Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức bunhiacopxki

Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya...17 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1...19 Chương 2 : RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)

Mã số: 601410

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2012

2

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục kí hiệu viết tắt ii

Danh mục các bảng v

Danh mục các biểu đồ vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Tư duy và tư duy sáng tạo 9

1.1.1 Tư duy 9

1.1.2 Tư duy sáng tạo 11

1.2 Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học 16

1.3 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya 17

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 19

Chương 2 : RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 20

2.1 Bất đẳng thức Côsi 20

2.1.1 Bất đẳng thức Côsi: 20

2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng 21

2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki 50

2.2.3 Một số kĩ thuật thường dùng 51

2.3 Các bài toán sáng tạo bất đẳng thức 67

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 72

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 74

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm 74

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 74

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 74

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 74

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 74

3.3.2 Đề kiểm tra 75

3.4 Những đánh giá từ kết quả bài giảng và bài kiểm tra 77

3.4.1 Kết quả từ bài giảng 77

3.4.2 Kết quả từ bài kiểm tra của học sinh 77

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 79

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

iv 84

DANH MỤC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Kết quả thống kê từ giáo viên về tính khả thi của giờ dạy.Bảng 3.2: Tỉ lệ bài trên trung bình và dưới trung bình của học sinh.Bảng 3.3: Tỉ lệ bài khá, giỏi của học sinh

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1: Kết quả bài kiểm tra, đánh giá của học sinh

5

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Nước ta đang trong giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập vớicộng đồng quốc tế Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nước, đổi mới giáodục là trọng tâm của sự phát triển Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc côngnghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế là con người Công cuộc đổi mới nàyđòi hỏi nhà trường phải tạo ra những con người lao động năng động, sáng tạo đểlàm chủ đất nước, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định

“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sángtạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươnlên.” [13]

Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyếtmâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với phương pháp giáo dục của nước tahiện nay Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mớiphương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới là:phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạtđộng và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Nhìn chung, tư tưởng chủ đạo của phương pháp đổi mới là: tập trung vào cáchoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu traođổi giữa trò và trò

Vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh đã được khá nhiều người quantâm nghiên cứu Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực

tế giảng dạy môn toán ở các trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế vì hầu hếtgiáo viên chưa thấy được tác dụng to lớn của phương pháp này nên chưa được coitrọng và áp dụng vào thực tế Ngoài ra, giáo viên cũng chưa có nhiều kinh nghiệm

và thiếu những cơ sở lí luận để xây dựng các hoạt động tương thích với nội dung ,chưa được huấn luyện một cách có hệ thống, chưa có điều kiện để thực hiện,…Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán phổ thông nhưngcũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị Trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi

học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay được đề cập và là một thử thách thực

sự với các thí sinh

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki”.

2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc rèn tư duy

- Nghiên cứu một số kỹ năng áp dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức

Bunhiacopxki vào chứng minh bất đẳng thức

- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài, trên cơ sở đó đưa ragiải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán, góp phần tích cực vào công cuộcđổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy

- Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki trong chương trình Toán THPT

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thứcBunhiacopxki với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc và GV biết khai thác triệt

để các bài tập đó để rèn luyện tư duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thaotác tư duy, rèn năng lực tư duy độc lập, sáng tạo,… ) thì năng lực tư duy của HS sẽphát triển

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu tài lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học

7

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức

có liên quan đến bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này

- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này

- Thực nghiệm sư phạm và thống kê

7. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3

chương Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một

số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên

hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiên tượng trong hiện thựckhách quan mà trước đó ta chưa biết [11]

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt độngsản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp,phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệkhông thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho

xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệchặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.Tiêu biểu cho tư duy là quá trình trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp Kết quảcủa quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”

1.1.1.2 Các thao tác của tư duy

a Phân tích

Là quá trình tách các sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng xác định Xuất phát từ góc độ phân tích, các hoạt động tư duy đi sâu vào bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa học Trong học tập, hoạt động này rất phổ biến b Tổng hợp

