Phương pháp đại số và đạo hàm

Ta có bất đẳng thức nổi tiếng được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân viết tắt là BẤT ĐĂNG THỨC TBC-TBN hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy cần phân biệt với b

lOA,|+|0A,| <|04, +0, +|OA, -OA,

b) Chứng minh rằng với mọi 5 điểm Ó, AI, Á¿, Á¡, Á¿ trong không gian, ta có

S.|0A|< 3 foa +04)

i=l Isi<js4 |

< JØA, +0A,|+|04, +ÓA, |

+|OA, + OA,|+ OA, + 0A, |

— Suy ra SoA) <|0A, + 0A,|+|04, +04,|+|04, + 04,|

Dang thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ (a, a;, d„) và (bị, bạ, , b„)

cùng phương

Chitng minh Ta datA =(a; +; testa? \(B; + hy t+ +b )và

B=(ab, + a,b, +++++a,b, Ỷ

Lúc đó

n

A-B =) ath? + aib} rath? -2 YL wash,

| f=] it] i=} Isi<jsn

o<(x-Jy 41) +(y-Vie at)

Khai triển và rút gọn ta có bất đẳng thức phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

xeyy +l x? +y° =x + +2

y= V4] |

Hệ phương trình này vô nghiệm Vậy dấu bằng không xảy ra

Vi du 4 Cho a, b, c 1a dé dài các cạnh cua một tam giác Chứng minh

(a+b)(b+e)(c+a)>8(a+b—~e)(b+c~a)(c+a~)

Chứng mình Trước hết ta có

(Ja-Vb) 20 a-2Vab+b>2O0outh>2Wab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c

Ví dụ 5 (Áo 1993) Cho số nguyên n >1 Và n số thực © dương đị, dạ, ., Œ Dat S = dy +, +0 +4, Chung minh

a) re đ, 2

b) yo “i >n(n-1),

Suy ra

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, = -=a, =— n

Suy ra vy+ yz+zx <ÌÏ |

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y=z Để chứng minh bất đẳng thứ hai

ta viết

]

Ay+yZ+zv2— 5 «<>2ty+2yz+2zv+l>0

"Thật vậy

Qiyt2yz+2zvt lax +y? 42° +2ayt2yz +220 = (x+y+ z} >0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x+ y+z =0

Bài toán 2 Cho x, y, z là các số thực thoa man 0 < x < y<z Chứng minh

fet} tore) < et }O42),

œ+b+c<

-_ Đăng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Trước hết ta có

(a? — be) + (62 —ca) + (c? _ab) >0

| Cuối cùng chia bất đẳng thức vừa tim cho abc > 0, ta cé bat đẳng thức phải

chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ¿ = b =c

Bài toán 4 (USA 2001) Cho các số thực dương ¿, b, c Chứng mình

2 2 2

a b C

——+~+—>u+b+c

b C a

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Hướng dân Ta viết

ab @ a—ab+b 42 ~bct+e if -—cat+a

a+b =(e? +d?) Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

f((&.b,c, 4))>0 — |ƑÍ(4*4, 2)5, Ac, A4))>0

Vì kết quả trên ta có thể giả sử (a, bc, d)c E thoả mãn ¿ +b“ =l mà

không làm mất tính chất tổng quát của bài toán Khi đó cˆ +đ'” =1 Theo bất đẳng

— thức Cauchy-Schwarz

[SE Nacsa) ale? a2) =|

— Bài toán 6 (ẤN ĐỘ 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn

Xyz > xy+ yz+zx Chứng minh

xyz>3(x+y+ z)

Đẳng thức xảy ra khi nào? _

Bai todn 7 (IMO 1993) Cho cac số thực dương ø¿, b, c bất kì Chứng mình

b+2c+3d4 c+2d+3a d+2a+3b a+2b4+3c 3

Đăng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Gọi vế trái của bất đẳng thức là A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-

3(z+b+c+d)” >§(ab+ ác +ad + be +bd +cd)>0,

©>(œ— pb) +(œ— cy +(œ— dy +(b~ cy +(b— dy +(c —dy >0

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d

Bài toán 8 IMO 1992) Cho cac s6 thuc x, y,Z>] thoả mãn 1,11 = 2

xX yi oz Chứng minh

Ta có bất đẳng thức nổi tiếng được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng

và trung bình nhân viết tắt là BẤT ĐĂNG THỨC TBC-TBN hay còn gọi là bất đẳng

thức Cauchy (cần phân biệt với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) :

