D14 bài toán thực tế, liên môn về max min muc do 4

Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ?... Chi p

Câu 48: [2D1-3.14-4] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Một sợi dây có chiều dài là 6 m,

được chia thành hai phần Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?

A 12

4 3  m B 18 3

4 3  m C 36 3

4 3  m D 18

9 4 3  m

Lời giải Chọn D

Gọi x  m là cạnh của tam giác đều, 0 x 2

Suy ra cạnh hình vuông là 6 3

4

x

  m Gọi S là tổng diện tích của hai hình thu được

  2 3 6 3 2

x

   

Ta có :   3 6 3 3

x

 

x

S x   x   

 

 

18

9 4 3

x

 

 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, Sđạt giá trị nhỏ nhất tại 18

9 4 3

x

  m

Câu 44: [2D1-3.14-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Người

ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh bên bằng 200 m, góc

15

ASB  bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong

đó điểm L cố định và LS40 m Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để

trang trí?

A 40 6740 mét B 20 111 40 mét C. 40 31 40 mét D 40 111 40 mét

A

S

E

F G

H I

J K

L

Lời giải Chọn C

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

A

A

B

C

S

D

E

F

B

C

D

A

I J K L

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng ALLS

Từ giả thiết về hình chóp đều S ABCD ta có ASL120

2 cos 200 40 2.200.40.cos120 49600

Nên AL 4960040 31

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét

Câu 5: [2D1-3.14-4] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Từ một

tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng MA2 MB2MC2, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB, R3, CPD và DQA Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ?

Q N

A

A 3 2dm

3

2

n

n

5 2 dm

Lời giải Chọn C

A

I

O

A

Gọi cạnh đáy của mô hình là x (cm) với x0 Ta có AI AO IO 25 2

2

x

Chiều cao của hình chóp

Thể tích của khối chóp bằng 1 2

1250 25 2 3

1250 25 2

Điều kiện 1250 25 2 x0 x 25 2

1250 25 2 3

y x  x với 0 x 25 2

Ta có

1 5000 125 2

3 2 1250 25 2

y



 

5000x 125 2x 0

Bảng biến thiên

Vậy để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng 20 2 cm2 2 dm

Câu 33: [2D1-3.14-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Để chặn đường

hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ) Biết a24 và b3, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

A 18 5 B 27 5 C 15 5 D 12 5

Lời giải

Chọn C

Đặt các điểm như hình vẽ

Đặt DF x, x0, ta có ADF đồng dạng với BED nên EB AF

ED DF EB ab

x

Gọi l là chiều dài của que sào, ta có 2 2  2 ab 2  

x

  2  2ab2 ab 2  1 a b23

f x   x a b Xét bảng sau:

Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là l 112515 5

Câu 48: [2D1-3.14-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Gia đình ông An

xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp dung tích là 2018 lít, đáy bể là hình chữ nhật

có chiều dài gấp ba lần chiều rộng được làm bằng bê tông có giá 250.000 đồng/m2, thân bể được xây bằng gạch có giá 200.000 đồng/m2 và nắp bể được làm bằng tôn có giá 100.000 đồng/ 2

m Hỏi chi phí thấp nhất gia đình ông An bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu ? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A 2.017.000 đồng B 2.017.331 đồng C 2.017.333 đồng D 2.017.334 đồng

Lời giải Chọn C

 

 

f x

1125

Đổi 2018(lít) 3

2, 018 m

Gọi chiều cao của hình hộp là h, chiều rộng là x, chiều dài là 3x

Theo giả thiết ta có V x x h.3 2, 018 2, 0182

3

h x

2, 018 2, 018

250 .3 200 2.3 2 100.3

3

15750 16144

15

x x



 

2 15750.3 .15 15 15750 16144

15

f x

x

225

x x



  0

f x

472500x 242160 0

472500

x

Vậy chi phí thấp nhất gia đình ông An bỏ ra để xây bể nước là

3

242160

242160 15

472500



 (nghìn)2017333 (đồng)

Câu 40: [2D1-3.14-4] (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình thang cân ABCD có đáy

nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1 Tìm diện tích lớn nhất Smax của hình thang

A max 8 2

9

9

2

4

Lời giải Chọn D

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A B, trên cạnh CD

Đặt ADC  DH sin , DH cos

ABCD

S  AH AB CD      f 

3

f        

x

Vậy max 3 3

4

S 

Câu 1325: [2D1-3.14-4] [THPT Nguyễn Tất Thành] [2017] Ngưởi ta muốn xây một cái bể chứa

nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bẳng 500 3

3 m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công xây bể là 500.000 đồng/ 2

m Chi phí thuê nhân công thấp nhất là:

A 150 triệu đồng B 60triệu đồng C 75 triệu đồng D 100 triệu đồng

Lời giải

Chọn C

Gọi x m  là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x m  và h m  là chiều cao bể Bể có thể tích bằng 3 2

