Định lý fourier, định lý sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng

Bài toán đếm số nghiệm của đa thức với hệ sốthực và khoanh vùng nghiệm của đa thức một ẩn hệ số thực xuất hiện hầuhết ở trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế.. Để khảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM

VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM

VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - 2019

2.1 Quy tắc Fourier và De Gua về số nghiệm thực của đa thức 82.2 Định lý Budan-Fourier về số nghiệm của đa thức trong khoảng 162.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier 212.4 Quy tắc Budan và định lý của Fourier cho hàm khả vi k lần 242.5 Định lý Hurwitz 332.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm 36

Mở đầu

Trong chương trình ở bậc phổ thông, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậcTHCS, đến THPT chuyên Bài toán đếm số nghiệm của đa thức với hệ sốthực và khoanh vùng nghiệm của đa thức một ẩn hệ số thực xuất hiện hầuhết ở trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế Hiện nay cáctài liệu về đa thức cũng khá đa dạng và phong phú Tuy nhiên, đa số đều khóđối với học sinh mới bắt đầu tiếp cận Vì vậy tôi lựa chọn "Định lý Fourier,Định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng" để nghiên cứu và phục

vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ thông Để khảo sát số nghiệm của

đa thức với các hệ số thực luận văn đã sử dụng quy tắc Fourier và quy tắc

De Gua đếm số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu của các dấu trong đa thức

để xác định số nghiệm thực và số nghiệm ảo của đã thức đã cho Tiếp theoluận văn sẽ trình bày định lý Budan-Fourier để khảo sát về số nghiệm của

đa thức trong một khoảng cho trước Và sau đó luận văn sẽ xét các hàm mởrộng hơn sử dụng quy tắc Budan, định lý của Fourier để khảo sát số nghiệmcho hàm khả vi k lần Cuối cùng trong luận văn định lý Hurwitz và định lýSturm xác định số nghiệm của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấucủa dãy các hệ số thực của đa thức đã cho

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức liên quan để chứng minh cho các định

bảo tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Cuối cùng tôixin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ

và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trongluận văn, kiến thức này tham khảo ở một số tài liệu [7], [?]

Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho X là một tập hợp Một ánh xạ khoảng cách d

xác định trên X là một ánh xạ d : X × X → [0, ∞), (x, y) 7→ d(x, y) thỏamãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X: (1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu

x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

(ii) Một không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là tập hợp và d làmột ánh xạ khoảng cách xác định trên X

Ví dụ 1.1.2 +) Tập số thực R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = |x − y| làmột không gian metric

+) Tập R = R∪ {−∞, ∞} cùng với ánh xạ khoảng cách

d(x, y) = | arctan x − arctan y|

cũng là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d)

(i) Cho điểm x ∈ X và số thực ε > 0 Một hình cầu mở B(x, ε) được xácđịnh bởi

B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε}

(ii) Một tập con U của X được gọi là tập mở nếu mọi x ∈ U đều tồn tại

ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊆ U Một tập con V của X được gọi là tập đóng nếu

X \ V là tập mở

(iii) Một lân cận của điểm x ∈ X là bất kì tập con A nào của X thỏa mãnhai điều kiện: (a) x ∈ A; (b) A chứa một cầu mở B(x, ε) (với số thực ε > 0

Định nghĩa 1.1.5 (Điểm giới hạn) Cho tập hợpA trong không gian metric

(X, d) và x ∈ X Ta nói x là điểm giới hạn (hoặc điểm dính) của A nếu mọilân cận U của x đều có giao với A tại một ít nhất một điểm khác x

Định nghĩa 1.1.6 (Điểm cô lập) Cho tập hợp A trong không gian metric

(X, d) và x ∈ A Ta nói x là điểm cô lập của A nếu tồn tại lân cận U của x

mà U không giao với A tại bất kì điểm nào khác x

|x − x0| < δ} ta có |f (x) − f (x0)| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại x0 Nếu

f liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói f liên tục trên X

Như vậy, một cách phát biểu tương đương, ta thấy f là hàm số liên tụctại điểm x0 nếu và chỉ nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0)

Định nghĩa 1.2.2 Cho A ⊆ R, hàm số f : A → R gọi là liên tục bên

phải tại điểm x0 ∈ A nếu mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈{x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0)| < ε Tương tự ta nói

f liên tục bên trái tại x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

x ∈ {x ∈ A : x0 − δ ≤ x < x0} ta có |f (x) − f (x0)| < ε

Như vậy hàm số f : A → R liên tục tại x0 ∈ A khi và chỉ khi f liên tụcbên phải và liên tục bên trái tại x0.

Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu f liên tục trên (a, b),liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b thì ta nói f liêntục trên đoạn [a, b]

Tiếp theo nhắc lại các khái niệm về hàm khả vi Xét hàm số y = f (x)

xác định trong một lân cận của điểm x0 ∈ R Cho x0 một số gia ∆x khá bésao cho x0 + ∆x ∈ U Khi đó ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là số giađối số ∆x tại điểm x0

Định nghĩa 1.2.4 Nếu tỉ số ∆y∆x = f (x0 +∆x)−f (x 0 )

∆x có giới hạn hữu hạn khi

∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0 vàđược kí hiệu là f0(x0); ta cũng nói rằng hàm f khả vi tại x0 Như vậy, ta có

f0(x0) = lim

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

Định nghĩa 1.2.5 Cho U là tập hợp mở trong R, f : U → R là một hàm

xác định trênU Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểmcủa U Khi đó ta cũng nói hàm số f có đạo hàm f0 trên U

Tiếp theo ta nhắc lại định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi

Định lý 1.2.6 (Định lí Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b]

và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b) Khi đó tồn tại ít nhất mộtđiểm c ∈ (a, b), sao cho f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)

Định lý 1.2.7 (Định lí Cauchy) Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trênđoạn [a, b] và có các đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b), ngoài ra

g0(x) 6= 0 với mọi x ∈ [a, b] Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

∆x→0 +

∆y

∆x tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phảicủa f (x) tại x0, ký hiệu f+0 (x0)

Quy tắc 1.2.9 Quy tắc L’Hospital (đọc là Lô-pi-tan) là một quy tắc trongtoán học dùng để khử các dạng vô định 00 và ∞∞ khi tính giới hạn và nhiềuứng dụng khác Quy tắc L’Hospital được phát biểu như sau: Nếu lim

x→a

f (x) g(x) códạng 00 thì nó có giới hạn bằng giới hạn của fg00(x)(x) nếu lim

lim

x→a +

f (x)g(x) = limx→a +

f0(x)

g0(x).

Mục này ta xét k là một trường và xét các đa thức trong vành k[x].Định lý 1.3.1 (Định lý phép chia và dư) Cho các đa thức f (x), g(x) ∈ k[x]

với g(x) 6= 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp q(x), r(x) ∈ k[x] sao cho

p(x) = q(x).s(x) Trong trường hợp này ta cũng nói q(x) chia hết p(x), hoặc

q(x) là một ước của p(x)

Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung của hai đa thức) Nếu g(x) chia hết p(x) và

g(x) chia hết q(x) thì ta nói g(x) là một ước chung của p(x) và q(x)

Định nghĩa 1.3.4 (Ước chung lớn nhất) Cho p(x) và q(x) là các đa thứckhông đồng thời là 0 Ước chung lớn nhất của p(x) và q(x) là đa thức d(x)

thoả mãn đồng thời các hai điều kiện: (1) d(x) là một ước chung của p(x)

và q(x); (2) Nếu d0(x) là một ước chung của p(x) và q(x) thì d0(x) cũng làước của d(x)

Chú ý 1.3.5 (Thuật toán Euclide) Cho các đa thứcf0, f1 ∈ k[x]với f1 6= 0.Đặt f2 là phần dư khi chia f0 cho f1, và tiếp tục bằng quy nạp, ta đặt fi+1

là phần dư khi chia fi−1 cho fi (nếu fi 6= 0)

Rõ ràng là dãy f0, f1, , fi, (dãy này gọi là dãy các phần dư đa thứccủa f0, f1) là hữu hạn, vì nếu trái lại thì mọi fi 6= 0 nên ta có dãy giảm vôhạn các số tự nhiên

deg(f1) > deg(f2) > > deg(fi) >

điều này là không xảy ra Lấy d(x) là phần dư fr cuối cùng khác không, vàchú ý rằng r ≤ min{deg(f0), deg(f1)} Khi đó d(x) chính là ước chung lớnnhất của f0 và f1

