D12 max min của biểu thức nhiều biến muc do 4

Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P2y3x.. Bảng biến thiên... Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P... Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Khi đó, giá trị của Mm bằng.A

Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

2y 7y2x 1 x 3 1 x 3 2y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y

Lời giải Chọn B

2y 7y2x 1 x 3 1 x 3 2y 1

2 y 3y 3y 1 y 1 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1 x

Xét hàm số   3

2

f t  t t trên 0; 

Ta có:   2

f t  t  0 với  t 0  f t  luôn đồng biến trên 0;  Vậy  1   y 1 1x   y 1 1x

Xét hàm số g x   2 x 2 1x trên ;1

Ta có:   1

1 1

g x

x

  



1

x x

 



 g x   0 x 0 Bảng biến thiên g x :

Từ bảng biến thiên của hàm số g x  suy ra giá trị lớn nhất của P là:

   

;1

Câu 50 [2D1-3.12-4] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho x y, là hai số thực

y

      Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 6 3

P

x y

x xy y



A 5 7

30



Lời giải Chọn C

y

 xy 1 yy xy 1  xy 1 y 0

x

       

1 0

4

x

y

   Dấu bằng đạt được khi y2, 1

2

x

2 6 3

P

x y

x xy y



3

t

t t



x t y

 và 0;1

4

 

27 3

t

t

t t



1 0;

4

 

27 3

t

t

t t



 

2

1

0

t t

1 0;

4

t  

 

t

t



Khi đó  

2

2

1 16 5 32 5 16 5 27

f t

t

1 0;

4

 

8 7

t

t





f  

  

1 2

x , y2

Câu 1 [2D1-3.12-4] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

2

2

2 2018

1

x

 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P2y3x

A min 1

2

8

4

6

P 

Lời giải Chọn B

Cách 1: Ta có  

2

2

2 2018

1

x



2018 2

2

1

x y

x y

x





2 x 1 2 2x y log 2x y log x 1

f  x  f xy

  với f t  2t log2018t,  t 0 Xét hàm số f t  2t log2018t,  t 0, ta có   1

.ln 2018

f t

t

     t 0 nên hàm số f t 

đồng biến trên khoảng 0;  Khi đó  2  

f  x  f xy

1

y x

P y x x   x x  x

Bảng biến thiên

Vậy min 7

8

4

x

Cách 2: Ta có  

2

2

2 2018

1

x





2

2 2 1 2

2

2 2018

1

x



2

2 2 1

2

2 2

x x

x y

x y x

 







 

2

2 1

2

2 2

x

x y

x y x









1

u x , v2xy với u, v0 Phương trình trên có dạng:

2 2

2018 2018

u v

v u



.2018u 2018v

Xét hàm đặc trưng f t t.2018t có f t 2018tt.2018 ln 2018t 0 với  t 0, suy ra hàm số

 

f t đồng biến trên 0;  Do đó phương trình  1 có dạng f u  f v  u u

 2

1

y x

P y x x   x x  x có đồ thị là một

đường cong Parabol, đỉnh là điểm thấp nhất có tọa độ 3 7;

4 8

I 

  Do vậy, min

7 8

4

x

Câu 14: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho các số thực x, y thỏa mãn

x  y x  y Giá trị lớn nhất của biểu thức

3x y 1 2 x y 3

M     x y    x y bằng

A 9476

243

148

3

Lời giải Chọn D

Điều kiện x2;y 3

Vì 2 x2 y   3 x y 1 nên từ (*) suy ra  2  

Vì 2 x2 y 3 0 nên từ (*) suy ra

1 4

x y

x y

  



    



1 0

1 4

x y

x y

  



    



1 3

x y

x y

  



   

Do x2 nên 2

2

x  x, y2 1 2y, suy ra 2 2  

1 2

x y   xy Từ đó ta có

M     x y    x y     x y    xy 

Đặt t x y với t 1 hoặc 3 t 7

Xét hàm số   4   7

f t    t   t , ta có   2188

1 243

3t ln 3 2 t 1 2 tln 2 6

f t      t  

3t ln 3 1 ln 2 2 2 ln 2t 0

f t    t     ,  t  3;7

Suy ra f t đồng biến trên  3;7 , mà f t liên tục trên  3;7 và f   3 f 7 0 nên

phương trình f t 0 có nghiệm duy nhất t0 3;7

4 148

3

f(t o)

f(t)

0

t f'(t)

t o

+

Suy ra 4   7  2 2 148

3

M     x y    x y  Đẳng thức xảy ra khi x2, y1

Câu 46: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho a b,  ; a b, 0 thỏa mãn

2 a b ab a b ab 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

      

bằng

4



4



4

Lời giải Chọn C

Đặt t a b

b a

  t2 Ta có:

P

      

4 a b 3 .a b a b 9 a b 2 .a b

4t 9t 12t 18

Ta có

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có

Suy ra 2 a b 1 2 2 a b 2

        

