chuyên đề 10

Bài giảng số 10 NHỊ THỨC NEWTDN Các bài toán tổ hợp nói chung và nhị thức Newton nói riêng lä một trong các cầu thành của các để thi môn Toán trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Ca

Bài giảng số 10

NHỊ THỨC NEWTDN

Các bài toán tổ hợp nói chung và nhị thức Newton nói riêng lä một trong các cầu thành của các để thi môn Toán trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây tir 2002-2009

Bài giảng này dành để trình bày các phương pháp giải các bài toán liên quan đến nhị thức Newton Có hai loại bài toán chính được xét đến ở đây:

- Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển nhị thức Newton

- Các bài toán tính tông có sử dụng đến nhị thức Newton

§1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỀN

NHỊ THỨC NEWTON

Như đã biết nhị thức Newton có dạng:

(a+b)" => ch "pk (1)

Trong đó về phải của (1) là tong n+1 sé hang S6 Cka™ b* la số hạng thứ k+1 của tông ấy, (k = 0,1,2, ,n) Các bài toán thuộc chủ để này là một dạng toán hay gap trong các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những năm gân đây Nó thường có dạng sau: “Tìm điều kiện dé hé số của khai triển (1)

thỏa mãn một điều kiện nào đây”

Phương pháp giải các bài toán này thường được tiễn hành như sau:

- Viết khai triển Newton (1) với a, b được chọn từ đầu bài Trong một SỐ

trường hợp có thể phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương trình có liên quan đến số tổ hợp)

- Từ (1) sử dụng số hạng thứ k+1: CRa"-buk của khai triển và yêu cầu đề bài

để thiết lập nên một phương trình (mà ân của nó thường là k)

- Từ nghiệm tìm được sẽ cho ta kết quả cần tìm

Trong quá trình giải toán ta thường dùng các kết quả đặc biệt sau:

(14+ x)" =} Chx® =Ch+C,x+Chx? + + Cx",

k=0

n

—x)" = Š)(-1)Š CRxF =C9 ~Clx+C2x2 — 4 (1)? CBX",

Đặc biệt hơn, ta có: - CŨ +CÍ +C?2+ ,+Ch =2", n n n n

Cộ —C) +CZ — +(—I)”Cï =0.

Các dạng toán cơ bản:

Loại 1: Tìm hệ số của xX trong một khai triển nhị thức Newton:

Thi dul: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B ~ 2007)

Tìm hệ số của x'” trong khai triển nhị thức (2+x)" biết rằng:

370 — 3"! cl 4.322 - 37 3 C3 + + (-1)" Ch =2048

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

n :

-1)" = 5 ck3k(-1)"™

k=0

=3°C) = 3" 1C), +31 2Có 3" PCy te (=1) Cá

Vì thế, từ giả thiết ta có: 2"= 2048 =2” = n=11

Lại áp dụng công thức khai triên nhị thức Newton ta có:

II

(2+x)"=Š'.Ch2*x! (1)

k=0

Từ (1) suy ra hệ số của x'" ting voi k= I, và đó là số : c2 =22

Nhận xét:

Thí dụ trên là một minh họa đầy đủ cho phương pháp giải mà chúng ta đã trình bày trong phan mở đầu

Thí dụ 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2006)

Tìm hệ số của số hang x” trong khai triển nhị thức Newton của

Xx

Biết rằng Cl.„¡+C2n„¡+ +C?n„¡ = 20-1

Trước hết xác định n từ giả thiết đã cho như sau:

Theo tính chất của sô tô hợp, ta có:

Const = ~ Cina

2 _ p2n-l Còn, ~ Const

n+]

Cond = Const

Tir dé ta 66: Cony) + Conat t+ Const = Comat + Cont t+ Const C1)

Từ (1) ta có: |

Const + (Cnet + Cina + te Baa) + + (Cong + Cott +t Contr) + Cont

= 2+2(Cš,„ +C2,„¡ + -.+ Ca, } I 2 n (2)

Vì về trái của (2) bằng 2, nên từ (2) và giả thiết ta có:

22"! =2+2(27 ~I]=?2”' © m10.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

ca] sai" =3 chức 0U] Xa

Ta có 70 - IIk=26 ~>k = 4 Vậy số hang chita x ứng với k = 4 Từ đó suy

Nhận xét: Một lần nữa ta thấy các bước giải của các loại toán trong mục này tuân theo phương pháp đã trình bảy trong phân mở đầu

Thí dụ 3 (Dé thi tuyển sinh Dai học khối D — 2004)

Vx

7

Tìm các số hạng không chứa x trong khai triên lá + x} , Voix > 0

Giai

Xét phương trình 7k— 2l =0 © k=3

Vậy số hạng không chứa x là số hạng ứng với k= 3 Đó là số Cỷ =35

Chu y: Đề thi tuyên sinh Cao đẳng khối A, B — 2008 có dang tương tự: Tìm số

7 hạng không chứa x trong khai triển [2s + r

Vx

Đáp số: 6528

Thí dụ 4: (Đề thi Đại học khối A - 2003) ;

Tìm hệ số của só hạng chứa xỔ trong khai triển nhị thie Newton

[= +\x Ì , biết rằng: cọ! —Ch¿› = 7Ín +3)

Trước hết ta tìm n từ hệ thức:

(n+3)!

