Mot so dang toan MTCT

Hãy tính thể tích của tứ diện đó?Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT Giải bằng máy tính Casio fx-570ES Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song s

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = sin x - cos x + sin 2x$

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$f(x) = sin x - cos x + sin 2x = sin x - cos x + 2 sin x cos x$

Đặt $t = sin x - cos x$, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ và $2 sin x cos x = 1 - t^2$

Bài toán trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số $g(t) = -t^2 + t + 1$

$g`(t) = -2t + 1$

$g`(t) = 0$ $\Leftrightarrow$ $t = \frac{1}{2}$

Tính giá trị của $g(t)$ tại $t = \frac{1}{2}; \pm \sqrt{2}$

Ghi vào màn hình (MathIO): $-X^2 + X + 1$

Ấn (X?) nhập $1 \div 2$ ấn kết quả: $\frac{5}{4} = 1,25$

(kết quả gần đúng lấy 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tọa độ giao điểm của hypebol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}\\ {x - 4y - 5 = 0} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{(4y + 5)^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 (*)}\\ {x = 4y + 5}

\end{array} \right.$

Giải (*)

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{(4A + 5)^2}{16} - \frac{A^2}{9} = 1, A$

Ấn (Solve for A) nhập 10 ấn kết quả: $y_1 = -0,2466$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{(4B + 5)^2}{16} - \frac{B^2}{9} = 1, B$

Ấn (Solve for B) nhập $-10$ ấn kết quả: $y_2 = -2,5659$

Tìm $x_1, x_2$

Ghi vào màn hình: $4Y + 5$

Ấn kết quả: $x_1 = 4,0135$

Ấn kết quả: $x_2 = -5,2635$

Vậy hypebol và đường thẳng giao nhau tại các điểm có tọa độ lần lượt là:

$\left\{\begin{array}{l}{x_1 = 4,0135}\\ {y_1 = -0,2466} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_2 = -5,2635}\\ {y_2 = -2,5659} \end{array} \right.$

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số (đề Quốc gia MTCT 2010)

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số $y = \frac{x^2 - 5x + 1}{x + 1}$

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$y` = \frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2}$

$y`` = \frac{14}{(x+1)^3}$

$y` = 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $x^2 + 2x - 6 = 0$ ($x=-1$ không là nghiệm)

Ghi vào màn hình (MathIO): $A^2 + 2A - 6, A$

Ấn (Solve for A) nhập $-5$ ấn kết quả: $-3,645751311$

Ghi vào màn hình (MathIO): $B^2 + 2B - 6, B$

Ấn (Solve for B) nhập $5$ ấn kết quả: $1,645751311$

Dùng máy tính được: $y``(-3,645751311) < 0$, $y``(1,645751311) > 0$

$\Rightarrow$ $y_{CĐ} = y(-3,645751311)$; $y_{CT} = y(1,645751311)$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X^2 - 5X + 1}{X + 1}$

Ấn (X?) ấn kết quả: $-12,29150262$

Ấn (X?) ấn kết quả: $-1,708497378$

Vậy $y_{CĐ} = -12,29150262$, $y_{CT} = -1,708497378$

Tính thể tích của tứ diện (đề Quốc gia MTCT 2010, THPT)

Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21 Hãy tính thể tích của tứ diện đó?

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ

Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C

P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA

$S_{PQR} = \frac{1}{4} S_{ABC}$ Suy ra:

$V_{SPQR} = \frac{1}{4} V_{SABC}$

Ta có: $\Delta SBQ$ cân tại Q (SQ = BQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{BSQ} = \hat{SBQ}$

$\Delta SCQ$ cân tại Q (SQ = CQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{CSQ} = \hat{SCQ}$

$\Rightarrow$ $\hat{BSC} = \hat{BSQ} + \hat{CSQ} = \frac{1}{2}(2\hat{BSQ} + 2\hat{CSQ}) = \frac{1}{2} (\hat{BSQ} + \hat{SBQ} + \hat{CSQ} + \hat{SCQ}) = 90^o$