Chương 2

Một số định lý về nghiệm thực và áp dụng

Phương trình đa thức được sử dụng thường xuyên trong toán học Khigiải phương trình đa thức có nhiều câu hỏi phát sinh như: "Có nghiệm thựcnào không? Nếu có, đa thức có bao nhiêu nghiệm? Vị trí của chúng ở đâutrên trục tọa độ? Các nghiệm đó là dương hay âm?" Phụ thuộc vào vấn đềcần được giải quyết, đôi khi chỉ cần một ước lượng thô về xác định khoảngnào đó trên trục số mà nó chứa nghiệm là đủ Có nhiều cách để trả lời chocác câu hỏi này Trong chương này sẽ trình bày Quy tắc Fourier và định lýFourier Định lý Fourier sử dụng các đạo hàm của đa thức để xác định sốlượng có thể của nghiệm

của đa thức

Mục này tham khảo ở tài liệu [5]

Kí hiệu 2.1.1 (i) Cho đa thức P (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0

hệ số thực, trong đó các hệ số ai có thể bằng không

- Nếu hai hệ số liên tiếpai+1 vàai cùng dương hoặc cùng âm, thì cặp(ai+1, ai)

cho ta 1 lần ổn định dấu và 0 lần đổi dấu của các hệ số

- Nếu một trong hai hệ số ai+1 và ai là dương và hệ số còn lại là âm, thì cặp

(ai+1, ai) cho ta 1 lần đổi dấu và 0 lần ổn định dấu

- Nếu đa thức có một hoặc nhiều hệ số bằng “0”, thì trong tiến trình đếm

số lần đổi dấu của P các hệ số ai = 0 được xem như cùng dấu với dấu của

ai+1 Ví dụ, với đa thức P (x) = 3.x5− 1.x2+ 3, ta gán dấu cho các hệ số “bịkhuyết” như sau

P (x) = 3.x5 − 1.x2 + 3 đã xét ở trên, khi đó dấu của P được thể hiện bởi

P (x) = 3.x5 − 0.x4 + 0.x3 − 1.x2 + 0.x + 3

Điều quan trọng là chú ý rằng theo cách biểu diễn này thì số lần đổi dấu ở

đó sẽ là 4 và nó khác số lần đổi dấu là 2 của P sau khi bỏ qua các hệ số

“0” như đã thấy ở trên Trong thực tế, ta kiểm tra thấy “quy luật” sau đây

là đúng: một dãy các hệ số có dạng ai, 0, 0, , 0, aj (với aiaj 6= 0) sẽ cho

ta 1 lần ổn định dấu nếu aiaj < 0 và số các số “0” ở giữa là số lẻ; hoặc nếu

aiaj > 0 và số các số “0” ở giữa là số chẵn Các trường hợp khác nó cho ta 0lần ổn định dấu

Dường như là một chiến thuật khi sử dụng hai phương pháp để đếm sốlần đổi dấu và đếm số lần ổn định dấu, nhưng có hai điều thuận tiện củacách này như sau: Thứ nhất, với quy ước này, số các lần đổi dấu và số lần

ổn định dấu luôn là tối thiểu trong các đa thức khuyết thiếu, vì ta có thể dễkiểm chứng Thứ hai, hai cách này là đối ngẫu nhau theo nghĩa rằng số lần

ổn định dấu của P (x) bằng với số lần đổi dấu của P (−x) Ví dụ xét đa thức

là 3; và vì P (−x) = −3.x5− 0.x4+ 1.x3+ 0.x2− 1.x + 3, nên số lần đổi dấucủa P (−x) là 3.

(iii) Cho đa thức P (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 hệ số thực Ta kíhiệu z+(P ) là số các nghiệm dương của P; kí hiệu z−(P ) là số nghiệm âmcủa P; kí hiệu z0(P ) là số các nghiệm 0 của P (ở đây các nghiệm luôn đượctính cả số bội) Ta kí hiệu v(P ) là số lần đổi dấu của P; kí hiệu c(P ) là sốlần ổn định dấu của P (khi đó c(P (x)) = v(P (−x))); n được gọi là bậc của

