tìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm maple

tìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm maple

ideal ®a thøc b»ng phÇn mÒm maple

Lª V¨n T©n 1

Líp TNK32 - Khoa To¸n - Tin häc, §¹i häc §µ L¹t

GVHD: Vâ TiÕn5/2012

1 §Ò tµi Kho¸ LuËn Tèt NghiÖp To¸n Häc n¨m häc 2011 - 2012

Lời nói đầu 3

1 Một vài khái niệm và kết quả chuẩn bị 4

1.1 Một vài quy -ớc ký hiệu 4

1.2 Đa thức và không gian affin 4

1.3 Ideals 6

1.4 Thứ tự từ 10

1.5 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 11

1.6 Cơ sở Gră obner 14

2 Một số giải thuật tính toán về ideal đa thức 20 2.1 Tổng các ideal 20

2.2 Tích các ideal 22

2.3 Giao các ideal 23

2.3.1 Ideal khử 23

2.3.2 Giao các ideal 24

2.4 Th-ơng các ideal 28

2.5 Căn các ideal 31

2.5.1 Đa thức bất khả quy 31

2.5.2 Căn các ideal 32

Kết luận và h-ớng nghiên cứu 39

2

Lời nói đầu

Tính toán hình thức (symbolic computation), hay còn gọi là Đại số máytính (Computer Algebra) là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học vàkhoa học máy tính Nó ra đời d-ới ảnh h-ởng của sự phát triển và phổ cậphóa máy tính cá nhân Một mặt, sự phát triển này đòi hỏi phải xây dựng các

lý thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán và các phần mềmtoán học Mặt khác, khả năng tính toán mỗi ngày một tăng của máy tính giúptriển khai tính toán thực nhiều thuật toán Sự phát triển của Đại số máy tínhcũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết Hiệnnay mỗi ng-ời nghiên cứu toán học đều có khả năng tiếp cận máy tính và cácloại phần mềm khác nhau để phục vụ công tác nghiên cứu Ideal đa thức làlớp ideal đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến Lớp ideal này rất quan trọngvì nó là cơ sở cho nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán Ngoài ra, các phéptoán và tính chất về ideal đa thức có nhiều ứng dụng quan trọng Chẳng hạn,việc nghiên cứu căn của ideal gắn chặt với việc nghiên cứu nghiệm của hệph-ơng trình đa thức

Đề tài luận văn nhằm tìm hiểu, tiếp cận lý thuyết và cài đặt một số giảithuật tính toán về ideal đa thức Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý toán họcnh- Maple, Macaulay, CocoA, Mathematica, Matlab, với nhiều gói chuyêndụng cho từng bộ môn Toán học Luận văn này chọn phần mềm Maple đểcài đặt các giải thuật đ-a ra vì bên cạnh những lợi ích của nó, phần mềm nàycòn rất dễ sử dụng và quen thuộc với sinh viên chúng ta Trên cơ sở đó nộidung luận văn gồm hai ch-ơng:

• Ch-ơng 1: Trình bày một số khái niệm và kết quả chuẩn bị giúp đọcgiả dễ dàng nắm bắt đ-ợc các cơ sở lý thuyết và giải thuật tính toán ởch-ơng 2 Mở đầu sẽ là một số quy -ớc ký hiệu Sau đó sẽ trình bàykhái niệm đa thức, ideal, thứ tự từ và từ khởi đầu, đơn thức đầu, cũng

nh- định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Gră obner.

• Ch-ơng 2: Đây là ch-ơng cốt lõi của luận văn Ch-ơng này sẽ trìnhbày một số khái niệm, tính chất xuất phát điểm để xây dựng một số giảithuật tính toán về ideal đa thức, bao gồm: Tổng các ideal, tích các ideal,giao các ideal, th-ơng các ideal và căn các ideal

Một vài khái niệm và kết quả chuẩn bị

Ta quy -ớc một số ký hiệu th-ờng dùng sau:

• Ký hiệu k là một tr-ờng (chẳng hạn, k là tr-ờng số hữu tỷ (Q), k là

α1+ α2+ + αn

gọi là bậc của đơn thức này.

