Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

Năm2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thíchtrong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bấtđộng chung đối với các ánh xạ tươn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

–––––––––––––––––––––––––––––––

MẪN THỊ BẮC

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là

trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc

Tác giả

Mẫn Thị Bắc

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp nàytôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trongquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủnhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trongthời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2020Tác giả

ii

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2 Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các

Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ

NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC

2.1 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong

2.2 Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của

lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong không gian metric nhân Năm

2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thíchtrong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bấtđộng chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân Mộthướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việcxét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh

xạ giao hoán và giao hoán yếu Năm 1995, J Cho [2] và các cộng sự đã đưa rakhái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các không gian tôpô Năm 1996,Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kếtquả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric.Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán

và giao hoán yếu trong một không gian metric nhân và chứng minh một vàiđịnh lý về các điểm bất động của những ánh xạ này Năm 2016, P.Kumar, S.Kumar, S.M Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong khônggian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối

với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân ”.

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả vềkhông gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chungđối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạtương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục luận văn

Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gianmetric nhân

Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về Điểmbất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích vớicác biến thể của nó trong không gian metric nhân

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric nhân

Đ nh ngh a 1.1.1 Cho E là một tập khác r ng Một metric nhân là một ánh xạ

(u, w ) (w, v), u, v, w E bất đ ng thức tam giác nhân

được gọi là một không gian metric nhân

xác định bởi

Khi đó, n , là một không gian metric nhân

u, v và a 1 Khi đó, là một metric nhân và ( , ) là một không gianmetric nhân Ta có thể gọi đó là không gian metric nhân thông thường

1.1.3 đúng với mọi số thực

Ví dụ 1.1.5 Cho (E, ) là một không gian metric Cho a là ánh xạ xác định

3

trên E bởi

(u, v ) a u ,v a

a khi u v,

ở đó u, v E và a 1 Khi đó,

gian metric nhân rời rạc

a là một metric nhân và E, a gọi là không

trên [a, b] Khi đó,

[a, b]

E,

là tập tất cả các hàm liên tục nhân giá trị thực

là một không gian metric nhân với

(x , y) sup [a ,b ]

t

x ( t )

y (t ) với x ,

y E tùy ý.

Nhận t 1.1.7 Metric nhân và metric là độc lập với nhau.

Thật vậy, ánh xạ được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân màkhông là metric vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác

1, 3

M t khác, metric thông thường trên

thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân

2, 3 3, 6

không là metric nhân bởi vì nó không

Đ nh ngh a 1.1.8 Cho (E, ) là một không gian metric nhân Khi đó

(1) dãy {u } E gọi là hội tụ nhân tới u nếu với m i hình cầu mở nhân

Tập các số thực dương là không đầy đủ theo metric thông

n

E với metric thông thường và E không là không gian metric

Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy

u n

m loga , trong đó a

Đ nh ngh a 1.1.10 Cho f là ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, )

vào chính nó Khi đó, f được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực

[0,1) sao cho

( fu, fv ) (u, v) với mọi u, v E

Năm 2015, Kang và các cộng sự [6] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ tương thíchtrong các không gian metric nhân như sau

Đ nh ngh a 1.1.11 Cho f và g là các ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )

lim fgu , gfu 1, với mọi dãy u E

sao cho

lim fu lim gu t với t E nào đó.

Đ nh ngh a 1.1.12 Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân

(E, ) vào chính nó Khi đó, và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao

hoán tại những điểm trùng, tức là nếu ft gt với t E thì fgt gft

Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương thích trong các không gian topo như sau

Đ nh ngh a 1.1.13 [2] Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian topo vào

chính nó Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu

(E, ) vào chính nó Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếulim fgu , gu 1, với mọi dãy{u } E sao cho lim fu lim gu u

với u nào đó thuộc E

Điều này suy ra rằng nếu f và g là nửa tương thích và fv gv thì fgv gfv

Chú ý rằng f và g là nửa tương thích không nhất thiết f và g là tương thích

Hơn nữa, tính nửa tương thích của f và g không kéo theo tính nửa tương thích

của g và f

(u, v )

a u v

, trong đó u, v E và a 1 Khi đó, (E,

metric nhân Lấy các ánh xạ f , g : E E xác định bởi

Vậy g và f không là nửa tương thích.

Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu

u 1, 2 tùy ý, điều này hiển nhiên đúng Với u 2, 3

yếu

Thật vậy, vớitùy ý, ta có làtương thích

bởi u, v a , ở đó u, v E và a 1 Khi đó, E, là một không gian

7

o đó f và g là nửa tương thích, nhưng

Tính tương thích yếu không kéo theo

g và f không là nửa tương thích

tính nửa tương thích Ở đây, g và

f là tương thích yếu vì chúng giao hoán tại điểm trùng của chúng 2

3, nhưngkhông là nửa tương thích Tính nửa tương thích không nhất thiết kéo theo

tương thích vì limd fgu n,gfu n 1 trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16

Khi đó, (E, ) là một không gian metric nhân.

và g không là nửa tương thích.

