Toán về hàm đa thức

KHÁO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC §7.. Cac bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ta tiến hành các bước sau

88 KHÁO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC

§7 KHẢO SÁT SỰ HIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

§8 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ BỒ THỊ

A TRONG TAM KIEN THỨC

I Cac bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ta tiến hành các bước sau đây :

e Tìm tập xác định của hàm số

zg ok tA ` K£

© Xét sw bién thiên của hàm số

37

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Định nghĩa Giả sử hai hàm số y = f(z)

và = g(z) có đạo hàm tại điểm z, Ta

nói rang hai dudng cong y= f(z) và

y= g(x) tiép xiic voi nhau tai điểm

M(a, 3 1y) nêu Ä⁄' là một điểm chung của

chúng và hai đường cong có tiếp tuyến

chung tai M Điểm M được goi la tiép

ˆ_ điểm của hai đường cong đã cho

Mệnh đề cơ bản : Hai đường cong y = f(z) va y = g(z) tiếp xúc với nhau khi

f(x) = g(2)

va chi khi hé phuong trinh f(a) = 92) có nghiệm và nghiệm của hệ phương ©

trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường đó

Chú ý : Nếu một trong hai đường trên là đường thẳng, ta có mệnh đề tổng quát về -

tiếp tuyến với một đường cong

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng1 ,CAC BAI TOAN VE HAM SO DANG DA THUC

Loại 1 Các bài toán thuần tuý về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức ta làm như sau :

e Tìm tập xác định của hàm số

e Sự biến thiên của hàm số

+ Tìm giới hạn tại vồ cực ( lim y va Jim | y)

+ Lap bang bién thién của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị

của hàm số (nếu có), điền các kết quả vao bang

© Dé thi của ham sé

+ Điểm uốn : Tìm nghiệm z, của phương trình 1” = 0

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chăng hạn tìm giao điểm của đồ

thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ hoặc

việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân nay)

+ Nhận xét đồ thị : Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đô thị (nếu có, không yêu

cầu chứng minh)

59

Ví dụ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = 2° — 32”

® Tập xác định : Hàm số xác định với mọi x € (—oo ; +00)

® Sự biến thiên : :

+ Giới hạn ở vô cực : lim y= lim (z° —3z?)= —oco ; lim = lim (zŠ —3z?) = +oo

+ Bang bién thién :

Ta có : gˆ = 3z” — 6z = 3z(z—2) ; =0 © =

Hàm số nghịch biến trên khoảng

+00

Ham số dat cyc tidu tai diém | y | —-7°~ %

‘z= 2 ; gid trị cực tiểu của ham số là VS -4

y(2) = —4 Ham số đạt cực đại tại

điểm z =Ú;; giá trị cực đại của hàm số (0) = 0

ự” đổi dấu từ âm sang đương khi z qua đểm ˆ q 21 3] x

z =1 Vậy (1;— 2) là điểm uốn của đồ thị mm

_+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 0) , -2| -1 — 1 + Đồ thị cắt trục hoành khi :

z3 —8z? =0 @ |” Do đó đồ thị cắt |

trục hoành tại hai điểm (0 ; 0), (3 ; 0)

Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn (1;— 2) làm tâm đối xứng

Ví dụ 2 - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ự = z* — 22”

Giải

® Tập xác định : D=R

® Sự biên thiên ::

+ Giới hạn ở vô cực : lim y= lim (zÍ—2z”)= +œo ; lim y= lim (ct — 22”) = +00

#—=~—o0c z—=—ằœo i #—+oc #Z—=+cc

+ Bảng biến thiên :

60

Ta có : y=4z”—4z ; 1 +00

- 90 +

—œ -]

ụU=0© =31 Do đó, hàm số

(0;1), đồng biến trên (- 1; ;0) va

(1 i+ 00) Hàm số đạt cực tiêu tại các điểm #„= —1, z = Ì và các giá trị cực tiểu

của hàm số là (—1) = (1) = —1 ; hàm số: đạt cực đại tại điểm x = 0, gia tri cuc

đại của hàm số (0) =

e Đồ thị : + Điểm uốn :

+

zr, - 8s = 8 và ” đổi dấu khi z

qua moi diém 2, 1 va z, 2 Do đó,

U, ở - 5 va U 3 ;m 5 là hai điểm uốn của đồ thị 2

+ Đề thị cắt trục tung tại điểm O(0; 0)

