Chặn cho hệ số hilbert của idean tham số

312.4 Thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert của iđêan tham số theo e1... Mục đích chính của luận văn là thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert củaiđêan tham số trong vành hầu Cohen-Macaulay

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NHẬT MINH

CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT

CỦA IĐÊAN THAM SỐ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiêncứu ghi trong luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từngđược công bố trong bất kỳ một công trình nàokhác

Nguyễn Nhật Minh

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh,người thầy đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình họctập tại lớp cao học cũng như quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạmHuế, các thầy cô ở Đại học Huế và Viện Toán học đã truyền đạt cho tôi nhữngkiến thức bổ ích, làm nền tảng để tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đàotạo Sau đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt khóa học

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các cao học viên Khóa XXVI đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡtôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập, đặc biệt là trong quá trìnhthực hiện luận văn

Huế, ngày 1 tháng 10 năm 2019

Học viên thực hiện

Nguyễn Nhật Minh

Mục lục

1.1 Vành các thương và địa phương hóa 5

1.2 Dãy chính quy và độ sâu 7

1.3 Chiều Krull và vành Cohen-Macaulay 10

1.3.1 Chiều Krull 10

1.3.2 Vành và môđun Cohen-Macaulay 12

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 14

1.5 Vành và môđun phân bậc 15

1.6 Độ dài của môđun 19

1.7 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 20

1.8 Đối đồng điều địa phương 22

2 CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ 25 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 25

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành phân bậc liên kết 26

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt và chỉ số chính quy Mumford 312.4 Thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert của iđêan tham số theo e1 33

MỞ ĐẦU

Cho (A, m) là vành địa phương chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ Khi đó,hàm Hilbert-Samuel, hay gọi tắt là hàm Hilbert của iđêan I là một hàm số họcđược xác định bởi

HI : Z −→ Z

n 7−→ HI(n) := λ(A/In),trong đó λ(A/In) là độ dài của môđun A/In Samuel là người đầu tiên chỉ rarằng tồn tại một đa thức PI(x) với hệ số hữu tỷ bậc d sao cho HI(n) = PI(n)với n đủ lớn Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) củaiđêan I và PI(n) có thể được viết dưới dạng

Các hệ số ei = ei(I), i = 0, 1, · · · , d là các số nguyên và được gọi là hệ số Hilbertcủa iđêan I

Vành Noether địa phương A được gọi là vành hầu Cohen-Macaulay nếudepth A > dim A − 1 Đây là lớp vành rộng hơn vành Cohen-Macaulay

Mục đích chính của luận văn là thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert củaiđêan tham số trong vành hầu Cohen-Macaulay

Do hệ số Hilbert chứa nhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun nênthu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học Năm 1996, Srinivas-Trevidi [22]

đã thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert theo số bội trong vành Cohen-Macaulay.Năm 2003, Rossi-Trung-Valla [20] đã thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert củaiđêan cực đại theo bậc mở rộng trong vành địa phương bất kỳ Sau đó Linh [12]

mở rộng kết quả này trên tập các iđêan m-nguyên sơ Năm 2011, Goto-Ozeki [7]

đã dùng một kết quả của Linh-Trung [14] về chỉ số chính quy của vành phânbậc liên kết để thiết lập các chặn phổ dụng (uniform bounds) cho hệ số Hilbert

của iđêan tham số trong vành Cohen-Macaulay suy rộng.

Gần đây Linh [13] đã thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quy của vànhphân bậc liên kết theo hệ số e1 trong vành hầu Cohen-Macaulay Vấn đề đặt ra

là liệu có đưa ra được các chặn cho hệ số Hilbert ei với i = 2, , d theo hệ số e1

trong vành hầu Cohen-Macaulay?

