Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên..1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN.[r]

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 5

Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng

5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến

5.2 Ma trận

5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử

5.4 Định thức

5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output

5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

Một ma trận A cấp

mxn là một bảng số

hình chữ nhật gồm

mxn phần tử, gồm m

hàng và n cột.

1 2

1 2

n n

n n

A

hay A

= çç ÷÷

÷

K L

M M O M

L K L

M M O M

L

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

ij m n

´

é ù

= ê úë û

1 2 7 0

4 5 7 1

0 2 8 9

A

ç

= ç - ÷÷

MA TRẬN VUÔNG

Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

Đường chéo chính gồm các phần tử:

ij

1 2

n n

n n

´

= ç ÷= ê ú

K L

M M O M

L

11, 22, , n n

CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT

1 Ma trận không:

2 Ma trận hàng

3 Ma trận cột

4 Ma trận tam giác trên

5 Ma trận tam giác dưới

6 Ma trận chéo

7 Ma trận đơn vị

8 Ma trận bậc thang

MA TRẬN KHÔNG

Tất cả các phần tử đều bằng 0.

Ký hiệu: 0 hay 0mxn

0 0 0

0 0 0

0 0 0

m n´

æ ö÷

= ç ÷ =

ç ÷÷

çè ø

L L

M MO M

L

MA TRẬN HÀNG, CỘT

Ma trận hàng: chỉ có một hàng

Ma trận cột: chỉ có một cột

1

2

1 2 3 4 5

4 5

æ ö÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

= - = çç ÷÷

- ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vuông

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

1 2 3 4

1 2 3

0 0 2 1

0 4 5

0 0 8 9

0 0 6

0 0 0 4

æ ö÷ ç

÷

ç

= ç ÷÷ = çç ÷÷

çè ø

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

Ma trận vuông

Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0

1 0 0

2 0 0 0

3 4 0

0 6 8 0

5 0 6

9 3 1 4

æ ö÷ ç

÷

ç

= ç ÷÷ = çç ÷÷

çè ø

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0

0 4 0

0 0 6

0 0 0 4

a

b

ç

÷

ç

MA TRẬN ĐƠN VỊ

Ma trận chéo

Các phần tử chéo đều bằng 1.

Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

1 0 0 0

0 0 1

0 0 0 1

ç

÷

MA TRẬN BẬC THANG

Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi

là phần tử cơ sở của hàng đó.

Ma trận bậc thang:

 Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

VÍ DỤ 1

2 1 0 0

0 0 7 1

0 4 8 9

0 0 0 9

3 1 0 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 9 1

A

B

= çç ÷÷

÷

ç

Không là bậc thang

Không là bậc thang

VÍ DỤ 2

2 1 0 0

0 4 8 9

0 0 7 1

0 0 0 0

3 1 0 0 3

0 0 3 1 2

0 0 0 9 1

C

D

= çç ÷÷

- ÷

ç

bậc thang

bậc thang

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1 Ma trận bằng nhau

2 Cộng hai ma trận cùng cấp

3 Nhân một số với ma trận

4 Nhân hai ma trận

5 Ma trận chuyển vị

6 Lũy thừa của một ma trận

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

4 5 2

1

4 5

a

d

b c

æ ö÷ æ- ö÷

= ç ÷ = ç ÷

ìï = -ïï

ï = ïï

= Û í

ï = ïï

ï = ïïî

CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

4 5

2 1

æ ö÷ æ- ö÷

= ç ÷ = ç ÷

æ - + ö÷

ç

÷

NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

Nhân số đó vào tất cả các phần tử

4 5

2 2 2

2 2

4 5

a A

kB

æ ö÷

ç

= ç ÷

÷

çè ø

æ- ö÷

ç

÷

VÍ DỤ 3

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4 )

) 2 3

1 2

)

3 7

ç ÷÷ ç - - ÷÷

+

-+