2

3 m  x h 3  h 3x

2

3

2





Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 5 150

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.50000075000000đồng

Câu 1330: [2D1-3.14-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] [2017] Một công ty kinh doanh nghiên

cứu thị trường trước khi tung ra sản phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại

A và B thì mất lần lượt là 2000 USD và 4000 USD Nếu sản xuất được x sản phẩm loại A

và y sản phẩm loại B thì lợi nhuận mà công ty thu được là L x y , 8000x y13 12 USD Giả sử chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm A B, là 40000 USD Gọi x0, y0 lần lượt là số phẩm loại ,

A B để lợi nhuận lớn nhất Tính 2 2

0 0

x y

Lời giải

Chọn D

Gọi x y, lần lượt là số phẩm loại A B,

Theo đề bài ta có: x.2000y.400040000 x 2y20 x 20 2 y

2 3

8000 20 2

Xét hàm  1 1

2 3

20 2

y y y Tập xác định D0;10







  23 21 5

3



0 0

6

 



     



y

y D

Nhận xét: 20 2y 23y21 0





  nên dấu của y là dấu của biểu thức 5 10

3y

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất khi y  6 x 8

Vậy 2 2 2 2

x y    (Không có đáp án)

Câu 1346: [2D1-3.14-4] [THPT Quế Vân 2 - 2017] Một đường dây điện được nối từ một nhà máy

điện ở địa điểm A đến một hòn đảo ở địa điểm C Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là

 

1 km Khoảng cách từ Bđến A là 4 km  Hỏi điểm S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồiđến C là ít tốn kém nhất, biết rằng mỗi kmdây điện đặt từ A đến S mất

3000 USD, mỗi km dây điện đặt từ S đến C mất 5000 USD

A 14 

3 km

Lời giải Chọn C

BS  x SA x CS x  với 0 x 4 Tổng số tiền f x  để mắc dây là

f x   x x 

Khảo sát hàm số ta được f x  nhỏ nhất khi 4 8

x SA km

Câu 1347: [2D1-3.14-4] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03 - 2017] Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt

cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây) Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất

Lời giải Chọn C

Kí hiệu x là khoảng cách từ chân cột thấp tới chốt buộc; y z, là độ dài hai sợi dây như hình vẽ Khi đó khoảng cách từ chốt buộc tối chân cột thứ hai là 30x

Điều kiện 0 x 30; ,y z0 Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây Khi đó d  y z

Theo Pitago, ta có

30x 28  z

Ta có

30 '



d

2

640 8640 129600 0

22,5 0;30







x

Lập BBT ta có

0;30

mind d 9 50

Câu 1359: [2D1-3.14-4] [THPT – THD Nam Định - 2017] Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách

bờ biển một khoảng AB4 km Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng

  7

BC km Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km h/  rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10km h/  (hình vẽ bên) Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất

x

7km

A

Lời giải Chọn D

AM  AB BM =  2

16 7 x  thời gian đi quãng đường AM là

 2

16 7

6

x

 

(giờ) Quãng đường MCx  thời gian đi quãng đường MC là

10

x

(giờ)

Tổng thời gian đi từ A đến C là 1  2 1

16 7

y  x  x (với 0 x 7)

Đạo hàm

 2

x y

x



y    x  x x4

Giá trị  0 1 65

6

y  ,  7 41

30

y  ,  4 17

15

y 

Vậy GTNN là  4 17

15

y  , tức là khoảng cách x4  km

Câu 1362: [2D1-3.14-4] [BTN 176 - 2017] Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và

chiểu rộng8 cm Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D

EF x EC  x FC x  x  x

Ta có ADF FCE g g  EF CF

16 64

AF



  16 3  

0;8

16 64

x

x

2

48 16 64 16.16 '

16 64

f x

x



f x   x  x  x   x  x   x

BBT:

  min min 108 6 3

y f x  y  f  

Câu 1365: [2D1-3.14-4] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3 - 2017] Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ

5km, trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng 7km Người canh hải đăng

có thể chèo thuyền từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km h/ rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6km h/ Xác định độ dài đoạn BM để người đó đi từ A đến C nhanh nhất

A 3 2 km B 7

7

2km D 2 5 km

Lời giải Chọn D

Gọi BM x  km , 0 x 7 Khi đó: 2

25

AM  x và MC 7 x

Theo đề bài ta có:   2 25 7

  3 2 25 2 2

4 25

f x

x

 



2

0 0

x x



Khi đó:   29

0 12

f  ,   74

7 4

2 5

12

Vậy

 0;7     14 5

12





Câu 1366: [2D1-3.14-4] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2 - 2017] Một đường dây điện được nối

từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ Khoảng cách từ C đến B là 1

km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

Lời giải Chọn A

Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là : 2

y x x x đơn vị là triệu đồng

  2

4



x y

 

2



80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120 3

Câu 1377: [2D1-3.14-4] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa - 2017] Để chặn đường hành lang

hình chữ L người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ) Biết rằng a24 và b3, hỏi cái sào thỏa mãn điều trên có chiều dài l tối thiểu là bao nhiêu ?

