Chặn cho hệ số hilbert và tính hữu hạn của hàm hilbert

Do các tính chất của hệ số Hilbert phản ánh cấu trúc của môđun M đang xétnên nó đã trở thành một chủ đề thú vị, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm.Đặc biệt, Srinivas và Trivedi đã đưa r

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ LỆ HUYỀN

CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HÀM HILBERT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu vàkết quả nghiên cứu ghi trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công

bố trong bất kì một công trình nào khác Các kết quả sử dụng trong luận vănđược các đồng tác giả cho phép sử dụng và được trích dẫn rõ ràng

Lê Thị Lệ Huyền

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa họccủa PGS TS Cao Huy Linh Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành cảm ơn đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô trong Khoa Toán trường ĐHSPHuế, Đại học Huế và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôitrong suốt quá trình học tập, đồng thời đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu

và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạoSau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự động viên và giúp đỡ của bạn bè, các anh chịđang học tập và nghiên cứu trong Cao học Toán khóa XXIV trường ĐHSP Huếchuyên ngành Đại số và Lý thuyết số

Huế, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Lê Thị Lệ Huyền

MỤC LỤC

1.1 Vành các thương và địa phương hóa 5

1.2 Dãy chính quy và độ sâu 7

1.3 Chiều của vành và môđun 10

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 12

1.5 Vành và môđun phân bậc 14

1.6 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 16

1.7 Đối đồng điều địa phương 18

1.8 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 22

2 Chặn cho hệ số Hilbert và tính hữu hạn của hàm Hilbert 27 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 27

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành phân bậc liên kết 29

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt 32

2.4 Bậc mở rộng 34

2.5 Chặn cho hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng 382.6 Chứng minh tính hữu hạn của hàm Hilbert khi cho trước chiều

và bậc mở rộng 43

LỜI NÓI ĐẦU

Cho (A,m) là vành Noether địa phương,I là iđêan m-nguyên sơ của Avà

M làA-môđun hữu hạn sinh có chiềud Khi đó hàmHM(n) := `(M/In+1M ), n ∈Nđược gọi là hàm Hilbert-Samuel củaM ứng với iđêan I Samuel đã chứng tỏ rằngkhi n đủ lớn tồn tại một đa thức PM(x) ∈Q[x] có bậc d sao cho HM(i) = PM(i)với mọi i ≥ n Đa thức PM(n) được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứngvới I và ta có thể biểu diễn nó dưới dạng

e0(I, M )gọi là số bội của M ứng với I và e(M ) := e(m, M )

Mục đích chính của luận văn là tổng quan lại các kết quả liên quan đến chặncho hệ số Hilbert theo một số bất biến quen thuộc Từ đó, chứng minh tính hữuhạn của hàm Hilbert khi cho trước các bất biến

Do các tính chất của hệ số Hilbert phản ánh cấu trúc của môđun M đang xétnên nó đã trở thành một chủ đề thú vị, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm.Đặc biệt, Srinivas và Trivedi đã đưa ra chặn cho hệ số Hilbert về số chiều, số bội

và độ dài của đối đồng điều địa phương cho vành Cohen-Macaulay và môđunCohen-Macaulay suy rộng Năm 2003, Rossi, Trung và Valla [10] đã đưa ra chặncho hệ số Hilbert của A ứng với m cho bậc mở rộng D(A) Năm 2007, Linh [7]

đã thiết lập các chặn cho hệ số Hilbert của iđêan nguyên sơ theo bậc mở rộngD(I, M ) Kết quả này là sự mở rộng kết quả của Rossi-Trung-Valla Năm 2013,Goto-Ozeki đã đưa ra một chặn phổ dụng cho hệ số Hilbert của iđêan tham sốtrong vành Cohen-Macaulay suy rộng

Kết quả chính của luận văn mà chúng tôi đã đạt được là tổng quan một sốkết quả liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(I, M ) của Mứng với I