đa thức và ký kiệu là n = deg(P ) Ta nói rằng hệ số ai là hệ số có đuôi nếu

hệ số liên tiếp hoặc là đổi dấu hoặc ổn định dấu Mặt khác, nếu P là khuyếtthiếu, thì theo kí hiệu của ta như đã giới thiệu vắn tắt ở trên, thì một khốicác hệ số liên tiếp có dạng ai, 0, 0, , 0, aj (với aiaj 6= 0) sẽ cho ta nhiềunhất 1 lần đổi dấu và 1 lần ổn định dấu Vì bất kì khối nào như vậy đều chứa

ít nhất là 3 hệ số (và do đó có ít nhất 2 cặp hệ số liên tiếp), nên tổng của sốlần đổi dấu và số lần ổn định dấu của P không lớn hơn số tất cả các cặp hệ

số liên tiếp (và không là hệ số có đuôi) của P Nói cách khác, nó không lớnhơn deg(P ) − z0(P ), tức là

v(P ) + c(P ) ≤ deg(P ) − z0(P ) (1)Dưới đây tham khảo ở tài liệu [5, Mục 2.2]

Quy tắc 2.1.2 (Quy tắc Fourier) Đối với bất kỳ đa thức P (x) hệ số thực,

ta luôn có v(P ) và z+(P ) là có cùng tính chẵn lẻ Điều tương tự cũng đúngcho c(P ) và z−(P )

Chứng minh Ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng P (0) 6= 0

(vì nếu P (0) = 0, thì đa thức Q(x) thu được bằng cách chia P (x) cho một

lũy thừa lớn nhất có thể xk; khi đó đa thức Q(x) thỏa mãn Q(0) 6= 0, cócùng số lần đổi dấu và cùng số nghiệm dương như của P (x).

Ta có thể viết P = AP1P2, với P1, P2 là hai đa thức có hệ tử cao nhấtbằng 1, A ∈ R, P1 không có nghiệm thực dương, và mọi nghiệm của P2 là sốthực dương

Đặtdeg(P2) = n Vì các hệ số của P1 là các số thực, nên các nghiệm phứccủa nó sẽ xuất hiện theo từng cặp liên hợp γ, γ Do đó, đa thức P1 có thểđược viết dưới dạng

và chỉ khi P2 có một số chẵn các nghiệm thực dương

Do đó, ta thấy rằng định lý của ta tương đương với bài toán mới đó là

"Một đa thức chứa một số chẵn số lần đổi dấu nếu và chỉ nếu hệ số cao nhấtcủa nó và hệ số tự do của nó có cùng dấu" Để kết thúc chứng minh quy tắcnày, ta chỉ cần chứng tỏ điều khẳng định sau đây là đúng:

Yêu cầu: Một dãy gồm các dấu chứa một số chẵn lần đổi dấu nếu và chỉnếu hai đầu mút của dãy đó có dấu cùng loại

Thật vậy, điều này là rõ ràng nếu độ dài của dãy là 2 (vì nếu dãy là+, + hoặc

−, −thì số lần đổi dấu là 0) Giả sử quy nạp rằng điều khẳng định ở “Yêu cầu”này là đúng cho dãy có độ dàin−1, và ta xét dãy các dấuS = (s1, s2, , sn)

có độ dài n (với si ∈ {+, −}) Đặt S0 = (s1, s2, , sn−1) Nếu sn−1 = sn

thì số lần đổi dấu của S và S0 là bằng nhau và các đầu mút của S và S0 làcác cặp đôi cùng dấu; vì S0 đã đúng theo giả thuyết quy nạp, nên rõ ràng S

cũng thỏa mãn yêu cầu Nếu sn−1 6= sn, thì số lần đổi dấu của S nhiều hơn

số lần đổi dấu của S0 là 1; do đó tính chẵn lẻ của S0 và S là trái ngược nhau.Nhưng các đầu mút của S hoặc là trái dấu nhau hoặc là cùng dấu nhau (phụthuộc vào các đầu mút của S0 là cùng dấu nhau hoặc trái dấu nhau, tươngứng) Điều này kéo theo rằng từ giả thiết quy nạp suy ra S cũng thỏa mãnkhẳng định của “Yêu cầu”.

