Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và hệ số hilbert

17 2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết.. 21 2.5 Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và chỉ số Hilbert.. 22 2.6 Chặn trên cho ch

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ BẢO LONG

MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCTHEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS CAO HUY LINH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trungthực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng đượccông bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Ngô Bảo Long

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêmtúc của thầy Cao Huy Linh, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người

đã chỉ dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạmHuế, Phòng Đào tạo Sau đại học - Đại học Huế, quý thầy cô giáo, nhữngngười đã giúp tôi có được kiến thức và tạo điều kiện để tôi có thể hoànthành việc học tập và nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡtôi trong suốt thời gian học tập vừa qua

Ngô Bảo Long

MỤC LỤC

1.1 Vành các phân thức 4

1.2 Độ sâu và chiều của vành và môđun 5

1.3 Iđêan nguyên sơ và iđêan tham số 8

1.4 Vành và môđun phân bậc 9

1.5 Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc 11

1.6 Đối đồng điều địa phương 13

1.7 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 16

Chương 2 Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và hệ số Hilbert 17 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 17

2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết 18

2.3 Phần tử lọc chính quy 20

2.4 Chỉ số Hilbert 21

2.5 Chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết và chỉ số Hilbert 22

2.6 Chặn trên cho chỉ số chính quy của vành phân bậc liên kết theo hệ số Hilbert 24

LỜI NÓI ĐẦUCho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d và q là iđêan tham số của

R Lúc đó, Gq(R) = L

n≥0

qn/qn+1 gọi là vành phân bậc liên kết của R ứng vớiiđêan q Kí hiệu λ(_) là độ dài của một R-môđun, hàm Hilbert-Samuel của Rứng với iđêan q là hàm Hq, R : Z −→ N được xác định bởi

trong đó e0(q, R), e1(q, R), , ed(q, R) là các số nguyên, gọi là các hệ số Hilbertcủa R ứng với q

Mục đích chính của luận văn là thiết lập một chặn trên cho chỉ số chính quycủa Gq(R) theo các hệ số Hilbert

Năm 2003, Rossi - Trung - Valla [13] đã thiết lập một chặn trên cho chỉ sốchính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng.Năm 2005, Linh [8] đã mở rộng kết quả này trên lớp các iđêan m-nguyên sơ.Năm 2006, Linh - Trung [9] đã thiết lập một chặn phổ dụng cho chỉ số chính quycủa vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành Cohen-Macaulaysuy rộng Năm 2007, Linh [10] đã đưa ra một chặn trên cho chỉ số chính quy củavành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo bậc lũy linh Năm 2014,Brodmann - Linh [4] đã thiết lập chặn cho chỉ số chính quy của vành phân bậcliên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo chỉ số quan hệ

Trong luận văn này, chúng tôi đã thiết lập được một chặn trên cho chỉ sốchính quy của vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số của vành hầuCohen-Macaulay theo hệ số Hilbert e1(q, R), cụ thể là định lý sau:

Định lý 2.6.7 Cho (R, m) là vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m

vô hạn, q = (x1, , xd) là iđêan tham số Lúc đó, ta có

reg(Gq(R)) ≤ max{−e1(q, R) − 1, 0} nếu d = 1,reg(Gq(R)) ≤ max{(−4e1(q, R))(d−1)!+ e1(q, R) − 1, 0} nếu d ≥ 2.Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được, phương pháp mà chúng tôi sửdụng là dùng hàm Hilbert để ước lượng chỉ số chính quy Phương pháp này lầnđầu tiên được đưa ra bởi Rossi - Trung - Valla [13]

Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi cósai sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý cần thiết của quý thầy cô

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, vành được xét luôn là vành giao hoán Kiến thức đượctrình bày trong chương này có thể được tìm thấy ở các tài liệu tham khảo [1],[3], [5], [11], [14], [16], [17], [19]

(s, a) ∼ (t, b) ⇔ Tồn tại u ∈ S sao cho u(at − sb) = 0

Lúc đó, quan hệ hai ngôi ∼ là một quan hệ tương đương Kí hiệu a

s là lớp tươngđương của phần tử (s, a) và S−1R là tập hợp tất cả các lớp tương đương này,chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.1.2 Tập hợp S−1R là một vành giao hoán với các phép toán đượcxác định như sau: với mọi a

s,

b

t ∈ S−1R thìa

s · b

t =ab

st·

Vành giao hoán S−1R được gọi là vành các phân thức của vành R ứng vớitập nhân đóng S.

