Tính không dương của hệ số hilbert của idêan tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔN NỮ THÙY DUYÊN ĐỀ TÀI TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ THÙY DUYÊN

ĐỀ TÀI

TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS CAO HUY LINH

Thành phố Huế - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứughi trong Luận văn là trung thực

Tôn Nữ Thùy Duyên

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh,người thầy đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình họctập tại lớp cao học cũng như quá trình hoàn thành Luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm

- Đại học Huế đã truyền đạt cho tôi những kiến thức bổ ích, làm nền tảng để tôihoàn thành Luận văn của mình

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn, các anh, các chị cao học viên KhóaK25 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu cùng quý thầy, cô giáo trườngTHCS Nguyễn Bỉnh Khiêm đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể tham gia vàhoàn thành khóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôivượt qua những khó khăn trong quá trình học tập, đặc biệt là trong quá trìnhhoàn thành Luận văn

Tôn Nữ Thùy Duyên

Mục lục

1.1 Vành các thương và địa phương hóa 4

1.2 Chiều của vành và môđun 6

1.3 Dãy chính quy và độ sâu 8

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 10

1.5 Vành và môđun phân bậc 11

1.5.1 Vành và môđun Cohen-macaulay 13

1.5.2 Độ dài của môđun 14

1.6 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 15

1.7 Đối đồng điều địa phương 17

1.8 Số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ 19

2 TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT 20 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 20

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành phân bậc liên kết 21

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt 24

2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số 24

đa thức PI có hệ số hữu tỉ thỏa PI(n) = HI(n) với n đủ lớn Đa thức này đượcgọi là đa thức Hilbert-Samuel ứng với iđêan I và được viết dưới dạng

trong đó ei(I) là các số nguyên và được gọi là hệ số Hilbert của I Đặc biệt hệ

số e0(I) luôn dương được gọi là số bội và e1(I) được gọi là hệ số Chern

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu tính không dương của hệ sốHilbert của iđêan tham số trong vành hầu Cohen-Macaulay

Hệ số Hilbert là một trong những bất biến cơ bản của đại số giao hoán.Các hệ số Hilbert chứa nhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun tươngứng nên nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Năm 2008, Vasconcelos đã đưa ra một số giả thuyết về hệ số Chern trong

đó nổi bật là giả thuyết về tính âm của hệ số Chern: "Vành A là không Macaulay khi và chỉ khi e1(Q) < 0 với mọi iđêan tham số Q của A" Giả thuyếtnày thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và được giải quyết thành côngbởi nhóm nghiên cứu của Goto vào năm 2010 Trong quá trình giải quyết giảthuyết tính âm của hệ số Chern, Mandal-Sing-Verma [15] đã chứng minh được

Cohen-e 1 (Q)6 0 với mọi iđêan tham số Q vào năm 2010 Tuy nhiên các hệ số Hilbertkhác có thể dương

Năm 2013, McCune [16] chứng minh được rằng nếudepth(A)>d − 1 (với

d là chiều của vành A) thì e2(Q) 6 0 Bên cạnh đó, trong [16] với giả thiết độsâu của vành phân bậc liên kết depth GQ(A)>d − 1, McCune cũng chứng minhđược ei(Q)6 0 với mọi i = 1, , d Tuy nhiên, giả thiết depth GQ(A)>d − 1 màMcCune đưa ra khá mạnh Năm 2013, Linh-Trung [2] đã cải tiến kết quả trên

của McCune qua định lý sau:

Định lý 2.4.15: Cho (A,m) là vành địa phương Noether có dim(A) = d>2 vàdepth(A)>d − 1 Giả sử I là iđêan m-nguyên sơ và Q là iđêan tham số

Nếu depth (G (Q))>d − 2 thì ei(Q)60, ∀i = 1, , d

Để chứng minh định lý này, Linh-Trung sử dụng hàm sai phân của hàm

f = HQ− PQ (hàm sai phân của f là∆f = f (n + 1) − f (n)) Trong luận văn này,chúng tôi sẽ chứng minh lại kết quả trên bằng một phương pháp khác Chúngtôi dùng một kết quả của Hoa [10] là ai(G (In))6 0, ∀n  0 để kiểm soát hệ sốHilbert Ưu điểm của phương pháp này là suy ra được tính không dương của hệ

số e3(Q)