Chú ý 2.1.3 Quy tắc vừa phát biểu và chứng minh của nó là đúng nếu các

hệ số của P thuộc vào trường số thực Tổng quát hơn, phép chứng minh ởtrên chứa đựng một mệnh đề thú vị, điều đó cũng đúng cho cả một trườngsắp thứ tự bất kì, tức là ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.4 Đối với hai đa thức P và Q thuộc F [x] (với F là trườngsắp thứ tự), khi đó ta luôn có v(P Q) ≡ v(P ) + v(Q) (mod 2)

(Ở đây khái niệm trường sắp thứ tự F là một trường F có một quan hệ thứ

tự toàn phần "≤" thỏa mãn các điều kiện sau đây với mọi a, b, c ∈ F: nếu

a ≤ b thì a + c ≤ b + c; nếu 0 < a và 0 < b thì 0 < ab)

Chứng minh Ta kí hiệu Avà a là hệ số cao nhất và hệ số tự do củaP; và ta

kí hiệu B và b là hệ số cao nhất và hệ số tự do của Q Khi đó hệ số cao nhấtcủaP Q là AB và hệ số tự do của P Q làab Theo như khẳng định trong“Yêucầu” ở trong chứng minh Quy tắc Fourier, ta thấy v(P ) ≡ 0 (mod 2) nếu

và chỉ khi A, a có cùng dấu Tương tự, v(Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi B

và b có cùng dấu; và v(P Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi AB và ab có cùngdấu Nhưng vì (AB)(ab) = (Aa)(Bb), nên rõ ràng là dấu của AB và dáucủa ab bằng nhau khi và chỉ khi Aa và Bb đều dương hoặc đều âm, nghĩa

là, nếuv(P ) và v(Q) đều chẵn hoặc đều lẻ Vì vậy, v(P Q) là chẵn khi và chỉkhi v(P ) + v(Q) là chẵn

Trước khi phát biểu và chứng minh quy tắc De Gua, ta cần nhắc lại vềquy tắc Descarte về dấu ở bổ đề sau, đồng thời bổ đề đó cũng cho ta mộtchặn trên cho số các nghiệm thực dương, nghiệm thực âm của đa thức:Dưới đây tham khảo ở [5, Mục 2.1]

Bổ đề 2.1.5 (Quy tắc Descarte về dấu) Với bất kì đa thức P hệ số thực, taluôn có v(P ) ≥ z+(P ) và c(P ) ≥ z−(P ) Hơn nữa, nếu mọi nghiệm của P

là thực thì v(P ) = z+(P ) và c(P ) = z−(P )

Chứng minh Khẳng định đầu tiên của định lý suy ra được khẳng định thứhai, vì nếu tất cả các nghiệm củaP đều là nghiệm thực và thỏa mãn v(P ) >

z+(P ) hoặc c(P ) > z−(P ), thì ta có

deg(P ) − z0(P ) = z+(P ) + z−(P ) < v(P ) + c(P ),

điều này mẫu thẫn với (1)

Để chứng minh v(P ) ≥ z+(P ), thì ta chú ý rằng nếu α là một nghiệmthực của P, thì P = (x − α)Q(x) với Q là đa thức bậc nhỏ hơn bậc của P

Vì vậy theo giả thiết quy nạp đối với bậc của P, ta chỉ cần chứng minh một

bổ đề sau đây (gọi là chiến thuật của Descarte):

(Chiến thuật của Descarte): Việc nhân một đa thức Q(x) với x − α (trong

đó α > 0), sẽ gia tăng số lần đổi dấu của đa thức

Ta thấy rằng c(P ) ≥ z−(P ) được suy ra từ v(P ) ≥ z+(P ) bởi cách đổi

1 s0n+1 = sn.

2 s0k 6= sk

3 Nếu si 6= si−1, thì s0i = si−1

Điều quan trọng là ta chú ý rằng những tính chất 1, 2, 3 vẫn đúng thậm chínếu P và Q có các hệ số khuyết thiếu (do quy ước ở trên)

Để chứng minh chiến thuật của Descarte, ta chỉ cần chứng minh rằngdòng thứ 3 trong bảng chứa nhiều số lần đổi dấu hơn ở số lần đổi dấu ở dòngthứ 2 của bảng Để thực hiện điều này, ta chỉ cần kiểm chứng ba tính chấtnêu trên

Nếu độ lớn của bảng là 1, thì rõ ràng tính chất thứ nhất và thứ hai làđúng; đối với tính chất thứ ba khi sn 6= sn−1 thì s0n = sn−1 nên nó cũngđúng Ta giả sử quy nạp rằng ba tính chất 1, 2, 3 là đúng cho các bảng có