9

Là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tínhthống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyênvẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định cácmối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó trong việcliên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượngnguyên vẹn mới Như vậy, tư duy tổng hợp cũng được phát triển từ sơ đẳng đếnphức tạp với khối lượng lớn Phân tích và tổng hợp không phải là hai phạm trù riêng

rẽ của tư duy Đây là hai quá trình có mối quan hệ biện chứng Phân tích để tổnghợp có cơ sở và tổng hợp để phân tich đạt được chiều sâu bản chất sự vật hiệntượng Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tưduy và các thao tác tư duy của học sinh

c So sánh

Là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồngnhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiệntượng của hiện thực Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai tròtích cực

d Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ đi những mặt, những thuộctính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết về phương diện nào đó vàchỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhauthành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chungnhất dịnh Những thuộc tính này bao gồm hai loại: những thuộc tính giống nhau vànhững thuộc tính chung bản chất

Khái quát hóa và trừu tượng hóa có mối liên hệ mật thiết với nhau, chi phối

và bổ sung cho nhau, giống như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ởmức độ cao hơn

Trên đây là những thao tác tư duy cơ bản Khi xem xét chúng trong mộthành động tư duy cụ thể cần chú ý mấy điểm sau:

Thứ nhất, các thao tác tư duy có mối quan hệ mật thiết vói nhau, thống nhấtvới nhau theo một hướng nhất định, do nhiệm vụ của tư duy quy định

Thứ hai, trong thực tế, các thao tác tư duy đan chéo nhau chứ không theo trình tự máy móc nêu trên.

Cuối cùng tùy theo nhiệm vụ và điều kiện tư duy, không nhất thiết hành động tư duy nào cũng phải thực hiện đầy đủ các thao tác trên

1.1.2 Tư duy sáng tạo

1.1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai

ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ).Sáng tạo cần được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phátsinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực củacon người

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sángtạo Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là nhữngđiều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sángtạo của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo racái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnhcái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [11]

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo

ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” Và theo tác giả “tưduy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tínhđộc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp”.Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo

ra nó [10]

Nhà tâm lí học người Đức Mehlow cho rằng:”Tư duy sáng tạo là hạt nhâncủa sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo ông, tưduy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ nhưtính mềm dẻo, tính chính xác, tính nhạy cảm, tính kế hoạch Trong khi đó, J.DanTonlại cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới,tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sựđánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi

11

phiêu lưu bao gồm những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trítưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.

Trong cuốn “Sáng tạo toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là cóhiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi làsáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.Các bài toán vận dụng phương tiện và tư liệu này có số lượng càng lớn, có dạngmuôn màu muôn vẻ thì mức độ sang tạo của tư duy càng cao ”[14]

Qua những định nghĩa của các tác giả trên chúng ta đều nhận thấy nét phổbiến nhất của tư duy sáng tạo là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sángtạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới, về các phương thức hoạt động Lene đãchỉ ra các thuộc tính sau của tư duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải

- Kỹ năng sáng tạo ra một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng theo một phương thức khác

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sángtạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ởtính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

1.1.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lí học, giáo dục học, về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạtđộng trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạtcác hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa

và các phương pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác,điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại Suy nghĩ không

rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vàohoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoátkhỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cáchsuy nghĩ từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấychức năng mới của đối tượng quen biết.

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sángtạo Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải cácbài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng

sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyếtmới Các nhà tâm lí học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đólàm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất địnhcác ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ýtưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng Tínhnhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiềugiải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề giảiquyết, người cố tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiềuphương án tối ưu

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìnsinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bấtbiến, phiến diện, cứng nhắc

Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởngnhư không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

13

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có mối quan hệmật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo tạođiều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khácnhau và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giảipháp lạ, đặc sắc Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như:tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưngnói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt độngtrí tuệ của cin người.

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinhnói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể

là hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết

sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích khi tìm tòi lời gải và dùngtổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh khá giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tốđặc trưng của tư duy sáng tạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phươngpháp dạt học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo

ở các em

1.1.2.3 Một số việc cần làm để phát triển tư duy toán học cho học sinh

Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duysáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khái thác nội dung cácvấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn

đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các

khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và vận dụng thiếusáng tạo.