+ Đồ thị cắt trục hoành khi : z! — 2z? =0 œ Do đó đồ thị hàm

số cắt trục hoành tại ba điểm (0;0), (W250) va (—V2;0)

Nhận xét : Hàm số đã cho là ham số chăn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng

Loại 2 Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số

Đồng thời với yêu cầu đòi hỏi học sinh khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, người

ta thường gan với chúng các bài toán cơ bản sau đây :

® Bài toán về điểm cắt : Khảo sát sự giao nhau của đồ thị với một đường cho

trước nào đó

® Các bài toán sử dụng các kết quả của việc khảo sát hàm số để biện luận phương

trình và bất phương trình có tham số

® Các bài toán liên quan đến vài tính chất định tính của hàm đa thức : như điểm

cố định của họ hàm đa thức phụ thuộc tham sé, tính đối xứng của đường cong

1 BÀI TOÁN VÈẺ DIEM CAT

Phương pháp giải

61

® Để tìm giao điểm của một đường cong y = ƒ(z) nói chung (của lớp các hàm đa thức nói riêng) với một đường y = g(x) nào đó, phương pháp chung

là ta quy về xét sự tồn tại nghiệm của phương trình : f(z) = ø(2)

(1)

Nhìn chung (1) déu la các phương trình bậc cao (có bậc > 3) Nêu có thé được các bạn tìm mọi cách hạ bậc (1) Ta luén str dụng kết quả sau : Nếu

z = ø là một nghiệm đoán được của (1), thì (1) có thể đưa được về dạng sau

: (#—a)h(z) = 0, trong đó phương trình h{z) = 0 có bậc giảm đi l so với

phương trình gốc (1)

® Tuy nhiên sử dụng các kết quả về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm bậc

ba, ta có kết quả thông dụng sau : Xét phương trình :

ƒ() = az” + bz” + c + d = 0,a = 0 (2) Khi đó :

1 Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ƒ(z) có cực đại, cực tiểu và 9

rhax’ Yin

2 Phuong trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f(z) có cực đại,

Cực tiểu và Ynax’Ymin =

3 Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :

— Hoặc là ƒ(z) không có cực đại, cực tiểu ; _— Hoặc là ĐC, ) có cực đại, cực tiểu và >0

max" Yuin

e Cần nhắn mạnh rằng với bài toán ngoài việc đòi hỏi tính giao nhau của các

đường cong bậc ba vối một đường cong khác có bậc không quá ba, ta còn

quan tầm đến tính chất của Các giao điểm thì kết quả vừa dẫn ra ở trên chỉ có

thê xem như một điều kiện cẩn Nó chưa đủ sức mạnh để giải hoàn toàn bài

toán Để giải quyết trọn vẹn, ta cần sử dụng thêm các kiến thức khác

Vi du 1 Cho họ đường cong phụ thuộc tham số mm :

ụỤ = z)— 3(m +1)+? + 2(m2 + 4m +1)— 4m(m +1) Tim m dé

đường cong cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

Giải

Đường cong cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 khi và

chỉ khi phương trình : zẺ — 3n + 1)z” + 2(m? + 4m + 1) — 4m(m + 1) = 0 (1)

có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1 Do z = 2 là nghiệm.của (1), nên (1) có thể viết

dưới dạng sau: (z — 2 )|z? — (3m + 1)+ + 2m(m +1) 1 | =0 =

z=2

© (z— 2)(œ — 2m)(œ — mm — =0 +z = 2m

z==m +]

62»

2m > 1

Vì thế (1) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1khi: ‡m+1>1 6 mà

2m z mm +1

Vĩ dụ 2 — Biện luận theo m số giao điểm của trục hoành với đường cong :

y= 2° — 32? + 3(1—m)c +14 3m

Giải

Ta có : y! = 32? —62+3(1—m) = 3(z” — 2z -+1— m) Đường cong có

cực trị khi và chỉ khi phương trình : g' = 3(z” — 2z-+1— m) =0 có hai nghiệm

Ta có nhận xét sau: z” — 3z? + 3(1— mm)z +1 + 3m

= (2° ~ 22 +1—m)(r—1)+2(—mz+14+m)

Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng : nếu (z; ; y,) va (2, ; y,) la cde diém oye tri

y, = 2(—maz, +1+m)

Bây giờ ta biện luận số giao điểm của đường cong với trục hoành như sau :