1.2 Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tương thích và các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó trong các không gian metric nhân như sau:

Đ nh ngh a 1.2.1 Cho f và g là hai ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )

vào chính nó Khi đó f và g được gọi là

(1) tương thích nếu lim fgu , gfu 1, trong đó {u } E là một dãy sao

cho limfu n lim gu n t với t E

(2) tương thích kiểu (A) nếu

lim fgu , ggu 1và lim gfu ,

10

h ng minh Vì f và g là tương thích kiểu (A) nên lim

là liên tục, khi đó f và g là các ánh xạ tương thích

Mệnh đề 1.2.3. i c p ánh xạ tương thích kiểu (A) à tương thích kiểu (B)

h ng minh Giả sử f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) Khi đó, ta có

Mệnh đề 1.2.4 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân

(E, ) vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B) th f và g à tương thích kiểu (A)

11

o đó, f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) Mệnh đề được chứng minh.

Mệnh đề 1.2.5 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân (E, ) vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B) th f

và g à tương thích.

h ng minh Cho {u } E là một dãy sao cho lim fu lim gu t với t

nào đó thuộc E Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có

và chú ý đến giả thiết f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B) ,

lim fgu ,gfu

o đó f và g là các ánh xạ tương thích Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric nhân

(E, ) vào chính nó ếu f và g à các ánh xạ tương thích th f và g à tương thích kiểu (B)

12

h ng minh Vì f và g là tương thích nên tồn tại dãy {x n }

2

n

1

gt , ggu n 2

một không gian metric

(1)f và g à tương thích f và g tương thích kiểu (B)

(2) f và g à tương thích kiểu (A) f và g à tương thích kiểu (B)

h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6.

(2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4

Mệnh đề 1.2.8 Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một không gian metric

nhân (E, ) vào chính nó ếu ft gt với t E th

fgt fft ggt gft

h ng minh Giả sử rằng {u n } E là một dãy được xác định bởi u n t ,

13

gt Khi đó, fu ,gu n n ft khi n Vì f và

fgt, gft lim fgu , gfu 1 .

Từ Mệnh đề 1.2.8 ta có

metric nhân (E, ) vào chính nó i ử lim fu lim gu t với t E

t E , nên fgu n ta

có

ft khi n Vì f và g là các ánh xạ tương thích, nên

lim gfu n , ft lim gfu n , fgu n lim fgu n , ft 1

metric nhân (E, ) vào chính nó ếu ft gt với t nào đó thuộc E th

Vì f vàg tương thích kiểu (B) , nên ta có

lim ( fgu , ggu )

15

Mệnh đề 2.10 vẫn đúng.

Chú ý 1 .13 Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu

(C ) ho c kiểu (P) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B) , thì kết luận của Mệnh

đề 1.2.11 vẫn đúng

Chú ý 1.2.14 M i ánh xạ giao hoán yếu là tương thích nhưng điều ngược lại

nói chung không đúng

Thật vậy, vì f và g là các ánh xạ giao hoán yếu nên

( fgu, gfu ) ( fu, gu) với mọi u E

ánh xạ tương thích nhưng không giao hoán yếu

Chú ý 1.2.16 Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là

g thíc

h nhưn

g khôn

g tươn

g thíc

h kiểu

(

C

)

vàkiểu

(

P

)

tương

thích

V

í d ụ 1

2 1 8

Khi đó f và g không liên tục tại t 3 Ta sẽ chỉ ra f và g là không tương

thích nhưng chúng tương thích kiểu (A) , kiểu (B) , kiểu (C ) , và

Thật vậy, giả sử {u n} [0, 6] và fu n ,gu n t Theo định nghĩacủa

t 3, 6 Vì f và g bằng nhau trên đoạn 3, 6 , nên ta chỉ cần xét t

vậy, ta giả sử u 3và u n 3 với mọi n Khi đó, gu 6 u

lim

n

và

g kh

ương thích.

19

CHƯƠNGĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ NỬA TƯƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN

2.1 Điểm bất động chung đối với các ánh ạ nửa tương thích trong không gian metric nhân

Đ nh ý 1.1 Cho f , g,

S

v à

iv) ( f , S) à nửa tương thích (g,T ) à tương thích

một điểm bất động chung du nhất trong E

h ng minh Lấy u0 E tùy ý Vì f (E) T (E) và

u1 E sao cho fu 0 Tu1 và với điểm u1 này,

v , 3 v

1

, 3 f u

2 n ,Tu 2 n 1

3 v , v

21

tương thích, nên fSu 2n

metric nhân, ta được fw

.Khi đó ffu fw và

2n

Sw Do tính duy nhất

Sw Đ t u w , v

fS u

22

Phép chứng minh tương tự cho trường hợp g là liên tục.

