Tuong tu, tacé JI L CD

Vay /7 là đường trung trực của AB, CD

Gọi Ó là trung điểm của /7, khi đó Ó là tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và R = ÓA

Gọi K là trung điểm của AB, khi đó ÓK = KA = KB Giả sử A là đường thẳng

vuông góc với (ÓA?) tại K và ï là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC Ta có

IA=IB=10 =IC, suy ra Te A va ï thuộc mặt phẳng trung trực của

đoạn ÓC

Gọi L là trung điểm của ÓC thì mặt phẳng trung trực của ÓC là mặt phẳng

vuông góc với OC tai L

Dễ thấy OKIL là hình chữ nhật Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC là R = OI = jOK? + KỈ? = jOK? +02 ¢

abc

ab + bé + cá + \|a2b2 + b2c2 + c2a2

Lại có : R= ——— (Kết quả bài tập 3, §1, chương II)

va? +bh+c? [ap + bc + ca + ý a“bˆ + bˆc? + od |

Theo bài tập 20 chương I, ta có ABCD là hình

vuông canh a va SA = aV2

Gọi Ó là giao điểm của AC và BD, 7 là trung

điểm của $C, khi đó

Lai c6 IC = IS Vay ï là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu đó là

BCMN và (`) là giao tuyến của (S) với mặt

phẳng (BMN) Khi đó (') là đường tròn ngoại

=> AADB = AEDB

=>BE=AB=a

=SE=b-a

Ta có DAS = ASG nên cosDAS = cosASG =

Tacé DS? = AD? + AS? ~ 2AD.AS.cosDAS = DE? + ES”

Giả sử mặt cầu (S) qua ba đỉnh A, B, C cắt ba cạnh

của tứ diện xuất phát từ D lần lượt tại các điểm M,

N, P, mat cau (S') di qua ba dinh A, C, D va cắt ba

đỉnh xuất phát từ Ö của tứ diện lần lượt tại

M,N,P Ta phải chứng minh hai tam giác MNP

và M'N'P' đồng dạng

Do tứ giác MNEA nội tiếp đường tròn (đường tròn

giao tuyén của mặt cầu với mp(4BD)) nên

Vậy tam giác MNP đồng dạng với AMNP' (c.c.c)

._ Giả sử I là một điểm cho trước trong mặt cầu (S) ; (ø) (2), (œạ) là ba mặt

phẳng tùy ý qua / cắt (S) theo ba hình tròn (H;), (H;), (H;) có tâm tương ứng

là Ø,,O;, O; và có bán kính tương ứng 1a R,, Ry, Ry

Dễ thấy : RŸ = R* — OÓŸ (R, Ó là bán kính và tâm của mặt câu (S))

Trong mặt phẳng (ø), xét đường tròn ('Ố) có tâm O, bán kính OM

Hình gồm các đường tròn ('¿) xác định như trên với Ä thuộc được gọi là hình tròn xoay sinh bởi Hhi quay quanh đường thẳng A Đường thẳng A được gọi là trục của hình tròn xoay đó Khi Tà một đường thì hình tròn XOay tương ứng còn gọi là mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng / khi quay quanh một đường thẳng A song

song với / gọi là mặt trụ tròn xoay (hay vắn tắt gọi là mặt trụ) Khi đó, đường

thẳng A được gọi là trục của mặt trụ, / được là đường sinh của mặt trụ

Hai mặt phẳng (P) và (P') phân biệt, vuông góc với trục của mặt trụ cắt mặt

trụ theo hai giao tuyến là các đường tròn bằng nhau (ở), (') Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hai hình tròn (') và ('') được

gọi là hình trụ Các đường tron (@) va (#) được gọi là các đáy của hình trụ,

bán kính R của chúng gọi là bán kính của hình trụ Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ

Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao

Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao

Cho hai đường thẳng A và 7 cắt nhau tại một điểm Ó và tạo với nhau một góc

ø với 0? << 90” Mặt tròn xoay sinh bởi / khi quay quanh A gọi là mặt nón tròn xoay Các đường thẳng A, / lần lượt gọi là trục, đường sinh của mặt

nón Điểm Ó gọi là đỉnh của mặt nón và 2ø gọi là góc ở đỉnh của mặt nón

Mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh, vuông góc với trục của mặt nón cắt mặt nón

theo giao tuyến là đường tron (@) Phần mặt nón giới hạn bởi hai mặt phẳng

(P) và (P), ở đó (P') là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với trục của mặt

nón, cùng với hình tròn () được gọi là hình nón Khi đó hình nón (') gọi là

đáy của hình nón Đoạn thẳng nối đỉnh và một điểm của đường tròn đáy gọi là đường sinh của hình nón Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy được gọi là chiều cao của hình nón

9 Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh

10 Thể tích khối nón bằng một phân ba tích số điện tích hình tròn đáy và

chiều cao

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tam O va Ø', bán kính

R, chiều cao hình trụ là R-/2 Trên hai đường tròn (O) và (Ó'), lấy hai điểm di

động A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng ÓA, Ó'B bằng ø không đổi

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ

b) Goi B' 1a hinh chiéu vuông góc của B trên mặt ! i

Khi đó B' (0) và O'B // OB, tit 46, theo giả thiết Co >

Goi H 1a trung diém AB’ => OH 1 AB' Hinh 38

= AB' = 2AH = 2RsinAOH = 2Rsins

Vì AABR'B vuông tại 8' nên

AB = \|AB2+ BB2 = 4R sin? = +2R2 = R Asin? S +2

c) Goi /, K theo thit ty 1a trung điểm của AB và OƠ' Khi đó HI // BB' và HI= 2BB nên HÓKT là hình bình hành

Mặt khác Ò'L OH nén HOKI là hình chữ nhật, suy ra IK 1 OO' valK // OR,

do đĩ JK 1 AB

Vay IK 1a đường vuơng gĩc chung của OO' va AB

Theo trên /K L Ò'tại K nên 7 luơn nằm trên mặt phẳng (P) vuơng gĩc với

OO' tai trung điểm K cha OO"

Mặt khác : IK = OH = Ros nên / nằm trên đường trịn cố định cĩ tam K,

bán kính Roos trong mat phang (P)

Vi du 2 Cho mot hinh tru tron xoay va hinh vu6ng ABCD canh a cé hai dinh liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABC) tạo với đáy hình trụ gĩc 45” Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Lời giải

p

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Khi ;

đĩ OM 1L AB va O'N 1 CD Gia sit / 1a giao điểm của C mm"