Bat dang thuc o cap 2 hay

Đích cuối cùng của chúng ta là làm thế nào để học sinh nhận thức và vận dụng tốtkiến thức vào giải bài tập, vận dụng toán học vào các môn khoa học khác và biết vậndụng kiến thức toán học

Lời nói đầu

Dạy học sinh học ở trờng THCS là một vấn đề có ý nghĩa và tầm quan trọng rất lớn

đối với nghề nghiệp và tơng lai của mỗi ngời và toàn xã hội

Là ngời thầy ai cũng muốn mình đợc mọi ngời tôn vinh, kính trọng, ai cũng muốnmình là niềm tin là chỗ dựa vững chắc cho học sinh của mình, ai cũng muốn học sinh

đạt đợc kết quả cao, vận dụng tốt kiến thức của bộ môn mình giảng dạy, vận dụng tốt

lý thuyết vào các bài thực hành và thực tiễn cuộc sống

Đặc biệt đối với môn Toán là một trong những môn chính trong trờng học –

là môn khoa học luôn luôn mới và rất trừu tợng Mỗi một tiết học, một kiểu bài lên lớp

đòi hỏi phải có những phơng pháp khác nhau, phù hợp với mục tiêu, yêu cầu của bài.Làm sao để phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

Đặc biệt hơn nữa là các bài tập trong chơng trình toán là một vấn đề rất khó, để dạycho học sinh đòi hỏi ngời giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu phơng pháp phù hợp vàqua thực tế mới có thể thành công Tuy nhiên khả năng thành công của mỗi tiết dạycòn phụ thuộc vào nhiều yếu tố

Qua thực tế giảng dạy môn Toán 9 tôi xin ghi lại một vài nét có thể coi là sángkiến, kinh nghiệm để bạn bè, đồng nghiệp cùng tham khảo và đóng góp ý kiến để tôi

có thể giúp cho học sinh có thể nắm bắt đợc kiến thức và giải thành thạo các bài tậptheo mong muốn

Đích cuối cùng của chúng ta là làm thế nào để học sinh nhận thức và vận dụng tốtkiến thức vào giải bài tập, vận dụng toán học vào các môn khoa học khác và biết vậndụng kiến thức toán học vào thực tế

Tôi xin ghi nhận và trân thành cảm ơn những ý kiến xây dựng và đóng góp của các

Toán học là một môn khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tế, trong khoa học

kỹ thuật và trong một số lĩnh vực quan trọng khác Trong trờng học thì môn toán làmột môn học cực kỳ quan trọng, trên cơ sở học sinh phải đầu t kiến thức, t duy, nỗ lực,say mê và dành nhiều thời gian trong học tập Chính vì lí do đó mà ngời giáo viên phải

là ngời nắm bắt đợc thái độ t tởng tính cách của học sinh để từ đó khơi dậy đợc lòngsay mê tìm hiểu và nghiên cứu của học sinh Dựa trên cơ sở lí luận và thực tiễn về trình

độ năng lực, t duy của học sinh mà ngời giáo viên phải tìm tòi và lựa chọn ra nhữngphơng pháp giảng giải cho phù hợp với từng lứa tuổi và trình độ của học sinh, cho các

em thấy rõ đợc tầm quan trọng của toán học trong thực tế nhằm hạn chế tới mức tối đanhững suy nghĩ thiếu tích cực về toán học Để từ đó có thể phát huy đợc tính tích cựcchủ động sáng tạo của học sinh trong học tập

Trong chơng trình toán THCS thì các bài toán về Bất đẳng thức“Bất đẳng thức” ” là một trongnhững mảng kiến thức khó Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thứchọc sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, vềmối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mộtbiểu thức Trong quá trình giải bài tập, năng lực suy nghĩ, sáng tạo của học sinh đợcphát triển đa dạng và phong phú, vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải khôngtheo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả

Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ vớikiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống

Cũng vì các bài toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu, không theo mộtphơng pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậyhọc sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hớng nào Do đó hầu hết học sinhkhông biết làm toán về bất đẳng thức và không biết vận dụng bất đẳng thức để giảiquyết các loại bài tập khác

Trong thực tế giảng dạy các bài tập về bất đẳng thức là việc làm giúp cho họcsinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập

có liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu đợc của ngời dạy giáo viêngiang dạy môn toán, thông qua đó có thể rèn luyện đợc t duy lôgic và khả năng sángtạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một

số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức

Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo và tìm ra sáng kiến từ kinh nghiệm trongthực tế và trong giảng dạy để từ đó có thể giúp các em học sinh có thể rễ hiểu hơn vàhọc tốt hơn

2.Cơ sở thực tiễn:

Chúng ta đã biết Toán học là một môn khoa học, do lý thuyết phải gắn với bàitập vận dụng và thực tiễn Mặt khác theo quan điểm t duy biện chứng: Từ trực quansinh động đến t duy trừu tợng và t duy trừu tợng đến thực tiễn là con đờng duy nhấtcủa nhận thức

Vì vậy việc rèn kỹ năng vận dụng kiến thức cũ và mới vào giải bài tập Toán chohọc sinh có ý nghĩa hết sức quan trọng đối với việc nhận thức và phát triển t duy củahọc sinh do đó việc dạy cho học sinh biết cách giải các bài tập là rất quan trọng Nógóp phần thực hiện có hiệu quả mục tiêu giáo dục trong nhận thức của học sinh và đápứng yêu cầu của đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay

Thế nhng hiện nay kỹ năng vận dụng và t duy toán học của học sinh có thể nói làrất yếu, yếu không phải là thầy dạy kém, không phải vì trò không hiểu không có kỹnăng mà là vì học sinh không đợc rèn luyện thờng xuyên không có nhiều tài liệu thamkhảo Hơn nữa cơ sở vật chất nhà trờng còn nhiều hạn chế, điều kiện kinh tế gia đìnhcòn gặp nhiều khó khăn

Do yêu cầu mới, học sinh phải là ngời lĩnh hội kiến thức một cách tự giác và cóchủ động từ đó vận dụng một cách linh hoạt và khoa học vào giải các bài tập Vì thếviệc tìm ra những phơng pháp giảng dạy, phù hợp với năng lực t duy của học sinh, lôicuốn học sinh trong học tập và đáp ứng yêu cầu về nhận thức là một vấn đề rất cầnthiết:

- Tìm ra các dạng toán phù hợp với đối tợng học sinh

- Phải phân loại và xác định đợc mục đích của bài toán để tìm ra lời giải và phơngpháp giảng dạy cho phù hợp

- Phải chuẩn bị một cách công phu, kỹ lỡng để giờ dạy đạt hiệu quả cao Đó là cơ sởthực tiễn, là lý do chủ quan thôi thúc tôi quan tâm, chăn trở lựa chọn nghiên cứu đề

tài: “Bất đẳng thức” Các phơng pháp giải các dạng bài tập về bất đẳng thức”

* Phạm vi đề tài :

1 Phạm vi đề tài.

Vấn đề tôi trình bày đợc hình thành qua các bài tập về Bất đẳng thức và các dạngtoán cùng với ứng dụng của nó để giải các bài tập có liên quan đã học trong chơngtrình Toán THCS

2 Đối t ợng:

+ Đối tợng nghiên cứu ở đây là vấn đề vận dụng các kiến thức cũ và mới vào vậndụng và giải các bài tập về Bất đẳng thức và các bài tập có liên quan trong ch ơng trìnhtoán THCS

+ Đối tợng nhận thức ở đây là HS lớp 9A– 9B của trờng THCS do tôi trực tiếpgiảng dạy

* Mục đích:

Qua nghiên cứu tôi muốn nêu lên vấn đề là làm thế nào để giúp học sinh giải mộtbài tập về bất đẳng thức đạt hiệu quả cao, giúp HS thoát khỏi những khó khăn vớngmắc khi làm bài tập Ta đã biết mục đích của giáo dục không chỉ đơn thuần là giúp HSnắm bắt tri thức mà phải hớng dẫn các em cách tiếp thu và vận dụng tri thức nh thế nào.Vì vậy, qua nghiên cứu tôi muốn nêu ra một vài ý kiến về vấn đề giải các bài tập vàứng dung của nó nh thế nào để thu đợc hiệu quả cao nhất Đó là mục đích nghiên cứucủa đề tài

B

Nội dung:

1 Cơ sở lý luận khoa học:

a Vai trò của các ph ơng pháp giải bài tập về Bất đẳng thức và vận dụng

- Phân tích bài toán là bớc quan trọng nhất để tổ chức học sinh nghiên cứu, giảithích và định ra hớng đi trớc khi giải các bài tập

- Tìm ra các kiến thức có liên quan là cơ sở xuất phát cho quá trình nhận thức vàxác định hớng đi của HS Đây là cầu nối giữa lí thuyết và cách giải bài tập Vì vậy cầnphải dịnh ra phơng pháp, phơng tiện giúp học sinh hình thành kỹ năng phân tích vàvận dụng vào giải bài tập

- Việc đa ra các kiến thức có liên quan giúp học sinh đi sâu tìm hiểu bản chất cáchiện tợng, các quá trình giải bài tập

- Các ví dụ cụ thể giúp các em nắm đợc kiến thức cơ bản và các bớc giải các dạngbài tập về các dạng toán Bất đẳng thức đó là cơ sở chuẩn về kiến thức để HS quan sát,nhận biết và nắm đợc kiến thức cơ bản Dần dần, học sinh biết cách và tự tiến hành đ-

ợc các bớc giải bài tập, đó là cơ sở đối chứng giúp HS hình thành kĩ năng, t duy logic

và phát hiện kiến thức

- Các ví dụ có thể đợc sử dụng để tổ chức hoạt động nhận thức của HS với các mức

độ khác nhau: Thông báo, tìm tòi kiến thức, vận dụng, giải thích, chứng minh…vàvàkhẳng định đợc kiến thức

- Tóm lại: Các ví dụ về bất đẳng thức là cơ sở giúp học sinh củng cố, hoàn thiện

kiến thức Từ đó tìm ra các cách giải các dạng bài tập về Bất đẳng thức

Các bài tập về bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng đối với học sinh nó giúpcho học sinh có khả năng rèn luyện t duy lôgíc cao và phơng pháp suy luận chặt chẽ

b Bản chất của các ph ơng pháp giải bài tập về Bất đẳng thức và vận dụng:

- Bản chất của các bài toán về Bất đẳng thức là sự kết hợp chặt chẽ về các kiến thứcmới và kiến thức cũ có liên quan đến các tính chất về các phép tính các quy tắc các bất

đẳng thức đã đợc chứng minh, nó giúp cho học sinh rèn luyện đợc kỹ năng lập luận và

t duy lôgíc

- Trong các bài toán về Bất đẳng thức thì các tính chất và các bất đẳng thức đã đợcchứng minh là kiến thức cơ bản giúp cho học sinh vận dụng lập luận và chứng minh nóvừa có vai trò xây dựng cái mới, vừa có vai trò củng cố, hoàn thiện và kiểm chứng,chứng minh một vấn đề đã đợc nhắc đến

- Bằng hệ thống câu hỏi có tính chất định hớng GV đã kích thích hứng thú, sự tìmtòi độc lập sáng tạo của HS

- Bằng tài liệu có liên quan và bằng quan sát đợc từ những ví dụ đã đợc chứngminh do GV đa ra hoặc bản thân HS tự tiến hành, giúp HS có thể phân tích, so sánh,thiết lập mối quan hệ nhân quả, trả lời các câu hỏi để đi tới lời giải.