(n+ 1)!2!

- ®(n+2)(n+3)= 14(n+3) © (n+2)=l4© n=12 (do nt3>0)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta co:

Cita ~ Chas =7(n +3) <> CRS +085 -C8, =7(n 43) & =7(n+3)

se) fon!) cŠab( | cản”

®

Từ phương trình 60 > IK eg k=4,

Vậy số hạng chứa xỶ trong khai triển tương ứng với k = 4, do đó hệ số của nó

la Cy, =495

Nhận xét: Với các thí dụ 1, 2, 3, 4 việc tính hệ số của các số hạng chứa x* được tính trực tiếp

Trong các thí dụ sau đây, việc tính hệ số của số hạng x" không tính được trực tiếp mà nó phải qua bước trung gian Ta hãy xét các thí dụ đó:

Thí dụ 5: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D - 2007)

Tìm hệ số của xỶ trong khai triển của biểu thức: P = x(I—2x}” + x?(1+ 3x)”

Theo công thức khai triên nhị thức Newton, ta có:

P=x C8 (-2x)* +x? ¥ chy (3x)* (1)

Từ (1) suy ra số hạng chứa x` của P là:

xC$(-2x) + x?Cjp (3x) = xÌ(16Cš +27Cụ |

Vậy hệ số của x” trong khai triển là 16.5+27.120 = 3320

Thí dụ 6 (ĐỀ thì tuyển sinh Đại học khối A - 2004) _

Tìm hệ số của xỶ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

8 p=[1+x?(I-x)|

Theo công thức khai triên Newtfon ta có:

Pdi (is } “Yc 2k (

+ Với k = 5, 6, 7, 8 thi x(1-x)* chtta ly thừa bậc thấp nhất là 2k > 10, vậy

mọi số hạng của nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

+ Với k= 0, I, 2 thi x”\-x} chứa lũy thừa bậc cao nhất là 3k < 6, vậy mọi

số hạng của nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

Vậy chỉ xét khi k=3, k=4

- Với k = 3, xét sd hang C}x° ( -x*) =C}x° (1 — 3x +3x? -*}

Số hạng chứa xŸ ở đây là 3C} xỶ

- Với k= 4 xét số hạng: C¿ xỶ (I - x') Số hạng chứa xỶ là: C‡xỶ,

Vậy hệ số chứa lũy thừa xỶ trong khai triển của P là: 3C‡C; = 238

Thí dụ 7:

Cho đa thức P(x) =(1 +x) + 2(1 + xy t+ 3(1 +x) + + 20(1 +x)” Tìm hệ

số của số hạng x"? trong khai trién thanh da thtre ctia P(x)

Giai

P(x)=|(I+x)+2(I+x) + +14(1+ x)

Viết lại:

20

ns ct! Jn Sct Jrva0f Sedat)

k=0

Từ đó suy ra hệ số của số hang chira x'* la

ais =15CjŠ +16C|2 +17C]? +18C]š + 19C] + 2019 = 400995

Loại 2: Tìm hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Newton:

Bài toán này có dạng sau: Trong một khai triên thành đa thức

P(x) = ag + ax + ax? + ayx”

(ở đây sử dụng công thức khai triên nhị thức Newton) Hãy tìm hệ số lớn nhật

trong các hệ sô ao, a), ., ân

Phương pháp giải loại toán này như sau:

- Xét bất phương trình ay < ay.¡ và nghiệm của nó thường có dạng k < ko

do k nguyén nén k = 0, 1, 2, ,ko—1

- Từ đó suy ra bất phương trình a, > ai.¡ có nghiệm dang k > ko

Đến đây ta có hai khả năng:

+ Nêu ay = aa, & k=ko

Khi đó ta có: Ay <aj<Aay< < Ay Ay vị >3 Pe ân | >ân,

Lúc này có hai hệ số nhận giá trị lớn nhất là a, và a, „

+ Nếu ay = ay.¡ VÔ nghiệm

Khi đó ta có: ao<ai<a;< Ay 1 SAL, <8 vị>‹ >ân

Lúc này có duy nhất hệ số a,, nhận giá trị lớn nhất

Thí dụ 1 (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A - 2008)