1 Đường cong cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi a) Hoặc là đường cong không có cực đại, cực tiểu, tức là A/ <0 &m<0

của hàm số, thì

b) Hoặc là có cực đại, cực tiểu nhưng ?,, > 0 Điều đó xảy ra khi :

in >0 YY > 0? e n >0 |mx,2, — m(1+m)(e, +2,) + (1-+m)? > 0 () I

Do z,, z, là hai nghiệm của phương trình +? — 2z + 1—m =0, nên theo

Vi-ét ta có : 2, +2, =2 ; 2,2, =1—m Thay vao (I) ta duoc:

m>0

Vậy đường cong cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi m < 1

2 Đường cong cắt trục hoành tại hai điểm khi đường cong có cực trị và

m>0 h >0

9w, = 0 Điêu này xây ra khi : r =0 7 |-m? +1=0

3 Tương tự đường cong cắt trục hoành tại ba điểm khi-: zn > 1

63

Ví dụ 3 Cho đường cong: ý= z2 —3z°+(2m—2)z+mm—3 Tìm mì để

đường cong cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ z

z, thoả mãn điều kiện Øø <—=l<# <#;

Giải

Điều kiện cần : Giả sử có gia tri m thoả mãn yêu cầu đầu bài Khi đó ta có : f(z) = a? — 3a? + (2m — 2)z + m.— 3 = (# — #,)(œ — #,)(œ — #)

Từ giả thiết : z¿<—1<z, <z, ta suy ra : ƒ(1)>0 —m—ð >0

=>m < —5 Vậy với mm < —5 là điều kiện cần đẻ thoả mãn điều kiện đề ra

Điều kiện đủ : Giả sử mm < —5 Ta có :

ƒ(1)=_—-m—5 >0; ƒ(0)= m— 3 <0 (do mm < —ð)

Vì lim ƒ(z)= —oo, nên tồn tại số b < —1 sao cho ƒ(ð) < 0 ;

im f(z) = +00, nén tổn tại số ø > 0 sao cho ƒ(a) > 0

Từ tính liên tục của f(z) và do : ƒ@6)<0 ; ƒ( >0 ; f(0)<0 ;

ƒ()>0, nên tồn tại z„, z,, z, sao cho f(z,)=f(z,)=f(@,)=0 và 7

b<ø›¿<—1<#,<0<z, <ø Vậy đường cong đã cho cắt trục hoành tại ba

điểm phân biệt có hoành độ z,, z,, z; thoả mãn z#¡ < ~l< #; < 2; khi và chỉ

khi mm < —5

Chú ý : Học sinh có thể tham khảo thêm về lí thuyết của Định lí đảo về dấu của

tam thức bậc hai

Ví dụ 4 Cho đường cong = #Š — 3mz° + 2m(m — 4) + 9m? — m Tìm mm

để đường cong chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau

Giải ˆ_ Điểu kiện cẩn : Giả sử đường cong chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau, tức là đường cong cắt trục hoành tai ba diém „

phân biệt A, , Ở sao cho BA = BƠ % ;

Giả sử z., z„, z tương ứng là hoành _

? > ˆ cal

Vi z,, Z,, 2, là ba nghiệm của phương trình bậc ba : " — ma” + 2m(m — 4) + 9m” —?m =0 (1)

nên áp dụng định lí Vi-ét voi (1), tacd: a, +2, +2, = 3m -

Từ đó : 3m = 3z, + z, =m Do m la nghigém cua (1), nén thay m vào

m=0

m=i1

Vậy : điều kiện cần là m = 0 hoặc zn = 1

Điều kiện đủ :

® Nếu mm = 0, khi đó đường cong trở thành ÿ = z” Rõ ràng = #” chỉ cắt

trục hoành tại một điểm, suy ra loại trường hợp này

® Nếu m = 1 => = z` — 3z? —6z+8 Từ :

y=0 8 (4- 1)(@* - 2z—8)=0 |x, =1 RO rang đường cong cat

z, = 4

trục hoành tại ba điểm có hoành độ Z,, Z, , Sao cho #, —# = #¿ — #,, tức là

chắn trên trục hoành ba toạ độ bằng nhau

Vay voi m = | là giá trị của tham sô mm cân tìm

_ 2.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUANĐÉN CAC TINH CHAT DINH TINH CUA HAM SO