XX) teed, SH

n

Đăng thức xây ra khi và chỉ khi xị = x; = -= X„

Chứng mình Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức TBC-TBN Độc giả tự

tìm một cách chứng minh định lí này

Vi du 6 (MOSKVA 2000) Cho các số thực dương +, y, z thoả mãn xyz =1

Chứng minh

xh+y +z+x+y+zZ >2(Ay+yz+zx)

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Vì tính đối xứng của bất đẳng thức nên có thể giả sử x< y<z Ta

đặt f(x, y, z) = x° +y 42° 4X +y+zZ —2(xy }Z + zx) Ta có

Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi b =1 Theo bất đẳng thức trên đây ta có

ƒ(x,y,z)> /Ẳ Jyz, = ƒ{(a, b, b)>0

Đẳng thức xảy ra khi y=z, b=l và xyz =1, nghĩa là x= y=z =]

Ví dụ 7 (LIÊN XÔ (cũ) 1962) Cho các số thực dương ¿ø, b,c, d sao cho

abcd =1 Chứng minh rằng

a7 +bˆ+c?+dˆ+ab+ac+ad+ be + bd + cả 3 10

Đẳng thức xảy ra khi nào 2 `

Chitng minh Theo bat dang thttc TBC-TBN cho 10 số thực dương

ath t+egd’ tabtactad+be+bd+cd >10Vae bed?

=10Vabcd = 10

Dang thitc xay ra khi va chi khi a=h=c=d

Vi du 8 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh

: + Ị + : > 3 a+b) b(l+c) c(l+a) 14+abe

Dang thức xảy ra khi nào ?

Chứng mình Nhân hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh cho số dương I+abc sau đó cộng mỗi vế cho 3 ta có bất đẳng thức tương đương

| ]+abc #1)‡[ lI+abc #1)*[ l+abc ri]>6

(+a) ath), (1+a) all+h) _,

(Gta) | a+b) _

(a+ b)(xy + yZ+ zx) =x (ay + bz) + ylaz + bx) +z (ax +by)

Theo bat dang thức Cauchy-Schwarz

(x(ay+ be) yas bs) (av-tby))( TC + — + —

ay+bz az+bx axtby (a+b)(xy+yz+zxY) |

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay + Ðz = øz + bx = ax + by Mặt khác ta có

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên đây rồi chia 2 vế của kết quả cho 2 ta có

Sau đây ta chứng minh lại một bài toán IMO năm 1993 bằng một phương

pháp khác

Vi du 10 (IMO 1993) Cho các số thực dương «ø, b, c, đ bất kì Chứng mình

b+2c+3d c+2d+3a d+2a+3b at+2h+3c 3

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài tốn 10 (LIÊN XO 1969) Cho số nguyên n>3 va a,, dy, ,4, là các

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Với mọi chỉ số ¡ = l, 2, , n, theo bất đẳng thức TBC-TBN ta cĩ

2+a,=l+l+à, >3341.1.a, =34/a,, đẳng thức khi ø, = Ì

Suy ra bất đẳng thức

(2+4, )(2+a,) (2+4,)23" Yaya, .a, =3"

Bat dang thttc 14 dang thitc khi va chi khi a, =a, = =a, =1

Bài tốn 12 (BMO 2005) Cho các số thực đương ø, b, c Chứng minh

2

—#+—+—>„+Ù+c+————

Bài tốn 13 Cho các số thực dương x, y,z thoả mãn x+y+z=l Chứng

[ret yet l(iet) 2 64

Đảng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Đặt p-(1+t}fre2](1+4) Lúc đĩ

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y=z= s:

Bài toán 14 (OUMANIA 1997) Cho số nguyên nñ>2_ và các số thực

- dương x, x;, , A„ sao cho x,x; x„ =1 Chứng mình it

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài toán I5 (BALTIC WAY 2005) Cho các số thực dương a, b, c sao cho

abc = 1 Chimg minh |

5 +————†—- <1

+2 b +2 c+*2

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức TBC-TBN

I+x”>2x, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi v= Vay

a b C a b c

«~ +2 bad “+2 `1] 2b+] 2c+]

R <I tương đương với

<> 4<—4+—4+—4+-—— © — + — + — 2

ab bc ca abe dab bce ca

Bất đẳng thức sau cùng chính là bất đẳng thức TBC-TBN cho 3 s6 duong

ub be ca Mabe)

Đăng thitc xay rakhi vachikhi a=b=c=1

Bai todn 16 (ESTONIA 2003) Cho a, b va c la cac so thực đương không

— Ta có kết quả sau đây bằng cách áp dụng bất đẳng thức TRC-TBN : với mọi

x+y+z>3‡ÿvyz, xy+yz+zx > 3Ä vˆyˆz”

Nhân hai bất đẳng thức trên đây vế theo vế ta có

Bài toán 18 (ESTONIA 2003)

Chứng minh rằng với mọi số mẹ tương da, b VÀ

W2be++ + + >243 Khi nào › đẳng thức xảy ra ?

