Chương 2 Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TIỂU LUẬN TOÁN PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÕ VĂN HƯỜNG Chương 2 Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt Bài 1: Giải các phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TIỂU LUẬN TOÁN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

VÕ VĂN HƯỜNG

Chương 2 Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt

Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Chia đôi và đánh giá sai số

5 1 1 ln 1 2 ln

h

Thuật toán

0 25 1 2

1 5 1 2

) (

0 371242

0 ) 5 1 ( ) (

0 283529

0 ) 1 ( ) (

f a f

f b f

Đánh giá sai số:

Giả sử : C* là nghiệp gần đúng của phương trình

X* là nghiệm chính xác của phương trình

Vậy sai số của phuong trình là 1.907226.10-6

Câu 2: xcos2x0 x 0 , 1

Đặt f(x) xcos2x

2ln10

01

12

)(

10.09172,

6)1.2cos(

1)(

1)0.2cos(

)(

b f

a f

Vậy x = 0.426785 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C* là nghiệm gần đúng của phương trình

6 10

1

*

10.907226

12

207031

1205078

12

1

*

10.541015

92

425781

0427735

02

Câu 3: xtg(x0.25)0 x1.5,2

Xét f(x)xtg(x0.25) x1 5 , 2

Số lần chia đôi:

912

ln10

5.12ln12

Thuật toán:

0351420

12)

25.075.1(75.1)(

75.12

0520380

7)25.02(2)(

0509570

1)25.05.1(5.1)(

f

b a c

tg b

f

tg a

1

*

10.583007

32

820781

1824450

12

Câu 4:

2

)1

tg   x 0 , 1

)1()

f    x 0,1

2 ln 10

1 ln 1 2 ln

Thuật toán:

0851420

11)(

5.02

0185040

64)11()(

0557408

10)1()(

b a c

tg b f

tg a f

Vậy x0.571290 được gọi là nghiệm gần đúng cuả phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

1

*

10.042481

12

570313

0572266

02

Số lần chia đôi:

1012

ln10

34

0)5.3()(

5.32

432

0412599

0)4()(

0442250

0)3()(

b a C

f b f

f a f

Vậy x3.532227 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số: Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

*

10.12

353125533203

Thuật toán:

362810

02sin42)(

22

312

0435520

83sin43)3()(

0365884

21sin41)1()(

2

2 2

b a c

f b f

f a f

Vậy x  1 935547 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình

Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

2

933594

19375.12

ln

)10

1.07.0ln( 3

0)(

4.02

1.07.02

b a c

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 0.143899

Đánh giá sai số: Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

1

*

10.132.572

143328

0144469

02

Thuật toán:

0)3()(

0)2()(

f a f

1)5.2()(

5.22

322

b a c

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 2.635742

Đánh giá sai số: Gọi x*

là nghiệm chính xác của phương trình

C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

11

*

10.536.92

634766

2636719

22

1 3 sin )

1 ln(

) ln(

0)2()(

0)1.1()(

f a f

2

21.1



 a b

c

Vậy x=1.270051 là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số: Gọi x*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

6 11

1

*

10.27.12

26875

1271352

12

2cos

3)1ln(

)

e x x

x x f

Tính số lần chia đôi :

1012

ln10

12

2)2()(

428349

1)1()(

f a f

Vậy x = 1.522461 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

được gọi là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

Sai số :

7

11 9.54.102

001953

10009765

02015

2 ln

) 10

5 1 1 ln( 3

27 ) 5 1 ( ) (

f a f

0893968

3)25.1()(

25.12

15.12

b a c

Vậy x = -1.163086 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

Sai số :

6 10

1

*

10.9.12

164062

1163086

12

log1

sin1)

f

Đánh giá số lần chia đôi : 1 6

2 ln 10

55 0 6 0

Thuật toán :

0575.02

6.055.02

0123945

0)6.0()(

0817336

0)55.0()(

f b f

f a f

Vậy x = 0.589844 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số

2

551562

0550781

02

32)

) 1 2 ln(

f

x

x 1;1.5

Tính số lần chia đôi: 1 9

2ln10

115.1

0)25.1()(

25.12

5.11

076037

2)5.1()(

443867

1)1()(

f b f

f a f

*

10 2 2

283203

1 285156

1 2

Câu 14:

09.11

3

)1

x x

Tính số lần chia đôi : ln2 1 8

10

115.1

0 ) 075 1 ( ) ( 075 1 2

1 15 1

0 036420

0 ) 15 1 ( ) (

0 017649

0 ) 1 ( ) (

f b f

f a f

Vậy x = 1.048629 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

Sai số

:

6 9

*

10.1098251

22

048044

1049214

x x

x1.5;1.75

)1cos(

2

53)

Tính số lần chia đôi : 1 9

2ln10

5.175.1

55)

(625

.12

75.15.12

373119

197)

