TH 8 1 HH chương 2 bài 2

DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm về diện tích đa giác + Nắm được công thức tính diện tích hìn chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông, công thức tí

BÀI 2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm về diện tích đa giác

+ Nắm được công thức tính diện tích hìn chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông, công thức tính diện tích tam giác vuông

 Kĩ năng

+ Tính được diện tích hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm

Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông

Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

S a b (S là diện tích, a là chiều dài, b là chiều rộng hình chữ nhật)

Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

2

S a

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

1 2

S a b

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Diện tích hình chữ nhật

Phương pháp giải

- Công thức diện tích hình chữ nhật: S hcn a b với

a, b là độ dài hai kích thước của hình chữ nhật đó

- Một số công thức liên hệ cần ghi nhớ đối với hình

chữ nhật

 Chu vi hình chữ nhật: 2 a b  

 Độ dài đường chéo hình chữ nhật 2 2

a b

Bước 1 Thiết lập mối quan hệ giữa chiều dài, chiều

rộng của hình chữ nhật

Ví dụ: Cho một hình chữ nhật có chu vi bằng 30m,

chiều dài hơn chiều rộng 3m Tính diện tích của hình chữ nhật đó

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, với a b 0

Hình chữ nhật có chu vi bằng 30m nên

 

2 a b 30hay a b 15

Mà theo giả thiết, ta có a b 3nên suy ra

15 3

2

a   m b a     m

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật đã cho là

 2

6.9 54

S a b   m

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3cm Biết đường chéo của hình chữ nhật đó dài

15cm Tính diện tích của hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài của hình chữ nhật có độ dài là a (cm) a 0

Do chiều dài hơn chiều rộng 3cm nên hình chữ nhật có chiều rộng là a 3 cm

Mà đường chéo hình chữ nhật dài 15cm nên ta có

 2

a  a   a a  a 

2

2a 6a 216 0

2 3 108 0

a a

2 12 9 108 0

a 12 a 9 0

12 0

12

9 0

a

a a



 

 (thỏa mãn) hoặc a 9(loại)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm, chiều rộng là 12 3 9 cm   

Khi đó, diện tích hình chữ nhật là S 9.12 108 cm2

Ví dụ 2 Cho đa giác có hình dạng và kích

thước như hình vẽ sau đây

Tính diện tích đa giác

Hướng dẫn giải

Ta chia đa giác ban đầu thành

3 hình chữ nhật không có

điểm trong chung như hình

bên

Chú ý: có nhiều cách chia

hình tuy nhiên cần chia để

Diện tích của mỗi hình chữ nhật được kí hiệu bằng S S S1, ,2 3

Hình chữ nhật S gồm hai kích thước là 6m, 3m nên ta có:1

 2

1 3.6 18

S   m

Hình chữ nhật S gồm hai kích thước là 2 9 3 3 3    m , 6 4 1 3 m 

nên ta có:  2

2 3.3 9

S   m

Hình chữ nhật S gồm hai kích thước là 4m, 3m nên ta có:3

 2

3 4.3 12

S   m

Vậy diện tích của đa giác ban đầu là:  2

1 2 3 18 9 12 39

S S S     m

các cạnh của hình chữ nhật có thể tính được độ dài

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Gọi a b a b ,  , 0 là hai kích thước của hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật đó bằng

A S 2a b  B S ab C 1

2

S ab D S 2ab

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài 12cm và diện tích 60cm Chiều rộng của hình chữ nhật2

bằng

Câu 3: Khi tăng chiều dài hình chữ nhật lên 6 lần, đồng thời giảm chiều rộng đi 2 lần thì diện tích hình

chữ nhật

A tăng 6 lần B tăng 12 lần C giảm 3 lần D tăng 3 lần

Câu 4: Cho hình chữ nhật có chu vi là 30cm và chiều dài hơn chiều rộng 3cm Diện tích hình chữ nhật đó

bằng

Câu 5: Cho hình chữ nhật có chu vi 54cm Biết chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt tỉ lệ

với 5 và 4 Tính diện tích hình chữ nhật đó

Câu 6: Hoàn thành bảng thông tin sau cho các hình chữ nhật tương ứng

Hình chữ nhật Chiều dài (cm) Chiều rộng

(cm)

Đường chéo (cm) Diện tích cm2 Chu vi (cm)

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA2.IB

a) Chứng minh rằng SIAD SIBC SICD

b) Chứng minh rằng 2 2

5

ABCD

S  AC

c) Biết SAID 12cm2 Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 5.

