Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng

Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Quy hoạch tuyến tính 2 biến, ma trận, giải hệ phương trình - phương pháp khử, định thức, ma trận nghịch đảo và phân tích input/output, tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến. Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 5

Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng

5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến

5.2 Ma trận

5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử

5.4 Định thức

5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output

5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến

n n

L K L

L

11, 22, , n n

CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT

1 Ma trận không:

2 Ma trận hàng

3 Ma trận cột

4 Ma trận tam giác trên

5 Ma trận tam giác dưới

6 Ma trận chéo

7 Ma trận đơn vị

8 Ma trận bậc thang

M MO M

L

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN BẬC THANG

Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi

là phần tử cơ sở của hàng đó

Ma trận bậc thang:

 Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

Không là bậc thang

4 5

-ï = ïï

ï = ïï

ï = ïïî

CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

+

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

Cho 2 ma trận:

Khi này ma trận A nhân được với ma trận B

Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau

QUI TẮC NHÂN

Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của

ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau

ĐỊNH THỨC CẤP N≥3

Dùng phần bù đại số

Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j

5 Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu.

6 Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức

tăng lên k lần

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

7 Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng thứ 3 thì

định thức không thay đổi

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại

ma trận vuông B cấp n sao cho:

Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A

Ký hiệu: A-1

.

n n

ìï = ï

í

ïî

iii) M a trậ n nghịch đả o củ a ma trậ n A (nế u có )

thì duy nhấ t, và :

A

iv) Cho A , B, C là cá c ma trậ n khả nghịch thì:

v) Nế u A khả nghịch thì A cũ ng khả nghịch:

vi)

ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

Cho ma trận A vuơng cấp n Ta cĩ:

( ) ( )

ii) khảnghịch

iii) khảnghịch

iv) khô ng khảnghịch

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định thức con của ma trận:

Cho A là ma trận cấp mxn Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận

vuông cấp k Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A.

Hỏi Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A

cấp mxn

- Chọn k dòng

- Chọn k cột

VÍ DỤ 8

Cho ma trận A

Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?Định thức con cấp mấy lớn nhất?

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O Hạng của

ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất

trong các định thức con khác 0 của ma trận A.

Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A

b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG

1 Đổi chỗ hai dòng với nhau

2 Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0

3 Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân

VÍ DỤ 10

Thực hiện phép biến đổi ma trận:

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A

HẠNG CỦA MA TRẬN

Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A

Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

Ma trận bậc thang của A:

A→ bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Phương pháp Gauss – Jordan

Phương pháp Định thức

PP GAUSS JORDAN

Bước 1: Lập ma trận [A|In] bằng cách ghép thêm vào

bên phải A ma trân đơn vị In.

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa

Giả sử A, C khả nghịch Khi đó: X=A-1.B.C-1

Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự

của phương trình.

Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn

( x x1, 2, , x n ) ( = c c1, 2, , cn )

ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI

Cho phöông trình:

i) Hệ pt có nghiệ m duy nhấ t

ii) Hệ pt có vô số nghiệ m

iii) Hệ pt vô nghiệ m

iv) Hệ pt có nghiệ m

ïïî

CÁCH GIẢI HPT TUYẾN TÍNH

Phương pháp Gauss – Jordan

Phương pháp Cramer

Phương pháp ma trận nghịch đảo

PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS – JORDAN

ii) Đưa ma trậ n bổ sung về dạng bậ c thang

bằ ng biế n đổ i sơ cấ p trê n dò ng.

iii) Nghiệ m củ a hệ cuố i là nghiệ m củ a hệ đầ u.

PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình

Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do

n n

= ç çç çç çè

PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Đặ t:

Nế u thì hệ có nghiệ m duy nhấ t:

Nế u và tồ n tại thì hệ vô nghiệ m Nế u thì hệ vô nghiệ m hoặ c vô số nghiệ m.

i n

i

x ii

MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH

Mô hình Input-Output Leontief

Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra

bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công

nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội

BẢNG VÀO RA (I/O)

Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927

Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế

quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành

Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm

cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu

tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu

MÔ HÌNH I/O

Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành

 Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào

 Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào

 Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế

MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT

Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij

Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa

(loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa loại I

Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì?



TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG

xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất

b b

MỘT SỐ THUẬT NGỮ

A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật

X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)

B là ma trận cầu cuối cùng

T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ

C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ

Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij

VÍ DỤ 19

Cho bảng I/0:

A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng

B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21

Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng

ĐÁP ÁN

Ta có:

a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 0,2

  1

0, 2 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 0, 4 0,1 0, 2 0, 2

ĐÁP ÁN

Ta có:

c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là 0,297

VÍ DỤ 20

Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

0, 2 0,3 0, 2

0, 4 0,1 0, 2 0,1 0,3 0, 2

a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành

Ma trận tổng cầu:

Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)

  1

0, 66 0,30 0, 24 10 24,841

0,34 0,62 0, 24 5 20,680,384

PHÂN TÍCH THÊM

Với j=2 ta có:

Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0,3$ Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp

2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2)

02 03

DẠNG BÀI TẬP

Xác định ma trận tổng cầu X

Xác định tổng chi phí mỗi ngành

Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử

Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại

Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối

Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2 Tính định thức

Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4

(Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =

Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x -1  x

 MatB để cho kết quả của X.

MỘT SỐ BÀI TẬP

BÀI 5

Tìm m để hệ là hệ Crammer

Giải nghiệm của hệ

1 1 1

BÀI 6

Giải và biện luận theo m

mx y z 1 a) x my z 1

x y mz 1

mx y z m b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1

BÀI 9

Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2 Ma trận hệ số kỹ thuật:

Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành

0, 2 0,3

0, 4 0,1

A     

BÀI 10

Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:

Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng)

a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp.

b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp.

BÀI 11

Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3 Ma trận hệ số kỹthuật:

Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành

là 40, 40, 110

Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx

Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngànhkhác không đổi Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sxtương ứng

0, 4 0,1 0, 2

0, 2 0,3 0, 20,1 0, 4 0,3

BÀI 13

Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo Cho biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng

hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng

hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một

lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng Trong khi đó

ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng.

a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và

phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế trên.

b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở.

0, 05 0, 25 0,34 0,33 0,10 0,12 0,19 0,38 0