Bài toán 19 (IMO shortlist 1993) Cho a,b,c,d là các số không âm sao cho a+b+c+d=1 Chứng minh

Ta để ý thấy ƒ(ø, b, c, đ) là hàm số đối xứng Ta xét các trường hợp sau :

Đẳng thức xảy ra khi ø = d Vì tính đối xứng của ƒ(ø, b, c, đ) nên ta có thể

lặp đi lặp lại ¡ quá trình như trên :

Ta cũng có định nghĩa tương đương

Hàm số ƒ là hàm số lồi trên khoảng (đoạn hay nửa khoảng) ? nếu với mọi

a, b€] và với mọi số thực  e [0 1]

Af (a)+(l-A) f(b)= f(Aa+(1-A)b), dang thite khi a = b

Khi f 1a hàm số liên tục trên / ta có định nghĩa

ƒ]à hàm số lồi trên 7 khi và chỉ khi fO)+ FQ) 5 Hf )s > (222) Vu, yel,

đẳng thức khi + = y

Hàm số ƒ là hàm số lõm trên khoảng (đoạn hay nửa khoảng) / nếu với mọi

a, b1] và với mọi số thực 2 €[0, 1]

2ƒ#(z)+(—~24)ƒ(b)< ƒ(Aa+(1— 4)b), đẳng thức khi ø = Khi ƒlà hàm số liên tục trên 7 ta có định nghĩa

| ayy

ƒ lõm trên / khi và chỉ khi =2:/0) < /| =” S22) vn, vel,

đẳng thức khi x = y

Sau đây ta có vài kết quả liên quan đến hàm số lồi trên một khoảng (các

tính chất này cũng đúng với các hàm số lõm sau khi thay các kí hiệu > bởi < tương ứng)

Định lí I.3.1 Nếu ƒ là hàm số lổi trên khoảng 7 thì các tính chất sau đây

là đúng

1 Voi moia, b,c,d El saocho asb<c<d thì

XI, Ä2¿ v À thuộc I ta có bất đẳng thức

Hn

Af (x )+2/ 2) t AFH) S > f Asx, +A,x, +: ae n

Dang thttc khi x, =x, =: =x

Dinh lí I.3.3 Nếu ƒ có đạo hàm đến cấp hai trên khoang / thì

ƒ lồi trên 7 khi và chỉ khi ƒ"(x)>0 với mọi x e7

Chú ý 2 Có một số tài liệu trong nước định nghĩa hàm số lồi theo định nghĩa

của hàm số lõm trên đây và ngược lại Định nghĩa này khác với định nghĩa trong các tài liệu ngoại văn Theo tác giả, để hoà nhập với thế giới chúng ta nên thay đổi định nghĩa như trên đây

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức TBC-TBN bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen

Ví dụ 11 (Bất đẳng thức TBC-TBN) Chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

tai +t¿a; +: tt da, 2a HOW dị dụ:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các a, bang nhau

Ví dụ 12 (Bất đẳng thức giữa các trung bình luỹ thừa) Cho n>1 số thực

dương ơ;, d;, , „ Ta định nghĩa các trung bình "luỹ thừa” là các biểu thức

— + a +: + —

là trung bình điều hoà của cac s6 a,,i=1, 2, ,n Mat khac ta quy ước Š, là

trung bình nhân của các số đó Với các định nghĩa trên đây, ta có bất đẳng thức

giữa các trung bình luỹ thừa của các số thực dương ứ, đ;, , đ ne

Cho hai số thực r<f, ta có %$ <$ va dang thức xảy ra khi

Hệ quả 1.3.1 (Bất đẳng thức giữa các trung bình căn bác hai, trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà)

Với mọi +, x;, , x„ >ÔŨ, ta có

Ding thite khi w= b=c= >

Ví dụ 14 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh

28

(a+ 2,43) og

a? +2b° +30?

Đăng thức xảy ra khi nào ?