Gọi x, y lần lượt là độ dài chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

(x>y>0)

Do chu vi của hình chữ nhật là 54 cm nên ta có 54 27

2

x y  

Mà theo giả thiết, ta có

5 4

x y



Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta có 27 3

x y x y

Khi đó, ta có: x3.5 15 cm y; 3.4 12 cm

Vậy diện tích của hình chữ nhật bằng x y 15.12 180 cm2

Câu 6

Hình chữ nhật Chiều dài

(cm)

Chiều rộng (cm)

Đường chéo (cm)

Diện tích

 2

cm

Chu vi (cm)

Câu 7.

a) Dựng IH CD H CD(  )

Xét tứ giác AIHD có:

IAD ADH IHD 

Suy ra AIHD là hình chữ nhật

ICD

S  IH CD AD CD

2

S AD CD S  S

Mặt khác, ta có: S ABCD SICDSIADSICB

Vậy SIAD SICB SICD

b) Ta có S ABCD AB AD .

Mà AB2AD2BC và ABC vuông tại B nên ta có:

 2

AC AB AD  AD AD  AD (định lý Py-ta-go)

5

ABCD

S AB AD AD  AC

c) Do IAD vuông tại A nên ta có: 1

2

IAD

S  AD AI

Ta có: IBC vuông tại B nên 1 1

IBC

S  BC BI  AD BI

Mà AI 2BI hay 1

2

S  AD BI  S   cm

Theo chứng minh trên, ta có: S ABCD 2SIADSICB 2 12 6   36cm2

Dạng 2: Diện tích hình vuông

Phương pháp giải

Công thức tính diện tích của hình vuông:

2

S a với a là cạnh hình vuông

Chú ý: Chu vi hình vuông là 4a

Bước 1 Xác định độ dài cạnh hình vuông

Bước 2: Áp dụng công thức đẻ tính toán diện tích

hoặc đại lượng cần tìm

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài 11m

và diện tích 55m Tính diện tích của hình vuông có2

cùng chu vi với hình chữ nhật ABCD

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta xác định được chiều rộng của hình chữ nhật là: 55 :11 5 m  

Chu vi của hình chữ nhật bằng 2 11 5   32 m 

Do hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật nên

ta xác định được cạnh của hình vuông bằng

 

32 : 4 8 m Khi đó, diện tích của hình vuông là 82 64m2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD Biết rằng nếu tăng độ dài cạnh hình vuông lên 3 lần thì diện tích hình

vuông tăng thêm 200cm so với ban đầu Tính chu vi2

của hình vuông ban đầu

Hướng dẫn giải

Gọi a a 0 cmlà độ dài cạnh của hình vuông ban đầu

Diện tích của hình vuông khi đó là a cm2 2

Khi tăng độ dài cạnh lên 3 lần, diện tích

hình vuông mới là 3a2 9a2

vì diện tích hình vuông tăng lên 200cm nên ta có 2

9a  a 200 8a 200 a 25 a5

Vậy chu vi của hình vuông ban đầu là: 4a4.5 20 cm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Hình vuông ABCD có chu vi bằng 32m, diện tích của hình vuông ABCD bằng

A S ABCD 16m2 B S ABCD 36m2 C S ABCD 64m2 D S ABCD 56m2

Câu 2: Gấp đôi tất cả các cạnh của hình vuông Ta được hình vuông mới có diện tích tăng

Câu 3: Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Lấy điểm E trên cạnh BC, lấy

điểm F trên cạnh CD sao cho BE CF Chứng minh:

a) OEOF

4

S  S

c) Biết AB6cm Tính diện tích lục giác ABEOFD

Câu 4: Cho hình vuông ABCD Biết rằng nếu tăng độ dài cạnh hình vuông thêm 3cm thì diện tích hình

vuông tăng thêm 45cm Tính diện tích hình vuông ABCD ban đầu2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 – C 2 – B Câu 3.

a) Do tứ giác ABCD là hình vuông tâm O nên OA OB OC OD   ; BD, CA lần lượt là phân giác

của ABC , BCD

Xét OBE và OCF có:

OB OC ;

OBE OCF  ;

BE CF (giả thiết)

( )

OBE OCF c g c

BOE COF

  (hai góc tương ứng)

Khi đó, ta có: BOE COE COF COE  

EOF COB

b) Từ chứng minh trên, ta có:

S S  S S S S  S S

S S S S  S  S  S

c) Có S ABCD AB2 62 36cm2 Mà S ABCD S ABEOFD S OECF

1 4

 2

.36 27

Câu 4.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu

a 0 (cm)

Diện tích của hình vuông là 2 2

1

S a cm Khi tăng 3 cm, hình vuông mới có cạnh bằng

a + 3 (cm)

Diện tích của hình vuông mới bằng  2 2

S  a cm

Từ giả thiết, ta có S2 S145

 a32 a2 45

 a2 6a 9 a2 45

 6a 36 0

 a6 (thỏa mãn)

Vậy hình vuông ABCD ban đầu có diện tích 2  2

S   cm

Dạng 3 Diện tích tam giác vuông

Phương pháp giải

Công thức diện tích tam giác vuông là 1

2

S ab

Bước 1 Xác định độ dài hai cạnh góc vuông của

tam giác vuông

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có:

AB cm BC  cm Tính diện tích tam giác ABC

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có

BC AB AC

15 12 225 144 81

AC BC AB

Bước 2 Tính diện tích của tam giác

  9

AC cm

Vậy diện tích của tam giác ABC là:

 2

2AB AC2  cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC25cm và chu vi tam giác là 56cm

Tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có chu vi bằng 56cm nên ta có : AB BC AC  56

 

Đặt AB b b  0 và giả sử AB AC Suy ra AC31 b

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác ABC, ta có: BC2 AB2AC2

 2

2

2b 62b 336 0

2

31 168 0

2 24 7 168 0

 24 7 24 0

b 24 b 7 0



Khi đó 31 24 7

31 7 24

AC

AC





Do ABAC nên ta chọn AB b 24cm AC; 7cm

Vậy diện tích tam giác ABC là: 1 1  2

ABC

S  AB AC  cm

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Tam giác vuông ABC có diện tích 30cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm Chu vi của2

tam giác vuông đó bằng

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, có diện tích bằng 84cm và độ dài cạnh huyền 2 BC25cm Chu

vi của tam giác ABC bằng

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, có hiệu độ dài hai cạnh góc vuông bằng 7cm và độ dài cạnh

huyền BC13cm

a) Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC

b) Tính diện tích của tam giác ABC

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm và diện tích bằng

2

54cm Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó

Câu 5 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H

a) Chứng minh rằng: S BDHF S CDHE

b) Tìm điều kiện của ABC để SAHF SCHD

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 – C 2 – D Câu 3.

a) Đặt AB = a với a>0 (Giả sử AB AC )

Từ giả thiết, ta có AC = a + 7

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABC, ta có

AB AC BC

 2

a a

2 2 14 49 169

2

2a 14a 120 0

2

7 60 0

a a

a 12 a 5 0

5 0

a

   (do a + 12>0)  a5

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC là: AB = 5 cm, AC = 5+7=12 cm

ABC

S  AB AC  cm

Câu 4.

Theo giả thiết, ABC có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3 cm nên ta đặt AB a a  0 và

3

AC a 

Vì diện tích ABC là 54cm nên ta có phương trình: 2 1 . 3 54

2 a a  

2 3 108

a a

2 3 108 0

a a

2 12 9 108 0

a 12 a 9 0

9 0

a

   do a 12 0

9

a

  hay AB9cm và AC  9 3 12cm

Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go trong ABC, ta có

9 12 81 144 225

BC AB AC      hay BC15cm

Câu 5.

a) ABC cân đỉnh A, suy ra AD là đường cao, đồng thời là trung tuyến, đường phân giác

Xét ABD và ACD có: AD chung; AB = AC; BD = CD

( )

ABD ACD c g c

S S

  (1)

Xét AHF và AHE có: AH chung;

HAF HAE AFH AEH  

   ( cạnh huyền – góc nhọn )

S S

  (2)

Từ (1) và (2), ta có:

S  S S  S  S S

b) Theo chứng minh trên, ta có SABD SACD

Mà SABD SACD SABC, suy ra 1

2

S S  S

Ta cần SAHF SCHD  SAHF SBDHF SCHDSBDHF  SABD SCBF

S S  S  CF BF  CF BA BF  BA Khi đó, F là trung điểm của AB Vậy CF là đường cao, đồng thời cũng là trung tuyến của ABC

Suy ra ABC cân tại C Do đó ABC là tam giác đều

Vậy khi ABC là tam giác đều thì SAHF SCHD