Giả sử P(x) = (1 + 2x)”= ao + aix + aax”+ + a,x" thỏa mãn hệ thức:

an

ag+ + 2+ + =212,

Tim hé số lớn nhất trong các hệ số Íão, ã, ãa, , Ant

Giải

Theo công thức khai triên Newton ta có:

P(x)=(1+2x)" 2S ckakx cŠ =Cñ +2Cjx+22C2x? + +20Cñ vn,

k=0

Từ đó do P(x) = (1 + 2x)”= ao + aix + ax’ + + ayx", ta 06:

aạ =2CẬ => —7 = C2

2

a, =2Ch" =^" =C"

2n

Vi the: a, $22 =C24C) 40? 4.40% 22"

Do đó từ giả thiết suy ra: 2" = 2" = n=12

Xétkhaitrién: (1 +2x)! *=Yct ak xk

Từ đó a, a CS2 (k=0, 1, ,12)

Xét bat Phong trình: ay € 8+]

(12-k)tk! (II-k)(k+l)! 12-k kẻ]

© k+l<24- 2k © kK <> k=0, 1, 2, ,7 (do k nguyên)

Tir dé suy ra: a> ae) 2 k»ế © k=8,9, 10, 11

2 Phuong trinh a, = a.) <> k= =

<> vô nghiệm do k nguyên

Như thé ta c6: ag < a) <a2< < a7 <ag> Ao> alo> a> an

Vay max {ao, a13 5 aia} = ag=2° on =126720

Thí dụ 2

Xét khai triển (3x+2) = a+ ayx + anx’ 24 + ax” Tim hé 36 lon nhat trong cac

hệ số {ap; ai; Ao}

Giải

k=0

Vay a, =3'27 ce k=0, 1, 2, ,9)

Xét bất phương trình: ay<ay

S 32° * CE < BEDE CH So 9! <3 9!

k!(9-k)! (k+1)!(8-k)!

2 <a ek Se k= 0, 1, 2, 3, 4 (do k nguyén)

9-k k+l Vay ara @k5Ok=6,7, 8

Mặt khác ai, = a1 << k=5

Vi thé ta c6: ay < ay < a < ay < ay < As = Ag > Ay > A> ao

Tir dé: as = ag = max{ag; a); ja9}=2C3 = 252

Thi du 3

Xét khai trién (x+2)"=aq +aix†a;x?+ +a,x" Tìm n dé max {a938)3 -4n}=aro

Giải

Từ giả thiẾt ag<a\< <ag<ao>âi ¡>â¡z> >ân

ayy > ay (2)

>

Vậy ta có hệ:

Theo khai triển nhị thirc Newton, thi

(x+2)" => cụ Kank

Vay a, =Ck2"* voi k=0, 1, 2 0

clogn lo >C 2n-9

Tir dé (1), (2) © Cl02n-10 > clan

(n—10)H10! ”(n~9)!91 Ta”

& 29 <n <32

< n=30 hoae n=31

Loại 3: Các bài toán tìm hệ số và các số hạng trong khai triển nhị thức

Newton thỏa mãn các điều kiện cho trước:

Thí dụ 1 (Đề thì tuyển sinh Đại học khối D — 2003)

Với n là số nguyên dương, gọi aa,; là hệ số của x°"? trong khai triển thành đa thức của (x'+2)"+ (x+2)" Tìm n để có aa,s=26n

Vì n nguyên dương nên n> Ì = 3n-3 > 0

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: -

((+x?} =C§ +Clx? +Cjx + +Cnx?", (1)

(24x) =2"Co +2"° CX +2 “CẬN” + +CnX”, (2)

1/Nếu n= l = 3n-3 =0 :

Trong trường hợp này, ta có: (x? + 1)" (x+2)"= (x? + 1)(x +2)

Từ đó suy ra ao = 2 Mặt khác 26n = 26 => asy.3 #26n

Loại khả năng này

2/Nếun=2 (lập luận tương tự như trường hợp l cũng loại khả năng này) 3/Nếu n >3, từ (1) (2) suy ra:

83n-3 =Cn (2 Cy )+Π(2c; \ =2 (n8

Theo bài ra ta có phương trình:

4n{n-l)(n-2 aden), 2n* =26n © n=5(don>3)

Vay n=5 la gia tri duy nhất cân tìm của n

Thí dụ 2:

rf ° 9

Tìm các sô hạng nguyên trong khai triên (v3 +32 )

Theo công thức khai triên nhị thức Newton, ta có:,

C§322 3 là nguyên © 4(9-k):3 © k=0 và k=6

0<k<9

Vậy trong khai triển trên có hai số hạng nguyên đó là:

C¿3°2`=8§ và C£3'2' =4536

Thí dụ 2: ;

Trong khai triên nhị thức Newton:

2!

