Giải và biện luận các phơng trình sau: a.. Biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau: a.. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.. Phơ
Trang 1Chuyên đề tam thức bậc hai
1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a m2x2 – m(5m + 1)x – 5m - 2 = 0
b (m - 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 c. x a−1 +
a
x−
1
= 2
2 Giải các phơng trình sau:
a. (1 - 2)x2 - 2(1 + 2)x + 1 + 3 2 = 0
b. x1−1 +
2
2
−
x = 3(
6
2
+
x -
3
1
−
c. (a + b)2x2 – (a - b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0, (a + b ≠ 0)
d x2 – 2sina.sinb.x + sin2a + sin2b – 1 = 0
3 CMR các phơng trình sau luôn có nghiệm ∀ a, b, c ∈ R:
a (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
b ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0
4 Biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a x3 – m(x - 1) - 1 = 0 b x3 – m(x + 2) + 8 = 0
5. Giả sử phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
A = x1 + x2
B = x1 + x2
C = x1 + x2
D = x1 + x2
E = x2x1 + x1x2
F = | x1 – x2 |
G = 1
1
x +
2
1
1
1
x + 22
1
6 Tìm m sao cho các phơng trình sau thoả mãn:
a Pt: x2–mx+m2 –m–3 = 0 có nghiệm t/m: x1 + x2 = 4
b Pt: x2–(m+2)x+m2+1 = 0 có nghiệm t/m: x1 + x2 = 3x1x2
c. Pt: 3x2+4(m-1)x+m2–4m+1 = 0 có nghiệm t/m:
1
1
x +
2
1
x =
2
1
(x1+x2)
d. Pt: x2 +mx+1 = 0 có nghiệm t/m: 2
1
2 2
x
x
+ 2
2
2 1
x
x
> 7
e Pt: x2–(2m+1)x+m2 +1 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = 2x2
f Pt: x2–3,75x+m2 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = x2
g Pt: mx2–2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 + 2x2 = 1
7 Cho phơng trình: (m – 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1) Tìm m để:
a Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau
b Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
c Phơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt
d Phơng trình chỉ có một nghiệm dơng
8 Cho phơng trình: 2x2 + (2m - 1)x + m – 1 = 0 (1)
a Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 3x1 – 4x2 = 11
b CMR phơng trình (1) không thể có 2 nghiệm dơng
c Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
1
Trang 3II Bất phơng trình bậc 2, định lý thuận:
9 Giải các bất phơng trình sau:
a 2x2 – 5x + 3 < 0
b x2 - 4x – 5 ≥ 0
c x2 + 3x – 4 ≥ 0
d. x3 – 6x2 + 5x +12 ≤ 0
e. 4x2 - 4x + 1 ≤ 0
f. x2 – (m + 2)x + m + 1 ≤ 0 g
x
x+ > −
−
2
3 1 3 4
h
x a a x
x a
x+ − − < −
1 2
2 2
10 Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a ax2 + (a + 1)x + 1 >0
b (m - 1)x2 – 2(m + 1)x + m + 3 > 0
c 4(m + 2)x2 – 2(m - 1)x + m - 1 < 0
11 Giải các hệ bất phơng trình sau:
a
≤
−
−
>
+
−
0 5 4
0 3 5 2
2
2
x x
x x
b
≤
− +
>
+
+
0 6
0 7 9 2
2
2
x
x
x x
c
−
≤
≥
−
+
) 4(
4
0 4 3
3
2
x x
x x
d
≤ +
−
−
≤
−
0 )4 7 3 )(
1 (
0 9
2
2
x x x
x
12 Tìm m để:
a (m2 + 2m)x2 + 2(m + 2)x – 3 ≥ 0, ∀ x ∈ R
b mx2 + 4x + m > 0, ∀ x ∈ R
c mx2 - mx – 5 < 0, ∀ x ∈ R
d
3 4 2 ) 1 2
(
5 2
2
2
− +
−
−
− +
−
m x x m
x x
> 0, ∀ x ∈ R
13 Tìm m để các bất phơng trình sau vô nghiệm:
a (m + 1)x2 - 2mx – m + 3 < 0
b (m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 < 0
c (m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 ≥ 0
14 Tìm a để hệ phơng trình sau vô nghiệm:
a
>
+ +
−
<
+
+
0 1 )1 (
0 3 4
2
2
x a ax
x
x
b
− +
>
+
<
−
+
x a x
a
x x
)2 3(
3 1
0 8 7
2 2
15.Cho hệ phơng trình:
≤ + +
−
≤
−
+
0 )1
(
0 2 3 2
2 2
2
a x a a x
x
x
a Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm
b Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm duy nhất
Trang 416 CMR: a x2 + 2xy + 3y2 +2x + 6y + 3 ≥ 0 ∀ x, y ∈ R.