Tương tự: $\hat{ASB} = \hat{ASC} = 90^o$

Suy ra: $V_{SABC} = \frac{1}{6}SA SB SC$

Một người mua xe máy trả góp (đề thi Quốc gia 2010, THPT)

Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả 800.000 đ cả gốc và lãi Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng cuốicùng) Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi $u_0$ là số tiền người đó mua xe: $u_0 = 20 000 000$ (đồng)

$u_n$ là số tiền người đó còn nợ sau n tháng

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u_0 = 20 000 000}\\ {u_ n = 1,012u_{n-1} - 800 000 (TH: n \le 12)}\\ {u_n = 1,015 u_{n-1} - 1 000 000 (TH: n > 12)} \end{array} \right.$

Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A

Ấn 0 20000000

Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.012A - 800000$

Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng

Ấn kết quả: $u_{12} = 12818250,87$

Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó còn nợ là 12818250,87 đồng.

Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.015A - 1000000$

Ấn liên tiếp phím cho đến khi $A < 0$ thì dừng

Ấn kết quả: $27$

Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ.

Tìm số hạng thứ 2009 (đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010)

Cho dãy số {$u_n$} với

$u_n = sin(2010 - sin(2010 - sin (2010 - sin(2010 - sin2010))))$

Tìm $n_0$ để với mọi $n \le n_0$ thì $u_n$ có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi Tính giá trị

$u_{2009}$

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

(chọn đơn vị đo góc là rad)

Và $u_{186} = u_{187} = u_{188} = = -0,3071$

Suy ra: $u_{2009} = -0,3071$

Thứ hai, 5/4/2010

Tìm số tự nhiên n (đề thi Quốc gia MTCT 2010, THPT)

Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của $(1+1)(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3}) (n+\sqrt{n})$ sai khác số 43294578923 không quá một đơn vị

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Ghi vào màn hình (MathIO): $X = X + 1 : A = A (X + \sqrt{X}) : 43294578923 - A$

$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$

(kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x(x-2) + y(y-2) = 4} \end{array} \right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{u = x(x-2)}\\ {v = y(y-2)} \end{array} \right.$

Hệ phương trình trên trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}{uv = 4}\\ {u+v = 4} \end{array} \right.$

Suy ra: $u,v$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 4 = 0$

Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn

Nhập hệ số: 1 $-4$ 4

Ấn kết quả: $X=2$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{u=2}\\ {v=2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{x(x-2) = 2}\\ {y(y-2) = 2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{x^2 - 2x - 2 =0}\\ {y^2 - 2y - 2 = 0} \end{array} \right.$

Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức (đề Quốc gia MTCT 2010)

Cho các hàm số $f(x) = \frac{a}{x^2} - 3x + 2$, ($x \ne 0$) và $g(x) = a sin 2x$ Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệthức: $f[f(-1)] \approx \sqrt{2} + g[f(2)]$

(kết quả gần đúng chính xác tới 4 chữ số thập phân)

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

$\Leftrightarrow$ $\frac{a}{(a+5)^2} - 3(a+5) + 2 = \sqrt{2} + a sin(\frac{a}{2} - 8)$

(Chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X}{(X+5)^2} - 3(X+5) + 2 = \sqrt{2} + X sin(\frac{X}{2} - 8)$

$S = f(\frac{1}{2010}) + f(\frac{2}{2010}) + f(\frac{3}{2010}) + + f(\frac{2009}{2010})$

(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M(1; 2)$ và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -3x^2 + 4x - 5$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Tiếp tuyến đi qua $M(1; 2)$ nên có phương trình là: $y = k(x-1) + 2$

Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}{-3x^2 + 4x - 5 = k(x-1) + 2 (*)}\\ {-6x + 4 = k (**)} \end{array} \right.$

Thế (**) vào (*) ta được: $-3x^2 + 4x - 5 = (-6x + 4)(x-1) + 2$

Ghi vào màn hình (MathIO): $-3A^2 + 4A - 5 = (-6A + 4)(A-1) + 2, A$

Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: $x_1 = 2,41423562$

Ghi vào màn hình (MathIO): $-3B^2 + 4B - 5 = (-6B + 4)(B-1) + 2, B$

Ấn (Solve for B) nhập $-5$ ấn kết quả: $x_2 = -0,414213562$

Suy ra, có 2 tiếp tuyến là: $y = k_1(x-1) + 2$ và $y = k_2(x-1) + 2$

Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện

Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh $AB = AC = AD = 8dm$, $BC = 7dm$, $CD = 6dm$, $BD = 5dm$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi H là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{HC = HC = HD}\\ {AB = AC = AD} \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ A, H nằm trên đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm B, C, D

$\Rightarrow$ Đường thẳng AH đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và $AH \bot (BCD)$

Các tam giác $HAC, HAB, HAD$ là các tam giác vuông bằng nhau (c.c.c)

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ($O \in AH$) và $\alpha = \hat{HAB}$ , thì

$R = OB = \frac{HB}{sin (\hat{HBO})}$

Trong đó: $\hat{HBO} = \hat{HBA} - \hat{OBA} = 90 - \hat{HAB} - \hat{OBA} = 90 - 2 \hat{HAB} = 90 - 2

\alpha$

(tam giác AOB cân tại O nên $\hat{HAB} = \hat{OBA}$)

Suy ra: $R = \frac{HB}{sin (90 - 2 \alpha)}$, với $tan \alpha = \frac{HB}{AB}$

Tính bán kính HB của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Ta có: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{abc}{4R}$

Ghi vào màn hình: $\sqrt{}(D(D-A)(D-B)(D-C)) = ABC \div (4X)$

Tính gần đúng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đi qua các điểm $A(1;-3)$, $B(-2;4)$, $C(-1;5)$, $D(2;3)$

1 Xác định các hệ số $a, b, c, d$

2 Tính gần đúng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2003, lớp 12 THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

1 $a, b, c, d$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+d = -3}\\ {-8a+4b-2c+d = 4}\\ {-a+b-c+d =

5}\\ {8a+4b+2c+d = 3} \end{array} \right.$ $\left \begin{array}{l}{(1)}\\ {(2)}\\ {(3)}\\ {(4)} \end{array} \right.$ Cộng phương trình (1) với phương trình (3), phương trình (2) với phương trình (4) ta được

$\left\{\begin{array}{l}{2b+2d = 2}\\ {8b+2d = 7} \end{array} \right.$

Chọn chương trình giải hệ phương trình bậc 2: ấn

Nhập hệ số:

2 2 2

8 2 7

Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{b = \frac{5}{6}}\\ {d = \frac{1}{6}} \end{array} \right.$

Thế vào (1) và (4) ta được: $\left\{\begin{array}{l}{a+c = -3-\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}\\ {8a+2c = 3 - 4 \times

\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} \end{array} \right.$

Ấn

Nhập hệ số:

1 1 $-3 - 5 \div 6 - 1 \div 6$

8 2 $3 - 4 \times 5 \div 6 - 1 \div 6$

Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{a = \frac{5}{4}}\\ {c = -\frac{21}{4}} \end{array} \right.$

Hàm số đã cho là: $y = \frac{5}{4} x^3 + \frac{5}{6} x^2 -\frac{21}{4} x + \frac{1}{6}$

2 $y` = \frac{15}{4} x^2 + \frac{5}{3} x - \frac{21}{4}$

Trở về MODE COMP: ấn

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{15}{4} A^2 + \frac{5}{3} A - \frac{21}{4}, A$

Ấn (Solve for A) nhập 1 ấn kết quả: $x_1 = 0,9816808952$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{15}{4} B^2 + \frac{5}{3} B - \frac{21}{4}, B$

Ấn (Solve for A) nhập $-1$ ấn kết quả: $x_2 = -1,42612534$

$y`` = \frac{15}{2}x + \frac{5}{3}$

Tính trên máy: $y``(x_1) > 0$, $y``(x_2) < 0$, suy ra

$y_{CT} = y(x_1)$, $y_{CĐ} = y(x_2)$

Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{5}{4} X^3 + \frac{5}{6} X^2 -\frac{21}{4} X + \frac{1}{6}$