Hệ quả 2.4.17: Nếu d>3 và depth (A)>d − 1 thì ei(Q)60, ∀i = 1, 2, 3

Luận văn được chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán bao gồm các khái niệm và một số

bổ đề nhằm hỗ trợ cho các chứng minh ở chương sau Trong Chương 2, chúngtôi tập trung vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tính không dương của

hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số, cụ thể là kết quả của Linh-Trung Sau đóchúng tôi dùng phương pháp khác để chứng minh lại kết quả của Linh-Trung

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi sựthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy cô giáo cùng các bạn đểluận văn được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại sốgiao hoán như: vành các thương và địa phương hóa, chiều của vành và môđun,dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđunphân bậc, hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc, chỉ số Hilbert, đốiđồng điều địa phương, số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ, vành và môđunCohen-Macaulay Các kiến thức này được trình bày nhằm mục đích tham khảocho các nội dung của chương sau Hầu hết các kiến thức được trình bày trongchương này được trích dẫn từ các tài liệu [3], [5], [6], [10], [11], [13], [17], Trongsuốt chương này, R luôn là vành giao hoán có đơn vị

1.1 Vành các thương và địa phương hóa

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành giao hoán Một tập con S của R đượcgọi là tập nhân đóng nếu 1R ∈ S và ∀a, b ∈ S suy ra ab ∈ S Trên tập S × R = {(s, a) /s ∈ S, a ∈ R} ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:

(s, a) ∼ (t, b) ⇔ ∃u ∈ S : u (at − sb) = 0.

Quan hệ trên là một quan hệ tương đương Ta kí hiệu as là lớp tương đương củaphần tử (s, a) (tức là: as = bt ⇔ (s, a) ∼ (t, b))và S−1R là tập hợp tất cả các lớptương đương này Lúc đó:

S−1R =

na

s |a ∈ R, s ∈ So.Định nghĩa 1.1.2 Cho S là một tập nhân đóng của vành R Khi đó, S−1R làmột vành giao hoán với hai phép toán được xác định như sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R

(s, a) + (t, b) ∼ (st, at + bs)

(s, a) (t, b) ∼ (st, ab) Vành S−1R được gọi là vành các thương của R ứng với S, có đơn vị 1S−1 R = (s, s) (s ∈ S) và mọi phần tử (s, t) với s, t ∈ S là khả nghịch.

ChoM là mộtR-môđun vàS là một tập nhân đóng với phép nhân củaR, tậpthương S−1M = xs |x ∈ M, s ∈ S là một S−1R-môđun và được gọi là môđuncác thương của M trên S

Ví dụ 1.1.3 Cho R =Z và S := Z\ {0}là một tập nhân đóng của R. Do đó, ta

có vành các thương của R ứng với S là

(2) Cho p∈ Spec(R), tập S = R \p là một tập nhân đóng của R. Khi đó vànhcác thương của R ứng với S được kí hiệu là Rp được gọi là địa phương hóacủa vành R ứng với iđêan nguyên tố p:

Rp =na

s | a ∈ R, s / ∈pocác iđêan của Rp có dạng

IRp =na

s | a ∈ I, s / ∈po,với I là một iđêan của R

(3) Cho M là R-môđun và S = R \p thì môđun S−1M được kí hiệu là Mp gọi làmôđun địa phương hóa tại p

Mp=

nm

s | m ∈ M, s / ∈po.Định nghĩa 1.1.5 Một vành R được gọi là vành địa phương nếu chỉ có duynhất một iđêan cực đại m và kí hiệu là (R,m)

Ví dụ 1.1.6 (1) Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì Rp là một vành địaphương với iđêan cực đại duy nhất là

pRp =

na

s | a ∈p, s / ∈po.(2) Trong vành Z, các iđêan pZ (với p nguyên tố) đều là các iđêan cực đại Do

đó Z không phải là vành địa phương

Nhận xét 1.1.7 Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) sao cho

Mp6= 0, được gọi là giá của M, kí hiệu Supp(M ), tức là

Supp(M ) = {p∈ Spec(R) | Mp 6= 0}.

1.2 Chiều của vành và môđun

Định nghĩa 1.2.1 (1) Cho R là một vành, với mỗi dãy giảm (thực sự) cáciđêan nguyên tố của vành R

p0 ⊃p1 ⊃ ⊃pd

ta gọi d là độ dài của dãy Ta định nghĩa chiều của vành R là độ dài lớnnhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR Tức là,dimR := sup d | ∃ p0 ⊃p1⊃ ⊃ pd là dãy các iđêan nguyên tố của R (2) Cho M là một R-môđun, chiều của môđun M là

dimRM := dimR/annR(M )trong đó annR(M ) = {r ∈ R |rM = 0 } Ta cũng kí hiệu dimM thay chodimRM trong trường hợp không có sự nhầm lẫn về vành R

Ví dụ 1.2.2 (1) Cho R = k [x1, x2, , xn] là vành các đa thức n biến trêntrường k Ta có

(x1, x2, , xn) ⊃ (x1, x2, , xn−1) ⊃ ⊃ (x1) ⊃ (0)

là một dãy giảm cực đại các iđêan nguyên tố của R Do đó dimR 6 n Từ[13, Corrolary 5.6] ta suy ra dimR = n

(2) Trong vành các số nguyên Z, mỗi iđêan nguyên tố khác (0) của Z đều códạng pZ với p là một số nguyên tố và không tồn tại iđêan nguyên tố nàochứa thực sự pZ Từ đó suy ra một dãy giảm các iđêan nguyên tố của Z có

độ dài lớn nhất phải có dạng

pZ⊃ (0)Vậy dimZ= 1

Nhận xét 1.2.3 (1) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR(M ) códạng p/annR(M ), với p là iđêan nguyên tố của R chứa annR(M ) Do đó,chiều của vành R/annR(M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêannguyên tố của R chứa annR(M ) Từ đó suy ra dimM ≤ dimR

(2) Cho M là một R−môđun có chiều d và N là R−môđun con của M Lúc đó,

vì annR(N ) ⊇ annR(M ) nêndimN = dimR/annR(N ) ≤ dimR/annR(M ) = d.Tương tự ta cũng chứng minh được dimM/N ≤ d

Định nghĩa 1.2.4 Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêannguyên tố của R Khi đó, độ cao của p, kí hiệu ht(p), được định nghĩa như sau:ht(p) = supn ∃ p0 ⊂p1 ⊂ ⊂ pn =p là dãy các iđêan nguyên tố của R .

Nhận xét 1.2.5 Từ các định nghĩa chiều của vành và độ cao của một iđêannguyên tố ta thu được các tính chất sau:

(1) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht(p1) ≤ ht(p2) Hơn nữa, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

p1=p2

(2) Nếu dimR là hữu hạn thì

dimR = supht(p) |p là iđêan nguyên tố của R

= supht(m) |m là iđêan cực đại của R

Định nghĩa 1.2.6 Cho I là iđêan của vành giao hoán R Khi đó, độ cao củaiđêan I được định nghĩa như sau:

ht(I) = minht(p) p là iđêan nguyên tố của R chứa I .

Cho I là iđêan của vành R Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tốtối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại iđêan nguyên tố nào nằm giữa thực

sự I và p Ta kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của I là Min(I)

Định lý 1.2.7 [3, Corollary 11.17] (Krull’s generalized principal ideal theorem).Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực sự của R Lúc đó,với mọi iđêan tối tiểu p của I, ta có ht(p) ≤ n.

Hệ quả 1.2.8 Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực sựcủa R Khi đó, với mọi iđêan tối tiểu p của I ta luôn có ht(p) ≤ n

1.3 Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là một R-môđun Phần tử x ∈ R được gọi là phần

tử M-chính quy nếu với z ∈ M thỏa xz = 0 thì z = 0, nói cách khác x không làước của 0 trong M

Kí hiệu tập hợp các phần tử M-chính quy trong R là N ZDR(M ). Từ địnhnghĩa phần tử chính quy, ta có định nghĩa dãy chính quy như sau:

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là một R-môđun và x1, , xn là một dãy các phần

tử của R Lúc đó, x = (x 1 , , x n ) được gọi là M-dãy chính quy hay nói ngắngọn là M-dãy nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) x1 là phần tửM-chính quy và xilà phần tử M/(x1, , xi−1)M-chính quy vớimọi i = 2, , n,

(2) M/xM 6= 0

Một dãy chính quy của R là một R-dãy

Nhận xét 1.3.3 (1) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (2) của Định nghĩa1.3.2 thì x được gọi là M-dãy chính quy yếu Số phần tử của M-dãy x đượcgọi là độ dài của dãy

(2) Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R-môđun hữuhạn sinh Lúc đó, nếu x⊆m thì điều kiện (2) của Định nghĩa 1.3.2 luôn thỏamãn theo bổ đề Nakayama Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc

m đều khả nghịch nên để điều kiện (2) thỏa mãn thì mọi M-dãy chính quyđều phải nằm trong m

Mệnh đề 1.3.4 [6, Corollary 1.1.3] Cho R là vành Noether, M là R-môđun

và x là môt M-dãy Giả sử một iđêan nguyên tố p∈ Supp(M ) chứa x Lúc đó x(là một dãy trong Rp) là một Mp-dãy

Cho R là vành Noether và M là một R-môđun, I là iđêan của R Nếu x = (x1, , xn) ⊆ I là một M-dãy trong I thì dãy (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, , xn)tăng ngặt Từ đó ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.5 (1) ChoM là mộtR-môđun vàIlà iđêan củaR MộtM-dãy

x (chứa trongI) được gọi là mộtM-dãy cực đại (trongI) nếux1, , xn, xn+1không phải là một M-dãy với mọi xn+1∈ R

(2) Cho R là vành Noether,M là một R-môđun hữu hạn sinh vàI là một iđêancủa R thỏa IM 6= M Khi đó, độ dài của M-dãy cực đại trong I được gọi là

độ sâu của môđun M ứng với iđêan I, kí hiệu là depth(I, M ) Nếu IM = Mthì ta quy ước depth(I, M ) = ∞.

(3) Nếu (R,m) là vành địa phương Noether và M là một R-môđun thì mọi Mdãy đều nằm trong m Vì vậy, bậc của m trong M được gọi là độ sâu củamôđun M Kí hiệu depth M. Do đó, ta có

-depth M = -depth(m, M ).

Mệnh đề 1.3.6 [6, Proposition 1.2.12] Cho(R,m)là vành Noether địa phương,

M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có

depth M ≤ dimM.

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M.

Ta có thể tính depth(I, M ) thông qua các công thức được cho ở định lý sau:Định lý 1.3.7 [6, Theorem 1.2.10] Cho R là vành Noether, M là R-môđunhữu hạn sinh, I, J là các iđêan của R. Khi đó, ta có

(1) depth(I, M ) = depth( √

I, M );(2) depth(I, M ) = inf{depth M p |p ∈ V (I)}, với V (I) là tập các iđêan nguyên tốchứa I;

(3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )};

(4) Nếu x= (x1, , xn) là một M-dãy trong I, thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n.

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số

Định nghĩa 1.4.1 (1) Cho I là một iđêan thực sự của vành R, I được gọi làmột iđêan nguyên sơ của R nếu với mọia, b ∈ R thỏa ab ∈ I và a / ∈ I thì tồntại n > 0 sao cho bn ∈ I

(2) Tập √I = {a ∈ R | ∃n > 0 : an ∈ I} là một iđêan của R gọi là iđêan căn của

I

Đặc biệt √0 = {a ∈ R | ∃n > 0 : an = 0} gọi là căn lũy linh của vành R

Ví dụ 1.4.2 Trên vành các số nguyên Z, các iđêanI = pαZ (với plà số nguyên

tố, α >1) là những iđêan nguyên sơ và √I = pZ.

Mệnh đề 1.4.3 [1, Mệnh đề 3.2] Cho I là một iđêan của vành R Khi đó(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I

(2) Nếu √I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Định nghĩa 1.4.4 Cho I là iđêan nguyên sơ và p là iđêan nguyên tố của vành

Định nghĩa 1.4.5 (1) Cho(R,m)là vành Noether địa phương có chiều d Mộtiđêan m-nguyên sơ I được gọi là iđêan tham số nếu µ(I) = d Một iđêantham số sinh bởi các phần tử x1, , xd thì x1, , xd được gọi là hệ tham sốcủa R

(2) Cho M là R-môđun hữu hạn có chiều r, nếu tồn tại dãy các phần tử(x1, , xr) thỏa λ(M/ (x1, , xr) M ) < ∞ thì hệ {x1, , xn} được gọi là

hệ tham số của M

Ví dụ 1.4.6 Cho R = k[X1, , Xn] là vành đa thức n biến trên trường k Khi

đó, ta đã biết dimR = n, và do đó {X1, , Xn} hệ tham số của R

Định lý 1.4.7 [13, Theorem 14.1] Cho (R,m) là vành Noether địa phương

và x 1 , , xd là hệ tham số của vành R Lúc đó, dimR/ (x 1 , , x i ) = d − i với

16i6d

1.5 Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.1 (1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị, R được gọi là vànhphân bậc nếu nó cùng với họ (Rn)n∈Z các nhóm con của nhóm cộng R thỏahai điều kiện sau:

(a) R = L

n∈Z

Rn,(b) RnRm ⊆ Rn+m.

(2) Một phần tử x ∈ R được gọi là thuần nhất nếux ∈ Rn và lúc đó n gọi là bậccủa x

(3) Mỗi phần tử x ∈ R có thể được viết dưới dạng x = P

(3) 1R ∈ R0;

(4) Rn là R0-môđun;

(5) Các phần tử khả nghịch của vành phân bậc đều thuần nhất

Ví dụ 1.5.3 Cho A là vành Noether địa phương, một dãy giảm các iđêan

J0⊃ J1⊃ thỏa JmJn ⊂ Jm+n được gọi là một lọc của vành A

(1) Cho (A,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ, với lọc

đó, G (I) được gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I, x∗ được gọi làdạng khởi đầu của x trong G (I)

(2) Cho R là vành Noether địa phương, I là iđêan, ta có

R(I) =M

n∈N

Intn

là vành phân bậc và được gọi là đại số Rees của R ứng với iđêan I

Định nghĩa 1.5.4 Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun Khi

đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {Mn}n∈Z các nhómcon (đối với phép cộng) của M sao cho:

(1) M = L

n∈N

Mn (như là nhóm cộng Aben) và(2) Rn.Mm ⊆ Mn+m, ∀n, m ∈Z.

Từ định nghĩa của môđun phân bậc M ta suy ra Mn là các R0-môđun vớimọi n ∈Z.

Ví dụ 1.5.5 (1) ChoR là vành phân bậc với phân bậc tầm thườngR = ⊕∞

n=0

Rnvới R0 = R và Rn = 0 với mọi n > 0 Lúc đó, một R-môđun M là R-môđunphân bậc với phân bậc tầm thường M = ∞⊕

n=0

Mn với M0 = R và Mn = 0 vớimọi n > 0

(2) Cho (A,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ và M làmôđun hữu hạn sinh Ta có môđun phân bậc

Mệnh đề 1.5.6 [13] Cho M là R-môđun và N ⊂ M là môđun con của M Lúc

đó các khẳng định sau là tương đương:

(1) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất và được gọi là môđun con thuầnnhất (hoặc môđun con phân bậc);

(2) Với x ∈ M, nếu x ∈ N thì mọi thành phần thuần nhất của x đều thuộc N;

(3) N = ⊕

n∈N

N ∩ Mn

Ví dụ 1.5.7 Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y] Khi đó, ta có iđêan I = (x3, x4+ x2y2) là một iđêan thuần nhất bởi vì nó được sinh ra bởi các phần tửthuần nhất là x3 (bậc 3) và x4+ x2y2 (bậc 4).

Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M 6= 0 là một R-môđun hữu hạn sinh.Khi đó theo Mệnh đề 1.3.6 ta luôn có depth M 6 dimM Nếu depth M = dimMthì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay, còn nếu depth M >dimM − 1 thì Mđược gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay

Nhận xét 1.5.8 (1) Cho R là vành Noether tùy ý và M 6= 0 là R-môđunhữu hạn sinh, thì M là môđun Cohen-Macaulay khi Mm là môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêan cực đại m∈ Supp M.