Để đơn giản, ta th-ờng viết

Định nghĩa 1.2.2 Đa thức f theo các biến x1, x2, , xn với các hệ số trong

k là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các đơn thức với các hệ số trong k; tức là

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử f, g ∈ k[x1, x2, , xn] Đa thức h ∈ k[x1, x2, , xn]

gọi là bội chung nhỏ nhất của f và g, ký hiệu là LCM (f, g), nếu thỏa mãn

các điều sau

(i) h chia hết cho f và h chia hết cho g.

(ii) Nếu p chia hết cho f và p chia hết cho g thì p cũng chia hết cho h, với p ∈ k[x1, x2, , xn].

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử f := P

α∈Λ aαxα là đa thức trong k[x1, x2, , xn].

(i) aα là hệ số của đơn thức xα.

(ii) Nếu aα 6= 0 thì aαxα gọi là một từ của f.

(iii) Bậc của f , ký hiệu deg f, là số nguyên lớn nhất |α| sao cho aα 6= 0.

Ví dụ 1.2.1 Giả sử f (x, y, z) := 2x3y2z + 5xy3+ 7xyz + 9z3 ∈ Q[x, y, z] Ta

có deg f = 6.

Định nghĩa 1.2.5 Cho k là một tr-ờng và n là số nguyên d-ơng Khi đó tập

hợp

kn := {(a1, a2, , an)|ai ∈ k, i = 1, 2, , n}

gọi là không gian affine n chiều trên tr-ờng k.

Khi n = 1 ta gọi k1 là đ-ờng thẳng affine; khi n = 2 ta gọi k2 là mặt phẳng affine.

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử k là một tr-ờng và f1, f2, , fs ∈ k[x1, x2, , xn].

Khi đó tập hợp

V (f1, f2, , fs) := {(a1, a2, , an) ∈ kn|fi(a1, a2, , an) = 0, i = 1, 2, , s}

gọi là đa tạp affine xác định bởi f1, f2, , fs.

Ví dụ 1.2.2 Trong R2 đa tạp affine V (x2+ y2− 1) là đ-ờng tròn tâm tại gốc tọa độ bán kính đơn vị.

Định nghĩa 1.2.7 Tr-ờng k gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức khác hằng

trong k[x] có nghiệm thuộc k.

Ví dụ 1.2.3 Tr-ờng các số thực R không đóng đại số vì đa thức x2+ 1 không

có nghiệm trong R Tr-ờng các số phức C là đóng đại số.

Ví dụ 1.3.1 Tập {xf + yg|f, g ∈ k[x, y]} là một ideal trong vành k[x, y].

Định nghĩa 1.3.2 Cho f1, f2, , fs là các đa thức trong k[x1, x2, , xn] Khi

đó ta ký hiệu

hf1, f2, , fsi :=

nXs i=1

figi|g1, g2, , gs ∈ k[x1, x2, , xn]

o

.

Định nghĩa 1.3.3 Cho I là một ideal trong k[x1, x2, , xn] I gọi là hữu

hạn sinh nếu tồn tại các đa thức f1, f2, , fs sao cho I = hf1, f2, , fsi Khi

đó ta nói f1, f2, , fs là một tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I Ideal sinh

bởi một phần tử gọi là ideal chính.

Ví dụ 1.3.2 Ideal

{xf + y2g|f, g ∈ k[x, y]}

sinh bởi các đa thức x và y2.

Bổ đề 1.3.1 Cho f1, f2, , fs ∈ k[x1, x2, , xn], thì hf1, f2, , fsi là một ideal trong k[x1, x2, , xn].

Chúng ta gọi hf1, f2, , fsi là ideal sinh bởi f1, f2, , fn

Điều này chỉ ra rằng hf1, f2, , fsi là một ideal.

Ghi chú Vì 0 là ideal bé nhất chứa ∅ nên ta quy -ớc h∅i = 0.

Nếu ideal là hữu hạn sinh thì làm việc với các phần tử sinh mới thuậntiện Do vậy lớp vành sau đây đóng vai trò quan trọng

Định lý 1.3.1 Cho R là một vành Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

(i) Mọi tập khác rỗng các ideal trong R đều có phần tử lớn nhất.

(ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R:

I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ,

đều dừng lại sau hữu hạn b-ớc, tức là tồn tại k ≥ 1 để Ik = Ik+1 =

(iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.