Kết quả chính của luận văn là đưa ra chặn trên cho hệ số Hilbert ei với

i = 2, , d theo hệ số e1 của iđêan tham số trong vành hầu Cohen-Macaulay.Đây là một kết quả mới mà chúng tôi đạt được

Phương pháp mà chúng tôi sử dụng là dùng các chặn trên cho chỉ số chínhquy Castelnuovo-Mumford của vành phân bậc liên kết để ước lượng hệ số Hilbert

Luận văn được chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán bao gồm các khái niệm và một số

bổ đề nhằm hỗ trợ cho các chứng minh ở chương sau Trong Chương 2, chúngtôi tập trung vào nội dung chính của luận văn là thiết lập các chặn cho hệ sốHilbert ei với i = 2, , d của iđêan tham số theo hệ số e1 trong vành hầu Cohen-Macaulay

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn không thể tránh khỏithiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô giáo cùng các độc giả đểluận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại sốgiao hoán như vành các thương và địa phương hóa, dãy chính quy và độ sâu,chiều Krull và vành Cohen-Macaulay, iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số, vành

và môđun phân bậc, độ dài của môđun, hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđunphân bậc, đối đồng điều địa phương Các kiến thức này được trình bày nhằmchuẩn bị các kiến thức cơ bản cho chương sau Hầu hết các kiến thức được trìnhbày trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu [2], [3], [5], [6], [13], [18],[21], Trong suốt chương này, R luôn là vành giao hoán có đơn vị

1.1 Vành các thương và địa phương hóa

Nếu D là miền nguyên thì ta đã có khái niệm trường các thương của miềnnguyên D, kí hiệu là FD và khái niệm sau đây là mở rộng của trường các thương.Trước tiên, ta định nghĩa tập nhân đóng

Định nghĩa 1.1.1 [2, Định nghĩa 1.1.1] Cho R là một vành giao hoán Một tậpcon S của R được gọi là tập nhân đóng nếu 1R ∈ S và ∀a, b ∈ S suy ra ab ∈ S.Trên tập S × R = {(s, a) /s ∈ S, a ∈ R} , ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau

(s, a) ∼ (t, b) ⇔ ∃u ∈ S : u (at − sb) = 0

Quan hệ trên là một quan hệ tương đương Ta kí hiệu as là lớp tương đương củaphần tử (s, a) (tức là as = bt ⇔ (s, a) ∼ (t, b)) và S−1R là tập hợp tất cả các lớp

tương đương này Lúc đó

S−1R =na

s |a ∈ R, s ∈ So.Trên S−1R, ta xây dựng hai phép toán được xác định như sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R

(s, a) + (t, b) ∼ (st, at + bs) ;

(s, a) (t, b) ∼ (st, ab)

Lúc đó, S−1R là một vành giao hoán có đơn vị

Vành S−1R được gọi là vành các thương của R ứng với S, có đơn vị 1S−1 R =(s, s) (s ∈ S) và mọi phần tử (s, t) với s, t ∈ S là khả nghịch

Cho M là một R-môđun và S là một tập nhân đóng với phép nhân của

R, tập thương S−1M = xs|x ∈ M, s ∈ S là một S−1R-môđun và được gọi làmôđun các thương của M trên S

Ví dụ 1.1.2 Cho R = Z và S := Z\ {0} là một tập nhân đóng của R Ta cóvành các thương của R ứng với S là

S−1R = S−1Z = nn

m| n ∈ Z, m 6= 0o = Q

Nhận xét 1.1.3

(1) Cho R là một miền nguyên Khi đó, S := R \ {0} là một tập nhân đóng của

R Do đó, ta có vành các thương của R ứng với S là

S−1R =na

s| a ∈ R, s ∈ R \ {0}o.Trong trường hợp này, ta có S−1R trở thành một trường gọi là trường cácthương của miền nguyên R ứng với S

(2) Cho p ∈ Spec(R), S = R\p là một tập nhân đóng của R Khi đó, vành cácthương của R ứng với S được kí hiệu là Rp và được gọi là địa phương hóacủa vành R ứng với iđêan nguyên tố p