Ví dụ 1.1.3

1 Cho R là miền nguyên và S = R \ {0} là một tập nhân đóng Khi đó S−1R

là một trường, gọi là trường các phân thức của miền nguyên R

2 Cho p là một iđêan nguyên tố của R thì tập hợp S = R \ p là một tậpnhân đóng Lúc này, vành các phân thức S−1R được kí hiệu là Rp và gọi

là vành địa phương hóa của R tại iđêan p, với iđêan cực đại duy nhất là

pRp = {a

s ∈ Rp | a ∈ p, s /∈ p}

Một dãy các iđêan nguyên tố phân biệt của R : p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn gọi làmột dãy nguyên tố có độ dài n Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.1 Chiều Krull (hay gọi đơn giản là chiều) của vành R là cậntrên đúng của độ dài tất cả các dãy nguyên tố của R, kí hiệu dimR Tức là,

dimR = sup{n | n là độ dài dãy nguyên tố của R}

Ví dụ 1.2.2 Xét miền nguyên Z, ta có 0 ⊂ pZ (p là một số nguyên tố) là dãynguyên tố có độ dài lớn nhất của Z nên dimZ = 1

Mệnh đề 1.2.3 [14, Hệ quả 5.6.5] Nếu R là vành Noether thì dimR[x1, , xn] =

n + dimR Đặc biệt, nếu k là trường thì dimk[x1, , xn] = n

Tiếp theo, cho vành R và M là R-môđun Lúc đó,

annRM = {r ∈ R | rx = 0, ∀ x ∈ M } = {r ∈ R | rM = 0}

là một iđêan của R (gọi là linh hóa tử của M ) Chiều của môđun M được địnhnghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.4 Chiều của R-môđun M là chiều của vành thương R/annRM ,

kí hiệu dimRM hoặc dimM Tức là,

dimRM = dim(R/annRM )

Nhận xét 1.2.5

1 Ta có dimM ≤ dimR

2 Nếu M là R-môđun trung thành thì annRM = 0 nên dimM = dimR

3 Với I là iđêan của vành R, xem R/I là R-môđun thì annR(R/I) = I nêndimR(R/I) = dim(R/I)

Tiếp theo chúng ta trình bày các khái niệm liên quan đến độ sâu của R-môđun

M

Phần tử r ∈ R gọi là ước của không trên M nếu tồn tại m ∈ M, m 6= 0 saocho rm = 0 Tập tất cả các phần tử của R là ước của không trên M kí hiệu làZDVR(M ) Tức là,

ZDVR(M ) = {r ∈ R | ∃ m ∈ M, m 6= 0 : rm = 0}

Phần tử r ∈ R gọi là phần tử chính quy trên M (hay M -chính quy) nếu nókhông là ước của không trên M Nói cách khác, r ∈ R là M -chính quy nếu vớimọi m ∈ M, m 6= 0 thì rm 6= 0 hay rm = 0 thì m = 0 Tập tất cả các phần tử

M -chính quy của R kí hiệu là N ZDR(M ) Tức là,

N ZDR(M ) = {r ∈ R | ∀ m ∈ M, m 6= 0 : rm 6= 0}

Một dãy có thứ tự r1, , rn ∈ R gọi là M -dãy chính quy yếu nếu r1 là M chính quy, r2 là M/(r1)M -chính quy, , rn là M/(r1, , rn−1)M -chính quy.Định nghĩa 1.2.6 Một dãy có thứ tự r1, , rn ∈ R gọi là M -dãy chính quy nếu

-nó là M -dãy chính quy yếu và M/(r1, , rn)M 6= 0 (hay (r1, , rn)M 6= M ).Lúc này, n gọi là độ dài của dãy

