4 bài toán về mặt cầu

BÀI GIẢNG: BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí I/ Lý thuyết * Phương trình mặt cầu 1... Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC

BÀI GIẢNG: BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Thầy giáo: Nguyễn Quốc Chí I/ Lý thuyết

*) Phương trình mặt cầu

1 Phương trình chính tắc

(x a ) (y b )  (z c) R

2 Phương trình tổng quát

2 2 2

x y z  ax by cz d

Tâm mặt cầu I a b c R( ; ; );  a2b2 c2 d (a2b2  c2 d 0)

Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a x2y2z28x2y 1 0

b 2 2 2

x y z  x y z 

c x2y2z22x4y4z0

d x2y2z26x4y2z860

e (x1)2(y2)2 (z 3)2 9

f (x3)2(y2)2 (z 1)2 81

Hướng dẫn giải:

b I( 2; 4;1);  R 4 16 1 4   5

c I(1; 2; 2); R 1 4 4  3

e I( 1; 2;3); R3

Bài 2: Tìm m để mặt cầu sau đây xác định

x y z  m x my mz m  

b x2y2z22(3m x) 2(m1)y2mz2m2 7 0

Hướng dẫn giải:

a I m(  2; 2 ; )m m

Suy ra, để tồn tại mặt cầu 2 2 2 2

(m 2) ( 2 )m m (5m 9) 0

2

4 5 0

1

5

m

m





   



x  y z  m x m y mz m  

Ta có a 3 m b;  m 1; cm d; 2m27

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì: 2 2 2

0

a b c  d

2

3

1

m

m







Bài 3: Lập phương trình mặt cầu (theo 2 cách) biết

a I(1; 3;5), R 3

b I(5; 3;7), R2

Hướng dẫn giải:

a Chính tắc: (x1)2(y3)2 (z 5)2 3

Tổng quát: x2y2z22x6y10z320

Bài 4: Viết phương trình mặt cầu

a Có tâm I(1; 2;1) và đi qua điểm M(2;3; 4)

b Có tâm O và đi qua trung điểm của A(1; 4;1) và B(1; 2;3)

c Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và đi qua gốc tọa độ Biết A(1;1;3), (9;1;1), ( 4;1; 2)B C 

d Viết phương trình mặt cầu có đường kính là AB biết A(4; 3; 3), (2;1;5)  B

Hướng dẫn giải:

a

(1;5;3)

( ) : ( 1) ( 2) ( 1) 35

IM

b Gọi trung điểm AB là M(1;3; 2)

Sau đó, làm tương tự ý (a)

c Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G(2;1; 2)

Sau đó, làm tương tự ý (a)

d Mặt cầu có tâm là trung điểm của AB

(3; 1;1),

Bài 5: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua 4 đỉnh) A(5;7; 2), (3;1; 1), (9; 4; 4), B  C  D(1;5;1)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Gọi phương trình mặt cầu ( ) :S x2y2z22ax2by2cz d 0

111

17

2

 





     



a

a b c d

a b c

a b c d

a b c d

a b c

Bài 6: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm sau và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)

a (1; 2; 0), ( 1;1;3), (2; 0; 1)

( ) (Oxz)

P





Hướng dẫn giải:

Gọi I a( ;0; )c

(1 ; 2; )

( 1 ;1;3 )

(2 ; 0; 1 )

IA a c

2 2 2 2 2

(3; 0;3)

I







17

R

 