Chứng minh: (ii) ⇒ (i): Giả sử ta có (ii) Cho A là một tập khác rỗng các

ideal của R Giả sử A không có phần tử cực đại Lấy I1 là phần tử tùy ý của

A Vì I1 không là phần tử cực đại nên chọn đ-ợc I2 ∈ A sao cho I1 ⊂ I2

Vì I2 không là phần tử cực đại nên chọn đ-ợc I3 ∈ A sao cho I2 ⊂ I3 Tiếp

tục quá trình trên ta xây dựng đ-ợc một dãy tăng gồm vô hạn các ideal Điều

này mâu thuẫn với (ii).

(i) ⇒ (iii): Cho I là một ideal trong R Ký hiệu F là tập các ideal hữu hạn sinh chứa I Vì 0 ∈ F nên tập này khác rỗng, và theo (i) nó chứa

một phần tử cực đại J Nếu J ⊂ I thì tồn tại a ∈ I\J Vì J = (a1, , an), nên J 0 = (a1, , an, a) ⊆ I là ideal hữu hạn sinh và thực sự chứa J Do đó,

J 0 ∈ F Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của J Vậy I = J ∈ F

(iii) ⇒ (ii): Cho dãy tăng các ideal trong R:

I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 ⊆

Đặt I = ∪ n≥1 In Nếu a, b ∈ I thì tồn tại p, q ≥ 1 để a ∈ Ip và b ∈ Iq Không

mất tính tổng quát có thể giả sử p ≤ q Vì Ip ⊆ Iq nên a ∈ Iq và a + b ∈

Iq ⊆ I Với mọi r ∈ R ta cũng có ra ∈ Ip ⊆ I Vậy I là ideal Theo

(iii) tồn tại a1, , am sao cho I = (a1, , am) Do ai ∈ I nên có thể chọn

đ-ợc pi ≥ 1 sao cho ai ∈ Ipi, i = 1, , m Chọn p = max{p1, , pm} Vì

Ipi ⊆ Ip nên ai ∈ Ip, i = 1, , m Suy ra I ⊆ Ip Nh-ng Ip ⊆ Ip+n ⊆ I nên

phải có I = Ip = Ip+n, với mọi n ≥ 1.

Định nghĩa 1.3.4 Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện t-ơng đ-ơng

trên gọi là vành Noether.

Định lý 1.3.2 (Định lý Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập

n biến Khi đó vành R[x] cũng là vành Noether.

Chứng minh: Quy nạp theo số biến, chỉ cần chứng minh cho vành một biến R[x] Cho

I0 ⊆ I1 ⊆ ⊆ Ij ⊆

là một dãy tăng các ideal của R[x] Với mỗi ideal I của R và i ∈ N, đặt

Li(I) = {ai ∈ R|∃a i−1 , , a0 ∈ R :

Vì R là vành Noether nên tồn tại p, q ∈ N sao cho Lp(Iq) là phần tử cực

đại của họ các ideal {Li(Ij)|i, j ∈ N} Từ các dãy tăng trên suy ra với mọi

Ta sẽ chứng tỏ Ij = It nếu j ≤ t Giả sử It ⊂ Ij Trong số các đa thức

khác 0 của tập hợp Ij \ It ta chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn

f (x) = a0+ +amxm, với a0, , am ∈ R, am 6= 0 Vì am ∈ Lm(Ij) = Lm(It)

nên tồn tại g(x) = b0+ +b m−1 x m−1 +amxm ∈ It Rõ ràng (f −g) ∈ (Ij\ It), nh-ng deg(f (x) − g(x)) < deg(f (x)), điều này mâu thuẫn với cách chọn f Vậy Ij = It với mọi j ≤ t, hay R[x] là vành Noether.

Định nghĩa 1.3.5 Cho V ⊂ kn là đa tạp affine Khi đó ký hiệu

I(V ) := {f ∈ k[x1, , xn]|f (a1, , an) = 0, với mọi (a1, , an) ∈ V }.

Ví dụ 1.3.3 Giả sử V = {(0, 0)} ⊂ k2 Khi đó

I(V ) = hx, yi.

Bổ đề 1.3.2 Nếu V ⊂ kn là một đa tạp affine, thì khi đó I(V ) ⊂ k[x1, , xn]

là một ideal.

Ta gọi I(V ) là ideal của V

Chứng minh: Dễ thấy rằng 0 ∈ I(V ) vì đa thức không triệt tiêu trên mọi kn,

và đặc biệt nó triệt tiêu trên V Giả sử f, g ∈ I(V ) và h ∈ k[x1, , xn] Cho (a1, , an) là một điểm tùy ý của V Khi đó

f (a1, , an) + g(a1, , an) = 0 + 0 = 0,

h(a1, , an)f (a1, , an) = h(a1, , an).0 = 0,

và điều này chỉ ra rằng I(V ) là một ideal.