Nhận xét 1.2.7

1 Nếu r1, , rn là M -dãy chính quy thì rt1

1 , , rtn

n cũng là M -dãy chínhquy, với mọi số nguyên dương t1, , tn bất kì (xem [11, Định lý 16.1])

2 Cho I là iđêan của R và r1, , rn ∈ I là M -dãy chính quy Lúc đó,

r1, , rn gọi là M -dãy chính quy cực đại trong I nếu với mọi rn+1 ∈ I thì

r1, , rn, rn+1 không là M -dãy chính quy Nói cách khác, mọi phần tử của

I đều là ước của không trên M/(r1, , rn)M

3 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của Rsao cho IM 6= M Lúc đó, mọi M -dãy chính quy cực đại trong I đều cócùng độ dài (xem [5, Định lý 1.2.5])

4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh.Lúc đó, hoán vị của một M -dãy chính quy cũng là một M -dãy chính quy(xem [5, Mệnh đề 1.1.6])

Lưu ý rằng với M 6= 0 thì điều kiện mM 6= M được thỏa mãn theo bổ đềNakayama nên từ nhận xét trên chúng ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.8

1 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của Rsao cho IM 6= M Lúc đó, độ sâu của M ứng với iđêan I là độ dài của một

M -dãy chính quy cực đại bất kì trong I, kí hiệu depth(I, M )

2 Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh.Lúc đó, depth(m, M ) gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM

Nhận xét 1.2.9 Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M 6= 0 là R-môđunhữu hạn sinh

1 Ta luôn có depthM ≤ dimM (xem [5, Mệnh đề 1.2.12])

2 Nếu depthM = dimM thì M gọi là môđun Cohen-Macaulay

Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun Cohen-Macaulay.(Ngoài ra, nếu M = 0 thì chúng ta cũng gọi M là Cohen-Macaulay)

3 Nếu depthM ≥ dimM − 1 thì M gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay.Vành R gọi là vành hầu Cohen-Macaulay nếu R là R-môđun hầu Cohen-Macaulay.

4 Nếu R là vành Cohen-Macaulay thì R[x1, , xn] cũng là vành Macaulay (xem [11, Định lý 17.7])

Cohen-5 Cho r1, , rn ∈ m là M -dãy chính quy Lúc đó, M là môđun Macaulay nếu và chỉ nếu M/(r1, , rn)M là môđun Cohen-Macaulay (xem[11, Định lý 17.3])

Cho R là vành và I là iđêan của R Lúc đó,

√

I = {r ∈ R | ∃ n > 0 : rn ∈ I}

cũng là iđêan của R và gọi là căn của I Rõ ràng ta luôn có I ⊆ √

I

Định nghĩa 1.3.1 Cho I là iđêan thực sự của R Lúc đó, I gọi là iđêan nguyên

sơ nếu với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ I và giả sử a /∈ I thì tồn tại n > 0 sao cho

bn ∈ I (hay b ∈ √I)

Chúng ta có mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa tính cực đại, nguyên tố,nguyên sơ của một iđêan, cũng như mối quan hệ với căn của chúng

Mệnh đề 1.3.2

(i) Nếu I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan nguyên sơ

(ii) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √

I = p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I,lúc này I gọi là p-nguyên sơ

(iii) Nếu √

I = m là iđêan cực đại thì I là iđêan m-nguyên sơ

Mệnh đề 1.3.3 Cho (R, m) là vành địa phương và I là iđêan của R

(i) Nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì với mọi n > 0, In cũng là iđêan m-nguyênsơ.