Chứng mình Ta có hàm số ƒ(x)= x” là hàm số lồi trên khoảng (0, +) nên áp dụng bất đẳng thức Jensen

[stabs ae) eb + 2b? +30

6 ~ 6

Dang thitc xay rakhi a = b =c Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Ví dụ 15 Tìm số thực bé nhất Mí sao cho với mọi ¿, b >0

Đẳng thức xảy ra khi ø=b Vậy M = ð|5 ` 4

Ví dụ I6 Cho n>1 số thực dương xị, x;, , x„ sao cho x,+xAa+-:.+A,„=],

nghĩa là

Ji-x, Jl-+, l-x, " ạ v

ị i=l

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, = +; =::: = vụ =— H1

Ví dụ 17 (Áo 2000) Cho a, b >0 và số nguyên øce Z Chứng minh

+ Khi ñ<-—I: Ta đặt p=-n>I Khi đó

bài toán đã hoàn toàn được chứng minh

Ví dụ 18 (IMO 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực 4>8 va a,b, c>0 ta có bất đẳng thức

số #(v)= —— lồi trên khoảng (0, +œ} nên theo bất đẳng thức Jensen

Vx

uf (a2 + Abc) + bf (b? + Aca) + of (ce? + Aub) > f (ala? + Abe)

+bh(b? + Aca) +(e? + Aab)),

Va +abe Vb +aca Ve + dab

- Jala? + Abc) + b(p? + Aca) + (ce? + Aab) |

Vậy ta chỉ cần chứng minh

ala’ + Abc) + b(p? +Äca)+cÁ? dab) <=",

=(a+b+ c} — 3(a7h +ự “c+ab + ac +be°+b?c+ 2abc) + 3Aabce

=(atbt+c) 3? b+ a@ctab? tac? +be 4+.) 43C -2) abe

<1-3.6Ña°b°c° +3(A —~2)abc (bất đẳng thức TBC-TBN),

3 _

dương trên / Vậy ƒ(x) là hàm số lồi trên 7 và theo bất đẳng thức Jensen

Bai toán 22 Cho qd, 'b>0 và 7, >l sao cho ¬ Chứng minh

p dq

can m > ab

P |

Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Ta có bài toán quen thuộc phải chứng minh bằng bất đẳng thức Jensen sau đây

Bài toán 23 (IMO 1995) Cho a,b,c là cac s6 duong sao cho abc =1 Chứng minh

Suy ra bất đẳng thức cần ching minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y=z tức là khi z=b=c=l

Bài toán 24 (BA LAN 1995) Cho số : nguyên n>1 Xác định giá trị nhỏ

nhất của tổng

a7)

x, + -+—~,

Sau đó với các hàm số lồi y= x” và y=— trên (0 +00), cdc bat dang thitc Jensen cho ta

X,, > H

A X, tay te +X, Cộng hai bất đẳng thức trên, ta suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Khi nào xảy ra đẳng thức ?

lời giải Đặt a =Vx,b= Vy, c=z Bất đẳng thức phải chứng minh trở thành

Bai todn 28 (IRAN 1998) Cho các số thực dương x¡, x¿, x;, x„ thoả mãn

X;*ax;x„ =l Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài toán 29 (Bất đẳng thức Hölder) Cho bai số thực p, g@>l thoả mãn

Chi ý Khi p=q=2, bất đẳng thức trên đây là bất đẳng thức Cauchy-

Schwarz

Chứng minh Dat

Az=aP tah + ta? „3 B=bT+b}+ -+b1

Nếu A hay Ö bằng 0, thì mọi số a, =0 hay mọi số b, =0 Lúc đó hai vế của

bất đẳng thức đều bằng không Bây giờ ta xét trường hợp Az0 và 8+0 Đặt

í, =— Và f¿ =—, thì <0, 0;¿ <l và hp +, =1 Đặt x, =—— với ¡=Ì,2, ,n và

q

; = voi i =1,2, ,n Ta cd x, +4, 4-44, =y, + yy + tờ, =] Vi ham

sO f(x)=e" 1a ham sé 16i trén R (vi f”(x) =e* >0 voi mọi xe R) Vậy theo bất đẳng thức Jensen với ¡ = Ì, 2, , 7

I J

xP yl =f (t, Inx, +t, In y,)<t,f (Inx,)+2,f (Iny,) = +2

Pod

Cộng các bất đẳng thức trên khi ¡= I, 2 ,ø ta có_

Bai todn 30 Cho a, b,c, d>0 thoa man c? +d? =(a° +57) , ching minh

Dang thitc xay ra khi nao ?