1.4 Thứ tự từ

Định nghĩa 1.4.1 Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập Tn thoả mãn các tính chất sau:

(i) 1 < xα với mọi xα ∈ Tn, xα 6= 1.

(ii) Nếu xα < xβ, thì xαxγ < xβxγ, với mọi xγ ∈ Tn.

• Ta định nghĩa một số thứ tự từ quan trọng sau:

Định nghĩa 1.4.2 Một thứ tự từ điển (Lexicographic Order) trên Tn với

x1 > x2 > > xn và α = (α1, , αn), β = (β1, , βn) đ-ợc định nghĩa sau:

nh-xα <lex xβ ⇐⇒ thành phần đầu tiên αi và βi trong α và β kể từ bên trái, khác nhau, thoả αi < βi.

Ví dụ 1.4.1 Trong tr-ờng hợp hai biến x1, x2 với x1 > x2, ta có:

1 <lex x2 <lex x22 <lex x23 <lex <lex x1 <lex x23x1 <lex <lex x12 <lex

Định nghĩa 1.4.3 Một thứ tự từ điển phân bậc (Graded Lex Order) trên

Tn với x1 > > xn và α = (α1, , αn), β = (β1, , βn) đ-ợc định nghĩa nh- sau:

đồng thời xα < xβ theo thứ tự từ điển lex.

Ví dụ 1.4.2 Trong tr-ờng hợp hai biến x1, x2 với x1 > x2, ta có:

1 <grlex x2 <grlex x1 <grlex x22 <grlex x12x2 <grlex x13 <grlex

Định nghĩa 1.4.4 Một thứ tự từ điển ng-ợc (Graded Reverse Lex Order)

trên Tn với x1 > x2 > > xn và α = (α1, , αn), β = (β1, , βn) đ-ợc định nghĩa nh- sau:

Ví dụ 1.4.3 Trong tr-ờng hợp ba biến x1, x2, x3 với x1 > x2 > x3 có bậc tổng thể không quá 2, ta có:

1 <grevlex x3 <grevlex x2 <grevlex x1 <grevlex x1x2 <grevlex x12 <grevlex

Ghi chú Trong Mapple 13 các thứ tự sau hay đ-ợc dùng:

Với mọi 0 6= f ∈ k[x1, , xn], ta có thể biểu diễn

Ghi chú. • Trong Mapple 13

{ LeadingCoef f icient là hệ số đầu.

{ LeadingM onomial là đơn thức đầu.

{ LeadingT erm là số hạng đầu (từ khởi đầu).

• lp, lc, lt có tính giao hoán : lp(f g) = lp(f )lp(g), lc(f g) = lc(f )lc(g),

và lt(f g) = lt(f )lt(g).

• Nếu thay đổi thứ tự số hạng, thì lp(f ), lc(f ), lt(f ) có thể thay đổi.

Ví dụ 1.5.1 Cho f = 2x2yz + 3xy3 − 2x3 :

{ Nếu thứ tự là lex với x > y > z, thì

Định nghĩa 1.5.1 Cho f, g, h ∈ k[x1, , xn], với g 6= 0, ta nói rằng f rút gọn

về h theo modulo g (một cấp), viết f −−→ h, nếu và chỉ nếu tồn tại một đơngthức X(= lt(f )) trong f mà nó chia hết cho lp(g) và

h = f − X

lt(g) g.

Ví dụ 1.5.2 f = y2x + 4xy − 3x2, g = 2y + x + 1 ∈ Q[x, y] theo thứ tự từ

điển phân bậc grlex với y > x, thì:

Đa thức cuối cùng không có số hạng nào chia hết cho lp(g) = y.

Định nghĩa 1.5.2 Cho f, h và g1, g2, , gs, là các đa thức thuộc k[x1, x2, , xn], với gi 6= 0 (1 ≤ i ≤ s), và cho G = {g1, g2, , gs} Ta nói rằng f rút gọn về

h theo modulo G và ký hiệu f −−→G +h, nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy chỉ

số i1, i2, , it ∈ {1, 2, , s} và dãy đa thức h1, h2, , h t−1 ∈ k[x1, x2, , xn]

sao cho:

f −−→ hgi1 1 −−→ hgi2 2 −−→ hgit−1 t−1 −−→ h.gitNg-ợc lại, ta nói f đã đ-ợc rút gọn theo modulo G, h gọi là phần d- của f theo G.

Rõ ràng quá trình rút gọn liên quan tới việc trừ đi một bội số thích hợpcủa một đa thức từ một đa thức khác nhằm đạt đ-ợc một kết quả nhỏ hơnthực sự.

Ví dụ 1.5.3 Cho f1 = yx − y, f2 = y2− x ∈ Q[x, y] theo thứ tự từ điển phân bậc grlex với y > x Cho F = {f1, f2}, f = y2x Khi đó,

f −−→F +x, Vì

y2x −−→ yf1 2 −−→ x.f2

Thuật toán 1.5.1 (Thuật toán chia đa thức)

Input: Cho f, g1, , gs ∈ k[x1, x2, , xn] với gi 6= 0 (1 ≤ i ≤ s)

Output: Tìm u1, , us và r sao cho f = u1g1+ + usgs + r

Ghi chú Trong thuật toán trên ui và r thỏa các điều kiện sau:

(i) Hoặc r = 0, hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các

từ khởi đầu của lt(gi) Hơn nữa lt(r) ≤ lt(f ).

(ii) Nếu ui 6= 0 thì lt(uifi) ≤ lt(f ), i = 1, , s.

Chứng minh: Trong các b-ớc của thuật toán, từ khởi đầu của h bị khử cho tới

khi không thể thực hiện đ-ợc nữa Khi đó ta sẽ có dãy h1, h2, sao cho hi+1

đ-ợc tính từ hi bằng cách trừ đi lt(hi) và có thể cả những đa thức nhỏ hơn.Trong đó lt(hi)

lt(gj)fj = lt(hi)+ đa thức bé hơn (trong tr-ờng hợp lp(gj)|lp(hi))

hoặc bằng cách trừ đi lt(hi) (trong tr-ờng hợp lp(hi)không chia hết cho lp(fj))

Vì vậy, với mọi i, lp(hi+1) < lp(hi) Do đó, các lp(hi) là các đơn thức đ-ợc

sắp thứ tự tốt nên dãy hi sẽ dừng lại sau hữu hạn b-ớc

Chú ý, trong thuật toán trên ban đầu h = f, chúng ta có ở mỗi b-ớc

Định nghĩa 1.5.3 Cho I ⊂ k[x1, , xn] là một ideal khác {0}.

(i) Ta ký hiệu lt(I) là tập hợp các số hạng đầu của các phần tử của I Vì vậy,

Định nghĩa 1.6.1 Cố định bậc một đơn thức. Khi đó một tập hữu hạn

G = {g1, g2, , gs} gọi là một cơ sở Gră obner của I nếu :

hlt(g1), , lt(gs)i = hlt(I)i.

Ta cũng có định nghĩa khác về cơ sở Gră obner nh- sau:

Định nghĩa 1.6.2 Một tập các đa thức khác không G = {g1, , gs} chứa

trong ideal I, đ-ợc gọi là một cơ sở Gră obner của I nếu và chỉ nếu:

∀f ∈ I(f 6= 0), ∃i ∈ {1, 2, , s} : lp(gi)|lp(f ).

Định lý 1.6.1 Giả sử I là ideal khác không trong vành đa thức k[x1, x2, , xn]

và G = {g1, g2, , gs} ⊂ I là tập các đa thức khác không Khi đó các điều sau là t-ơng đ-ơng:

(i) G là cơ sở Gră obner của I.

vậy f ∈ I khi và chỉ khi r ∈ I Dễ thấy, nếu r = 0 (tức là f −→G+ 0) thì

f ∈ I Ng-ợc lại, nếu f ∈ I và r 6= 0 Khi đó r ∈ I và theo (i) tồn tại

i ∈ {1, , s} sao cho lp(gi)|lp(r) Điều này là mâu thuẫn vì r là rút gọn theo

mỗi hạng tử đều chia hết cho lp(gi) Do đó lt(f ) ở vế trái cũng chia hết cho

lp(gi), điều này chứng tỏ G là cơ sở Gră obner của I.

Hệ quả 1.6.1 Nếu G = {g1, g2, , gs} là cơ sở Gră obner của ideal I thì

I = hg1, g2, , gsi.

Chứng minh: Dễ thấy hg1, g2, , gsi ⊆ I Ng-ợc lại, ∀f ∈ I thì f −−→G +0,

do đó f ∈ hg1, g2, , gsi Vậy I = hg1, g2, , gsi.

Định lý 1.6.2 Giả sử G = {g1, g2, , gs} là một tập các đa thức khác không trong k[x1, x2, , xn] thì G là cơ sở Gră obner nếu và chỉ nếu với bất kỳ

f ∈ k[x1, x2, , xn] phần d- của phép chia f bởi G là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử có hai đa thức d- r và r 0 : f −→G+ r, f −→G+ r 0 Tức là

tồn tại q1, , qs, q 01, , qs0 ∈ R để f = q1g1+ +qsgs+r = q10 g1+ +qs0 gs+r 0

Khi đó, r − r 0 = (q10 − q1)g1 + + (qs0 − qs)gs ∈ G Vì g1, , gs là cơ sở

Gră obner của G nên tồn tại i ≤ s để lp(r − r 0 ) chia hết cho lp(gi) Nh-ng

điều đó không thể xảy ra nếu lt(r − r 0 ) 6= 0, vì đơn thức của lp(r − r 0) phải

là một đơn thức của r hoặc r 0 , mà theo thuật toán chia đa thức, không có từ

nào của r và r 0 chia hết cho lp(fi) Vậy phải có r = r 0

Bổ đề 1.6.1 Gỉa sử f1, f2, , fs ∈ k[x1, x2, , xn] sao cho lp(fi) = X 6= 0 và

Chứng minh: Ta viết fi = aiX+ đa thức có bậc thấp hơn bậc của X, ai ∈ k.

Theo giả thuyết ta có

S(f, g) = L( f

lt(f ) −

g lt(g))gọi là S-đa thức của f và g.

Trong đó, L = LCM (lp(f ), lp(g)) là bội chung nhỏ nhất của lp(f ) và

S(gi, gj) −→G + 0.

Chứng minh: Điều kiện cần: do gi, gj ∈ I, nên S(gi, gj) ∈ I Vì G là cơ

sở Gră obner của I, theo Định lý 1.6.1 và Định lý 1.6.2 thì đa thức d- của

S(gi, gj) trong phép chia cho G xác định duy nhất và bằng 0.

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s, một đa thức d- của

S(gi, gj) trong phép chia cho G bằng 0 (đa thức này đ-ợc chọn duy nhất) Ta chỉ cần chứng minh rằng trong những tr-ờng hợp này G là cơ sở Gră obner.

Cho f ∈ I = hg1, g2, , gsi Khi đó tồn tại h1, , hs ∈ k[x1, x2, , xn] saocho

f = h1g1+ + hsgs. (1.6.1)

Trong tất cả những biểu diễn nh- trên của f, ta chọn biểu diễn sao cho:

max{lp(h1g1), , lp(hsgs)} nhỏ nhất Đơn thức này hoàn toàn xác định vì thứ tụ từ là thứ tự tốt Ký hiệu nó là m = xd Để không làm rấc rối thêm kýhiệu ta giả sử biểu diễn (1.6.1) thõa mãn:

max{lp(h1g1), , lp(hsgs)} = m.

Giả sử lp(f ) < m Khi đó các từ lớn nhất của higi triệt tiêu nhau Đặt

mi = lp(higi), tách các từ cao nhất ra để vận dụng Bổ đề 1.6.1 nh- sau:

Theo giả thuyết đa thức d- của S(gj, gk) trong phép chia cho G là không,

max{lp(h 01g1), , lp(h 0sgs)} < m.

Điều này mẫu thuẫn với cách chọn m Vậy phải có lp(f ) = m Do đó tồn tại i để lp(f ) = lp(higi) = lp(hi)lp(gi) hay lt(f ) ∈ hlt(g1), , lt(gs))i Theo

định nghĩa G là cơ sở Gră obner của I.

Ví dụ 1.6.2 Cho f1 = xy − x, f2 = x2 − y ∈ (Q)[x, y] theo thứ tự từ điển phân bậc grlex với x < y Cho F = {f1, f2} Khi đó,

S(f1, f2) = xf1− yf2 = y2− x2 −→ yF 2− y,

và f3 = y2− y là rút gọn theo F Ta thêm f3 vào F, và đặt F 0 = {f1, f2, f3} Khi đó,