5 2

a b

b a

2

a b t

b a

Xét hàm số f t 4t39t212t18 với 5

2

t

Ta có   2

f t  t  t ; f t 0

5 2 2

1 5

2 2

t t

  



 

   



Ta có   5

0,

2

f t   t , nên hàm số f t  đồng biến trên 5;

2



Bởi vậy:

  

4 2 1;

min

f t f



 

Hay min 23

4

P 

khi a2;b1 hoặc a1;b2

Câu 47: [2D1-3.12-4] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x,y là hai số thực

thỏa mãn điều kiện 2 2

x y xy  y x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P x y  x  xy y  x

5

Lời giải Chọn A

2 2

x y xy  y x 2   2

3x 4x 0

3

x

  

2 2

x y xy  y x 2 2

3 x y x y xy 20x 2xy 5y 39x

29x 7y 5xy 27x 12y

2

 

2 4

3

y

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 khi 4

3

x y

Câu 46: [2D1-3.12-4] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Cho hai số thực dương

x,y thỏa mãn 2x2y 4 Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

P x y y  x xy là:

Lời giải Chọn A

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 42x2y2 2 2x y  2x y    2 x y 2

Lại có:

2 1 2

x y

xy   

  

Khi đó:

P x y y  x xy x y  x y  xy

= 2 xy  xy 3xy4 xy 10xy

4 4 3xy 4 xy 10xy 16 2 xy 2xy xy 1 18

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 18 khi x y 1

Câu 48: [2D1-3.12-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai

số thực x y, thỏa mãn: 3  

9x  2 y 3xy5 x 3xy 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3  2   

6xy 3 3x 1 x y 2

A 296 15 18

9



9



C 36 4 6

9



9

Lời giải Chọn B

Ta có 3  

9x  2 y 3xy5 x 3xy 5 0

3

27x 6x 3xy 5 3xy 5 2 3xy 5

Xét hàm   3

2

f t  t t với t0;

f t  t    t  nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; Khi đó ta có 3x 3xy5  x 0 và 9x2 3xy5

Với x0 thì 0 5 l 

với x0 thì 3 3  2   

6xy 3 3x 1 x y 2

6xy 9x 3 x y 2

 

6xy 3xy 2 x y 2

 

3x y 3xy 2 x y 4

 

Mà

2

x



3

t Xét   3

f t   t t với 4 5

3

t Khi đó   2

f t  t   với 4 5

3

t

 

Do đó   4 5 36 296 15

9 3

Suy ra 36 296 15

9

P 

Vậy GTNN của P là 36 296 15

9



Câu 47: [2D1-3.12-4] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn

x y x  y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 2

P x  y  xy

A minP 80 B minP 91 C minP 83 D minP 63

Lời giải Chọn C

Điều kiện: 3

3

x y





  

 

4 1 0

x y

x y

 



   

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:

x y x  y  x y   x y

Từ  1 và  2 ta có x y  4;8

Ta lại có x3y3 0 xy 3x y9

P x  y  xy xy  xy t  t Xét hàm số   2

f t  t  t , với t 4;8

8

4;8 min f t  f 4  83

Do đó P 83 suy ra minP 83khi 42 3 3 73

 



Câu 46: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hai số thực x,

y thỏa mãn 0 1

2

x

2

y

  và log 11 2  xy2y4x1 Xét biểu thức

2

P yx  x y  y Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P Khi đó giá trị của T 4m M  bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Ta có

log 11 2 xy 2y4x12 2 xylog 11 2xy  1 0

Đặt t2xy, 0 t 11 Phương trình trở thành: 2tlog 11   t 1 0  1

Xét hàm số f t  2t log 11  t 1 trên khoảng 0;11

11

y

t

 ,  t 0;11 Do đó hàm số f t  luôn đồng biến

Dễ thấy  1 có nghiệm t1 Do đó t1 là nghiệm duy nhất của  1

Suy ra 2x 1 y Khi đó 16 1   2 1 3 2 5

4

y

4y 5y 2y 3

Xét hàm số   3 2

g y  y  y  y trên 0;1

2

 , có

g y  y  y  , 0;1

2

    

Do đó, 1    

0;

2

 

 

 

0;

2

Suy ra m3, m4

Vậy T 4.3 4 16 

Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho x, y, z là ba số

thực dương và

 2 2 2

P

x y z

 

Tính x y z

2

Lời giải Chọn C

2x y 8yz 2x y 2 y z.2 2x  y y 2z 2 x  y z

2 x y z 4xz2 xz 2y  2 2

2 x z y 

x y z

P

x y z x y z x y z

        2x 1y zx y8 z 3

Đặt t  x y z  t 0

Xét hàm số   1 8

f t

t t

 trên 0;

Ta có  

 2    2 

3 3 3 5

f t

  ; f t   0 t 1

Bảng biến thiên

2

P     x y z 1 Khi đó, 1

4

x z và 1

2

y

Câu 6: [2D1-3.12-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho các số thực x, y

với x0 thỏa mãn 3 1   1

3

1

5

x y



biểu thức T  x 2y1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A m 0;1 B m 1; 2 C m 2;3 D m  1;0

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: 3 1   1

3

1

5

x y



5x y 5 x y x 3y 5 xy 5xy xy 1

Xét hàm số f t  5t 5tt có f t 5 ln 5 5 ln 5 1 0t  t   ,  t

Do đó hàm số f t  đồng biến trên  f x 3y f  xy 1 x 3y  xy 1

3

x y

x

 

 

 (do x0 nên x 3 0)

3

x

x

 



2

3

x x

x



 Xét hàm số   2 2 1

3

x x

g x

x



 với x0 có  

2 2

0 3

x x

g x

x

 ,  x 0

Do đó:     1

0 3

g x g  ,  x 0 hay 2 1 1

3

x y  ,  x 0 Vậy 1  

0;1 3

Câu 1318: [2D1-3.12-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] [2017] Cho x, y là các số thực thỏa mãn

x y x  y Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 2

Px y  x y   x y Khi đó, giá trị của Mm bằng

Lời giải Chọn C

2 2

Đặtt x y 2

2 2 8 4

Theo giả thiết x y x 1 2y2

2

Xét   2

f t    t t t trên  0;3

4

f t t

t

 ; f t  0 2t2 4   t 4 t 1 4 t 2

 

0

t

t

 







Ta có f  0 18; f  3 25minP18, max P 25

Vậy M m 25 18 43

Câu 1319: [2D1-3.12-4] [THPT Kim Liên-HN] [2017] Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

A Pmin 5 2 B Pmin 2 3 C Pmin 2 2 D min 191

50

Lời giải Chọn B

Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có

2

2

1 1

y

f y

y

3

Ta thấy min f y 2 3 Do đó Pmin 2 3

Câu 1320: [2D1-3.12-4] [THPT Chuyên KHTN] [2017] Với a b, 0 thỏa mãn điều kiện

1

a b ab , giá trị nhỏ nhất củaPa4b4 bằng

A  4

2 1

Lời giải Chọn B

 2  2  2 2  2

 P  ab  ab ab   xx  x với ab  x x 0

Ta có a b  1 ab2 ab

2 1 0 0 2 1 0 3 2 2

Bảng biến thiên

minPP 3 2 2   4

2 2 1

Câu 50: [2D1-3.12-4] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Xét ba số thực a b c; ; thay đổi

thuộc đoạn  0;3 Giá trị lớn nhất của biểu thức

4

T  a b b c c a    ab bc ca   a b c là

A 0 B 3

2

41

2

Lời giải:

Chọn C

Đặt x a b  , y b c, z c a , không mất tổng quát giả sử a b c 

Do a b c, ,  0;3 nên x   y a c 3

Ta có

2

2 2

2

1 4

2

1 4

2

81

xy x y x y x y

x y

xy x y x y xy xy x y xy



Khi

3 3 2 0

a b c





 









thì 81

4

T  nên giá trị lớn nhất của T bằng 81

4

Câu 32: [2D1-3.12-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho x y, 0 và thoả mãn

Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P x yxy  x  x?

Hướng dẫn giải Chọn D

Xét 2

3 0

x xy  y x2 3

x



  (do x0)

Xét

2 3

x



x

0 9 1

5

x x









  



9 1

5

x

  

Ta có:  2 2

2

2

3 3





2

Xét

2

5x 9

P

x



 trên 1;9

5

 

 

  2

2

5

x

x

        nên P đồng biến trên 1;9

5

Suy ra 9  

1;

5

 

 

 

   ,

9 1;

5

9

5

 

 

 

 

Vậy minPmaxP0

Câu 37 [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa điều kiện

0

y , x2  x y 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M xy x 2y 17lần lượt bằng

Lời giải Chọn C

Ta có: 2

12

yx  x Do đó: 2

M xy x y x x  x  x x  x  x  x  x

Xét hàm số   3 2

f x x  x  x với 4  x 3

Ta có:   2

f x  x  x Do đó: f x      0 x 1 x 3 Khi đó: f   3 20, f  1  12, f   4 13, f  3 20

Câu 49: [2D1-3.12-4] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Xét các số thực dương x y z, , thỏa mãn

4

x  y z và xyyzzx5 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  3 3 3 1 1 1

x y z

x y z

bằng:

Lời giải Chọn B

Ta có:

4 4

x y z

xy yz zx xy z x y z z

  



  

Lại có:  2

4

3

x y z x y z  x y z xy z xy xy

64 3 4 z 5 z

P x y z

x y z

5

f t

t

 , với

50

2

27  t

27

t

       nên hàm số f t  liên tục và nghịch biến

Do đó Pmin  f  2 25 đạt tại x y 1, z2