độ lớn nhiều nhất là n − k − 1 Ta đặt T = (sn, sn−1, , sk; s0n+1, s0n, , s0k)

là bảng có độ lớn n − k

Trước tiên ta giả sử không có sự đổi dấu nào xảy ra trong chuỗi (sn, , sk)(tức là, nó là dãy hằng) Khi đó s0n+1, , s0k phải có ít nhất một lần đổi dấu(thật vậy, theo giả thiết ta có s0n+1 = sn và s0k 6= sk, suy ra s0n+1 6= s0

k) Dovậy, phải tồn tạii ∈ {1, , n+1} sao chos0i 6= s0i−1 Điều này cho thấy trongtrường hợp này, dãy s0n+1, , s0k có số lần đổi dấu nhiều hơn dãy sn, , sk.Bây giờ ta giả sử rằng có một lần đổi dấu xảy ra ở bước i nào đó với i > k

trong dãy sn, , sk, tức là si 6= si−1 Do tính chất thứ ba, ta có s0i = si−1,suy ra s0i 6= si Ta có thể thu hẹp từ bảng T thành bảng sau đây, nó có độlớn nhỏ hơn:

T0 = (sn, , si; s0n+1, , s0i)

Vì độ lớn của bảng này là n − i < n − k, nên áp dụng giả thiết quy nạp cho

T0, ta thấy T0 thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3 Do đó, sử dụng A1 để kí hiệucho số lần đổi dấu trong dãy sn, , si và kí hiệu A01 là số lần đổi dấu trongdãy s0n+1, , s0i; ta thấy từ giả thiết quy nạp rằng A01 > A1 Mặt khác, từbảng T ta có thể lập một bảng mới T00 khác nữa có độ lớn nhỏ hơn độ lớncủa T, cụ thể là

T00 = (si−1, , sk; s0i, , s0k)

Nó cũng thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3; do đó dãy s0i, , s0k phải có số lầnđổi dấu nhiều hơn dãy si−1, , sk, tức là A02 > A2 Nhưng số lần đổi dấucủa dãy sn+1, , sk nhiều nhất là bằng A1 + A2 + 1, vì dãy này là kết hợpcủa dãy sn, , si và si−1, , sk, nên nó chỉ chứa số lần đổi dấu của dãynày, và nếu có thể có chỉ cộng thêm 1 lần đổi dấu của sisi−1 (khi si 6= si−1).

Vì A01+ A02 ≥ A1+ 1 + A2+ 1 > A1+ A2+ 1, nên dãy s0n+1, , s0k có số lầnđổi dấu nhiều hơn dãy sn, , sk

Bây giờ ta sẽ xét đến quy tắc De Gua (định lý về những khoảng trống của

đa thức, viết trong sách bằng tiếng Pháp) Quy tắc được phát biểu như sau:Quy tắc 2.1.6 (Quy tắc De Gua) Nếu trong một đa thức P, một nhóm r

hệ tử liên tiếp bị bỏ trống (ở đây không tính trường hợp đa thức có hệ số cóđuôi), thì P có ít nhất r nghiệm ảo khi r chẵn, hoặc P có ít nhất r + 1 hay

r − 1 nghiệm ảo nếu r lẻ (phụ thuộc vào việc những hạng tử ngay trước vàngay sau của nhóm đó có cùng dấu hoặc khác dấu, tương ứng)

Ta thấy rằng quy tắc De Gua là yếu hơn quy tắc sau đây (Quy tắc 2.1.7),

và nó là một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.1.5 (bởi vì số nghiệm ảo của đathức P bằng số bậc của P trừ đi số nghiệm thực dương của P, tiếp tục trừ

đi số nghiệm thực âm của P, và tiếp tục trừ đi số nghiệm 0 của P)

Dưới đây tham khảo ở [5, Hệ quả 2.3.1]

Quy tắc 2.1.7 Số các nghiệm ảo của một đa thức P ít nhất là bằng với số

deg(P ) − z0(P ) − v(P ) − c(P )