Rp =na

s | a ∈ R, s /∈ po

Các iđêan của Rp có dạng

IRp =na

s | a ∈ I, s /∈ po,với I là một iđêan của R

(3) Cho M là R-môđun và S = R \ p thì môđun S−1M được kí hiệu là Mp gọi

là môđun địa phương hóa tại p

đó Z không phải là vành địa phương

(3) Vành đa thức n biến R = k[x1, , xn] không phải là vành địa phương

Nhận xét 1.1.6 Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) sao cho

Mp 6= 0 được gọi là giá của M , kí hiệu Supp(M ), tức là

Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0}

1.2 Dãy chính quy và độ sâu

Cho M là một R-môđun Khi đó, phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chínhquy nếu

∀m ∈ M : xm = 0 ⇒ m = 0

Ta kí hiệu tập các phần tử M -chính quy trong R là N ZDR(M )

Định nghĩa 1.2.1 [6, Definition 1.1.1] Cho M là một R-môđun và x = x1, , xn

là một dãy các phần tử trong R Khi đó, x được gọi là một M -dãy chính quy,hay gọi tắt là M -dãy nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

(i ) x1 là phần tử M -chính quy và xi là phần tử M/(x1, , xi−1)M -chính quyvới mọi i = 2, , n;

Ví dụ 1.2.3 Cho A = k[x, y, z], k là một trường Lúc đó, x, y(1 − x), z(1 − x)

là một A-dãy nhưng y(1 − x), z(1 − x), x không là A-dãy vì z(1 − x) không chínhquy trên A/(y(1 − x))

Nhận xét 1.2.4 [6]

(1) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (i ) của Định nghĩa 1.2.1 thì x được gọi

là M -dãy chính quy yếu Số phần tử của M -dãy x được gọi là độ dài củadãy

(2) Giả sử (R, m) là vành Noether địa phương và M 6= 0 là một R-môđun hữuhạn sinh Lúc đó, nếu x ⊆ m thì điều kiện (ii ) của định nghĩa trên luôn thỏamãn theo bổ đề Nakayama Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc

m đều khả nghịch nên để điều kiện (ii ) thỏa mãn thì mọi M -dãy chính quyđều phải nằm trong m

Mệnh đề 1.2.5 [6, Corollary 1.1.3] Cho R là vành Noether, M là R-môđun và

x là một M -dãy Giả sử một iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M ) chứa x Lúc đó, x(là một dãy trong Rp) là một Mp-dãy

Cho R là vành Noether và M là một R-môđun, I là iđêan của R Nếu x =

x1, , xn ⊆ I là một M -dãy trong I thì dãy (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, , xn)tăng ngặt Từ đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.6 [2, Định nghĩa 1.3.5]

(1) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R Một M -dãy x = x1, , xn(chứa trong I) được gọi là một M -dãy cực đại (trong I) nếu x1, , xn, xn+1không phải là một M -dãy với mọi xn+1 ∈ R

(2) Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêancủa R thỏa IM 6= M Khi đó, độ dài của M -dãy cực đại trong I được gọi là

độ sâu của môđun M ứng với iđêan I, kí hiệu là depth(I, M ) Nếu IM = Mthì ta quy ước depth(I, M ) = ∞

(3) Nếu (R, m) là vành Noether địa phương và M là một R-môđun thì mọi

M -dãy đều nằm trong m Vì vậy, bậc của m trong M được gọi là độ sâucủa môđun M , kí hiệu depth M Do đó, ta có

depth M = depth(m, M )

Mệnh đề 1.2.7 [6, Proposition 1.2.12] Cho (R, m) là vành Noether địa phương

và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có

depth M ≤ dim M

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M

Ta có thể tính depth(I, M ) thông qua các công thức được cho ở định lý sau

Định lý 1.2.8 [6, Theorem 1.2.10] Cho R là vành Noether, M là R-môđunhữu hạn sinh, I, J là các iđêan của R Khi đó, ta có

4 Nếu x = x1, , xn là một M -dãy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n

Đặc biệt, ta có depth(M/xM ) = depth M − n

1.3 Chiều Krull và vành Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.3.1 [18] Cho R là một vành Ta định nghĩa chiều Krull của vành

R là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu làdim R Tức là

dim R := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pd là dãy các iđêan nguyên tố của R