{4 , b

Vb Va)

tìm hệ số của số hạng có số mũ của a và b là bằng nhau

Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

ie bose]

Tu (1) suy ra xét hé phuong trinh sau:

k_k- 21 _k,2I-k œk=12,

55 Vậy hệ sé can tim là: C;” = 293930 (đó là hệ số của số hạng chứa a2b2) Thí dụ 3

Tìm số nguyên dương bé nhật n sao cho trong khai triển (I + x)” có hai hệ số

aA oA tq? A 13 7

liên tiép có tỉ số là “

Giải

Ta có: (I + x)" = 5 chxt => hệ số của hai số hạng liên tiếp là: ck; cx

k=0

Ta co:

k

Go 7 c KỆ c2 7n=22k+l5 cn=3k+2+ ST, CS 15 Rok l§ 5

k+1

Don,keZ > _z xtSk=ft-l =n=22t-I (1)

Do K> 0 nên 7t~] >0 > t> z0

Từ (1) và (2) do t nguyên nên n nhận giá trị bé nhất bằng 21 khi t = 1 Vay n= 21 là giá trị bé nhật của n thỏa mãn yêu cầu đầu bài

§2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP, HOẶC

TÍNH TỔNG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON

Để có thể giải các bài toán thuộc loại này, người ta thường giải nó theo các bước sau:

1/ Trước hết chọn một hàm số thích hợp với đầu bài Các hàm số này thường

là nhìn thấy ngay dạng của nó (dựa vào các biểu thức cho trong đầu bài)

2/ Dùng các phép biến đổi đại số, hoặc kết hợp với phép tính đạo hàm, tích phân dé giải bài toán ban đầu

Loại 1: Các bài toán kết hợp việc sử dụng phép tinh dao ham va tich phan: Với loại bài tập này, sau khi chọn được hàm số f(x) thích hợp ta tiễn hành lấy đạo hàm (hoặc tích phân) hàm số đã chọn theo hai cách:

- Lấy đạo hàm (hoặc tích phân) trực tiếp hàm số đã cho

- Lay đạo hàm (hoặc tích phân) sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton ham sé f(x) di chon (di nhiên ở đây f(x) có dạng có thể dùng công thức khai triển nhi thite Newton)

- Với phép lay đạo hàm, ta lựa chọn một giá trị phù hop cho x, rồi thay vào hai biểu thức và tính đạo hàm Với phép lấy tích phân thì chọn hai cận tích phân thích hợp Các giá trị này cũng thường thấy ngay từ đầu bài

Thi du 1 (Dé thi tuyén sinh Đại học khối A - 2007)

Cho n là số nguyên dương, chứng minh:

làn Ta Tạng lang 22-1

—C2„ +—C2„ +—Cšs, + +——-C =

Qn gen gn an Ons]

Giải

Ta có: eee +C} mi Gần +CộnXÃ + +Cộnx”" (1)

(I-x x)"= =C9" —C|x+C2nx? -C2nx) + +Cnx”” (2)

2n 2n

(1+x) es) 3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: f(x) = Cạnx + Cộnx + CỔ XỔ + +C2nn 2M (Ty

Từ (3) ta có:

Xét hàm số: f(x) =

Từ (4) lại có: [f(x)dx =Cj„ [xdx +C3, [x dx+ +Củn' [x?"ldy

lar il n3 Ì Ï „.2n-I

Tu (5) (6) = dpem

Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2008)

Tìm số nguyên dương n sao cho:

C2ny¡ —2.2C2n¿| +3.2?Cộn,¡ —4:22C2„v¡ + +(2n +1)22"C?"‡Í = 2005 , 2n+l —

Xét hàm số: f(x) =(I+ xy" => f'(x)=(2n+1)(1+ x)" (1) Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

'2n+l

x)= 2 ConaiX* =C Coat + Con X+ Cia X” +, «+ Côn X ~

=f'(x)= C?n,¡ +2C2n,x+3C3n,¡X” + +(2n + 1) C2 2 (2)

Đồng thời thay x=—2 vào (1) và (2) ta có:

2n+l=C;,„¡~2.2C2.„¡ +3.27C2,.¡ —4.22C2 2 + +(2n + 1)229C?"" (3)

Tir gia thiét va (3) suy ra 2n+] = 2005 < n= 1002

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B — 2003)

Cho n là sô nguyên dương Tính tông:

S= C°+^ —Ìc! +2 tery 4? toe,

Xét hàm số f(x) = (1+x)" Ta có:

]=~ [(2x-t)(cos*t)at = J (2x-t)(cos?t)dt (1)

Theo công thức khai triển Newton, ta có:

f(x)=C? +Cx+C?x?+ +Cnx"