Lời giải Chọn B

Đặt các điểm như hình vẽ

Đặt DF x, x0 Ta có ADF đồng dạng với BDE nên EB AF EB ab

ED  DF   x

x

  2  2ab2 ab 2  1 a b23

x

f x   x a b 

Bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của l là 112515 5

Câu 1396: [2D1-3.14-4] [BTN 170 - 2017] Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m và đặt ở độ cao

1, 4m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó ? Biết rằng góc BOC nhọn

A AO2, 4m B AO2, 6m C AO2m D AO3m

Lời giải

Chọn A

1,8

1,4

C

O A

B

Đặt độ dài cạnh AOx m  , x0

Suy ra BO 3, 24x CO2,  10, 24x2

Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có:

cos

BOC

2

5, 76

3, 24 10, 24

x





Vì góc BOC nên bài toán trở thành tìm x để  

2

5, 76

3, 24 10, 24

x

F x





  đạt giá trị nhỏ nhất

3, 24x t t, 3, 24 Suy ra  

63

25 63 25

t

t

F t

Ta đi tìm t để F(t) đạt giá trị nhỏ nhất

 

 

 

 

2 7

'

t

t t t

F t

t t

t t





    

2

 

F t   t

Bảng biến thiên

Thay vào đặt ta có:  2 2 144

25

Vậy để nhìn rõ nhất thì AO2, 4m

Câu 27: [2D1-3.14-4] Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ

Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là

118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy

nước mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó

có thể đi là:

A 569,5 m

B 671, 4 m

C 779,8 m

D 741, 2 m

Lời giải Chọn C

I

Bờ sông

B

A'

A

615

x O

y

Chọn hệ trục như hình vẽ Ta có: BI BHIH 487 118 369

492

AI  AB BI 

Gọi A là điểm đối xứng của ' A qua trục Ox Ta có A' 0; 118   và B492; 487 Chứng

minh được M giao điểm của ' A B và trục Ox là vị trí cần tìm

MA MB MAMB A B Ta có A B' 492;605

Câu 20 [2D1-3.14-4] [TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN] Nhà của ba bạn A, B , C nằm ở ba vị

trí tạo thành một tam giác vuông tại B (như hình vẽ), AB10 km , BC25 km  và ba bạn

tổ chức họp mặt ở nhà bạn C Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC

118m

615m

487m

Sông

A

B

Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30 km/h và từ   M hai bạn A, B di

chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với vận tốc 50 km/h  Hỏi 3BM MC bằng bao nhiêu

km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

A 35 km   B 40 km   C 45 km   D 50 km  

Lời giải Chọn B

Đặt BM x  km , 0 x 25 thì ta có:

 

100 km

AM  AB BM  x  , MCBCBM 25x km

Thời gian bạn A đi xe buýt từ nhà đến điểm hẹn M là: 2 100 

30

A

x

Thời gian hai bạn A, B đi xe máy từ điểm hẹn M đến nhà bạn C là: 25  

50

AB

x

Suy ra thời gian mà bạn A đi từ nhà đến nhà bạn C là   2 100 25  

A AB

t x  t t     h

Để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất thì hàm số t x đạt giá trị nhỏ nhất, với   x0; 25

x

x

 Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số t x   đạt giá trị nhỏ nhất bằng 15 23 

t   h

25

x km BM MC  x km Khi

đó 3BMMC40 km

Câu 409 [2D1-3.14-4] [NGÔ GIA TỰ - VP - 2017] Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một

nhà gA Quãng đường s mét  đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian giây, hàm

số đó là s6 –t2 t3 Thời điểm giây mà tại đó vận tốc v m s / của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t4s B. t2s C. t6s D. t 8s

Lời giải Chọn B

 Hàm số vận tốc là   2

3 12

vs t   t  t, có GTLN là vmax 12 tại t2

Câu 417 [2D1-3.14-4] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - 2017] Một đường dây điện được nối từ một

nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ Khoảng cách từ C đến B là 1 km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 106, 25triệu đồng B.120triệu đồng

C. 164,92triệu đồng D. 114,64triệu đồng

Lời giải Chọn D

Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là: 2

y x x x đơn vị là triệu đồng

  2

4



x y

 

2



80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120 3

Vậy ta chọn đáp án D

Câu 420 [2D1-3.14-4] [SỞ GD HÀ NỘI - 2017] Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các

thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng

đó là 100.000 đ/m2, chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2 Hãy tính số thùng sơn tối đa mà

công ty đó sản xuất đượC.(giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)

A. 57582 thùng B. 58135 thùng C. 18209 thùng D. 12525 thùng

Lời giải Chọn B

Gọi chiều cao hình trụ là h h 0 (m)

Bán kính đáy hình trụ là x x 0 (m)

Thể tích khối trụ là: 2

2

x





Diện tích mặt xung quanh là: 2 1

100

xp

x



Diện tích hai đáy là: 2

2

đ

S  x

Số tiền cần làm một thùng sơn là:   1000 2 