Phương pháp giải

© Để phát hiện tính đối xứng trục hoặc đối xứng tâm của đồ thị hàm số, người

ta dùng phép tịnh tiến theo vectơ Ol (với Ï (x, Yo) ), biến hệ tọa độ Oxy

thành hệ toa d6 mdi IXY Ta cé công thức đôi hệ trục toạ độ như sau :

y=Y+y-

® Nếu trong hệ trục toạ độ mới (theo các biến X,Y ) hàm số có dạng hàm số

chẵn thì đồ thị có trục đối xứng song song với trục tung ; còn nêu hàm sô có

dạng hàm số lẻ thì đô thị có tâm đôi xứng

Vĩ dụ 1 Cho hàm số : ÿ = #* + 4mz” + 3(m + 1)z? +1 Tìm m để đề thị có

trục đối xứng song song với trục tung

"Giải

Trong hệ trục toạ độ theo các biến X, Y ta có :

65

5.TTGT12-A

Yty,=(X+ +} + đm(X +)” + 3m +1)(X +ay} +, (1)

Đô thị có trục đôi xứng khi và chỉ khi (1) có dạng hàm sô chăn theo X ; tức là các hệ số của X” và X trong khai triển về phải của (1) bằng 0, tức là hệ sau được

thoả mãn : đa + 12ma,’ + 6(m + 1)#„ = 0 - 8m? — 6m? — 6m = 0 (3)

m=0

Từ @), ta có : m(4m? — 3m — 3) = 0 © = 3+ 57

Vậy, để đường cong có trục đối xứng song song với trục tung, thì các giá trị cân tìm của m là :

- Hoặc rn = Ö : khi đó trục đôi xứng là z = 0 ;

- Hoặc m = ¿rối : khi đó trục đối xứng la 2-= =3= vst :

- Hoặc in = =_ : khi đó trục đối xứng la 2 = = tvs

Vidu2 Cho hàm số: ụ = z” — 3+ có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đỗ thị hàm số

2 Viết phương trình đường cong (C”) đối xứng với (C) qua đường

thẳng r=,

3, Vé dé thi cia duong cong (C’)

Giải _1, Học sinh tự làm Đồ thị (Œ) của hàm số có dạng như hình bên

1

"Mt AM’

Bop

O} 2,1 2-4, 4

#=l

2 Ta có nhận xét : Điểm M(2, > Y,) khi đối xứng qua đường thẳng z = 1 sé

trở thành điểm Ä⁄//(2 — Zi Yy) Phép đối xứng trục là phép dời hình, nên bảo toàn

hình dáng và độ lớn của hình Vì thế qua phép đối xứng + == 1, đường cong

ụ = +” 3z vẫn biến thành đường cong bậc ba ÿ = a#” + b+” + e# + đ Mặt khác

một đường cong bậc ba được xác định một cách duy nhất khi biết bốn điểm của nó

Xét bốn điểm đặc biệt sau trên đường cong y=2° — 8z là O(0;0) ;

M(-1; 2) ; N(1;—2) ; P(2; 2) Qua phép bién hinh, ta co :

O—=O(2;0); M— MÍ(3;2) : WN—N(1;—2); P— P10;2)

VÌ đường cong (C”) với phương trình y = a# + bz? + c+ + đ đi qua : Ó',

Mˆ, N', P7 nên ta có hệ phương trình sau :

8a + 4b + 2c+d=0 4a+ 2b +c=—1 œ@= —]

Vậy : (C”) có dạng : = —2* +62? —92 +2,

3 Xét (Œ/) với phương trình : Ụ = —#” +6z? — 0z +2 Ta có :

Uˆ = =3z” + 12z — 9 = 3(~z? + 4z — 3)

dấu y' Từ đó, suy ra đồ thị của (C") có

Nhận xét: ® Ta có cách giải Câu 2 tìm

phương trình của (Œ') như sau : Như đã biết qua

phép đối xứng trục z = 1, điểm M(+z; z” — 3x)

+00

M'(2—2;2° —2) nam trén (C’) Dé tim dang

của (C”) ta phải biểu diễn 2? — 32 qua đa thức

bậc ba của 2 — z như sau :

+” = đe = A(2—2)' + BQ-~ z} + Œ2—z)+ÐD

= A(8— 12z + 6+” — z”) + B(4~ 4z+z”)+Œ(2—z)+D

= 4z” +(6A+ B)z” +(—12A— 4B— Ø9 +8A+4B + 2Ø + D (1)

Từ đó Suy ra hệ sau đây để xác định các hệ số A, Ø, Œ, D (bằng phép

đồng nhất hệ sô ở hai về của (1)) :

~124—4B-C=-3 ? lo = -9

67