Vì thế tất cả những gì ta phải làm dưới đây ở mục này là ta phải chứng

tỏ rằng Quy tắc 2.1.7 suy ra cả Quy tắc De Gua

Chứng minh Quy tắc 2.1.7 suy ra Quy tắc De Gua Trong tiến trình đếm sốlần đổi dấu và số lần ổn định của các dấu của P, ta thấy rằng chỉ có cáccặp hệ số khác 0 liên tiếp (ai, ai−1) là có liên quan, hoặc là liên quan đến cáckhối gồm các hệ số liên tiếp ở dạng (ai, 0, , 0, aj) với aiaj 6= 0, chứa đựngmột hoặc nhiều số “0”, chẳng hạn là chứa r số “0”, tức là (ai, 0, , 0

| {z }

r

, aj).Bây giờ, một cặp (ai, ai−1) cho ta 1 lần đổi dấu hoặc 1 lần ổn định dấutrong tổng v(P ) + c(P )

Tuy nhiên, đối với khối dạng (ai, 0, , 0, aj) với aiaj 6= 0, thì ta thấyrằng khối đó sẽ cho ta:

* 1 lần đổi dấu nếu aiaj < 0;

* 0 lần đổi dấu nếu aiaj > 0;

* 1 lần ổn định dấu (nếu aiaj > 0 và r chẵn) hoặc (nếu aiaj < 0 và r

số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu xảy ra trong khối) là q − 1 = r

Tương tự, nếu r lẻ và aiaj < 0 thì khối đó cho ta 1 lần đổi dấu và 1 lần

trong khoảng

Mục này tham khảo ở tài liệu [4, Chương 4]

Để cô lập nghiệm thực của một đa thức P ta phải tìm kiếm tập hợp cáckhoảng rời nhau, mà mỗi khoảng chứa đúng một nghiệm của P, khi đó gộpcác nghiệm đó lại ta được tất cả các nghiệm thực của P

Định lý nguyên gốc của Fourier có hai phần Phần thứ nhất người ta giảthiết rằng đa thức và đạo hàm của nó không có nghiệm chung Trong phầnthứ hai họ giả thiết giữa đa thức và đạo hàm có nghiệm chung Ở mục nàybây giờ ta sẽ trình bày một phiên bản cải tiến một chút cho chứng minh củaFourier nó sẽ chứa cả hai phần nêu trên.

Định lý 2.2.1 (Định lý Fourier) Ta kí hiệu N (x) là số lần đổi dấu của dãy

P (x), P0(x), P00(x), , P(n)(x)

trong đó P (x) là đa thức bậc n với hệ số thực Nếu a < b và P (a)P (b) 6= 0,thì N (a) ≥ N (b), và số các nghiệm thực của P (kể cả số bội) nằm trongkhoảng (a, b) không vượt quá số N (a) − N (b) Hơn nữa độ sai khác giữa sốnghiệm thực của P trong khoảng (a, b) và số N (a) − N (b) là một số chẵn(tức là tồn tại số u ∈ N để z+(P ) + z−(P ) + z0(P ) = N (a) − N (b) − 2u).Chứng minh Ta hình dung danh sách các sốP (x), P0(x), P00(x), , P(n)(x)

với x cho thay đổi từ a đến b Khi đó số N (x) chỉ thay đổi khi x chuyển quamột nghiệm của đạo hàm P(m)(x) (với số m < n nào đó) (thực tế, ta thấy

P(n)(x) là hằng số, vì thế m < n)

Tiếp theo ta sẽ sử dụng một nhận xét đơn giản sau đây:

Nhận xét Dấu của bất kì đa thức p(x) và đạo hàm của nó p0(x), xét trongmột lân cận của nghiệm α của p, là khác nhau khi x < α, là như nhaukhi x > α (xem Hình 2.1): Bây giờ, ta trở lại chứng minh của định lý, xéttrường hợp thứ nhất khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (x) Trongmột lân cận của α, với x < α, ta có P(r−1)(x) phải có dấu khác với dấucủa P(r)(x) (do có Nhận xét ở trên) Theo cách tương tự, ta thấy dấu của

P(r−2)(x) phải khác dấu của P(r−1)(x), dấu của P(r−3)(x) phải khác dấucủa P(r−2)(x), và tiếp tục như vậy Vì vậy các dấu của các số trong dãy

P(r)(x), P(r−1)(x), , P (x) (với x trong lân cận của α, x < α) là đan dấu(xem Hình 2.13)

Ta cũng biết rằng trong một lân cận của α, với x > α, thì các dấu củacác số trong dãy P(r)(x), P(r−1)(x), P (x) là như nhau Vì vậy ta thấyrằng khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P, thì số lần đổi dấutrong dãy P (x), P0(x), , P(r−1)(x), P(r)(x) là giảm bớt đi r (xem Hình2.3) Bây giờ xét trường hợp khi x chuyển qua nghiệm α bội r của P(i)(x)

