Chuyên đề: Bất đẳng thức cô-si - áp dụng Tiếp theo * Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị.. +Dạng 2.1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị mà các biế
Trang 1Chuyên đề: Bất đẳng thức.
Chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki Bài toán 1: Cho
4
3 ,
,b c ≥ −
Chứng minh rằng: 4a+ 3 + 4b+ 3 + 4c+ 3 ≤ 3 7
Bài toán 2: Cho 4 số thực u, v, x, y thoả mãnx2 +y2 =u2 +v2 = 1
CMR: − 2 ≤u(x−y) +v(x+y) ≤ 2
Bài toán 3: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi.Chứng minh
rằng: p≤ p−a+ p−b+ p−c ≤ 3p.
Bài toán 4: Có tồn tại hay không ba số a, b, c thoả mãn bất đẳng thức
) 1 ( 1 1
Bài toán 5: Cho a, b, c, d >0 CMR: ≥ 2
+
+ +
+ +
+
d d a
c d c
b c b a
Bài toán 6: Cho x≥ y≥z 0 CMR: 2 2 2 (x2 y2 z2 ) 2
y
x z x
z y z
y x
+ +
≥ + +
Bài toán 7: Cho a, b, c, d >0 CMR: ≥38
+ +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+
c b a
a d b a d
d c a d c
c b d c b
b a
Bài toán 8: Cho x2 +y2 +z2 = 1 CMR: x+ 2y+ 3z ≤ 14
Bài toán 9: Cho a2 +b2 +c2 +d2 = 1 CMR:
R x x
d cx x b
ax
x2 + + ) 2 + ( 2 + + ) 2 ≤ ( 2 2 + 1 ) 2 ∀ ∈
(
Bài toán 10: Cho a+b+c+d=4 CMR: a2 +b2 +c2 +d2 ≥ 4
Bài toán 11: Cho a2 +b2 =x2 +y2 = 1 CMR: a) ax+by ≤ 1 ; b) a(x+y) +b(x−y) ≤ 2
Bài toán 12: Cho x1 +x2 + +x n = 1 CMR:
n x x
x12+ 22+ + n2 ≥ 1
Bài toán 13: Cho 0 ≤a≤b≤c≤d và a+b+c+d=1 CMR: a2 + 3b2 + 5c2 + 7d2 ≥ 1
Bài toán 14: Cho xy+yz+zx=1 CMR:
3
1
4 4
4 + y +z ≥
x
Bài toán 15: Cho a,b,c ≥ − 1 và a+b+c=1 CMR: a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 ≤ 2 3
Bài toán 16: Cho a, b, c>0 CMR: ( 3 3 3 ) 1 1 1 (a b c) 2
c b a c b
+ + +
+
Bài toán 17: Cho a, b, c>0 và abc=1 CMR: 1 1 1 (a b c) ( a b c) 2
c b
+ +
Bài toán 18: Cho a, b, c ∈R CMR:
2
2 3 ) 1 ( )
1 ( )
1
2 + −b + b + −c + c + −a ≥
a
Bài toán 19: Cho a>c>0; b>c>0 CMR: (a+c)(b+c) + (a−c)(b−c) ≤ 2 ab
Bài toán 20: Cho 6x+y=5 CMR: 9x2 +y2 ≥ 5
Bài toán 21: Cho 4a2 +b2 = 1 CMR: ( 6a+b) 2 ≤ 10
Chuyên đề: Bất đẳng thức cô-si - áp dụng (Tiếp theo)
* Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị.
+Dạng 2.1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị mà các biến không có
điều kiện ràng buộc.
Trang 2Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
1 2
x x
y= + với x>0
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y =x 1 −x2
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
x
y = −1
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=yz x−1+zx xyz y−2+xy z−3
Bài toán 5: Cho n số dơng tuỳ ý x1,x2, x n tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+
+
+
=
1 3
2 2
1
nx
x nx
x nx
x
Bài toán 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số
)
(
3 2 1
2 2
2
2 1
n
n
x x
x x
x x
x
+ + +
+ + +
+ Dạng 2.2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong bài toán cực trị mà các biến có điều kiện ràng buộc.
Bài toán 7: Cho a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện a.b=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b a b a b a A
+ + + + +
= ( 1 )( 2 2 ) 4
Bài toán 8: Cho ba số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện x2005 +y2005 +z2005 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F =x2 +y2 +z2
Bài toán 9: Cho x, y, z là các số dơng và x+y+z=1
+
+
+
=
z y x
A 1 1 1 1 1 1
Bài toán 10: Giả sử x, y, z là những số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1+ +1
+
+ +
=
z
z y
y x
x P
Bài toán 11: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiệnxyz≥x+y+z+ 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+z
Bài toán 12: Cho các số không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =a3 +b3 +c3
Bài toán 13: Cho a ≥ 3 Tìm giá trị nhỏ nhấ của biểu thức
a a
S = +1
* Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong giải phơng trình
Bài toán 14: Giải phơng trình
14 12 3 2 5 3
2x− + − x = x2 − x+
Bài toán 15: Giải phơng trình
2 1
x
Trang 3Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh
1 6 12
25 11
7
2 x3 − x2 + x− =x2 + x−
Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh
1 6 2
3 3 5
2 x3 + x2 + x− =x2 + x−
Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh
6 1
1 1
1 1
1 +x2 + −x2 + 3 +x3 + 3 −x3 + 4 +x4 + 4 −x4 =