75.1()(

068912

15)5.1()(

a c

f b f

f a f

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

10

*

10 1 2

534180

1 535156











Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Lặp đơn và đánh giá sai số

với độ chính xác là = 10 -5

Câu 1: x3 =0

√ =

Đk hội tụ:

√

max= 0.029987 = q < 1 thỏa đk hội tụ Chọn: o=

n+1= (xn) =√

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Gia tri xn+1 1.357209 1.333861 1.325884 1.324939 1.324760 1.324726 1.324719 | x7 - x6 | = 7.10-6 < 10-5 là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số: 6 6 6 7 * 7 7.10 2.10 29987 0 1 29987 0 1          x x q q x x Câu 2:

√ =

Đk hội tụ:

√

thỏa đk hội tụ Chọn

n+1= (xn) = √

Giá trị n+1 1.946423 1.946846 1.947013 1.947080 1.947106 1.947116 =10-6 < 10-5 là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình Giả sử x12 là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số: 6 6 11 12 * 12 10 0.649071.10 393598 0 1 393598 0 1          x x q q x x Câu 3: 4 ' 3 3 4 3 4 12 ) ( ) ( 4 2 4 2 0 4 2 x x x x x x x x x                | | h

h

h giảm tr n

hmax h (thỏa đi u kiện hội tụ) Chọn

Tương t

Giá trị

n+1

1.767059 1.875299 1.918610 1.935827 1.942651 1.945353

Nên là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Giả sử là nghiệm chính xác của phương trình, Giả sử là nghiệm gần đúng của phương trình sai số

Câu 4: xtgx0 x0.2;1 Giả sử chọn xtg2x đặt x tg2x ) (   suy ra '(x)1tg2x 1 ( ) 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ' 2      x tg x tg x h x tg x h Suy ra hàm không hội tụ trong khoảng x0 2 ; 1 Đây là hàm tăng tr n x0 2 ; 1 0 425519 3 ) ( ) (x max  ' x   h  Câu 5: ,2

Đặt: f(x)=

f’(x)=

=> | |= =h(x) h’(x)=

= h(0)=0.25<1 =>

Chọn =

=f(x)=

= 3.641593 = 3.626049 = 3.626996 = 3.626939 = 3.626942 = 3

Vậy x là nghiệm gần đúng của phương trình Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình

Câu 6:

x=

Đặt: f(x)=

f’(x)=

|

|

h’(x)=



 Chọn

6 6 5   10  x x  là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Giả sử x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình

cau11:

x=√

f(x)= √

f’(x)= √

. |

√ |

√

h’(x)= √

 h’(x) giảm tr n 3, 4 

Chọn

√

√

 đ n số thập phân th 6 => là nghiệm gần đúng của phương trình

Giả sử : x* là nghiệm chính xác của phương trình

là nghiệm gần đúng của phương trình

Câu 7: x2 1, 753x ; [-1; -0,5]

03

75.1)

(  2   x 

x x f

log( 1, 75)

0, 763080log 3

x

= ) =-0,770837

3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Do đ là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số: Giả sử là nghiệm chính xác của phương trình

Giả sử là nghiệm gần đúng của phương trình

=

Giả sử là nghiệm chính xác của phương trình

là nghiệm gần đúng của phương trình

 

3

2 3

4 sin  x  

Đặt f ( x )  esinx  x4  3

Kiểm tra đi u kiện hội tụ :

 sin  4 sin

'

3

.cos.4

1)

e e x x

3 (

4

cos 4

3 ) 3 ).(

sin (cos

) 3 (

) 3 (

4

cos 4

3 ) 3 (

) 3 )(

sin (cos

) 3 (

4

) 3 (

cos 4

3 ) 3 )(

sin (cos

3

4

) 3 (

cos 4

3 3

cos

sin

) 3 (

4

cos 1 )

(

3

cos

sin 2

sin

4 1 sin

2 3 sin

sin 4

1 sin

4 3 sin

2 sin

2 3 sin

4 1 sin

sin 4

3 sin

2 sin

2 4 3 sin

4 1 sin

sin 4

3 sin

sin 2 sin

4 3 sin

sin

4 3 sin

x x

x x

x x

x

x x x

x

x

x x x

x x

x x

x x

e

x e

x x

e

e e

e x e

e x x

e

e

e e x e

x x

e

e

e e x e

e x e

x e

e x x

h

e e x x

h

Đây là hàm giảm cho n n:

  (max) 0.089455 1

0089455

0)1((max)

h h



Tính x1 , x2 , … xn theo công th c lặp

546326

1

;546324

1

545921

1)

3(

5.12

21

)3(

3 2

4 1 sin

1 0

4 sin

e x x

e x

x

x n

n

Vậy x3 = 1.546326 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Đánh giá sai số : Gọi x*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