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sángtạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thứctổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biếtchuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập có những vấn

đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liêntưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bàitoán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng cácđịnh lí, quy tắc trong chương trình…

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong

đó giáo viên đưa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoánđược những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn

đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứngminh một định lý Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễntrong quá trình dạy toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phảichứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyếtvấn đề

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệhữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần đượcluyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìnthấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau.Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự hóa để chuyển từtrường hợp riêng lẻ này sang trường hợp riêng lẻ khác, khai thác mối liên hệ mật

15

thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát vàmệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể luyện tập cho họcsinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trênnhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trongnhững sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giảipháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễncũng như tính độc đáo của tư duy.

1.1.3 Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học

1.1.3.1 Vị trí

Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn Toán ở trường phổthông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông quagiải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động như nhận dạng, thể hiện các kháiniệm, định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phứchợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toánhọc

Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh nắmvững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán họcvào thực tiễn

1.1.3.2 Chức năng và vai trò của bài tập toán học

Chức năng của bài tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể là:

Về mặt mục đích dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học của môn toán như:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

- Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dungdưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần

lý thuyết

Về mặt phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để

HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạyhọc khác nhau Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS họctập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đượcthực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khácnhau Về phương pháp dạy học, đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việcvới nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán làphương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả nănglàm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS cũng như hiệu quả giảng dạycủa GV

1.1.4 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Theo Polya (1975), phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải bài toángồm bốn bước

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để tìm hiểu nội dung bài toán, HS cần thực hiện các thao tác: phát biểu đề bàidưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho

và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việcdiễn tả đề bài

Qua các bước ở trên ta thấy, việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn không,thừa hay thiếu…đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo Nếu làm tốt được bước này

thì việc giải bài toán có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng Bước 2: Tìm

cách giải

Để tìm được cách giải, HS cần thực hiện những hoạt động sau:

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như: biếnđổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cáiphải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự,một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

17

có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minhphản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kếtquả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan Tìm thêmcách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lí nhất

Thực hiện được các hoạt động ở bước 2, tư duy sáng tạo đã được thể hiện ởmức độ cao hơn Chẳng hạn việc liên hệ một bài toán liên quan hay tổng quát chính

là sự thể hiện tư duy sáng tạo

Bước 3: Trình bày lời giải

Trong quá trình tìm kiếm cách giải, học sinh thường phải áp dụng thao tác mòmẫm dự đoán Do đó, có thể còn có những ý tưởng, những thao tác chưa trọn vẹn,còn rườm rà phức tạp, thậm chí sai xót…, những suy luận dài dòng Như vậy, việcchỉnh sửa những ý tưởng, thao tác hay suy luận là cần thiết

Hơn nữa, thực tế cho thấy có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đường giải toánnhưng lại không thể trình bày một lời giải đúng Vì vậy, ngoài việc tìm tòi lời giảibài toán, cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho ngắn gọn,đầy đủ và chính xác Trong bước này, cần chú ý sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toánhọc một cách thích hợp và chính xác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Trong quá trình giải toán nên cho học sinh biết các nội dung của logic hìnhthức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với toánhọc cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục, thường xuyên Để thựchiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán, cần có phần nhìn lại phương pháp đã

sử dụng, dần dần những hiểu biết về logic hình thức sẽ thâm nhập vào ý thức họcsinh

Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay một mô hìnhnào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và môhình đó, cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình hạtđộng và nghiên cứu

19

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quen thuộc nhất và đƣợc áp dụng rộng rãi khi chứng minh bất đẳng thức Sự thành công của việc áp dụng bất đẳng thức

20

Côsi để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linhhoạt của người sử dụng và kĩ thuật chọn các số a1 ,a2 , ,a n

2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng

2.1.2.1 Kĩ thuật cân bằng hệ số

Trong bất đẳng thức, “kĩ thuật cân bằng hệ số” hay “kĩ thuật chọn điểm rơi”

là một kĩ thuật quan trọng Ý tưởng của kĩ thuật này chính là việc xác định đượcdấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng được những đánh giá hợp lí Ta hãy

mở đầu bằng một ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 1: Với a, b, c> 0 thỏa mãn ab+bc+ca= 1 Chứng minh rằng: a3 +b3 + c3 ≥1

3

Chứng minh: Ta có: a3 +b3+

3Tương tự:

b 3+ c 3+

3

c 3+ a 3+

3Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Biểu thức dưới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số Để sử dụng đượcBĐT Côsi ta cần viết:

ab = ab.1, bc = bc.1, ca = ca.1.