Bài toán 31 (USAMO 1980) Cho các số thực a, b, c e[0, 1] Chứng minh

Chứng mình Trước hết ta có nhận xét, khi một hàm số có đạo hàm đến bậc

hai và lồi trên một đoạn [ø, /] thì hàm số đó sẽ đạt giá trị lớn nhất tại œ hay Ø

Bây giờ cho một trong các biến (ví dụ ø¿) thay đổi còn các biến còn lại (b, c)

cố định thì đạo hàm cấp hai theo biến đó, ví dụ z¿ là

Vậy ƒ lồi theo biến a trên đoạn [0, 1] và đạt giá trị lớn nhất ƒ£(0)=/()=1

khi a =0, hay a=1 Tuong tu đối với biến khác Vậy hàm số ƒ đạt giá trị lớn nhất

ƒ£(0)= ƒ(1)=1 khi và chỉ khi z=b=c=1 hay a=b=c=0 Đó là điều ta phải

chứng minh

Bài toán 32 (USAMO 1977) Cho a, b, c, d, e va p, ạ là các số thực dương

sao cho 0 <a, bh, c, d,e< p<q, ching minh

Hãy xác định khi nào bất đẳng thức là đẳng thức

Chú ý 5 Bất đẳng thức này có tên là bất đẳng thức Kantorovich và là một

trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Schweitzer được chứng minh tương tự như

bài toán trên đây Bạn đọc tự tìm hàm số lồi thích hợp

1.4 Phương pháp thế

1.4.1 Định lí — Ví dụ

Có nhiều bất đẳng thức không thể chứng minh trực tiếp mà phải thay đổi

biến số Với các biến mới, bất đẳng thức trở nên dé dang hơn trong việc chứng minh Sau đây là một số định lí, ví dụ và bài tập

Định li 1.4.1 (Nesbitt, 1903) V6i moi SỐ thực dương z¿, 5, c, ta có bất

Sau đây ta có nhiều cách chứng minh định lí này

Chứng mình Ì Sau khi thực hiện phép thế x =b+c, y=c+a,z=a+b, Đất

\ 2" b+c | 2

Chứng mình 3 Giống như cách chứng minh trên đây, ta chỉ cần chứng mình

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có

]=2xyz+ xy+ yz+zx <2T”+3T” => 2T” +3T”—1>0

= (27 ~1)( +1} >0

=7» I >3:

Vi du 19 (IMO 2001/2) Cho a, b, c là các số thực đương Chứng minh rằng

Va? +8be Vb +8ca vjc2+§ab

Lời giải Đề tránh các căn số bậc hai, chúng ta thực hiện phép thế sau đây -

x — yo — Z =——— Rõ ràng, x, y, 2 c(0, 1) Ta phải

Na? +8bc Vb? +8ca Vc? +8ub

ching minh x+ y+z2>1 Tacht y rang

512 \I-x ^/j\1—-yˆ j\I-z?

Vậy, ta cần phải chứng minh bằng phản chứng v+y+z>], trong đó

O<x,y,z<]l va (1-27) (1-y? JQ ~ 27) = 512(ay2)’ Giả sử x+y+z<l Lúc

> 4(x*yz)4 2(yz)? A(y?zx)4 2(zx)2 4(2?xy) 2(xy)2

= 512(xyz)’

Mâu thuẫn ! Vậy xv+y+z>I

Vi du 20 (IMO 1995/2) Cho a, b, c là các số thực duong sao cho abc = 1

x + ví + Zz >= 3 _y+7 ztx xty 2

Bang cach tuong tu, ta nhan duoc

Ve+a—b+Vatb—c =V24Vu <V2V24% =2Va

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có bất đẳng thức phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y=z tức là khi và chỉ khi ø= b =c

1.4.2 Bài tập

Bài toán 33 Cho các số thực a,b,ce|0; 2Ì thoả mãn z+b+c =3

Chứng minh

a?+b ˆ+c 45

Lời gidi Dat x=a-1 y=b-1,z=c-1 Lic dé diéu kién cla bai todn 1a |

X,y,Zz€ [-1, 1] và x+y+z=0 Trước hết ta có đẳng thức sau

ca2+b?+c? =Œ6x+I+(y+1 °+G+D—

=3+2(x+y+z)+A)+y'+z

=34x°4¢y? 42°

Vậy bài toán có thể viết cách khác

Cho x, y,z¢€ [-1, 1] thoả mãn x + y+z =0 Chứng minh

Bài toán 34 (INDIA 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều

kiện xyz > Ay + yz + zx Chứng minh

Ayz > 3(x +y+ z)

Đăng thức xảy ra khi nào ?

C=

Hướng dán Đặt a=—, b=—,

X y ty | Lúc đó điều kiện của bài toán là

œa+b+c<I và bất đăng thức phải chứng minh là dD + be+ cas Dé cé bất đăng thức cuối cùng này ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bài toán 35 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải Đặt a = x+ y, b= y+z,c=z+x Lúc đó a, b,c>0 Ta có

x -z? + yx? + z?—y? = (a— bộc + (b—c)a + (c-a)b

a7 + b* + c > œ+b+c

b+c cta da+b +sv 2