Ấn (X?) kết quả: $y_1 = -3,00152275$

Ấn (X?) kết quả: $y_2 = 5,723059101$

Vậy $y_{CT} = -3,00152275$, $y_{CĐ} = 5,723059101$

============

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1 $dm^3$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Đặt R là bán kính đáy của lon, d là chiều cao của lon Ta có:

Thể tích của lon là: $V = \pi R^2 d = 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $2 \pi R^2 = \frac{1}{R}$

$\Leftrightarrow$ $R = \root{3}{\frac{1}{2 \pi}}$

Vậy diên tích toàn phần của lon nhỏ nhất bằng $3 \root{3}{2 \pi}$ khi $R = \root{3}{\frac{1}{2 \pi}}$

Ghi vào màn hình (MathIO): $3 \root{3}{2 \pi}$

Ấn kết quả: 5,535810446

Vậy $S = 5,535810446$ dm.

Tìm gần đúng các hệ số của tiếp tuyến

Tìm gần đúng với 5 chữ số thập phân các hệ số $a_1, b_1$ của đường thẳng $y=a_1x + b_1$ là tiếp tuyến tại điểm $M(1;2)$ của elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, biết elip đi qua điểm $N(-2;\sqrt{3})$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004, lớp 12 THPT, đề dự bị)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Elip đi qua hai điểm M và N nên tọa độ của M và N thỏa phương trình elip, suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1}\\ {\frac{4}{a^2} + \frac{3}{b^2} = 1} \end{array}

\right.$

Dùng chương trình giải hệ phương trình 2 ẩn cài sẵn trên máy giải hệ phương trình trên với ẩn là $\frac{1}{a^2}$

và $\frac{1}{b^2}$ ta được nghiệm là:

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2} = \frac{1}{13}}\\ {\frac{1}{b^2} = \frac{3}{13}} \end{array} \right.$ Vậy phương trình elip là: $\frac{x^2}{13} + \frac{3y^2}{13} = 1$

Tiếp tuyến tại điểm $M(1;2)$ của elip có phương trình $\frac{1 \times x}{13} + \frac{3 \times 2 \times y}{13} = 1$

hay $y= -\frac{1}{6}x + \frac{13}{6}$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6} \approx -0,16667}\\ {b=\frac{13}{6} \approx 2,16667}

\end{array} \right.$

Thứ bảy, 27/2/2010

Tính gần đúng GTLN và GTNN của hàm số

Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=3x-4-\sqrt{5-2x^2}$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, môn Toán 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

TXĐ: $D=[-\frac{\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}}{2}]$

$f`(x) = 3 + \frac{2x}{\sqrt{5-2x^2}}$

$f``(x) = \frac{10}{(5-2x^2)^{\frac{3}{2}}} > 0$ với mọi $x \in TXĐ$

$\Rightarrow$ $f`(x)$ là hàm số đồng biến nên phương trình $f`(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm

Tính gần đúng giá trị đạo hàm cấp 100 của hàm số $f(x) = sin x$ tại $x=140308 \times \frac{\pi}{5}$

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2008, môn Toán 12 THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Vậy theo nguyên lý quy nạp (*) đúng với mọi n

$\Rightarrow$ $f^{(100)}(x) = sin(x+100 \times \frac{\pi}{2}) = sin x$

(chọn đơn vị đo góc là rad)

Ghi vào màn hình: sin X

1 Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số đó

2 Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên Tính giá trị của a và b

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2004, lớp 12 BT THPT)

Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

1 Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu

$y`=\frac{x^2-2}{x^2}$, $y`` = \frac{4}{x^3}$

Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}{y_{CĐ}=ax_{CĐ}+b}\\ {y_{CT}=ax_{CT}+b} \end{array} \right.$ Chọn chương trình giải hệ phương trình 2 ẩn: ấn