Ký hiệu: fnx, ynx... Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n.
Trang 1Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0
(a,b) Nếu tồn tại
0
0 x
) x ( f )
x (
f lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x0 Ký hiệu f’(x0), y’(x0)
Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và
đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì
x
y lim
'
y
0
Ký hiệu dy/dx, df/dx
Trang 2- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
x
lim '
y
0
x
y lim
'
y
0
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a
và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Trang 3Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
2
'
v
u ' v v
' u v
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u)
có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x)
Trang 4Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và
có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
)]
y ( f
[ ' f
1 )
x ( ' f
1 )
y ( )' f
(
1
1
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
Trang 5(c)’ = 0
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
a ln x
1 )'
x (loga
x
1 )'
x (ln
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
x cos
1 )'
tgx
(
2
x sin
1 )'
gx
(cot
2
2
x 1
1 )'
x
(arcsin
2
x 1
1 )'
x
(arccos
2
x 1
1 )'
arctgx
(
2
x 1
1 )'
gx cot arc
(
Trang 6Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1 Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2 Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2 2
2
dx
f
d
, dx
y d
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x)
n
n n
n
dx
f
d
, dx y d
Trang 7Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi đó
ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
n 0 k
k ) k n (
k n
) n (
v u
C )
uv ( trong đó u(0) = u, v(0) = v
Trang 8Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
số f
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv
2
v
udv vdu
v
u
d
Trang 9hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f
Trang 103 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c)
= 0
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho
) c ( '
f a
b
) a ( f )
b (
f
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a)
Trang 11vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại
c (a,b) sao cho
) c ( ' g
) c ( ' f )
a ( g )
b ( g
) a ( f ) b (
f
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc
biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x
Trang 12trong lân cận D của x0 thì x D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:
1
n 0
) 1 n
( n
0 0
) n (
2 0
0 0
0 0
) x x
( )!
1 n
(
) c (
f )
x x
(
! n
) x (
f
)
x x
(
! 2
) x (
"
f )
x x
(
! 1
) x ( '
f )
x ( f )
x ( f
1
n 0
) 1 n (
)!
1 n
(
) c (
f )
x (
Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
Trang 13
n 0 k
k 0 0
k
! k
) x (
f )
x (
P
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
1 n
) 1 n
( n
) n
( 2
x )!
1 n
(
) c (
f x
! n
) 0 (
f
x
! 2
) 0 (
"
f x
! 1
) 0 ( '
f )
0 ( f )
x
(
Trang 14Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
(a,b)
0 )
x ( g lim )
x ( f
lim
a x
a
L )
x ( ' g
) x ( '
f lim )
x ( ' g
) x ( '
f lim
a x
a x
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0 )
x ( g lim )
x ( f
lim
x
) x ( g lim )
x ( f
lim
a x
a x
) x ( g lim )
x ( f
lim
x x
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần
Trang 15Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
3 x
4 x
27
x lim
2
3 3
x
tgx lim
0
3 0
x sin
x lim
x 1
arctgx 2
lim
x
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
gx cot
x
ln lim
0
x
ln lim
n
x lim