Cuối cùng, giả sử z z w là một điểm bất động chung khác của

Khi đó

là một điểm

f , g, S và T

z fz gz Sz Tz .ằng cách đ t u w và v z trong (2.2), ta có

3 w, z 3fw, gz

23

Vậy w z o đó, f ,g, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong

E Ta được điều phải chứng minh.

Trong Định lý 2.1, đ t f g vàS T ta có hệ quả sau.

Hệ quả.1.2 Cho f và S à các ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào chính nó và th a m n các đi u ki n sau

f và S có một điểm bất động chung duy nhất trong E .

2.2 Điểm ất động đối với các ánh ạ tương thích và các iến thể của nó trong không gian metric nhân

Năm 2014, He và các cộng sự [4] đã chứng minh điểm bất động chung của c p ánh xạ giao hoán yếu trên một không gian metric nhân đầy đủ như sau:

Đ nh ý 2.2.1 Cho S ,T , A và à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ

24

ii ) Su,Tv max Au, Bv , Au, Su , Bv,Tv ,

đó S,T,A v

à B

(2.7)

có một điểm bất động chung du nhất.

h ng minh Vì S(E) B(E) , nên với điểm u 0 E , tồn tại u

Giả sử A là liên tục Khi đó, AAu 2n , ASu 2n hội tụ đến Az khi n

Vì A,S là tương thích trên E , nên theo Mệnh đề 1.2.9, SAu 2n hội tụ tới Az

khi n Ta sẽ chỉ ra z Az Thật vậy, ta có

AAu 2n , Bu 2n 1 , AAu2n , SAu 2n ,

25

Az , z max

Suy ra d Az,z 1 Vậy

Tiếp theo, ta chứng minh

Az , z

, Az , Az , z ,

z

, Az , z

Az , z

d z ,Tu d Sz ,Tu max Az , Bu , Az , Sz , Bu,Tu ,

z

z , Bz Sz max Az , Bz , Az , Sz , Bz ,Tz ,

26

Phép chứng minh tương tự cho trường hợp B liên tục.

Tiếp theo, giả sử S liên tục Khi đó SSu 2n , SAu 2n hội tụ tới

Vì A và S tương thích trên E nên từ Mệnh đề 1.2.9 suy ra

Ta có

AS u

,

suy ra

Sz

z Vì S(E) B(E) nên v E sao cho z Sz Bv Ta có

SSu 2n ,Tv max ASu 2n , Bv , ASu 2n , SSu2n , Bv,Tv , .

SSu 2n , Bv , ASu 2n ,Tv Cho n , ta được

27

, Ta có

z Vì S và A là tương thích trên E và Sw Aw z , nên theo

z Az Sz Bz Tz Vậy z là điểm bất động chung của S ,T , A và B Tương tự, ta có thể hoàn thành chứng minh khi T là liên tục

Cuối cùng, giả sử rằng z và w z w là hai điểm bất động chung của S ,T , A

và B Khi đó

z , w Sz ,Tw

max Az , Bw , Az , Sz , Bw,Tw ,

Sz , Bw, Az ,Tw

28

Suy ra z w Vậy z là điểm bất động chung duy nhất của S ,T , A và B Ta

được điều phải chứng minh

ưới đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu (A)

Đ nh ý 2.2.3 Cho S ,T , A và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân

đ đủ (E, ) vào chính nó th a m n (2.5) (2.7) i ử các c p (A, S) và (B,T ) à tương thích kiểu (A) hi đó S ,T , A và B có một điểm bất động chung du nhất.

h ng minh Giả sử A liên tục Vì (A, S) là tương thích kiểu (A) , theo Mệnh đề

1.2.2, c p (A, S) là tương thích, nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2

Tương tự, nếu B liên tục và (B,T) là tương thích kiểu (A) thì (B,T ) tươngthích nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2

Chứng minh tương tự cho trường hợp S ho c T liên tục

Sau đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu (B)

đ đủ (E, ) vào chính nó th a m n (2.5) (2.7) i ử c p (A, S) và (B,T) à tương thích kiểu (B) hi đó S,T,A và B có một điểm bất động chung du nhất.

h ng minh Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta có v n là dãy Cauchy nhântrong E o đó, các dãy con

Su 2n , Au 2n , Tu 2n 1 và B

u

2 n 1

của dãy v n cùng hội tụ về z

Giả sử S liên tục Khi đó, SSu 2n ,SAu 2n hội tụ tới Sz khi n

(A, S) là tương thích kiểu (B) , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy ra AAu 2n

Sz khi n Ta có

Vì c p hội tụ tới