độ dài lớn nhất phải có dạng

pZ ⊃ (0) Vậy dim Z = 1

(3) Cho R = k [x1, x2, , xn] là vành các đa thức n biến trên trường k Ta có

R chứa annR(M ) Từ đó suy ra dim M ≤ dim R

(2) Cho M là một R−môđun có chiều d và N là R−môđun con của M Lúc đó,

vì annR(N ) ⊇ annR(M ) nên dim N = dim R/annR(N ) ≤ dim R/annR(M ) =

d Tương tự, ta cũng chứng minh được dim M/N ≤ d

Nhận xét 1.3.7 Từ các định nghĩa chiều của vành và độ cao của một iđêannguyên tố ta thu được các tính chất sau

(1) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht(p1) ≤ ht(p2) Hơn nữa, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

p1 = p2

(2) Nếu dim R là hữu hạn thì

dim R = supht(p) | p là iđêan nguyên tố của R

= supht(m) | m là iđêan cực đại của R (3) ht(p) = dim(Rp)

Định nghĩa 1.3.8 [2, Định nghĩa 1.2.6] Cho I là iđêan của vành giao hoán R.Khi đó, độ cao của iđêan I được định nghĩa như sau

Từ định lý trên và định nghĩa độ cao của iđêan ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.3.10 Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực

sự của R Khi đó, ht(I) ≤ n

1.3.2 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M 6= 0 là một R-môđun hữu hạnsinh Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.7, ta luôn có depth M 6 dim M Từ bất đẳngthức này, ta có khái niệm sau đây

Định nghĩa 1.3.11

(1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M 6= 0 là một R-môđun hữu hạnsinh Khi đó, M được gọi là Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M Cònnếu depth M > dim M − 1 thì M được gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay.(2) Cho R là vành Noether tùy ý và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh, thì M làmôđun Cohen-Macaulay khi Mm là môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêancực đại m ∈ Supp M.

(3) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđunCohen-Macaulay

Sau đây là một số tính chất quan trọng của vành và môđun Cohen-Macaulay

Ta nhắc lại khái niệm iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.3.12 Cho R là một vành và M là một R-môđun Iđêan nguyên

tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M (x 6= 0)sao cho annR(x) = p

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssRM

Định lý 1.3.13 [6, Theorem 2.1.2] Cho (R, m) là vành Noether địa phương và

M 6= 0 là R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó, ta có

(1) dim R/p = depth M với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M ;

(2) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với mọi iđêan I ⊆ m;

(3) x = x1, , xn là một M -dãy khi và chỉ khi dim M/xM = dim M − n

Định lý 1.3.14 [6, Theorem 2.1.3] Cho R là một vành Noether và M 6= 0 làmột R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó

(1) Giả sử x là một M -dãy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM làR-môđun Cohen-Macaulay Điều ngược lại đúng nếu R là vành địa phương

(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng Scủa R thì MS là môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, Mp là R-môđun Cohen-Macaulay với mỗi iđêan nguyên tố p của R Nếu Mp 6= 0 thì depth Mp =depth(p, M ), nếu R là vành địa phương thì dim M = dim Mp+ dim M/pM

Hệ quả 1.3.15 [6, Corollary 2.1.4] Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I 6= R

là một iđêan của R thì depth I = ht(I) và nếu R là địa phương thì ht(I) +dim(R/I) = dim R

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số

(1) Trên vành các số nguyên Z, các iđêan I = pαZ (với p là số nguyên tố, α > 1)

là những iđêan nguyên sơ và √

I = pZ

(2) Mỗi iđêan nguyên tố của vành R là iđêan nguyên sơ

Mệnh đề 1.4.3 [1, Mệnh đề 3.2] Cho I là một iđêan của vành R Khi đó

(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √

I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I;

(2) Nếu √

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Định nghĩa 1.4.4 [21, Proposition 4.9] Cho I là iđêan nguyên sơ và p là iđêannguyên tố của vành R thỏa p =√

I Khi đó, ta nói I là iđêan p-nguyên sơ Với(R, m) là vành địa phương, ta có I là iđêan m-nguyên sơ nếu √

I = m

Ví dụ 1.4.5 Mọi lũy thừa dương mn(n ∈ N) của iđêan cực đại m là iđêanm-nguyên sơ

Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ.

