Chương 2: Đại số tuyến tính

Khi dùng phép chia trái ta nh n đ c:y=a\b Warning: Matrix is singular to working precision... TÍCH PHÂN VÀ PH NG TRÌNH VI PHÂN 1.. Tích phân: Đ tính tích phân ta dùng hàm quadtính tích p

CH NG 2: Đ I S TUY N TÍNH

§1 CÁC PH NG TRÌNH Đ I S TUY N TÍNH

1 H ph ng trình đ y đ :Ta xét h ph ng trình Ax = B Đ tìm nghi m c a

h ta dùng l nh MATLAB:

x= inv(A)*B

hay:

x = A\B

2 H ph ng trình có ít ph ng trình h n s n(underdetermined): Khi gi i

h trên ta đã dùng ngh ch đ o ma tr n Nh v y ta ch nh n đ c k t qu khi

ma tr n A vuông(s ph ng trình b ng s n s vàđ nh th c c a A ph i khác không) H có s ph ng trình ít h n s n hay đ nh th c c a ma tr n A c a

h đ y đ b ng 0 g i là h underdetermined M t h nh v y có th có vô s nghi m v i m t hay nhi u bi n ph thu c vào các bi n còn l i V i m t h nh

v y ph ng pháp Cramer hay ph ng pháp ma tr n ngh ch đ o không dùng

đ c Khi s ph ng trình nhi u h n s n ph ng pháp chia trái cũng cho nghi m v i m t vài n s đ c cho b ng 0 M t ví d đ n gi n là ph ng trình x + 3y = 6 Ph ng trình này có r t nhi u nghi m trongđó có m t nghi m

là x = 6 và y = 0:

a = [ 1 3];

b = 6;

x = a\b

x =

6 0

S nghi m vô h n có th t n t i ngay c khi s ph ng trình b ng s n Đi u này x y ra khi det(A) = 0 V i h này ta không dùng đ c ph ng pháp Cramer và ph ng pháp ma tr n ngh ch đ o và ph ng pháp chia trái cho thông báo là ma tr n A suy bi n Trong tr ng h p nh v y ta có th dùng

ph ng pháp gi ngh ch đ o đ tìm đ c m t nghi m g i là nghi m chu n minimum

Ví d : Cho h ph ng trình

x + 2y + z = 8

0x + y + 0z = 2

x + y + z = 6

Khi dùng phép chia trái ta nh n đ c:

y=a\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

y =

Inf Inf Inf

N u ta dùng ph ng pháp gi ngh chđ o thì có:

a = [1 2 1;0 1 0;1 1 1]

b = [8;2;6]

x = pinv(a)*b

x =

2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000

M t h cũng có th có vô s nghi m khi có đ s ph ng trình Ví d ta

có h :

2x 4y + 5z = 4

4x 2y +3z = 4

2x + 6y 8z = 0

Trong h này ph ng trình th 3 là t ng c a hai ph ng trình trên nên h th t

s ch có 2 ph ng trình

Tóm l i m t h mu n có nghi m duy nh t ph i có các ph ng trình đ c

l p Vi c xác đ nh các ph ng trình trong h có đ c l p hay không khá khó,

nh t là đ i v i h có nhi u ph ng trình Ta đ a ra m t ph ng pháp cho phép xác đ nh h ph ng trình có nghi m và li u nghi m đó có duy nh t hay không Ph ng pháp nàyđòi h i s hi u bi t v h ng c a ma tr n

Ta xem xét đ nh th c c a ma tr n sau:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

3 7 9

2 10 6

1 4 3

N u ta lo i tr m t hàng và m t c t c a ma tr n chúng ta còn l i ma tr n 2×2

Tu theo hàng và c t b lo i ta có 9 ma tr n con Đ nh th c c a các ma tr n này

g i là đ nh th c con Ví d n u ta b hàng 1 và c t 1 ta có:

44 3 7

2 10

=

−

Các đ nh th c con có th dùng đ xác đ nh h ng c a ma tr n H ng c a ma

tr n đ c đ nh nghĩa nh sau: M t ma tr n A m×n có h ng r ≥ 1 n u và ch n u

đ nh th c c a A ch a m t đ nh th c r × r và m i đ nh th c con vuông có r+1 hàng hay h n b ng 0.