21

Nói khác đi, ta đã thêm vào thừa số 1 ( hằng số ở đây là 1 ).

Khi đó, theo BĐT Côsi, ta có:

3ab= 3 ab.1≤a+b+1,3

3bc= 3 bc.1≤b+c+1, 3

3ac= 3 ac.1≤a+c+1 3Cộng vế với vế của các BĐT trên, ta được:

3ab+ 3 bc+ 3 ac≤2(a+b+c)+3⇔ 3 ab+ 3 bc+ 3 ac−1≤2(a+b+c).

33Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b=c= 1.

Từ hai ví dụ trên, ta xây dựng phương pháp giải cho dạng toán này như sau:Bước 1: Cho a=b=c , thay vào điều kiện để xác định a,b, c

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n= 2, 3, 4, 5 cùng với các số hạng hằng số

đã xác định ở bước 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu thức cần chứng minh

Phương pháp trên được gọi là phương pháp thêm bớt hệ số khi sử dụngBĐT Côsi Vấn đề quan trọng ở chỗ cần chọn hằng số như thế nào để có thể ápdụng được BĐT Côsi vào BĐT cần chứng minh Đồng thời phải chọn đúng hệ sốkhi ghép cặp để đẳng thức có thể xảy ra được

Ví dụ 3: Với x> 1 Hãy tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức y= 3 x+

Phân tích và định hướng lời giải

Lời giải sai: sử dụng Côsi dạng a+b≥ 2

Vậy ta có kết luận min y= 6

Nguyên nhân của lời giải sai: Lời giải trên sai vì trong đánh giá trên, dấu

bằng của bài toán chỉ xảy ra khi 3x =

thỏa mãn điều kiện xác định của bài toán

Sau đây là lời giải đúng

Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi

Côsi, ta chọn hằng số α sao cho αx=

Phân tích và định hướng lời giải

Dự đoán dấu của đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Từ đó, để bảo toàn đƣợc dấu bằng cho bài toán, ta sẽ đánh giá nhƣ sau:

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:

Ví dụ 5: a) Với x≥ 1, y≥ 1 Chứng minh rằng x y − 1 + y x − 1 ≤ xy.

b) Với x, y> 0 thỏa mãn x+y≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 1  1 

A =  1 −  1 − 

23

Phân tích và định hướng lời giải

a) Ý tưởng đầu tiên chúng ta nghĩ tới là làm thế nào để phá bỏ được lớp cănthức ở vế trái ( vì biểu thức vế phải không chứa căn) Một cách tự nhiên, ta nhớ lạiBĐT Côsi bộ hai số dạng: ab ≤a+

Cộng vế với vế 2 BĐT trên ta suy ra được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

b) Nhận thấy biểu thức

mẫu nên ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi x=y=1

2 Khi đó A= 9 Ta sẽ đi chứngminh nhận định này là đúng, tức A≥ 9.

BĐT này có thể viết lại thành:

24

Phân tích và định hướng lời giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng BĐT Côsi, ta có

x 2+ 1 ≥ 2 x, y 2+ 1 ≥ 2 y, x 2+ y 2 ≥ 2 xy.

Cộng 3 BĐT trên lại và rút gọn ta được: x2+y2+ 1 ≥x+y+xy= 8 ⇒x2+y2≥

7. Vậy min

Nhận xét: Lời giải trên là sai vì ta chỉ chứng minh được P> 7 chứ không

phải P≥ 7 Thật vậy, nếu xét tới dấu bằng thì để thỏa mãn những đánh giá trên, taphải có:

ra khi nào Trong những trường hợp như thế, ta thường giả định dấu bằng sẽ đạtđược tại một bộ số nào đó rồi bằng những suy luận thích hợp, ta tìm cách đánh giá

và chọn lựa bộ số thích hợp Để rõ hơn, ta xét ví dụ sau:

25

P=7

Ví dụ 7: Cho các số thực x, y , z thỏa mãn xy +yz+ xz= 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P=x2+ y2+ 2z2.