(ii) Iđêan I là m-nguyên sơ nếu và chỉ nếu tồn tại n > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m.Bây giờ, chúng ta định nghĩa thế nào là một iđêan tham số Cho (R, m) làvành Noether địa phương có chiều d và I là iđêan m-nguyên sơ, gọi µ(I) là sốphần tử sinh tối tiểu của I Lúc đó, ta luôn có d ≤ µ(I) (xem [14, Mệnh đề5.4.1]) Hơn nữa, luôn tồn tại iđêan m-nguyên sơ I sao cho µ(I) = d (xem [11,Định lý 13.4]) Do đó, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.4 Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều d, mộtiđêan m-nguyên sơ I gọi là iđêan tham số của R nếu µ(I) = d và hệ sinh{x1, , xd} của I gọi là hệ tham số của R

Trong những phần tiếp theo, một iđêan tham số sẽ được kí hiệu là q

1 Mỗi Rn gọi là thành phần phân bậc thứ n của R

2 Vành R gọi là N-phân bậc (phân bậc không âm) nếu Rn = 0, với mọi n < 0.Lúc này chúng ta thường viết R = L

n≥0

Rn

3 Phần tử r ∈ R gọi là phần tử thuần nhất bậc n (degr = n) nếu tồn tại

n ∈ Z sao cho r ∈ Rn Phần tử 0 là phần tử thuần nhất với bậc tùy ý

4 Với r ∈ R thì có biểu diễn duy nhất r =

n∈Z

rn với rn ∈ Rn và chỉ có hữuhạn rn 6= 0 Mỗi rn 6= 0 gọi là thành phần thuần nhất bậc n (degrn = n)của r

5 Một iđêan của R gọi là iđêan thuần nhất nếu nó được sinh bởi các phần

Định nghĩa 1.4.3 Cho R là vành phân bậc và M là R-môđun Ta nói M làR-môđun phân bậc (hay R-phân bậc) nếu tồn tại họ các nhóm con đối với phépcộng {Mn}n∈Z của M sao cho:

4 Mn là R0-môđun, với mọi n ∈ Z

5 R là R-môđun phân bậc

6 Với k ∈ Z, đặt M (k)n = Mn+k thì M (k) = L

n∈Z

M (k)n cũng là R-môđunphân bậc, gọi là môđun dịch chuyển của M theo k đơn vị

7 Một môđun con N của M gọi là môđun con phân bậc (hay môđun conthuần nhất) nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất.

Cho M là R-môđun phân bậc và N là một môđun con của M Với mỗi

n ∈ Z, đặt Nn = N ∩ Mn Nếu họ các nhóm con {Nn}n∈Z làm cho N trở thànhmột R-môđun phân bậc thì N gọi là môđun con phân bậc của M Hơn nữa, vì

Rn.Nm ⊆ Nn+m nên N phân bậc nếu và chỉ nếu N = L

(iv) Với mỗi u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N

Mệnh đề 1.4.6 Cho R là vành phân bậc, M là R-môđun phân bậc

(i) Nếu N là môđun con phân bậc của M thì M/N cũng là R-môđun phânbậc, với (M/N )n = (Mn + N )/N (xem [16, Mệnh đề 2.2])

(ii) Nếu M là R-môđun Noether (Artin) thì Mn là R0-môđun Noether (Artin),với mọi n ∈ Z (xem [16, Bổ đề 4.1])

(iii) R là Noether nếu và chỉ nếu R0 là Noether và R hữu hạn sinh trên R0 (tức

Cho R là vành và M là R-môđun khác không Lúc đó, M gọi là môđun đơnnếu nó chỉ có hai môđun con là 0 và M

Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy tăng của hữu hạn môđuncon phân biệt của M có dạng 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M saocho mỗi môđun thương Mi+1/Mi là đơn (hay Mi cực đại trong Mi+1), với mọi

i = 1, , n − 1 Khi đó n gọi là độ dài của dãy hợp thành Một R-môđun M

có một dãy hợp thành gọi là môđun có dãy hợp thành

Hơn nữa, theo định lý Jordan-Holder, nếu M có một dãy hợp thành có độdài n thì tất cả các dãy hợp thành của M đều có cùng độ dài n Do đó, chúng

1 M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu M là Artin và Noether

2 Cho (R, m) là vành địa phương và I là iđêan của R Lúc đó, I là iđêanm-nguyên sơ nếu và chỉ nếu R-môđun R/I có độ dài hữu hạn (xem [19,Mệnh đề 1.4])