(2) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là mộtR-môđunCohen-Macaulay

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của vành và môđunCohen-Macaulay

Định lý 1.5.9 [6, Theorem 2.1.2] Cho (R,m) là vành địa phương Noether và

M 6= 0 là R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó, ta có

(1) dimR/p= depth M với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M;

(2) depth(I, M ) = dimM − dimM/IM với mọi iđêan I ⊆m;

(3) x= x1, , xn là một M-dãy khi và chỉ khi dimM/xM = dimM − n

Định lý 1.5.10 [6, Theorem 2.1.3] Cho R là một vành Noether và M 6= 0 làmột R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó

(1) Giả sử x là một M-dãy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM là

R-môđun Cohen-Macaulay Điều ngược lại đúng nếu R là vành địa phương.(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng Scủa R thì MS là môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, M p là R-môđun Cohen-Macaulay với mỗi iđêan nguyên tố p của R Nếu Mp 6= 0 thì depth Mp = depth(p, M ), nếu R là vành địa phương thì dimM = dimMp+ dimM/pM.

Hệ quả 1.5.11 [6, Corollary 2.1.4] Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I 6= R

là một iđêan của R thì depth I = ht I và nếu R là địa phương thì ht I + dimR/I = dimR.

Vành hầu Cohen-Macaulay cũng có nhiều tính chất tốt như Cohen-Macaulaynhưng yếu hơn vành Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.5.12 (1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M làmột dãy tăng ngặt các môđun con của M có dạng

0 = M0 ⊂ M1⊂ ⊂ Mn = M.

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích

(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M, tức là takhông thể bổ sung thêm một môđun con nào vào chuỗi hợp thành để đượcmột xích có độ dài lớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi/Mi−1, i =

1, , n, là đơn

Ta có một tính chất về sự mở rộng của một xích bất kỳ thành một chuỗi hợpthành

Mệnh đề 1.5.13 [3, Proposition 6.7] Giả sử M là một R-môđun có một chuỗihợp thành với độ dài n Khi đó, mọi chuỗi hợp thành đều có cùng độ dài là n

và với mỗi xích của môđun M ta có thể bổ sung để nó trở thành một chuỗi hợpthành của M.

Nếu môđun M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì ta nói M có độ dàihữu hạn là n Ngược lại, nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M có độdài vô hạn Ta kí hiệu độ dài của môđun M là λR(M ) hay λ (M )(nếu không có

Mệnh đề 1.5.15 [17, Theorem 7.41] Cho dãy khớp ngắn các đồng cấuR-môđun

Hệ quả 1.5.16 Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M Khi

đó, M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu N và M/N có độ dài hữu hạn Hơnnữa, trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có

λ(M ) = λ(N ) + λ(M/N ).

Khi M là một môđun hữu hạn sinh trên trường k, tức là M là một k-khônggian vectơ hữu hạn chiều thì khái niệm độ dài và chiều của không gian vectơ làtrùng nhau

Nhận xét 1.5.17 [17, Theorem 7.42] Cho V là một k-không gian vectơ Khi

đó, V là một k-không gian vectơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi V là mộtk-môđun

có độ dài hữu hạn và trong trường hợp này ta có λ(V ) = dimk(V ).

Mệnh đề sau đây cho ta một công thức về độ dài thông qua dãy khớp, thườngđược dùng sau này

Mệnh đề 1.5.18 [17, Ex.7.43] Cho một dãy khớp các đồng cấu R-môđun

0 −→ Gn −→ Gdn n−1 d−→ · · · −→ Gn−1 i di

−→ Gi−1 −→ · · · −→ Gdi−1 1 d1

−→ G0−→ 0.Giả sử, Gi có độ dài hữu hạn với mọi i = 1, , n − 1 Khi đó, G0 và Gn có độdài hữu hạn và

Định lý 1.4.7 [13, Theorem 14.1] Cho (R,m) vành Noether địa phương

và x , , xd hệ tham số. .. xd x1, , xd gọi hệ tham s? ?của R

(2) Cho M R-mơđun hữu hạn có chiều... xr) M ) < ∞ hệ {x1, , xn} gọi

hệ tham số M

Ví dụ 1.4.6 Cho R