Kí hiệu µ(I) là số phần tử sinh tối tiểu của iđêan I Theo [3, Proposition 11.7,Proposition 11.10], ta có µ(I) ≥ d

Định nghĩa 1.4.6 [2, Định nghĩa 1.4.5]

(1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d Một iđêan m-nguyên sơđược gọi là iđêan tham số nếu µ(I) = d Một iđêan tham số sinh bởi cácphần tử x1, , xd thì {x1, , xd} được gọi là hệ tham số của R

(2) Cho M là R-môđun hữu hạn có chiều r, nếu tồn tại dãy các phần tử

x1, , xr thỏa λ(M/ (x1, , xr) M ) < ∞ thì hệ {x1, , xr} được gọi là hệtham số của M

(2) Một phần tử x ∈ R được gọi là thuần nhất nếu x ∈ Rn và lúc đó n gọi làbậc của x.

(3) Mỗi phần tử x ∈ R có thể được viết dưới dạng x = P

n∈Z

xn, trong đó xn ∈ Rn

và chỉ có hữu hạn các phần tử xn 6= 0, các xn là thành phần thuần nhấtbậc n của x

Sn là một vành phân bậc với các thành phần phân

bậc Sn Sự phân bậc trên đây còn được gọi là phân bậc chuẩn của vànhR[x1, , xd] Chú ý rằng S0 = R và

Hơn nữa, ta có thể xét R(I) như là một đại số trên R và đại số này đượcgọi là đại số Rees của R ứng với iđêan I.

(3) Cho (A, m) là vành Noether địa phương, một dãy giảm các iđêan J0 ⊃

J1 ⊃ thỏa JmJn ⊂ Jm+n được gọi là một lọc của vành A

Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ, với lọc

và y∗ = y + Im+1 ∈ ImIm+1 với x ∈ In\In+1, y ∈ Im\Im+1 là phần tử(xy)∗ = xy + In+m+1 ∈ In+mIn+m+1

Bất đẳng thức giữa chiều của vành phân bậc liên kết và chiều của vành

A như sau

dim G(I) = dim A

Định nghĩa 1.5.4 Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun Khi

đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {Mn}n∈Z các nhómcon (đối với phép cộng) của M sao cho

(1) Cho R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕∞

là một môđun con của M Lúc đó, các khẳng định sau là tương đương

(1) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất và được gọi là môđun con thuầnnhất (hoặc môđun con phân bậc);

(2) Với x ∈ M , nếu x ∈ N thì mọi thành phần thuần nhất của x đều thuộc N ;

Định nghĩa 1.5.7 Một vành phân bậc R có thể được xét như một môđunphân bậc trên chính nó Khi đó, một iđêan của R được gọi là iđêan thuần nhấtnếu nó là R-môđun con thuần nhất của R

Ví dụ 1.5.8 Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y] Khi đó, ta có iđêan I =(x2, x3+ x2y) là một iđêan thuần nhất vì nó được sinh ra bởi các phần tử thuầnnhất là x2 (bậc 2) và x3+ x2y (bậc 3)

1.6 Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.6.1

(1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M là một dãy tăng ngặt cácmôđun con của M có dạng

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích

(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M , tức là takhông thể bổ sung thêm một môđun con nào vào xích đó để được một xích

có độ dài lớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi/Mi−1với i = 1, , n

có sự nhầm lẫn về vành R)

Mệnh đề 1.6.3 [21, Proposition 7.36] Môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉkhi M vừa là Noether vừa là Artin

Tính chất quan trọng về độ dài của môđun được thể hiện qua mệnh đề sau

Mệnh đề 1.6.4 [21, Theorem 7.41] Cho dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun

0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L và N có độ dài hữu hạn Hơnnữa, trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có

λ(M ) = λ(N ) + λ(L)