Đ xác đ nh h ng c a ma tr n ta có l nh rank

Ví d :

a = [ 3 4 1;6 10 2;9 7 3];

rank(a)

ans =

2

H ph ng trình Ax = B có m ph ng trình và n n có nghi m n u và ch n u rank(A) = rank([A B]) G i h ng c a A là r, n u r = n thì nghi m là duy nh t

N u r<n thì h có vô s nghi m và r n có th bi u di n nh là t h p tuy n tính c a n r n còn l i mà giá tr có th ch n b t kì

Ví d : Gi i h ph ng trình

3x 2y + 8z = 48

6x + 5y + z = 12

9x + 4y + 2z = 24

Ta vi t:

a = [ 3 2 8; 6 5 1;9 4 2];

b = [ 48; 12;24];

rank(a)

ans =

3 rank([a b])

ans =

3

V y h có nghi m duy nh t:

x = a\b

x =

2 1 5

Ví d : Gi i h

2x 4y + 5z = 4

6x 2y + 3z = 4

2x + 6y 8z = 0

Ta vi t:

a = [ 2 4 5; 6 2 3;2 6 8];

b = [ 4;4;0];

rank(a)

ans =

2 rank([a b])

ans =

2

V y h có vô s nghi m M t trong các nghi m là:

x=pinv(a)*b

x =

1.21481481481481

0.20740740740741

0.14814814814815

3 H ph ng trình overdetermined: H ph ng trình trong đó s ph ng trình đ c l p nhi u h n s n g i là h overdetermined Đ i v i h này

ph ng pháp Cramer và ph ng pháp ngh chđ o ma tr n không dùng đ c Tuy nhiên m t s h cho nghi m đúng xác đ nh b ng phép chia trái Đ i v i các h khác không có nghi m chính xác Khi r = rank(a) = rank([a b]) h có nghi m và n u r = n nghi m là duy nh t Khi rank(a) ≠ rank([a b]) h không có nghi m

Ví d : Gi i m ch đi n g m 3 nhánh n i song song: nhánh 1 có t ng tr Z1 = 5+2j và ngu n e = 100 sin(314t + 300), nhánh 2 có t ng tr Z2 = 3+4j và nhánh 3

có t ng tr 5+6j Ta vi t ph ng trình c a m ch đi n theo dòng nhánh Sau đó rút ra ma tr n A và B Các l nh MATLAB:

a = [1 1 1;5+2*i 3+4*i 0;0 (3+4*i) 5+6*i]

e =100*exp(i*(30*pi/180))

b=[0;e;0];

i=a\b

i =

25.25569272231586 +19.27124163998603i

15.63482777750950 11.44276084484129i

9.62086494480636 7.82848079514474i

§2 N I SUY

1 N i suy hàm m t bi n :MATLAB dùng 2 ki u n i suy : n i suy đa th c và

n i suy trên c s bi n đ i Fourrier nhanh,

a N i suy đa th c : MATLAB dùng hàm interp1(x,y,xi,< ph ng pháp>)

v i x, là giá tr c a hàm t i nh ng đi m đã cho và xi là giá tr mà t i đó ta c n

n i suy ra giá tr yi <ph ng pháp> có th là m t trong các giá tr sau :

‘nearest’ ph ng pháp này đ t giá tr n i suy vào giá tr đã cho g n

nh t, Ph ng pháp này nhanh nh ng k t qu kém chính xác nh t

Ví d : x = [ 1 2 3 4 5 ];

y = [ 5.5 43.1 128 290.7 498.4 ];

yi = interp1(x,y,1.6, nearest )

yi =

43.1000

‘linear’ ph ng pháp này coi đ ng cong đi qua 2 đi m cho tr c là

đ ng th ng

Ví d : yi = interp1(x,y,1.6, linear )

yi =

28.0600

‘spline” dùng ph ng pháp n i suy spline

Ví d : yi = interp1(x,y,1.6, spline )

yi =

24.9782

‘cubic’ ph ng pháp này coi đ ng cong qua 2 đi m là đ ng cong b c 3

Ví d : yi = interp1(x,y,1.6, cubic )

yi =

22.3840

b N i suy FTT: Hàm interpft th c hi n n i suy hàm m t bi n s d ng

ph ng pháp FFT(Fast Fourrier Transform) Ph ng pháp này tính toán bi n

đ i Fourrier m t vec t ch a các giá tr c a m t hàm chu kì Nh v y ph ng pháp này tính bi nđ i Fourrier ng c s d ng nhi u đi m D ng hàm là :

y = interpft(x,n)

Ví d : y = interpft(x,4)

y =

1.0000 2.6236 3.0000 5.3764

2 N i suy hàm hai bi n : Hàm interp2 th c hi n n i suy hàm 2 bi n.D ng hàm t ng quát :

ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,<ph ng pháp>)

Z – ma tr n ch nh t ch a giá tr c a hàm 2 bi n

X,Y – m ng có cùng kích th c,ch a giá tr x,yđã cho

XI,YI m ng ch a giá tr c n n i suy

Các <ph ng pháp> g m : ‘nearest’,’linear’,’cubic’

3 N i suy và m ng nhi u chi u :

interp3 n i suy hàm 3 bi n

interpn n i suy hàm nhi u bi n

§3 TÍCH PHÂN VÀ PH NG TRÌNH VI PHÂN

1 Tích phân: Đ tính tích phân ta dùng hàm quad(tính tích phân theo ph ng pháp Simpson) và hàm quadl(tính tích phân b ng ph ng pháp Lobatto)