Hình 2.1: Minh họa dấu của p(x) và p0(x) trong lân cận nghiệm của p(x)

sign(P(r−1)(x)) = −sign(P(r)(x)) sign(P(r−2)(x)) = −sign(P(r−1)(x)) = sign(P(r)(x))

.sign(P (x)) = −sign(P0(x)) = = (−1)rsign(P(r)(x))

Hình 2.2: Dấu của P (x), P0(x), , P (r−1) (x) trong một lân cận của α, với x < α.

Hình 2.3: N (x) giảm bớt r trong một lân cận của nghiệm α bội r

sao cho P(i−1)(α) 6= 0, P(i)(α) = P(i+1)(α) = = P(i+r−1)(α) = 0, và

P(i+r)(α) 6= 0 Như đã xét ở trường hợp trước, trong một lân cận của α,với x < α, thì dấu của P(i+r−1)(x) phải khác với dấu của P(i+r)(x); dấucủa P(i+r−2)(x) phải khác với dấu của P(i+r−1)(x); ; dấu của P(i)(x) phảikhác với dấu của P(i+1)(x) Vì vậy, các dấu của các số trong dãy P(i+r)(x),

P(i+r−1)(x), ,P(i)(x) là đan dấu, với x trong lân cận của α, x < α (xemHình 2.4) Như trước, ta cũng biết rằng ở một lân cận của α, với x > α,

sign(P(i+r−1)(x)) = −sign(P(i+r)(x))

sign(P(i+r−2)(x)) = −sign(P(i+r−1)(x)) = sign(P(i+r)(x))

.sign(P(i)(x)) = −sign(P(i+1)(x)) = = (−1)rsign(P(i+r)(x)).

Hình 2.4: Dấu của P (i+r−1) (x), P (i+r−2) (x), , P (i) (x) trong 1 lân cận của α, với x < α.

thì các dấu của các số trong dãy P(i+r)(x), P(i+r−1)(x), , P(i)(x) là nhưnhau Có bốn trường hợp có thể xảy ra, phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của

r, và phụ thuộc vào việc có xảy ra sign(P(i−1)(x)) = sign(P(i+r)(x)) hay

sign(P(i−1)(x)) 6= sign(P(i+r)(x))

Trong các minh họa ở Hình 2.5, 2.6, ta dễ thấy rằng, khi r chẵn, thì sốlần đổi dấu N (x) giảm bớt r

P (i−1) (x) + + +

P (i+1) (x) - 0 +

Hình 2.5: r chẵn, sign(P(i−1)(x)) = sign(P(i+r)(x)) Khi đó N (x) giảm đi r.

Trong các Hình 2.7, 2.8, khir lẻ thìN (x)giảm đir+1hoặcr−1, phụ thuộcvào có hay không sign(P(i−1)(x)) = sign(P(i−1)(x)) hoặc sign(P(i−1)(x)) 6=sign(P(i−1)(x))

Tóm lại trong các Hình 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 ta đã minh họa sự giảm bớt tổng

số các lần đổi dấu trong một lân cận của một nghiệm α, phụ thuộc vào tính

Hình 2.7: r lẻ, sign(P(i−1)(x)) = sign(P(i+r)(x)) Khi đó N (x) giảm đi r + 1.

chẵn lẻ củar, và phụ thuộc vào sign(P(i−1)(x)) = sign(P(i+r))(x), ở các hìnhnày ta đã giả sử rằngP(i+r))(x) là dương NếuP(i+r))(x)là âm, thì các bảngcần để khảo sát sẽ tương tự và ở đó các cột dấu sẽ thay đổi đối xứng vớinhững điều đã mô tả Do đó trong bất kì trường hợp nào, ta đều thấy N (x)

bị giảm bớt đi bởi một số chẵn Vì vậy ta đã chứng minh được hai kết quảsau đây:

- khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (x), thì N (x) giảm đi r

- Khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P(i)(x), với i > 0, thì N (x)

giảm bớt đi bởi một số chẵn

Do đó định lý được suy ra từ hai kết quả trên đây

< α 0 > α

P (i−1) (x) - -

P(i+1)(x) + 0 +