b x2y4 – 4xy3 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2≥ 0 ∀ x, y ∈ R
17 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0 Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1
18 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: (x2 - y2 +1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x2 + y2
19 So sánh số –2 với các nghiệm của các phơng trình bậc 2 sau:
a 2x2 – 9x – 15 = 0
b x2 + (m + 3)x + 2m + 1 = 0 c mx
2 + (m-2)x – 3m – 4 = 0
20 Cho phơng trình bậc 2: x2 – 2(m + 1)x + 5m – 1 = 0 (1) Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 1 khi m thay đổi
21 Cho phơng trình bậc 2: x2 – mx + 3m – 8 = 0 (1) Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số
4 khi m thay đổi
22 Cho phơng trình: (3 – m)x2 + 2mx + m + 2 = 0 (1) Tìm m để:
a Tìm m để (1) có 2 nghiệm < 1
b Tìm m để (1) có 1 nghiệm ∈ (-1; 3) còn nghiệm kia > 3
23 Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 – 8(a + 1)x + 6a = 0 có đúng một nghiệm ∈ (0; 1)
24 Tìm m để phơng trình: (m-3)log2
0,5(x-4) – (2m+1)log0,5(x-4) + m + 2 = 0 có 2 nghiệm x1,
x2 t/m: 4 < x1 < x2 < 6
25.Tìm m để phơng trình:
x Sin x Cox
x Cos x Sin
2 2
6 6
− + = mtg2x có nghiệm.
26.Tìm m để phơng trình:
x Sin2
3 + 3tg2x + m(tgx + cotgx) – 1 = 0 có nghiệm
27 Cho phơng trình: x2 – (a + 2)x + 5a + 1 = 0 Tìm a sao cho:
a Phơng trình có một nghiệm lớn hơn 1
b Phơng trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1
c Phơng trình có nghiệm ∈ (-1; 1)
28 Tìm m để: f(x) = x2 – (m+2)x + m2 +1 > 0 ∀ x > 1
29 Tìm m để: f(x) = (m-2)x2 – 3(m-6)x – m - 1 < 0 ∀ x ∈ (-1; 0)
30 Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a.
1
6 5
2
−
− +
−
x
m x
x
> 1 b. 2x - m x− 1 > m – 1
c. | x2 – 2x – m | ≤ | x2 – 3x – m
|
31 Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau:
a x4 – 5x2 + 6 – m = 0
b x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0
c. x2 = 2(m-1) x2 + 1 - 5m
d (m-1)Sin2x–2(m+1)Cosx+2m–1= 0
32.Tìm a để bất phơng trình: 4cosx + 2(2a + 1)2cosx+ 4a2 – 3 < 0 đúng ∀ x
33.Tìm a để bất phơng trình: Sin3x + mSin2x + 3Sinx ≥ 0 đúng ∀ x t/m: 0 ≤ x ≤π 2.
Trang 5IV Hệ phơng trình bậc 2:
Giải các hệ phơng trình sau:
Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai:
42
=
−
=
−
24
1 3
2
2 xy
x
y
x
43
− +
=
= +
−
9 ) (3
0 1 4
3
y x
xy
y
x
44
= + + +
=
+
0 6
2 3
2
y x xy
y x
45
=
− +
=
+
0 5 2
4
2
y x
x x y
46
= +
−
=
+
0 2 3
5 3
2
2
2 y y x
y x
47
=
−
= +
+
5 2
7
2 2
y x
y xy x
Hệ đối xứng loại 1:
48
=
+
=
+
10
4
2
2 y
x
y
x
49
= +
=
−
−
65
18 )1 )(
1
(
2
2 y
x
y
x
50
= +
= +
+
5
5
2
2 y x
xy y x
51
= + +
= +
+
7
5
2
2 y xy x
xy y x
52
= +
= +
+
6
5
2
2y y x x
xy y x
53
= + +
= +
+
17
5
3 3 3
3 y x y x
xy y x
54
= + + +
= + + +
9 1 1
5 1 1
2 2 2 2
y x y x
y x y x
55
= +
+
= + +
49 )
1 1 )(
(
5 )
1 1 )(
(
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
Hệ đẳng cấp bậc 2:
56.
= + +
= +
+
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy
x
y xy
x
57.
= +
−
= +
−
5 5 4
9 3 2
2 2
2 2
y xy
x
y xy
x
58.
= +
−
−=
+
−
13 3 3
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
59.
=
−
−
=
−
+
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Hệ đối xứng loại 2:
60
+
=
+
=
x y
y
y x
x
2 3
2
3
2
2
61
+
=
−
+
=
−
x y x y
y x y x
2 2
2 2 2 2
2 2
62
+
=
+
=
x y y
y x x
2
2 3 3
Trang 6
−
=
−
=
1
1 2
2
mx
y
my
x
64
+
=
+
=
mx y y
my x x
3
3 2 2
C¸c hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c:
65
= +
+
=
−
+
=
+
+
14 7 6
2
2 y z
x
zx
yz
xy
z
y
x
66
= + +
= + +
+
72 )1 ( )1 (
18
2 2
y y x x
y y x x
67
= +
+
= +
+
= +
+
5 2 1
yz
z
y
xz
z
x
xy
y
x
68
−
= + +
−
= + +
−
= + +
xy z
y x z
xz z
y x y
yz z
y x x
6 ) (
3 ) (
2 ) (
69
= +
+
= +
+
1
1
2 2
2 y z
x
zx
yz
xy
70
+
=
+
=
+
=
1 1 1
2 2 2
x z
z y
y x
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
71.x2 + x+ 5 = 5
72.x3 + 1 = 23 2x− 1
73.x3 - 33 2 + 3x=2
74.x3 - 1 = 3 x+ 1