7 2

3

*

10 196487

2 546324

1 546326

1 089455

0 1

089455

0

x

Câu 11:

010)

12(

)(  x211

x x

Kiểm tra đi u kiện hội tụ:

Đặt

02

)

1.(

2ln

)1(2.2ln22

.2ln 22

.2ln.2)(

2.2ln.2)(

10

11 11

11 '

11

2

2 2

2 2

x x

x

x x

x h

x x

h

Đây là hàm tăng

1043322

0)4(

Chọn

5.32

432

0 ab   

x

Tính x1 , x2 …theo công th c lặp

499420

0

;499422

0

;494366

0

878415

12

12

2

12

4 3

2

11 1

11 1

2 2

x

x

Đánh giá sai số : Gọi X*

là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

8 3

4

*

10.52840

4499412

0499420

0.043322

01

043322

01

X

Câu 12:

1 2 2

10 2

2

) 10 2

e

x tg

2 1 1

2

102



0 ) 10 2

( 4

1 4

) 2 1

(

2

1

2 ) 2 1 ( 2

1 2 ) 2 1 (

2

1 ) 10 2

( 2

1 2

1 )

(

) ( )

(

2 ) 1 )(

2

1 ( 10 2

2

1 )

(

2 1 2 1

2 2

1 2 2

2 2 2

2 1 2 '

'

1 2 2 2

1 2 '

x x

x

x x

e

x tg e

x tg

e

x tg e

x tg e

x tg x

h

x x

h

x tg e

x tg x





Ta thấy hàm số giảm tr n 3;4 n n đạt c c đại tại x = 3

 h ( max ) = h ( 3 ) > 1 không thoả đi u kiện hội tụ

√ |

√ h

Nên là nghiệm gần đúng của phương trình

Giả sử là nghiệm chính xác của phương trình,

là nghiệm gần đúng của phương trình

sai số

Câu 14: √

√ √

Đk hội tụ:

√ (√ )

thỏa đk hội tụ

Chọn: =2.5 = = arccos(√ )

Giả sử: X* là nghiệm chính xác của phương trình

X8 là nghiệm gần đúng của phương trình

Giả sử: X* là nghiệm chính xác của phương trình

X6 là nghiệm gần đúng của phương trình

Sai số:| |

=

6.10

-6

Bài 3: giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton và đánh giá sai số

; 8 ) 1 (

12 20

) ( 6

5 ) ( 11

) 2 (

6 ) 1 (

''

3 ''

2 4 '

x x

x f x x x f f

f

Chọn x0= 2 vì f(2)f’’(2)>0 Tính x1, x2, x3……xn bằng công th c lặp

803571

16

5

52)

(

)(

)(

)(

2 0

4 0

3 5

0 0 0 '

0 0

1

' 1

x x

x x f

x f x x

x f

x f x x

o n

n n

n

Tương t x2 = 1.733179 ; x3 = 1.724813; x4 = 1.724703; x5 = 1.724703

0724703

1724703

f’(x)= 5x4 – 6x2 f’’(x)= 20x3 - 12x > 0 x€1,2

 đây là hàm tăng n n f’(x)max= f’(2) = 56 ; f’(1) = -1

m= 56;-1min= 1

Giả sử x*

=là nghiệm chính của phương trình

X5 là nghiệm gần đúng của phương trình

2 4 5 5

*   x x 

m

M x

26

3

13

)(

)(

2

2 3

0 1

' 1

x x

x x

x f

x f x x

n

n n

n

Tương t x2 = -2.879452 ; x3 = -2.879385

x3-x2 = -2.879385 + 2.879452 = 67.10-6

Vậy x3 = -2.879385 là nghiệm gần của phương trình

Đánh giá sai số: Tìm M= f” (x)max

Ta có: f”(x) = 6x + 6 , f”(x) < 0 x -3;-2.5

đây là hàm giảm f”(-3)max= -12 ; f”(-2.5)min= -9

Tìm min

'

)

(x f

Ta có

9;3.75 3.75

75.3)5.2(

9)3(

66)(6

3)(

' '

'' 2

x x f x x x f

6 2

2 3 3

*

10.182412

710

.6775.3.2

12

0)2(,1)(cos

)(

1)

(

2

)2(

1)0(

0

'' ''

'' '

f o

f x x

f

s x f f f

)(

0

0 0

0 1

' 1

x x

x f

x f x x

n

n n

n

 1;0 1

0)2(,1)0

12

)2(,1)0

Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình

x3 là nghiệm gần đúng của phương trình

2

2 2 3 3

m

M x

X

câu 4:

0 sin 2 0 8

0)2(,8.0)0

f f

2.0)2(,168294

0)0(

sin2.0)(cos

2.01)(

'' ''

'' '

x x

f x x

f

Chọn

0)2()