Định lý: Cho (A,m) là vành Noether địa phương và I là iđêan m-nguyên sơ.Cho M là mộtA-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ 1và D(I, M ) là một bậc

mở rộng tùy ý của M ứng với I Khi đó,

(i) |e1(I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1];

(ii) |ei(I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2D(I, M )3i!−i+1− 1 nếu i ≥ 2

Từ kết quả này chúng tôi đã thu được chỉ có hữu hạn số các hàm Samuel khi cho trước chiều và bậc mở rộng Đây cũng là kết quả của Linh ởtrong bài báo [7] mà chúng tôi trình bày lại Mặc dù kết quả không mới nhưng

Hilbert-để đạt được kết quả này chúng tôi phải chứng minh một cách chi tiết và rõ rànghơn

Nội chung của luận văn được chia làm hai chương

Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số giao hoánnhằm mục đích tham khảo cho chương hai

Chương 2: Chương hai là chương chính của luận văn Chúng tôi sẽ trình bàycác định nghĩa, một số tính chất liên quan đến hệ số Hilbert và bậc mở rộng.Tổng quan một số kết quả liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mởrộng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản liên quanđến nội dung chính của luận văn Các kiến thức này được trình bày với mụcđích làm tham khảo, hỗ trợ cho nội dung của chương hai Một số kết quả củachương này chúng tôi chỉ trình bày nội dung còn phần chứng minh có thể thamkhảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4], [6]

Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là một vành giao hoán, cóđơn vị 1 6= 0

Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp con S của một vành R được gọi là tập nhânđóng nếu 1 ∈ S và xy ∈ S, ∀x, y ∈ S

Bây giờ ta sẽ xây dựng một vành giao hoán mới S−1R gọi là vành các thươngnhư sau:

Trên tích DescartesS ×Rta xét một quan hệ∼xác định bởi: vớis, t ∈ S, a, b ∈ R,(s, a) ∼ (t, b) ⇐⇒ ∃u ∈ S sao cho u(at − sb) = 0

Rõ ràng quan hệ∼này là một quan hệ tương đương Ta kí hiệua/s là lớp tươngđương của phần tử (a, s) và S−1R là tập hợp tất cả các lớp tương đương này.Trên tập thương S−1R ta định nghĩa hai phép toán như sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R

(a/s) + (b/t) = (at + bs)/st, (a/s)(b/t) = ab/st.

Định lý 1.1.2 [1, Mệnh đề 4.2] Tập S−1R cùng với hai phép toán trên trởthành một vành giao hoán có phần tử đơn vị 1S−1 R = 1/1 = s/svới mọis ∈ S vàphần tử 0S−1 R là 0/svới mọis ∈ S. Vành S−1R được gọi là vành các thương của

Chứng minh Giả sử S−1I = S−1R Khi đó, S−1I chứa phần tử đơn vị 1/1 của

S−1R, tức là tồn tại những phần tử a ∈ I và s ∈ S sao cho 1/1 = a/s Suy ra tồntại t ∈ S để t(a − s) = 0 Điều này chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào I ∩ S Hay

I ∩ S 6=∅.

Ngược lại, giả sử tồn tại s ∈ I ∩ S Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S−1I, suy ra S−1I =

S−1R

Định nghĩa 1.1.4 Cho I là một iđêan thực sự của vành R

(i) Iđêan I gọi là iđêan nguyên tố nếu

∀a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I hoặc b ∈ I

(ii) Iđêan I gọi là iđêan cực đại nếu

I J, với J là một iđêan của R ⇒ J = R

Định nghĩa 1.1.5 Cho R là vành giao hoán Tập hợp

Spec(R) = {p∈ R | p là iđêan nguyên tố của R}được gọi là phổ nguyên tố của vành R

Định nghĩa 1.1.6 Cho I là một iđêan của vành R Tập hợp tất cả các iđêannguyên tố của vành R mà chứa I được gọi là tập đại số xác định bởi I Kí hiệu

là V (I) Như vậy,

V(I) = {p∈ Spec(R) |p⊇ I}.