Phân tích và định hướng lời giải

Để tìm đƣợc giá trị nhỏ nhất của P, ta mong muốn một BĐT

dạng x 2+ y 2+ 2z 2≥ k (xy + yz + zx)

Để từ đó sử dụng giả thiết xy

ra Đây là một BĐT quá quen

yz + zx =1 và suy ra kết quả nếu dấu bằng có thể xảy

thuộc, ta chỉ việc ghép cặp rồi sử dụng BĐT Côsi

x 2+

Từ đây gợi cho ta một điều: Tại sao không ghép cặp như vậy cho bài toán này rồi

dùng Côsi? Có thể thấy cơ sở của việc ghép cặp cho BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy +yz + xz

là dựa trên hai yếu tố:

Thứ nhất, vế trái có dạng tổng các bình phương còn vế phải có dạng tổng của các

tích Chính điều đó đã gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng đánh giá quen thuộc

a 2+ b2 ≥ab.

2

Thứ hai, dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Như vậy, muốn áp dụng kĩ thuật tương tự vào bài toán này, ta cần biết dấu

đẳng thức xảy ra khi nào Tuy nhiên, việc quan sát bài toán chỉ cho ta một dữ kiện

duy nhất, đó là khi P đạt min thì x= y do vai trò đối xứng của chúng, có nghĩa là ta

vẫn chưa biết giá trị cụ thể của x, y, z là bao nhiêu

Lúc này, ta làm như sau: giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất khi:

Điều ta mong muốn ở đây là có thể tận dụng được giả thiết xy + yz + zx = 1.

Do đó, nếu cộng vế với vế của các BĐT trên lại với nhau thì ta vẫn chưa thu đượcđiều gì vì hệ số của xy, yz , xz chưa bằng nhau nên ta vẫn chưa sử dụng được giảthiết Như vậy, ta cần thêm một bước chuyển nhỏ để đưa hệ số của xy, yz , xz vềbằng nhau, đó là nhân cả 2 vế của (1) với ab , khi đó:

abxy ≤

2Cộng 3 BĐT (2), (3), (4) lại theo vế, ta được:

Đến đây, nếu ta chọn các số a,b sao cho hệ số của z2 gấp 2 lần hệ số của x 2 ,

y2tức là 2a 2= 2(ab + b2)thì vế phải của (5) sẽ có dạng của biểu thức P, cụ thể

Đặt a=

Khi đó dễ thấy

Sử dụng BĐT Côsi, ta có:

ab (x 2+ y 2)≥ 2abxy , b 2 y 2+ a 2 z 2 ≥ 2abyz , b 2 x 2+ a 2 z 2 ≥ 2abxz.

Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được:

Phân tích và định hướng lời giải

Quan sát bài toán, điều trước tiên mà ta thấy được đó là có thể dự đoán ngayđược giá trị nhỏ nhất của P sẽ đạt được khi a= b (do vai trò đối xứng của chúng).Giả thiết của bài toán liên quan đến những biểu thức bậc nhất, còn P lại có lũy thừa

2 và 3, do vậy ta nghĩ ngay đến việc sử dụng Côsi để chuyển biểu thức này về dạngbậc nhất Điều đáng nói ở đây là ta không thể dự đoán được dấu bằng của bài toánxảy ra khi nào Do vậy, cách tốt nhất là ta sử dụng giả định

Giả sử tại a=b= x> 0,c=y> 0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó 2x+y= 3 Đến đây, sử dụng BĐT Côsi, ta có:

28

Khi đứng trước một bài toán, điều mà ta mong muốn là làm sao để có thể tậndụng được tối đa giả thiết của đề bài Do đó, ý tưởng của bài toán này là chọn các

số x, y thích hợp sao cho ta có thể sử dụng được giả thiết Muốn vậy thì hệ số của

29

Bài 3 Với a , b, c là những số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+ c= 3 Chứng

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh

Bài 5 Với a, b, c> 0 , chứng minh rằng a3

+b3 +c3 +ab+bc+ca≥(a2 +b2 +c2)

b c a

Hướng dẫn

30

+ ab + a 2 ≥ 3a2 , b

b3

+ bc + b 2 ≥ 3b2 , c

c3

+ ca + c 2 ≥ 3c2 a

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta đƣợc điều cần chứng minh

Bài 6 Với a, b, c> 0, a4+b4+ c4= 3 , chứng minh rằng ab2+bc2+c+a2

Bài 7 Với a≥ 10, b≥ 100, c≥ 1000 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức