Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)

Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

DƯƠNG THỊ LAN HƯƠNG

VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Đoàn Trung Cường

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Phân tích bất khả quy của đa thức 4

1.2 Thuật toán chia đa thức 7

Chương 2 Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy 11 2.1 Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy 11

2.2 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein 16

2.3 Trường hợp đa thức thu gọn P(X) không có nghiệm trong Fp 24

2.4 Bài tập đề nghị 26

Chương 3 Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 28

3.2 Thuật toán Yun phân tích không bình phương 32

3.2.1 Phân tích không bình phương 32

3.2.2 Thuật toán Yun 35

3.3 Phân tích nhân tử của đa thức trên trường hữu hạn Fp 38

3.3.1 Thuật toán tổng quát 38

3.3.2 Phân tích tách bậc 40

3.3.3 Phân tích đồng bậc 42

3.4 Phân tích bất khả quy trên Z[X] 44

3.4.1 Chặn cho hệ số của các ước trong vành đa thức nguyên 443.4.2 Phân tích bất khả quy mod pe 483.4.3 Thuật toán Zassenhaus 51

Mở đầu

Đa thức là một khái niệm cơ sở của toán học Một mặt đa thức là đối tượng nghiêncứu của đại số, một mặt chúng xuất hiện trong tất cả các lĩnh vực của toán họccũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác Các bài toán về đa thức xuất hiện cả trongtoán phổ thông cũng như toán cao cấp Trong toán phổ thông, những bài toán về

đa thức thường là những bài toán khó, hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi,

kể cả các kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia và Olympic Toán Quốc tế

Khi xét đa thức, một vấn đề được người ta quan tâm là tính bất khả quy và rộnghơn là phân tích của đa thức đó thành tích các đa thức bất khả quy Tính chất nàycũng tương tự như của các số nguyên là tính chất nguyên tố và phân tích thành tíchcác số nguyên tố Các câu hỏi về tính bất khả quy và phân tích bất khả quy của

đa thức nói chung là khó trả lời hơn nhiều Do vậy, việc hệ thống lại một số tiêuchuẩn về đa thức bất khả quy và nghiên cứu một số thuật toán phân tích đa thứcmột biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử là cần thiết Với lý do như vậy, chúng

tôi chọn đề tài “Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử”.

Khác với các số nguyên, một thuật toán để phân tích một đa thức nguyên thànhtích các đa thức nguyên bất khả quy là không hiển nhiên Nếu xét đa thức với hệ

số trên một trường hữu hạn thì việc phân tích sẽ khả thi hơn, vì chỉ có hữu hạn đathức có bậc nhỏ hơn bậc của một đa thức cho trước Với các đa thức hệ số nguyên,những thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu quả (về mặt tính toán)đều đưa đa thức về xét trên trường hữu hạn, sau đó nâng phân tích tìm được lên lạivành các số nguyên

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số thuật toán phân tích một đa thứcthành tích các nhân tử bất khả quy, trong đó xét các trường hợp đa thức nguyên,

đa thức có hệ số trên một trường hữu hạn Fp Nội dung chính của luận văn là trìnhbày chi tiết những kết quả chọn lọc trong một số tài liệu về tiêu chuẩn đa thức bấtkhả quy thông qua thu gọn mod p (reduction mod p) và các thuật toán phân tích

đa thức một biến thành nhân tử bất khả quy như thuật toán Kronecker, thuật toánYun, thuật toán Zassenhaus

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức

cơ sở chuẩn bị cho các chương sau như định lý phân tích đa thức thành nhân tử, bổ

đề Gauss, thuật toán chia đa thức và thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai đathức

Chương 2 Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy Chúng tôi trình bày việc xét tínhchất bất khả quy của một đa thức nguyên thông qua thu gọn mod p với p là một

số nguyên tố Kết quả chính được trình bày là tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein

và các mở rộng của nó Các tiêu chuẩn này được trình bày rất ngắn gọn thông quathu gọn mod p

Chương 3 Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương nàychúng tôi trình bày thuật toán Kronecker để phân tích một đa thức nguyên thànhnhân tử Đây là thuật toán đầu tiên để phân tích đa thức nguyên, tuy nhiên chỉ có ýnghĩa lý thuyết do về mặt tính toán thì rất không hiệu quả

Tiếp theo chúng tôi trình bày thuật toán Yun để phân tích một đa thức thànhcác ước không chứa bình phương Thuật toán tiếp theo chúng tôi trình bày là phântích các đa thức với hệ số trên trường hữu hạn thành nhân tử Ý tưởng của các thuậttoán này được sử dụng trong thuật toán Zassenhaus, trình bày trong phần cuối cùngcủa Chương 3, để phân tích một đa thức nguyên thành tích các đa thức nguyên bấtkhả quy Ý tưởng của thuật toán này là chuyển việc xét đa thức nguyên về xét trêntrường Fp, sau đó sử dụng thuật toán trước để phân tích đa thức thành tích các đathức bất khả quy trên Fp Cuối cùng, sử dụng một dạng của Bổ đề Hensel để nângphân tích này lên trên Z

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của TS Đoàn Trung Cường (Viện Toánhọc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đápnhững thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã thamgia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp B, cao họcToán khóa 8 (2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quátrình học tập

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạoHải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Lê Hồng Phong,Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ họctập và công tác của mình

Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ vàđại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thànhtốt luận văn này

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Dương Thị Lan Hương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này là nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việctrình bày các kết quả trong các chương sau Nội dung của chương là chúng tôi nhắclại một số định lí về đa thức bất khả quy và phân tích bất khả quy, thuật toán chia

đa thức, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức Hầu hết các kết quảtrong chương này được trình bày dựa theo tài liệu [2]

1.1 Phân tích bất khả quy của đa thức

Trong tiết này, chúng ta nhắc lại một số kết quả về đa thức bất khả quy và sự tồntại phân tích bất khả quy

Nhắc lại, một đa thức khác hằng với hệ số trên một trường là bất khả quy nếu

nó không phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn Ví dụ, mọi đathức bậc nhất aX + b, với a 6= 0, đều là bất khả quy

Tính chất bất khả quy của một đa thức phụ thuộc vào trường hệ số được xét

Ví dụ, đa thức P(X) = X2+ 1là đa thức bất khả quy trong R[X] nhưng là đa thứckhả quy trong C[X] vì P(X) = (X − i)(X + i)

Để xét tính chất bất khả quy của một đa thức, ta hay dùng bổ đề đơn giản sau

để biến đổi đa thức về dạng mà ta có thể áp dụng một số tiêu chuẩn bất khả quy đãbiết

Bổ đề 1.1.1 Cho đa thức P(X) với hệ số trên một trường K Với mỗi a ∈ K, đa

thức P(X ) là bất khả quy khi và chỉ khi đa thức P(X + a) là bất khả quy.

Chứng minh. Trước hết nhận xét rằng degP(X) = degP(X + a) Ngoài ra, mộtphân tích P(X) = H(X)K(X) tương đương với một phân tích P(X + a) = H(X +a)K(X + a) Vì vậy P(X) là khả quy khi và chỉ khi P(X + a) là khả quy.

Hai đa thức P(X),Q(X) được gọi là liên hợp nếu P(X) = λ Q(X) với một hằng

với Pi∈ K[X] là đa thức bất khả quy đôi một không liên hợp, α1, , αr> 0 Hơn

nữa phân tích này là duy nhất sai khác một thứ tự của các ước bất khả quy.

Với đa thức nguyên, ta cũng định nghĩa một đa thức nguyên khác hằng là bấtkhả quy nếu nó không phân tích được thành tích hai đa thức có bậc nhỏ hơn.Với định nghĩa này thì đa thức nguyên bất khả quy không là một phần tử bấtkhả quy trong vành Z[X] như định nghĩa thông thường Ví dụ, đa thức nguyên2X + 4 = 2(X + 2)vẫn là đa thức bất khả quy theo định nghĩa trên Trong toàn bộluận văn này ta sẽ sử dụng định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy này

Một đa thức nguyên cũng là một đa thức hữu tỷ (có hệ số trên trường các sốhữu tỷ Q) Liên hệ giữa tính chất bất khả quy trên Z và trên Q được thể hiện trongđịnh lý nổi tiếng sau, thường gọi là Bổ đề Gauss

Định lí 1.1.3 (Bổ đề Gauss) Cho một đa thức nguyên P(X) khác hằng Giả sử

có phân tích P(X ) = G(X )F(X ) với G(X ), F(X ) là các đa thức có hệ số hữu tỷ Khi đó tồn tại các đa thức nguyên G∗(X ), F∗(X ) sao cho deg G(X ) = deg G∗(X ),

deg F(X ) = deg F∗(X ) và P(X ) = G∗(X )F∗(X ) Nói riêng, nếu P(X ) là khả quy

trên Q thì nó phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp hơn.

Chứng minh. Viết F(X) = aF1(X )và G(X) = bG1(X )trong đó a, b ∈ Q và F1(X ),

G1(X ) ∈ Z[X] là các đa thức nguyên mà hệ số có ước chung lớn nhất bằng 1(thường gọi là các đa thức nguyên bản) Rõ ràng P(X) = abF1(X )G1(X ) ∈ Z[X]

Ta chứng minh ab ∈ Z Thật vậy, giả sử ab /∈ Z Khi đó, ab = r/s với r/s là phân

số tối giản và s > 1 Viết

hệ số nguyên, degF(X) = degF∗(X )và degG(X) = deg G∗(X )

Như vậy với một đa thức nguyên thì tính chất bất khả quy trên Z và trên Q làtương đương

Tương tự như định lý phân tích duy nhất của các đa thức với hệ số trên mộttrường, ta có định lý phân tích cho đa thức nguyên Nhắc lại là một đa thức nguyênđược gọi là đa thức nguyên bản (primitive) nếu các hệ số của đa thức đó có ướcchung lớn nhất là 1

Định lí 1.1.4 (Phân tích thành nhân tử) Mọi đa thức nguyên khác hằng đều có

1.2 Thuật toán chia đa thức

Trong các tính toán trên các đa thức, thuật toán chia Euclid đóng vai trò then chốt

Từ thuật toán này người ta dẫn đến các thuật toán cơ bản khác như tìm ước chunglớn nhất, tìm bội chung nhỏ nhất, Trong các thuật toán phân tích đa thức thànhnhân tử mà ta xét ở phần sau, thuật toán chia đa thức và tìm ước chung nhỏ nhấtthường xuyên được dùng Trong tiết này ta nhắc lại thuật toán này Trong các tiếtsau ta sẽ không nhắc lại mà sử dụng như một thuật toán cơ sở đã biết

Giả sử K là một trường Cho F(X),G(X) là hai đa thức với hệ số trên K, trong

đó G(X) 6= 0 Khi đó luôn tồn tại duy nhất hai đa thức Q(X) và R(X) sao cho

F(X ) = G(X )Q(X ) + R(X ),trong đó degR(X) < degG(X)

Để tìm các đa thức thương Q(X) và dư R(X) ta thực hiện như sau: Nếu F(X) =

0hoặc degF(X) < degG(X) thì ta chọn Q(X) = 0 và R(X) = F(X) Giả sử F(X) 6=

0và degF(X) ≥ degG(X) Đặt degF(x) = n và degG(X) = m Giả sử am, bm lầnlượt là hệ số cao nhất của F(X), G(X) Vì K là trường nên tồn tại phần tử b−1

sao cho bmb−1m = 1 Chọn H(X) = amb−1m xn−m Đặt F1(X ) = F(X ) − G(X )H(X ).Khi đó F1(X ) = 0hoặc degF1(X ) < deg F(X ) Nếu F1(X ) = 0hoặc degF1(X ) <deg G(X ) thì dư của phép chia là R(X) = F1(X ) và thương là Q(X) = H(X).Nếu F1(X ) 6= 0 và degF1(X ) ≥ deg G(X ) thì ta tiếp tục làm tương tự đối với cặp

đa thức F1(X ) và G(X) và ta được đa thức F2(X ) và H1(X ) thỏa mãn F2(X ) =

F1(X ) − G(X )H(X ), trong đó F2(X ) = 0 hoặc degF2(X ) < deg F1(X ) Cứ tiếp tụcquá trình này, ta thu được dãy F1(X ), F2(X ), , Fk−1(X )gồm các đa thức khác 0với bậc giảm dần Các bậc này không thể giảm mãi nên quá trình phải dừng tạimột bước k nào đó, khi mà Fk(X )là đa thức đầu tiên hoặc bằng 0 hoặc có bậc béhơn bậc của G(X)

Thuật toán trên được gọi là thuật toán chia Eulid Các bước của thuật toán cụthể là

F1(X ) = F(X ) − G(X )H(X ), deg F(X ) > deg F1(X ) ≥ deg G(X )

F2(X ) = F1(X ) − G(X )H1(X ), deg F1(X ) > deg F2(X ) ≥ deg G(X )

Fk−1(X ) = Fk−2(X ) − G(X )Hk−2(X ), degFk−2(X ) > deg Fk−1(X ) ≥ deg G(X )

Fk(X ) = Fk−1(X ) − G(X )Hk−1(X ),với Fk(X ) = 0hoặc degFk(X ) < deg G(X ).Cộng từng vế với vế các đẳng thức đó lại ta được

Vậy, thương của phép chia là Q(X) = X + 8 và dư là R(X) = −11X + 5

Chú ý 1.2.2 Với các đa thức nguyên không phải lúc nào ta cũng chia được hai đa

thức cho nhau Ví dụ không thể chia P(X) = X1+ 1cho đa thức Q(X) = 2X +4 đểnhận được các đa thức thương Q(X) và đa thức dư R(X) cũng là đa thức nguyên.Tuy nhiên, nếu hệ số bậc cao nhất của Q(X) bằng 1 hoặc −1 thì ta vẫn sử dụngđược thuật toán Euclid như ở trên để tìm thương và dư khi chia một đa thức choQ(X )

Tiếp theo ta xét thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức Nhắc lại làtrên một trường K, ước chung lớn nhất của hai đa thức F,G 6= 0 là đa thức R có bậclớn nhất sao cho R chia hết F,G Nếu R là ước chung lớn nhất của F,G thì λ R, với

λ 6= 0 ∈ K, cũng là ước chung lớn nhất Do đó ước chung lớn nhất của hai đa thức

là không duy nhất Tuy nhiên, ước chung lớn nhất với hệ số bậc cao nhất bằng 1(đa thức monic) là duy nhất và thường được ký hiệu là gcd(F(X),G(X))

Để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức, ta có định lý sau đây

Định lí 1.2.3 (Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất) Giả sử F(X), G(X) là

hai đa thức với hệ số trên một trường K và G(X ) 6= 0 Khi đó tồn tại số tự nhiên k

và các đa thức Ri(X ), Qi(X ) ∈ K[X ] sao cho

Bổ đề 1.2.4 Giả sử F(X) = G(X)Q(X) + R(X) trong đó hoặc R(X) = 0 hoặc

R(X ) 6= và deg R(X ) < deg G(x) Khi đó mỗi ước chung lớn nhất của F(X ) vàG(X ) là một ước chung lớn nhất của G(X ) và R(X )

Chứng minh Định lý 1.2.3. Chia F(X) cho G(X) ta được thương Q0(X ) và dư

R0(X ) Nếu R0 6= 0thì chia G(X) cho R0(X )ta được thương Q1(X )và dư R1(X ).Nếu R1(X ) 6= 0thì chia R0(X )cho R1(X )ta được thương Q2(X ) và dư là R2(X )

Cứ tiếp tục quá trình trên, quá trình này phải dừng lại sau một số hữu hạn bước vìdãy giảm các số tự nhiên

deg G(X ) > deg R0(X ) deg R1(X ) > · · ·

không thể kéo dài vô hạn Từ Bổ đề 1.2.4 ta suy ra ước chung lớn nhất của F(X)



Do đó −2X + 2 là một ước chung lớn nhất của X2− 1 và X3− 3X + 2 Vì thế

−2X + 2là một ước chung lớn nhất của X3− 3X + 2, X4− 1và X6− 1

Chương 2

Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy

Kiểm tra tính chất bất khả quy là một phần của bài toán phân tích một đa thứcthành nhân tử Mục đích của chương này là trình bày chi tiết những kết quả chọnlọc trong một số tài liệu về tiêu chuẩn đa thức bất khả quy thông qua thu gọn mod

p, tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein và một số mở rộng có minh họa bằng các vídụ

2.1 Thu gọn mod p và đa thức bất khả quy

Một trong những cách kiểm tra tính bất khả quy của một đa thức nguyên khá hữuhiệu là sử dụng thu gọn mod p, với p là một số nguyên tố Nghĩa là thay cho việckiểm tra trực tiếp với đa thức nguyên P(X), ta kiểm tra trước hết cho đa thức thugọn P(X) modulo một số nguyên tố p nào đó Phương pháp kiểm tra này dựa trênnhận xét sau

Bổ đề 2.1.1 Cho một đa thức nguyên bản P(X) và một số nguyên tố p Giả sử p

không là ước của hệ số bậc cao nhất của P(X ) Nếu P(X ) là khả quy trên Z thì đa thức tương ứng P(X ) là khả quy trên trên trường Fp.

Chứng minh. Giả sử

P(X ) = anXn+ an−1Xn−1+ + a1X+ a0,với degP = n Đa thức tương ứng của P(X) trên Fp là

P(X ) = anXn+ an−1Xn−1+ + a1X+ a0

Theo giả thiết, P(X) được phân tích thành

P(X ) = H(X )K(X ), với 0 < degH(X), degK(X) < n

Do đó, xét mod p, trên trường Fp ta có

P(X ) = H(X )K(X ),nên P(X) phân tích được thành tích hai đa thức

Vì p 6 | an nên ¯an6= 0 trong Fp do đó degP(X) = n Ngoài ra, do degH(X) ≥deg H(X ), degK(X) ≥ degK(X) mà

deg H(X ) + deg K(X ) = deg P(X ) = deg P(X ) = deg H(X ) + deg K(X ),nên degH(X) = degH(X) < n, degK(X) = degK(X) < n

Vậy đa thức P(X) khả quy trên trường Fp

Như vậy để xét tính bất khả quy của một đa thức nguyên, ta có thể trước hết xéttính chất bất khả quy của đa thức thu gọn tương ứng mod p với p là một số nguyên

tố thích hợp Việc xét tính chất bất khả quy của một đa thức trên một trường hữuhạn có nhiều thuận lợi Ví dụ, trên Fp chỉ có hữu hạn đa thức có bậc nhỏ hơn số

ncho trước Trong trường hợp đa thức có bậc nhỏ, ta có thể kiểm tra tính bất khảquy thông qua việc tìm nghiệm đa thức như sau

Bổ đề 2.1.2 Cho một đa thức nguyên P(X) có bậc degP(X) ≤ 3 và một số nguyên

tố p Khi đó P(X ) là bất khả quy trên Fp khi và chỉ khi P(X ) có một nghiệm trong

Giả sử degH(X) = 1, hay H(X) = b1X+b0với b16= 0 Ta có P(X) = b1X+ b0
K(X),nên đa thức P(X) có nghiệm X = −b0

Điều kiện đủ.Giả sử P(X) có một nghiệm trên Fp là X = X0 Khi đó ta có thể viết

P(X ) = (X − X0)Q(X )với 0 < degQ(X) ≤ 2 Như vậy đa thức P(X) khả quy trên

Ta có P(¯0) = ¯1, P(¯1) = ¯1 nên P(X) 6= 0 với mọi X ∈ F2 Dẫn đến P(X) không có

nghiệm trong trường F2

Vì P(X) không có nghiệm trên F2 nên nếu P(X) khả quy trên F2thì P(X) phải

có phân tích dạng

P(X ) = (X2+ a1X+ a0)(X3+ b2X2+ b1X+ b0)

= X5+ (b2+ a1)X4+ (a0+ a1b2+ b1)X3+ (a0b2+ b0+ a1b1)X2

+(a0b1+ a1b0)X + a0b0.Suy ra

Từ Bổ đề 2.1.1 suy ra P(X) là đa thức bất khả quy.

Ví dụ 2.1.4 Với mỗi số nguyên n không là bội của 5, đa thức P(X) = X5− X + n

là bất khả quy

Theo giả thiết 5 6 | n nên n 6= 0 Xét thu gọn mod 5 P(X) = X5− X + n

Giả sử P(X) khả quy trên F5, hay P(X) có phân tích P(X) = H(X)K(X), với

0 < deg H(X ) ≤ deg K(X ) < 5.Có hai trường hợp xảy ra

Trường hợp 2.Ta viết

P(X ) = (X2+ a1X+ a0)(X3+ b2X2+ b1X+ b0)

= X5+ (b2+ a1)X4+ (b1+ a1+ a1b2)X3+(b0+ a1b1+ a0b2)X2+ (a1b0+ a0b1)X + a0b0Suy ra

Theo Định lí Fermat nhỏ trên F5, ta có a15 ≡ a1 Suy ra a1= 0hoặc a16= 0.Nếu a1= 0thì từ phương trình thứ hai suy ra n = 0 (điều này vô lý)

Nếu a16= 0thì a15 = a1 kéo theo a14= 1 Suy ra

3a0a12− a02= 0.

Giải phương trình này ta được a0 = 0hoặc là a0= 3a12 Suy ra n = 0 (vô lý).Như vậy P(X) bất khả quy trên F5 Từ Bổ đề 2.1.1 suy ra P(X) là đa thức bấtkhả quy

Một mặt phương pháp thu gọn mod p khá hữu hiệu để kiểm tra một số đa thức

có là bất khả quy hay không, một mặt ta cần chú ý rằng phương pháp này khôngphải lúc nào cũng áp dụng được, ít nhất là áp dụng trực tiếp Trong ví dụ sau đây

ta sẽ thấy có đa thức nguyên bất khả quy đồng thời là khả quy trên mọi trường Fp

Ví dụ 2.1.5 Xét đa thức P(X) = X4+ 1 Dễ dàng chứng minh trực tiếp (bằng địnhnghĩa) P(X) là một đa thức nguyên bất khả quy Xét một số nguyên tố p và ta tìmhiểu phân tích của P(X) trên Fp

Với p = 2 ta có P(X) = (X + 1)4

Với p = 3 thì P(X) = (X2+ X + 2)(X2− X + 2)

Nhận xét là luôn có một trong các số −1, 2, −2 là bình phương trong trường

Fp, nghĩa là số đó có dạng x2 với một phần tử x ∈ Fp nào đó Thật vậy, ký hiệu

A= {a ∈ Fp : a 6= 0}và B = a2∈ Fp : a 6= 0 Khi đó B ⊆ A là một nhóm con

Vì a2 = b2 tương đương với a = ±b nên |B| = |A| hoặc |B| = |A|

2 Do đó, A/B cócấp 1 hoặc 2 Nói riêng, nếu a, b ∈ A \ B thì ab ∈ B Như vây, nếu −1, 2 không làbình phương thì −2 = (−1) · 2 phải là bình phương Sử dụng nhận xét này, ta xétcác trường hợp

• Nếu −1 = a2 thì P(X) = (X2− a)(X2+ a)

• Nếu +2 = b2 thì P(X) = (X2+ bX + 1)(X2− bX + 1)

• Nếu −2 = c2thì P(X) = (X2+ cX − 1)(X2− cX − 1)

Vậy P(X) là đa thức khả quy trên Fp với mọi số nguyên tố p

2.2 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein

Trong các tiêu chuẩn bất khả quy của một đa thức nguyên, tiêu chuẩn Eisenstein làmột trong những tiêu chuẩn quan trọng nhất Sử dụng phương pháp thu gọn mod p,

ta có thể chứng minh tiêu chuẩn này khá ngắn gọn Hơn nữa, phương pháp chứngminh này cho phép ta có thể mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein ra cho nhiều đa thứckhác

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ trình bày tiêu chuẩn Eisenstein và một số ví

dụ minh họa việc sử dụng tiêu chuẩn này

Định lí 2.2.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho đa thức nguyên bản

P(X ) = anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X+ a0

Giả sử có một số nguyên tố p sao cho

(1) p là ước của a0, , an−1,

(2) p không là ước của an,

(3) p2 không là ước của a0.

Khi đó P(X ) là một đa thức nguyên bất khả quy.

Chứng minh. Trên trường Fp, ta có P(X) = anXn Giả sử P(X) = H(X)K(X), tasuy ra H(X)K(X) = anXn Từ Định lý phân tích nhân tử (Định lý 1.1.2), ta có

H(X ) = bhXh, h≤ deg H(X),K(X ) = ckXk, k≤ deg K(X)

Suy ra n = h+k ≤ degH(X)+degK(X) = n Do vậy h = degH(X), k = degK(X).Giả sử h > 0, k > 0 và P(X) = H(X)K(X) Suy ra P(0) = H(0)K(0) Theo giả thiết

(a) P(X) = X8− 6X6+ 9X4− 12X2+ 15 Thật vậy, xét p = 3 ta có 3 là ước của

−6, 9, −12, 15, và 32không phải là ước của 15 Theo tiêu chuẩn Eisenstein,

đa thức P(X) là bất khả quy trên Z

(b) P(X) = Xn− pqvới 0 < p < q là các số nguyên tố Thật vậy, ta có p là ướccủa −pq và p2 không phải là ước của −pq Áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein,

đa thức P(X) là bất khả quy trên Z

Trong nhiều bài toán, tiêu chuẩn Eisenstein không được áp dụng trực tiếp đểxem xét tính bất khả quy của một đa thức mà ta phải biến đổi đa thức đi một chútdựa trên Bổ đề 1.1.1 trong chương trước Ta xét các ví dụ minh họa sau

Ví dụ 2.2.3 Các đa thức sau là bất khả quy.

hay là P(X) = (X − 1)p−1 Điều này gợi ý ta đổi biến số

ta được p | 35, suy ra p = 5 hoặc p = 7 Thử lần lượt, các giá trị a = ±1,

a= ±2bị loại Với a = 3, áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein cho đa thức

P(X ) = X4+ 15X3+ 80X2+ 185X + 160với số nguyên tố p = 5, suy ra đa thức P(X) là bất khả quy

Trong phần tiếp theo ta sẽ xét một số mở rộng của tiêu chuẩn Eisenstein Trướchết ta có định nghĩa hữu ích sau đây

Định nghĩa 2.2.4 Cho các số tự nhiên n ≥ m ≥ 0 và một số nguyên tố p Giả sử

P(X ) = anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X+ a0,với các hệ số là các số nguyên a0, a1, , an Ta nói đa thức P(X) có tính chấtEm,p

nếu p là ước của a0, a1, , am−1và p không phải là ước của am

Nhận xét 2.2.5 Trong phát biểu tiêu chuẩn Eisenstein thì đa thức P(X) có tính

Điều kiện đủ.Giả sử P(X) = XmP1(X ), P1(0) 6= 0 Suy ra có biểu diễn

P(X ) = XmP1(X ) + pQ(X )với Q(X) là một đa thức nào đó Ta có

P1(X ) = X P2(X ) + bm, bm6= 0,Q(X ) = Xm+1Q1(X ) + cmXm+ · · · + c1X+ c0.Suy ra

P(X ) = Xm(X P2(X ) + bm) + p(Xm+1Q1(X ) + cmXm+ · · · + c1X+ c0)

= Xm+1(P2(X ) + pQ1(X )) + (bm+ pcm)Xm+ pcm−1Xm−1

+ · · · + pc1X+ pc0

Do đó đa thức P(X) có tính chấtEm,p

Hệ quả 2.2.7 Cho đa thức nguyên P(X) và một số nguyên tố p không đồng thời

là ước của tất cả các hệ số của đa thức P(X ) Đa thức P(X ) luôn có tính chấtEm,p

với 0 ≤ m ≤ deg P(X ) nào đó Số m như vậy là duy nhất và chỉ phụ thuộc vào P(X )

và p.

Mệnh đề 2.2.8 Cho đa thức nguyên P(X) và một số nguyên tố p không đồng thời

là ước của tất cả các hệ số của đa thức P(X ) Giả sử P(X ) = H(X )K(X ) với H(X )

và K(X ) là các đa thức nguyên Khi đó, nếu P(X ) có tính chấtEm,p, H(X ) có tính chấtEh,p thì h ≤ m và K(X ) có tính chấtEm−h,p.

Chứng minh. Trong Fp[X ]ta có

P(X ) = XmP1(X ) với P1(0) 6= 0,H(X ) = XhH1(X ) với H1(0) 6= 0

Ta có P(X) = H(X)K(X) nên XmP1(X ) = XhH1(X )K(X ) Vì X 6 | P1(X ), suy ra

Xh| Xm nên h ≤ m Kéo theo

Xm−hP1(X ) = H1(X )K1(X )

Vì X 6 | H1(X )nên H1(X ) | Xm−hP1(X ), suy ra H1(X ) | P1(X )hay

P1(X ) = H1(X )K1(X ) với đa thức K1(X )nào đó

Do đó K(X) = Xm−hK1(X ) Vì P1(0) = H1(0)K1(0)nên K1(0) 6= 0 Suy ra K(X)

có tính chấtEm−h,p

Định lí 2.2.9 (Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng) Cho đa thức nguyên

P(X ) = anXn+ an−1Xn−1+ · · · + a1X+ a0

với các hệ số là các số nguyên a0, a1, , an nguyên tố cùng nhau Giả sử có một

số m ∈ { 1, , n} và số nguyên tố p sao cho

(1) p là ước của a0, , am−1,

(2) p không là ước của am,

(3) p2 không là ước của a0.

Khi đó P(X ) có một ước là đa thức nguyên bất khả quy có bậc lớn hơn hoặc bằng

m.

Chứng minh. Từ giả thiết suy ra P(X) có tính chấtEm,p Cố định số m, ta sẽ chứngminh bài toán bằng phương pháp quy nạp theo n = degP(X) Chú ý rằng, n ≥ m.Xét n = m, khi đó đa thức P(X) có tính chất En,p, từ tiêu chuẩn Eisenstein tasuy ra P(X) bất khả quy

Xét n > m Giả sử P(X) có một ước H(X) với 0 < degH(X) < m (nếu khôngtồn tại một ước H(X) như vậy thì kết luận được chứng minh)

Ta có P(X) = H(X)K(X) Khi đó, H(X) có tính chấtEh,p, K(x) có tính chất

Ek,pvới h+k = m nào đó Ta có P(0) = H(0)K(0) Vì p26 | P(0)nên p 6 | H(0) hoặc

p6 | K(0) Do h+k = m và h ≤ degH(X) < m suy ra k > 0 Ta có K(X) = XkK1(X )suy ra K(0) = 0 nên p | K(0) Do đó p 6 | H(0) suy ra H(0) 6= 0 hên h = 0 Suy ra

k= m Như vậy, K(X) thỏa mãn

Nhận xét 2.2.10 Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng có thể được phát biểu theo cách

khác: Cho một đa thức nguyên P(X) và một số nguyên tố p Giả sử đa thức P(X)

có tính chấtEm,p và p26 | P(0) Khi đó P(X) có một ước là đa thức bất khả quy cóbậc lớn hơn hoặc bằng m

Bổ đề 2.2.11 Giả sử đa thức P(X) có tính chất Em,p và p26 | P(0) Nếu P(X) được

viết thành P(X ) = H(X )K(X ) thì hoặc H(X ) có tính chấtEm,p và p 6 | K( 0), hoặc

K(X ) có tính chấtEm,p và p 6 | H( 0).

Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.6 suy ra H(X) có tính chất Eh,p, K(X) có tính chất

Ek,p, với k + h = m nào đó

Do p26 | P(0)suy ra p 6 | H(0), tức là h = 0, do vậy k = m Từ đây suy ra K(X)

có tính chất Em,p, hoặc p 6 | K(0) Vậy k = 0, tương đương với h = m Như vậyH(X )có tính chấtEm,p

Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.2.11

Hệ quả 2.2.13 Giả sử P(X) là đa thức monic có tính chất En−1,pvà P(X ) không

có nghiệm nguyên, trong đó n = deg P(X ) Giả sử p26 | P(0) Khi đó P(X) là bất

Thật vậy, vì P(X) có tính chất En−1,3 và P(X) không có nghiệm nguyên nêntheo Hệ quả 2.2.13, đa thức P(X) là bất khả quy.

Ví dụ 2.2.15 Đa thức P(X) = X4− X3+ X + 2là bất khả quy trên Z

Để kiểm tra điều này, ta thử với một số giá trị của p Trên trường F2ta có phântích

P(X ) = X (X3+ X2+ 1)

là tích của hai đa thức bất khả quy

Trên trường F3 ta phân tích như sau

P(X ) = X4− X3+ X − 1

= (X − 1)(X3+ 1)

= (X − 1)(X + 1)3.Phân tích này gợi ý ta xét

Mệnh đề 2.3.1 Cho các đa thức nguyên F(X) và R(X) thỏa mãn