Ví dụ 1.1.7 [1, Ví dụ 4.6] Ta xét một số tập nhân đóng quen thuộc nhưngrất quan trọng.

(i) Cho R là một miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng của vành

R Khi đó S−1R là một trường và được gọi là trường các thương của miềnnguyên R.

(ii) Xét S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của một vành R

Vì tích hai phần tử không là ước của không lại là một phần tử không làước của không nên S là một tập nhân đóng Khi đó, vành S−1R được gọi

là vành các thương toàn phần của R

(iii) Cho p là một iđêan nguyên tố của một vành R Dựa vào tính nguyên tốcủa p, ta thấy rằng tập hợp S = R \p là một tập nhân đóng của vành R.Trong trường hợp này, vành các thương của R trên S được kí hiệu là Rp vàđược gọi là vành địa phương hóa của R tại iđêan p

Định nghĩa 1.1.8 Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có đúng mộtiđêan cực đại m, ta thường kí hiệu là (R,m)

Mệnh đề 1.1.9 Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

0 −→ M −→ N −→ L −→ 0.

Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của R, ta có dãy khớp ngắn các môđun địaphương hóa

0 −→ Mp −→ Np−→ Lp −→ 0.

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là một R-môđun Một phần tử x của R được gọi làphần tử M-chính quy nếu

∀m ∈ M : xm = 0 ⇒ m = 0,hay nói cách khác x không là ước của không

Định nghĩa 1.2.2 [4, Định nghĩa 1.1.1] Cho M là một R-môđun Một dãy

x= x1, , xn các phần tử của R được gọi là một M-dãy chính quy (hay M-dãy)nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) xi là phần tử M/(x1, , xi−1)M-chính quy với mọi i = 1, , n;

(ii) M/xM 6= 0

Nhận xét 1.2.3 (1) Một R-dãy còn gọi là một dãy chính quy của R

(2) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (i) thì nó được gọi là M-dãy yếu

(3) Số phần tử của một M-dãy chính quy được gọi là độ dài của dãy

Ví dụ 1.2.4 (i) Xem Z là Z-môđun Với mọi x ∈ Z\{0} thì x là phần tửZ-chính quy

(ii) Cho R = k[x1, , xr] là vành đa thức r biến trên trường k Xem R là

R-môđun, lúc đó dãy x1, , xr là R-dãy chính quy

Mệnh đề 1.2.5 [4, Mệnh đề 1.1.4] Cho R là một vành, M là một R-môđun

và x là M-dãy yếu Khi đó dãy khớp các R-môđun

N2 −→ Nϕ2 1 −→ Nϕ1 0 −→ M −→ 0ϕ0cảm sinh một dãy khớp

N 2 /xN 2 −→ N 1 /xN 1 −→ N 0 /xN 0 −→ M/xM −→ 0.

Mệnh đề 1.2.6 [4, Mệnh đề 1.1.6] Cho R là một vành Noether địa phương,

M là một R-môđun hữu hạn và x = x1, , xn là một M-dãy Khi đó mỗi hoán

vị của x là một M-dãy

Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R Nếu x = x1, , xn ⊆ I làmộtM-dãy thì x được gọi là mộtM-dãy trongI Chúng ta có định nghĩaM-dãycực đại như sau:

Định nghĩa 1.2.7 Cho x = x 1 , , x n ⊆ I là một M-dãy trong I Khi đó, xđược gọi là một M-dãy cực đại trong I nếu x = x1, , xn, xn+1 không phải làmột M-dãy với mọi xn+1∈ I

Mệnh đề 1.2.8 [4, Mệnh đề 1.2.1] Cho R là một vành Noether và M là một

R-môđun hữu hạn Nếu một iđêan I ⊂ R gồm các ước của không trong M, thì

I ⊂p với mỗi p∈ Ass(M )

Mệnh đề 1.2.9 [4, Mệnh đề 1.2.3] Cho R là một vành và M, N là các Rmôđun Tập I = annR(N ) = {r ∈ R | rN = 0}

-(i) Nếu I chứa một phần tử M-chính quy thì HomR(N, M ) = 0

(ii) Ngược lại, nếu R là Noether và M, N là hữu hạn, HomR(N, M ) = 0 suy ra

-Trong trường hợp IM = M thì ta định nghĩa depth(I, M ) = ∞

Định nghĩa 1.2.12 Cho(R,m) là vành Noether địa phương vàM làR-môđunhữu hạn sinh Khi đó độ sâu của M ứng với iđêan cực đại m được gọi là độ sâucủa M, được kí hiệu là depth M

Ví dụ 1.2.13 (i) Cho vành số nguyên Z và I = pZ (với p là số nguyên tố) làiđêan của Z Khi đó, depth(I,Z) = 1

(ii) Xét R = k[x1, , xn] là vành đa thức n biến trên trường k, I = (x1, , xn)

là iđêan của R Dễ kiểm tra x = x 1 , , x n là một dãy chính quy trong I.Mặt khác, với mọi y ∈ I, ta có x1, , xn, y không là một dãy chính quy.Vậy x là một R-dãy cực đại trong I hay depth(I, R) = n

Định lý 1.2.14 [4, Định lý 1.2.8] Cho(R,m, k)là một vành Noether địa phương

và M là R-môđun hữu hạn khác không Khi đó,

depth M = min{i : ExtiR(k, M ) 6= 0}.

Mệnh đề 1.2.15 [4, Mệnh đề 1.2.9] Cho R là một vành Noether, I là mộtiđêan của R và 0 −→ U −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđunhữu hạn sinh Khi đó, ta có

depth(I, M ) ≥ min{depth(I, U ), depth(I, N )};

depth(I, U ) ≥ min{depth(I, M ), depth(I, N ) + 1};

depth(I, N ) ≥ min{depth(I, U ) − 1, depth(I, M )}.

Mệnh đề 1.2.16 [4, Mệnh đề 1.2.10] Cho R là vành Noether, M là một Rmôđun hữu hạn sinh và I, J là các iđêan của R. Khi đó,

-(i) depth(I, M ) = inf{depth Mp|p∈ V(I)};

(ii) depth(I, M ) = depth(Rad I, M );

(iii) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ), depth(J, M )};

(iv) Nếu x= x1, , xn là một M-dãy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là một vành

(i) Với mỗi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố của vành R

p0⊃p1 ⊃ ⊃prthì r được gọi là độ dài của dãy iđêan nguyên tố

(ii) Độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R đượcgọi là chiều của vành R, kí hiệu là dim R Tức là,

dim R := sup{r | ∃p0 ⊃p1 ⊃ ⊃pr dãy các iđêan nguyên tố của vành R}.Nếu sup không tồn tại thì ta định nghĩa dim R = ∞

(iii) Cho M là mộtR-môđun Chiều của môđun M là chiều của vành thươngRtrên linh hóa tử annR(M ) của R Kí hiệu là dimRM Như vậy,

(ii) Cho M là một R-môđun và N là một R-môđun con của M Khi đó, doannR(M ) ⊆ annR(N )nênR/annR(N ) ⊆ R/annR(M ) Do đó,dim N ≤ dim M.Chứng minh tương tự, ta có dim M/N ≤ dim M.

Ví dụ 1.3.3 (i) Xét vành các số nguyên Z Mỗi iđêan nguyên tố khác (0)của

Z có dạngpZ, vớiplà một số nguyên tố Mặt khác, không tồn tại một iđêannguyên tố nào chứa thực sự pZ Do đó, một dãy giảm các iđêan nguyên tố

có độ dài lớn nhất của Z có dạng pZ⊃ (0) Vì vậy, dimZ= 1.

(ii) Xét R = k[x 1 , , x n ] là vành các đa thức n biến trên trường k. Ta có mộtdãy giảm các iđêan nguyên tố của R

(x1, , xn) ⊃ (x1, , xn−1) ⊃ ⊃ (x1) ⊃ 0.

Vì vậy, dim R ≥ n Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng dim R = n.Định nghĩa 1.3.4 Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêannguyên tố của vành R Khi đó, ta định nghĩa độ cao của p, kí hiệu htp, đượcđịnh nghĩa như sau

htp:= sup{r | ∃p=p0⊃p1 ⊃ ⊃pr dãy các iđêan nguyên tố trong vành R}.Nhận xét 1.3.5 (i) Nếu p1 ⊆p2 thì htp1≤ htp2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉkhi p1 =p2

(ii) Nếu dim R là hữu hạn thì

dim R = sup{htp|p∈ Spec(R)}

= sup{htm|m là iđêan cực đại của R}.

Định nghĩa 1.3.6 (i) Cho I là iđêan của vành giao hoán R Khi đó, độ caocủa I được định nghĩa như sau

Bổ đề 1.3.7 [9, Tr.31] Nếu Min(I) là tập hữu hạn thì

ht I + dim R/I ≤ dim R.

Định lý 1.3.8 Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực sựcủa R. Khi đó, htp≤ n với mọi p∈ Min(I).

Hệ quả 1.3.9 Cho R là một vành Noether và I = (x 1 , , x n ) là iđêan thực sựcủa R. Khi đó, ht I ≤ n.

Định nghĩa 1.4.1 Cho I là một iđêan thực sự của vành R

(i) Iđêan I gọi là iđêan nguyên sơ nếu

∀a, b ∈ R, ab ∈ I và a / ∈ I ⇒ ∃m > 0 sao cho bm ∈ I

(ii) Tập hợp √I = {a ∈ R | ∃n : an ∈ I} là một iđêan của R và gọi là iđêan căncủa I

Mệnh đề 1.4.2 [1, Mệnh đề 3.2] Cho I là một iđêan của vành R Khi đó:

(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là một miền nguyên;

(ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường;

(iii) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √I là iđêan nguyên tố;

(iv) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđêan nguyên tố luôn làiđêan nguyên sơ

Ví dụ 1.4.3 Trong vành các số nguyên Z thì tập hợp

I = nZ= {nk | k ∈Z}, n ≥ 0 là một iđêan

(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n = 0 hoặc n là số nguyên tố

(ii) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi n = 0 hoặc n = pα với p là số nguyên tố

Định lý 1.4.6 Căn lũy linh Rad(R) của một vành giao hoán R là giao của tất

cả các iđêan nguyên tố của R

Định lý 1.4.7 [1, Định lý 3.8](Định lý tránh nguyên tố) Các mệnh đề sau làđúng cho một vành giao hoán R

(i) Cho p1, ,pn là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan của R Giả sử

a * pi với mọi i = 1, , n, khi đó a *Sn

i=1pi.(ii) Cho a1, ,an là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố của vành R Nếu

Tn

i=1ai ⊆ p thì khi đó tồn tại một chỉ số i sao cho ai ⊆ p Hơn nữa, khi

Tn

i=1ai =p thì tồn tại một chỉ số i sao cho ai=p

Ví dụ 1.4.8 (i) Cho vành R =Z, I = pZ (với plà số nguyên tố) là iđêan củavành Z Khi đó,

Spec(Z) = {0; pZ với p là số nguyên tố}

V(pZ) = {pZ}.

(ii) Cho số tự nhiênn 6= 0và n = pa1

1 pak

k là một phân tích ra thừa số nguyên

tố của n Lấy I = nZ là iđêan của vành Z Khi đó,

V(nZ) = {p1Z, , pkZ}.

Mệnh đề 1.4.9 [1, Tr.95]

(i) V(0) = Spec(R); V(R) =∅.

(ii) Cho I1, , In là các iđêan của vành R Khi đó,

V(I 1 ∩ ∩ I n ) = V(I 1 ) ∪ ∪ V(I n ).

Giả sử (Iλ)λ∈Λ là một họ tùy ý các iđêan của R Khi đó,

có √I =p là một iđêan nguyên tố và lúc này I được gọi là iđêan p-nguyên sơ.Đặc biệt, khi (R,m) là vành địa phương, I được gọi là iđêan m-nguyên sơ nếu

√

I =m

Định nghĩa 1.4.11 (1) Cho(R,m)là vành địa phương có chiềud Nếux 1 , , xd ∈

m sinh ra một iđêan m-nguyên sơ I thì hệ {x1, , xd} được gọi là hệ tham

số của R Khi đó, I = (x1, , xd) được gọi là iđêan tham số của vành R.(2) ChoM là mộtR-môđun hữu hạn sinh có chiềus Khi đó, hệ {y1, , ys} ⊆mđược gọi là hệ tham số của M nếu `(M/(y1, , ys)M ) < ∞

Định nghĩa 1.5.1 [4, Định nghĩa 1.5.1] Một vànhR được gọi là vành Z-phânbậc nếu tồn tại các nhóm cộng Abel Ri sao cho R = L

i∈Z Ri (như Z-môđun )

và RiRj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈Z.

Nhận xét 1.5.2 (i) Mỗi phần tử x ∈ R có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

x =P

n∈Z xn với xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các phần tử xn 6= 0 Mỗi hạng

tử xn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n củax, kí hiệu làdeg xn = n.Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho

x ∈ Rn NếuRn = 0, ∀n < 0 thì ta nóiR là N-phân bậc hay R là vành phânbậc

(ii) Từ định nghĩa của vành phân bậc R, ta suy ra 1R ∈ R0 và R0 là một vànhcon của R Hơn nữa, với mỗin ∈ Z ta có thể xétRn như là mộtR0- môđun.Định nghĩa 1.5.3 [4, Định nghĩa 1.5.1] Cho R là một vành phân bậc và M

là một R-môđun Khi đó, M được gọi là môđun phân bậc nếu tồn tại các nhómcộng Abel Mn sao cho M = Li∈ZMi (như Z-môđun ) và RiMj ⊂ Mi+j với mọi

i, j ∈Z.

Nhận xét 1.5.4 (i) Mỗi phần tử x ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

x =Pn∈Zx n với x n ∈ M n và chỉ có hữu hạn các phần tử x n 6= 0 Mỗi hạng

tử xn được gọi là thành phần thuần nhất bậc n củax, kí hiệu làdeg xn = n.Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho

(ii) Một vành phân bậc R có thể được xét như một môđun phân bậc trênchính nó Khi đó, một iđêan của R được gọi là iđêan thuần nhất nếu nó là

R-môđun con thuần nhất của R

Định lý 1.5.6 [4, Tr.28] Cho M là một R-môđun phân bậc và N là môđuncon phân bậc của M Khi đó :

(i) N =L

i∈Z N ∩ Mi là một R-môđun phân bậc;

(ii) Nếu x ∈ N thì các thành phần thuần nhất của x cũng thuộc N.

Ví dụ 1.5.7 Cho R = k[x, y] là vành đa thức hai biến trên trường k Khi đó,

I = (x2, xy, y2) và J = (x3, x2y4, y5) là các iđêan thuần nhất của R. Tuy nhiên,

K = (x2+ y) không là iđêan thuần nhất của R

Định nghĩa 1.5.8 Cho M, N là các R-môđun phân bậc Đồng cấu R-môđun

f : M −→ N được gọi là đồng cấu thuần nhất bậc k (hay phân bậc bậc k) nếu

f (M n ) ⊆ Nn+k với k ∈ Z Khi k = 0, ta có f (M n ) ⊆ N n, lúc này f được gọi làđồng cấu thuần nhất

Ví dụ 1.5.9 Cho R = k[x] là một vành phân bậc Khi đó, đồng cấu

M 6= 0 là một R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó,

(i) dim R/p= dim M = depth M với mọi p∈ Ass M;

(ii) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với mọi iđêan I ⊆ m;

(iii) x= x1, , xn là một M-dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M − n

Trong mục này ta luôn giả sử R =L

n∈Z Rn là vành phân bậc với R0 là vànhđịa phương Artin và R là hữu hạn sinh trênR0 Khi đó, với mỗi R-môđun phânbậc hữu hạn sinhM, ta có các thành phần phân bậcM n củaM là các R 0-môđun

có độ dài hữu hạn

Định nghĩa 1.6.1 [4, Định nghĩa 4.1.1] Cho M = n∈ZM n là một R-môđunphân bậc hữu hạn sinh Hàm số học

hM : Z −→ N

n 7−→ `(M n )được gọi là hàm Hilbert của M và HM(t) = P

n∈Z hM(n)tn gọi là chuỗi Hilbertcủa M

Định lý 1.6.2 [4, Định lý 4.1.3](Hilbert) Cho M là một R-môđun phân bậchữu hạn sinh có chiều d > 0 Khi đó hM(n) là đa thức có bậc d − 1

Hilbert đã chứng minh được rằng nếu M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều

d ≥ 1 thì tồn tại duy nhất một đa thức pM(x) ∈ Q[x] có bậc d − 1 sao cho

hM(n) = pM(n) với mọi n đủ lớn Từ đây ta có định nghĩa

Định nghĩa 1.6.3 [4, Định nghĩa 4.1.5] ChoM là mộtR-môđun phân bậc hữuhạn sinh với dim M = d Khi đó đa thức pM(x) ∈Q[x] thỏa mãn hM(n) = pM(n)với mọi n đủ lớn được gọi là đa thức Hilbert của M Ta có thể biểu diễn pM(x)dưới dạng

trong đó e i (M ), i = 0, , d − 1 là các hệ số nguyên Khi đó, các hệ số e i = e i (M )được gọi là hệ số Hilbert của M

Định nghĩa 1.6.4 Số nguyên lớn nhấtn0sao chohM(n) 6= pM(n)với mọin ≥ n0được gọi là chỉ số Hilbert của M và được kí hiệu là ρ(M )

Định nghĩa 1.6.5 [4, Định nghĩa 4.1.5] Cho M là một R-môđun phân bậchữu hạn sinh có chiều d Khi đó số bội của M được xác định bởi

1.7 Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.7.1 [4, Tr.128] Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của

Cho f : M −→ N là một đồng cấu R-môđun, ta có f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ) Do đó

Khi đó, hàm tử ΓI là một hàm tử từ Mod(R) vào chính nó và được gọi là hàm

tử I-xoắn hay gọi là hàm tử xoắn

Mệnh đề 1.7.4 ΓI là một hàm tử hiệp biến từ Mod(R) vào Mod(R)

Chứng minh Với mọi f : M −→ N và g : N −→ Llà các đồng cấu R-môđun Khi

đó ta có

ΓI(gf ) : ΓI(M ) −→ ΓI(L)

Với mọi x ∈ ΓI(M ), ta có ΓI(IdM)(x) = IdM(x) = x = IdΓI(M )(x).