3 Từ Mệnh đề 1.3.3(i), nếu I là iđêan m-nguyên sơ thì R-môđun R/In có độdài hữu hạn, với mọi n > 0

Ngoài ra, chúng ta có tính chất quan trọng nói lên mối quan hệ giữa độ dàihữu hạn của môđun và dãy khớp như sau:

Mệnh đề 1.5.3 [14, Tính chất cộng tính của độ dài, chương 5, trang 3]Nếu 0 → M1 → M2 → · · · → Mn → 0 là dãy khớp các R-môđun có độ dài hữuhạn thì λ(M1) − λ(M2) + · · · + (−1)n−1λ(Mn) = 0

Định lý sau nói lên mối quan hệ giữa độ dài của một môđun và độ dài cácthành phần phân bậc của nó

Định lý 1.5.4 [16, Định lý 4.2] Cho R là vành phân bậc và M là R-môđunphân bậc Lúc đó,

Đa thức PM(x) gọi là đa thức Hilbert của M , các số nguyên e0(M ), , ed−1(M )gọi là các hệ số Hilbert của M

Số bội của M (kí hiệu e(M )) được định nghĩa là e0(M ) nếu d > 0 và λR(M )nếu d = 0

Cho I là iđêan của vành R và N là môđun con của R-môđun M Lúc đó, tập(N :M I) = {m ∈ M | mI ⊆ N } là một môđun con của M Từ đó chúng ta cóđịnh nghĩa sau:

Định nghĩa 1.6.1 Cho I là iđêan của vành R và M là R-môđun Lúc đó,

là môđun con của M

Ngoài ra, với f : M −→ N là đồng cấu R-môđun thì f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ).Thật vậy, xét m ∈ ΓI(M ), tồn tại n > 0 sao cho mIn = 0, suy ra f (m)In =

f (mIn) = f (0) = 0 nên f (m) ∈ ΓI(N ) Do đó, có thể định nghĩa đồng cấuR-môđun

gọi là giải thức nội xạ của M nếu Ei là nội xạ, với mọi i ∈ Z

Áp dụng hàm tử ΓI(_) vào giải thức nội xạ trên thu được phức

M với giá là iđêan I, kí hiệu HIi(M )

Nhận xét 1.6.4

Mệnh đề 1.6.5 Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun.

(i) HIi(M ) = 0, với mọi i > dimR (xem [17, Định lý 5.5])

(ii) HIi(M ) = 0, với mọi i > dimM (xem [17, Hệ quả 5.7])

Hơn nữa, cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R, M làR-môđun hữu hạn sinh có chiều d Lúc đó, depth(I, M ) = min{i | HIi(M ) 6= 0}(xem [17, Chú ý 5]) và dimM = sup{i | Hmi (M ) 6= 0} (xem [17, Định lý 7.6])

(ii) Hmi (M ) là Artin, với mọi i (xem [17, Mệnh đề 2.6])

(iii) Hmd(M ) không hữu hạn sinh (xem [17, Mệnh đề 9.9])

Rn là iđêan thuần nhấtcủa R thì HRi

+(M ) là các R-môđun phân bậc Hơn nữa, chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.7.1 [3, Định lý 16.1.5] Cho R = L

n≥0

Rn là vành phân bậc và M =L

n∈Z

Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh

(i) Với mọi i ≥ 0 và với mọi n ∈ Z thì HRi+(M )n là các R0-môđun hữu hạnsinh

(ii) Tồn tại r ∈ Z sao cho với mọi i ≥ 0 và với mọi n ≥ r ta có HRi+(M )n = 0

Từ định lý trên suy ra rằng khi n  0 thì HRi+(M )n = 0 Với mỗi i ≥ 0, đặt

ai(M ) = sup{n ∈ Z | HRi+(M )n 6= 0}

Từ đó chúng ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.7.2 Với k ≥ 0, giá trị regk(M ) = max{ai(M ) + i | i ≥ k} gọi làchỉ số chính quy bậc k của M Đặc biệt, giá trị reg0(M ) = max{ai(M )+i | i ≥ 0}gọi là chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M , kí hiệu là reg(M )