Ví d (l u trong ct2_1.m):

f = inline( 1./((x 0.3).^2+0.01)+1./((x 0.9).^2+0.04) 6 );

q = quad(f,0,1)

q =

29.8583

r = quadl(f,0,1)

r =

29.8583

Ví d (l u trong ct2_2.m)

y = sin(x)

quad(‘sin’,0,pi)

ans =

2.00001659104794

quadl( sin ,0,pi)

ans =

1.99999999999989

Ta cũng có th dùng ph ng pháp hình thanh đ tính tích phân:

Ví d (l u trong ct2_3.m):

y = sin(x)

x = [0:pi/100:pi]];

y = sin(x);

ans =

1.99983550388744

2 Vi phân s :Đ tính vi phân ta dùng diff

Ví d :

a = [ 1 4 2 5 7 4 8];

diff(a)

ans =

3 Ph ng trình vi phân: Ph ng trình vi phân c p cao y(n)= f(t,y,y’, , y(n 1))

có th đ a v h ph ng trình vi phân c p 1 b ng cách đ t y1 = y ; y2 = y’ , ,

yn = y(n 1) Nh v y:

) y , ,

y , y , t f y

y y

y y

n 2 1 n

3 2

2 1

=

′

=

′

=

′

là h có n ph ng trình vi phân c p 1

Ví d :

y’’’ 3y” y’y = 0 v i y(0) = 0 y’(0) = 1 y” = 1

đ c bi n đ i thành

1 2 3 3

3 2

2 1

y y y 3

y

y

y

y

y

+

=

′

=

′

=

′

v i đi u ki n đ u : y1(0) = 0 y2(0) = 1 y3(0) = 1

Đ nh p ph ng trình này vào MATLAB ta dùng M file f.m nh sau :

function dy = f(t,y);

dy = [ y(2) ; y(3) ; 3*y(3)+y(3)*y(1)];

và gi i ph ng trình b ng l nh :

[ t , f] = solver (‘file’,tspan,y0)

v i “file” là M file ch a ODE

tspan là vec t [ t0 tfinal] xacđ nh kho ng tìm nghi m

y0 là vec t giá tr đi u ki n đ u

solver là cách gi i, th ng dùng ph ng pháp Runge Kutta b c 2/3(ode23) hay 4/5(ode45)

[ t , y] = ode45(‘f’,[ 0 1],[0 ; 1 ; 1])

M i hàng trong vec t nghi m t ng ng v i m t th i đi m trong vec t c t t

Nh v y trong ví d trên, y(:,1) là nghi m, y(:,1) là đ o hàm b c nh t c a nghi m và y(:,2) là đ o hàm b c hai c a nghi m

Ví d : Tìm dòng qua đ khi đóng m ch RC n i ti p vào ngu n m t chi u bi t tích s RC = 0.1,đi n áp ngu n là 10V và đi n áp ban đ u trên t là 2V

Ph ng trình c a m ch là:

e(t) = RC C uC

dt

du + Thay s vào ta có:

0.1u′ + u = 10

u′ = 10u + 100

Ta có các l nh MATLABđ t o hàm:

function uc = rc(t,u)

uc = 10*u + 100;

và gi i bài toán:

[t,u] = ode45( rc ,[0 4],2);

plot(t,u, o )

§4 Đ I S MA TR N

1 Phân tích Cholesky : Ph ng pháp Cholesky phân tích ma tr n A xác đ nh

d ng thành tích c a hai ma tr n A = R’*R v i R là ma tr n tam giác trên

Mu n nh nđ c ma tr n R ta dùng hàm chol(A)

Ví d :

n = 5;

X = pascal(n)

X =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

R = chol(X)

2 Phân tích LU : Ta phân tích ma tr n A= L*U trong đó L là ma tr n tam giác

d i và U là ma tr n tam giác trên Ta vi t [L,U]= lu(A)

Ví d (l u trong ct2_4.m):

A = [

1 2 3

4 5 6

7 8 0]

[L,U] = lu(A)

3.Phân tích QR: Ta phân tích ma tr n A =Q*R v i Q là ma tr n tr c giao và R

là ma tr n tam giác trên

Ví d (l u trong ct2_5.m):

A = [

10 11 12]

[Q,R] = qr(A)

4 Lu th a: N u có ma tr n A vuông và s p>0 thì A^p là tích p l n c a A :

Y= A^2

5 Giá tr riêng và vec t riêng: eig(A)

[d,r] = eig(A)

6 Quay ma tr n: b = rot90(a)

a = [2 1 0; 2 5 1;3 4 6]

a =

b = rot90(a)

b =

7 Đ o ma tr n: fliplr(a) đ o ma tr n t trái sang ph i

c = fliplr(a)

c =

0 1 2

flipud(a)đ o ma tr n t trên xu ng d i

d = flipud(a)

d =

8 Các hàm x lí ma tr n khác:

n

a = [1 2 3 ;5 6 7;8 9 1];

reshape(a,1,9)

ans =

m t vec t

diag(a,k) ch n đ ng chéo tu theo giá tr c a k

k = 0 ch nđ ng chéo chính

k > 0 ch nđ ng chéo th k trên đ ng chéo chính

k < 0 ch nđ ng chéo th k d i đ ng chéo chính

a =

v = diag(a,1)

v =

2 7

a = diag(v) n u v là vec t thì a là ma tr n vuông v i v là đ ng chéo chính

b = triu(a) t o ra ma tr n b cùng c v i ma tr n a, ch a các ph n t c a

ma tr n a n m trên đ ng chéo chính và phía trên đ ng chéo chính Các

ph n t khác b ng 0

a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

b = triu(a)

b =

b = triu(a, k) t o ra ma tr n b cùng c v i ma tr n a, ch a các ph n t c a

ma tr n a ngay trên đ ng chéo và phía trên đ ng chéo chính Các ph n t khác b ng 0

b = tril(a) t o ra ma tr n b cùng c v i ma tr n a, ch a các ph n t c a

ma tr n a n m d i đ ng chéo chính Các ph n t khác b ng 0

b = tril(a, k) t o ra ma tr n b cùng c v i ma tr n a, ch a các ph n t c a

ma tr n a ngay trên đ ng chéo và phía d i đ ng chéo th k Các ph n t khác b ng 0

b = tril(a, 1)

b =

§5 ĐA TH C

1 Các hàm x lí đa th c :

deconv chia đa th c poly tìm đa th c có nghi m đã cho polyder đ o hàm đa th c

polyfit x p x b ng đa th c polyval tính tr c ađa th c polyvalm tính tr ma tr n đa th c roots tìm nghi m c a đa th c

2 Bi u di n đa th c: MATLAB bi u di n đa th c nh là m t vec t hàng ch a

các h s c ađa th c theo th t s mũ gi m d n

Ví d : P(x) = x3– 2x – 5

Đ nh p đa th c này vào MATLAB ta vi t :

p = [ 1 0 – 2 –5 ]

3 Nghi m c a đa th c : Đ tìm nghi m c a đa th c ta dùng hàm roots

Ví d : roots(p)

ans =

2.0946 1.0473 + 1.1359i 1.0473 1.1359i

4 Đa th c đ c tính: Cho ma tr n A, hàm poly xác đ nh đa th c đ c tính c a

ma tr n A

Ví d : a = [ 1 2 3 ; 3 4 5 ; 4 5 6 ]

a =

poly(a) ans =

1.0000 11.0000 9.0000 0.0000

5 Tính tr đa th c: Đ tính tr c a đa th c t i x = x0ta dùng hàm polyval(p)

Ví d : polyval(p,0.2)

ans =

5.3920

Ta có th tính tr c a ma tr n đa th c Trong tr ng h p đó đa th c

P(x) = x3– 2x – 5

tr thành : P(X) = X3– 2X – 5I v i X là ma tr n vuông và I là ma tr nđ n v

Ví d : X = [2 4 5; 1 0 3;7 1 5]

X =

Y = polyvalm(p,X)

Y =

377 179 439

111 81 136

490 253 639

6 Nhân và chia đa th c : Cho đa th c a = x2 + 2x + 3 và đa th c b = 4x2 + 5x + 6.

Đ tính tích 2 đa th c ta vi t :

a = [ 1 2 3 ] ; b = [ 4 5 6 ] ;

c = conv(a,b)

c =

4 13 28 27 18

Đ tính th ng hai đa th c ta vi t

[ q , r ] = deconv(c,a)

q =

r =

Trong đó q là th ng nguyên còn r là ph n d

7 Đ o hàm đa th c: Tính đ o hàm đa th c b ng hàm polyder

q = polyder(p)

q =

Đ tính đ o hàm c a tích hai đa th c a và b ta vi t

c = polyder(a,b)

c =

16 39 56 27

8 X p x b ng đa th c: Gi s ta có m t lo t s li u nh n đ c t th c nghi m

và mu n x p x chúng b ng m t hàm d ng đa th c theo ph ng pháp bình

ph ng bé nh t thì ta dùng hàm polyfit(x,y,n) v i x,y là các vec t ch a các giá tr đo đ c và n là b c c a đa th c x p x

Ví d : x = [ 1 2 3 4 5 ];

y = [ 5.5 43.1 128 290.7 498.4 ];

p = polyfit(x,y,3)

p =

0.1917 31.5821 60.3262 35.3400