Suy ra ΓI(1M) = 1ΓI(M ). Vậy ΓI là một hàm tử hiệp biến

Mệnh đề 1.7.5 [3, Tr.1] Hàm tử ΓI trên phạm trù R-môđun là hàm tử cộngtính; tức là, với mọi f, g là đồng cấu R-môđun và r ∈ R, ta có

0 −→ ΓI(L)Γ−→ ΓI(f ) I(M )Γ−→ ΓI(g) I(N )Vớix ∈ Ker(ΓI(f )) ⇒ ΓI(f )(x) = 0 ⇒ f (x) = 0 Dof đơn cấu nên suy rax = 0 Do

đó ΓI(f ) là đơn cấu Do ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến nênΓI(gf ) = ΓI(g)ΓI(f )

Vì gf = 0 nên ΓI(g)ΓI(f ) = 0. Suy ra Im(ΓI(f )) ⊂ Ker(ΓI(g))

Ngược lại, với y ∈ Ker(ΓI(g)) ⇒ g(y) = 0

Định nghĩa 1.7.7 [3, Tr.3] Cho R là vành giao hoán có đơn vị,I là iđêan của

R và M là một R-môđun Xét một giải thức nội xạ của M

HIi(M ) và được xác định như sau

HIi(M ) := Ker(ΓI(di))/ Im(ΓI(di−1))với mọii ≥ 0.

(ii) Nếu d = dim(M ) > 0 thì HId(M )luôn vô hạn sinh

(iii) Với r = depth(M ) là độ sâu của M thì HIi(M ) = 0, ∀i < r, i > d = dim(M ).(iv) NếuR là vành phân bậc, M làR-môđun phân bậc hữu hạn sinh thìHIi(M )

là R-môđun phân bậc, trong đó I là iđêan thuần nhất của R

Ví dụ 1.7.10 [3, Ví dụ 12.4.1] Cho R = k[x] là vành đa thức một biến trêntrường k và I = (x) Khi đó, ta có

Tổng quát lên, nếu R = k[x1, , xn] là vành đa thức n biến trên trường k và

Ta chứng minh φ là toàn cấu Với mọi a ∈ (0 :M In) Ta xét tương ứng

f : R/In −→ M

x + In 7−→ ax.

Ta có f ∈ HomR(R/In, M ) Lúc đó, φ(f ) = f (1 + In) = a1 = a Suy ra φ là mộttoàn cấu Vậy φ là một đẳng cấu Hay (0 :M In) ∼ = Hom R (R/In, M )

Định lý 1.7.12 [4, Chú ý 3.5.3] Với mỗi R-môđun M và với mọi i ≥ 0 ta có

HIi(M ) ∼ = lim −→ExtiR (R/In, M ).

Mệnh đề 1.7.13 [4, Mệnh đề 3.5.4] Cho (R,m, k) là một vành Noether địaphương và M là một R-môđun hữu hạn Khi đó,

(i) Các môđun Hmi(M ) là Artin;

(ii) Hmi(M ) = 0 với i < depth M.

Định lý 1.7.14 [4, Định lý 3.5.7](Grothendieck) Cho (R,m, k) là một vànhNoether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn có độ sâu t và chiều d Khiđó

(i) Hmi(M ) = 0 với i < t và i > d;

(ii) Hmt(M ) 6= 0 và Hmd(M ) 6= 0

Định nghĩa 1.7.15 (i) Cho (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 làmộtR-môđun hữu hạn sinh vớidim M = d MôđunM được gọi là R-môđunCohen-Macaulay suy rộng nếu `((Hmi(M )) < ∞ với i = 0, , d − 1

(ii) Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu R là R-môđunCohen-Macaulay suy rộng trên chính nó

Trong phần này, nếu không nói gì khác ta luôn xét R = L

n≥0 Rn là vànhphân bậc chuẩn trên một vành địa phương Artin R0 Kí hiệu R+ =L

n≥0 Rn làiđêan thuần nhất cực đại của R Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta

kí hiệu HRi

+ (M )là đối đồng điều địa phương của M với giá R+

Định nghĩa 1.8.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số

reg(M ) := max{a i (M ) + i | i ≥ 0},trong đó