2(

)(

4 3

2 1

' 1

x x

x f

x f x x

n

n n

09643301

0 ) 2 ( , 168214

0 ) 0 (

2

; 0 ,

0 sin 2 0 ) (

'' ''

f

x x

x f

)2(,8.0)0(

2

;0,

cos2.01)(

' '

f

x o x x

.38.0.2

2.0

x

8)(,877904

1)1(

cos2ln2)

(sin

22ln2)

(

806762

0)2(,7.1)1(

'' ''

2 ''

x x

e x f x e

x f

f f

x x x

x

Chọn x0 = 2 vì f(x).f ''(x)  0

Tính x1,x2,… xn bằng công th c lặp

944462

1

944463

1

944455

1

944559

1

943162

1

)(

)(

5 4 3 2 1

' 1

x f

x f x

8)2(,877904

1)1(

0cos22ln2)

(

'' ''

2 ''

x e

x

Tìm m f '(x)min

688766

0 397174

5 ) 2 ( , 688766

0 ) 1 (

sin 2 2 ln 2 )

(

' '

f

x e

x

Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình

Gọi x5 là nghiệm gần đúng của phương trình

Câu 6:

0)2(2cos

2x x x 2  x 3;4

Xét f(x)2xcos2x(x2)2 x 3;4

12 2

6 5

*

10.055368

610

688766

0.2

341463

(

375433

5)4(,723019

4)3(2

2cos42sin4)(

)2(22sin22cos.2)(

164400

5)4(

761022

4)3(

''

'' ''

'' '

f f

x x

x f

x x x

x f f f

Chọn x0 = 4

Tính x1,x2….xn bằng công th c lặp

)(

)(

' 1

x f

x f x

n

n  

5 3

4 4 3 2 1

10

722113

3

722115

3

783191

34

Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình

Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình

12 2

5 3

4 4

*

10.5201.210

75.4.2

92.23

6

1)(2

1)(

443147

0)2(,1)1(

ln)(

'' ''

4 ''

3 '

x x x f x

x x f

f f

x x x

f

Vậy chọn x0 = 1 vì f(x).f’’(x) > 0

Tính các giá trị x1, x2…xn theo công th c lặp

6 4

5 5 4 3 2 1

' 1

10.3531584,

1531581

1

531581

1

531584

1

531164,

1

505768

1

333333

134

)(

)(

x f

x f x

x n n

Đánh giá sái số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình

Gọi C là nghiệm là nghiệm gần đúng của phương trình

 

3;0.75 0.7575

.0)2(,3)1(

02

1)(

)(

2

;1,

06

1)(

)(

' '

3 '

min '

4 2

''

max ''

f

x x x f

x f m

x x

x x f

x f M

*

10.2.410

.375.0.2



x X

Câu 8:

0 ln

) 2 ( x  2  x  x    e ; 4

Xét f(x)(x2)2 lnx x e;4

Thuật toán :

2)(

12)(

1)2(2)(

613706

2)4(,484071

0)(

'' ''

2 ''

f

x x

f x x

x f

f e

3

057104

3

057536

3

084624

3

303012

3

) (

5 4 3 2 1

' 1

x f

x f x

2)(

4

;

;0

12)(

'' ''

2 ''

f

e x x

x f

'

)

(x f

m 

1 ) 2 ( 2 ) (

Sai số : Gọi X*

là nghiệm là chính xác của phương trình Gọi x5 là nghiệm gần đúng cuả phương trình

02

2 4 5 5

*   x x 

m

M x

2.0(

2)

(5

.0

1.2)(

5.0)1(,318876

2)2.0(

'' ''

2 ''

x x f x

x f

f f

5 5 4 3 2 1

' 1

10.6.1727498

0727514

0

727514

0

727498

0

723070

0

655277

0

444092

0

)(

)(

x x x x x x x

x f

x f x x

n

n n

n

 f x M

Tìm

5.9)

(

min

 f x m

Sai số :

12 2

6 2

4 5 5

*

10.105,010

.6,15,9.2

2

x

Câu 10:

065

ln xx3 

Xét f(x) xln5xx3 6 x2 ;3

6666667

17)

(,5.11)

2(

6

1)(3

15ln)(

875849

12)

3(,605170

2)2(

'' ''

'' 2 '

x x x f x x

x f

f f

Chọn giá trị x0 = 3 vì

0 ) ( ).

8 8 7 6 5 4 3 2 1

' 1

10.1,1210809

2210798

2

210798

2

210809

2

210758

2

210987

2

209959

2

214642

2

194440

2

330932

2

)(

)(

x x x x x x x x x x

x f

x f x

n n

Đánh giá sai số : Tìm ( )max 17.6

 f x M

Tìm

697.8)

Gọi x* là nghiệm chính xác của phương trình

Gọi x8 là nghiệm gần đúng của phương trình