Tình thể tích khối chóp SABC... Chú ý: Nếu thí sinh có cách làm khác với đáp án nhưng vẫn đúng logic và kết quả thì vẫn cho điểm tối đa.. Trong tam giác BCN thì Q là trực tâm nên CQ vuôn
Trang 1ĐÁP ÁN
m Câu 1
2 điểm
a 1) TXĐ: D=R
2) Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn
3
x x
3
x x
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
b) Bảng biến thiên
' 3 6 ' 0
2
x
x
=
=
BBT
x
−∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y
1 +∞
−∞ -3
Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞ )
Hàm số NB trên khoảng (0; 2 )
Hàm số đạt cực tiểu tại x ct =2; y ct = −3
Hàm số đạt cực đại tại x cd =0; y cd =1
3) Đồ thị
Một số điểm thuộc đồ thị (1;-1); (3;1); (-1;-2)
0,25
0,25
0,25
Trang 20,25
b Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: =9x−26 nên hệ số góc của tiếp
tuyến là k=9
3
x
x
= −
=
Với x= − ⇒1 y= −3; tiếp tuyến có phương trình: y+ =3 9(x+1)⇔ y=9x+6
Với x=3⇒ = ; tiếp tuyến có phương trình: y 1 y− =1 9(x−3)⇔ y=9x−26(loại) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=9x+6
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 2
1 điểm
4
4
1
os sin
os
A
+
+
b
Tình
sin 2 2 sin cos
J
=
Đặt t=sinx+ ⇒1 dt=cosxdx sinx= −t 1
2
x= ⇒ =t x=π ⇒ = t
2
1
2
1
2
1
dx
t
0,25
Trang 3Tính
2
0
x
xe dx
K
π
= ∫
Đặt u=x⇒du=dx
dv=e dx⇒ =v e
2
0
π
I
0,25
Câu 3
1 điểm
2
⇔
0
2 2
3
2 2
x
x x
x x
−
≤ <
−
<
+
< ≤ +
>
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 0;3 5 3 5;3
0,25
0,25
0,5
Câu 4
1 điểm
TH1 Chọn 3 điểm trong các điểm A4, A5,…A10 có C =63 20tam giác
TH2 Chọn 2 điểm trong các điểm A4, A5,…A10 và 1 điểm trong các điểm A1,…A4
có C C =62 14 15.4=60 tam giác
TH3 Chọn 1 điểm trong các điểm A4, A5,…A10 và 2 điểm trong các điểm
A1,…A4 có 1 2
6 4 6.6 36
C C = = tam giác
Vậy có 20+60+36=116 tam giác
0,25 0,25
0,5
Câu 5
Điều kiện:
1 4 1 2 1 4
x
x y
y
≤
−
−
≥
Biến đổi phương trình (1) ta có:
Trang 42( ) 1 ( ) 1
5
4 5
4
4
0
x y
−
+
+
TH1 Với x= y thay vào phương trình (2) ta có phương trình
y = πx+c πx= πx+π y =π co πx+π
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ nên hàm số y1 ĐB trên
1 1
;
4 4
−
y = −x− +x+ , dễ thấy hàm số NB trên 1 1;
4 4
−
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 0
TH2
x y
+
= (4)
Vì
1
4
4
x
y
≤
−
≥
⇒
Do đó:
3 2 2
1 3
+
(5)
x− y≥ − ⇒ x− y + ≥ − (6)
Từ (5), (6) suy ra phương trình (4) vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y=0
0,25
0,5
0,25
Câu 6
1 điểm
Trang 5Tình thể tích khối chóp SABC
Trong tam giác ABC ta có: cos 300 2 3 3
2
sin 30 2
2
Vậy thể tích khối chóp SABC là
3
a
V = SA S = SA BA BC = a a a =
Tình khoảng cách giữa SB và AC
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng Bx//AC Khi đó AC//(SBx), do đó
d AC SB =d A SBx Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AK ⊥Bx, vì
AS ⊥Bx⇒Bx⊥ SAK ⇒ SBx ⊥ SAK Trong mặt phẳng (SAK) kẻ
AH ⊥SK ⇒AH ⊥ SBx Vậy ( ; (d A SBx))= AH Trong tam giác ABK vuông tại K có BAK = 600 ta có
a
Trong tam giác SAK ta có:
a AH
7
a
d AC SB = AH =
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7
1 điểm
Mặt cầu có tâm I(-1;-1;-2) và bán kính R = 3
Để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P) đi
qua tâm I
Ta có AB= −( 2;1;1); AI = −( 2; 1; 3)− −
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABI) là
n=AB AI= − −
Phương trình mặt phẳng (P):
2(x 1) 8(y 0) 4(z 1) 0 x 4y 2z 1 0
Vậy (P): − −x 4y+2z− =1 0
0,25 0,25
0,25
0,25
S
A
B
C
I
H
K
Trang 6Chú ý: Nếu thí sinh có cách làm khác với đáp án nhưng vẫn đúng logic và kết quả thì vẫn cho điểm tối
đa
Câu 8
1 điểm
Gọi Q là trung điểm BM, khi đó
/ / 1 2
=
suy ra PCQN là hình bình hành
Suy ra CQ//PN
Trong tam giác BCN thì Q là trực tâm nên CQ vuông góc với BN Vì vậy PN
vuông góc với BN
Đường thẳng BN đi qua N và vuông góc với PN nên có phương trình:
2x+y+ =1 0
B là giao điểm của đường tròn (C) và BN
10
;
x y
−
Vì B có hoành độ dương nên điểm B(1;-3)
Gọi C(1-2c;c)CB=(2 ; 3c − −c); CP=(2 ;1c −c)
Do CP vuông góc với BC nên 2
1
5
c
c
= −
=
Vì C có tung độ âm nên C(3;-1)
Vậy A(-3;1); B(1;-3); C(3;-1); D(-1;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 9
1 điểm
Từ giả thiết và điều kiện của ,x y ta có : y= −1 x và 0≤x≤1
Ta có P = 52x + 5y = 52x + 51−x
2
2
P(1)=6, P(5)=26,
2
= +
0
m
x P
y
=
=
3 2
5
min
3 5
5 log
5
1 log
2
x P
y
=
= + ⇔
= −
0,25
0,25 0,25
0,25
A
D
P
Q
M
N