Nh vậy, với phơng pháp này, HS ở vị trí của ngời nghiên cứu, chủ động hành độnggiành tri thức nên sự lĩnh hội kiến thức đợc sâu sắc hơn, đầy đủ hơn

D ới đây là các b ớc để giải các bài toán về Bất đẳng thức:

+ Nghiên cứu nội dung mục đích, yêu cầu đề bài

+ Tổ chức giúp học sinh phân tích các điều kiện và đa ra các kiến thức có liênquan

+ Đa ra các vấn đề có thể xảy ra trong quá trình biến đổi

+ Thiết lập các mối quan hệ nhân quả từ các kết quả phân tích

+ Lập luận rồi chứng minh

+ kết hợp với điều kiện rồi rút ra kết luận

2

Đối t ợng phục vụ :

- Khách thể của vấn đề nghiên cứu là “Bất đẳng thức”Các phơng pháp giải các dạng bài tập về

bất đẳng thức”.

- Đối tợng phục vụ của đề tài này là hoạt động giảng dạy của giáo viên và hoạt

động nhận thức của học sinh Trờng THCS

Mong muốn duy nhất của tôi là có đợc phơng pháp giảng dạy tốt nhất cho mình,các giáo viên khác và học sinh cùng tham khảo để có đợc kết quả cao nhất trong giảngdạy và giúp học sinh học tập

3 Nội dung ph ơng pháp nghiên cứu.

- Các phơng pháp: Thuyết trình, chất vấn, phản chứng và chứng minh

- Phơng pháp tạo nhu cầu nhận thức có mong muốn tìm hiểu các bài toán về bất đẳngthức

- Phơng pháp hớng dẫn học tự lực tham gia vào các hoạt động học tập

- Tạo điều kiện cho học sinh bộc lộ khả năng nhận thức, trình bày và tự bảo vệ ýkiến của mình khi thảo luận, tranh luận

- Khuyến khích học sinh thắc mắc, nêu tình huống có vấn đề và tham gia giảiquyết vấn đề khi quan sát cũng nh khi vận dụng kiến thức vào chứng minh

- Sau đây là một số dạng bài tập và các phơng pháp giải các bài tập về Bất đẳng

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc.

4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu.

Phần IV : ứng dụng của bất đẳng thức:

1 1



3- một số hằng bất đẳng thức:

+ A2  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

=

2

1.2 ( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) =

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu “Bất đẳng thức”=”xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi z=y

Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi x = y =z

Vậy x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx

b)Ta xét hiệu

x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz )

= x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi x+z=y

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

2 2

c) Hãy tổng quát bài toán

giải a) Ta xét hiệu

2 2

4

1 2



 b a

Vậy

2 2

Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi a=b

b) Ta xét hiệu

2 2

2 2

Vậy

2 2

2 2

Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi a = b =c

c) Tổng quát

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

Tóm lại các bớc để chứng minh AB theo định nghĩa:

4 4

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2

0 2

0 2

m

q m

p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi a = b = 1

c) a2 b2 c2 d2 e2 abcde

 4 a2 b2 c2 d2 e2  4abcde  a2  4ab 4b2  a2  4ac 4c2  a2  4ad 4d2  a2  4ac 4c2 0   2 2  2 2  2 2  2 2 0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4

Giải:

Ta có: a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12  8 2 2 2 2 8 2 2 0







 b a b b a a

b a

 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x>y

Chứng minh:

y x

y x



 22

 2 2

Giải:

y x

y x

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

2)cm: a2b2c2 a b c (gợi ý: bình phơng 2 vế) 3) Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

z y x

1 1

1 . . 1

Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97)

Giải:

Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz +(xy+yz+zx) +x+y+z-1

=(xyz-1) + (x+y+z) - xyz(

z y x

1 1 1



 ) = x+y+z - (111)  0

z y x

(vì x.y.z = 1 và 1x1y 1z< x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba số x-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếu trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z >1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Ph ơng pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc

a

2) Bất đẳng thức Côsi: n n a a a a n

n

a a

a a

3 2 1 3

2 1

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

a (403-1001) 2) Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR: x+2y+z 4 ( 1  x)( 1  y)( 1  z)

3) Cho a > 0 , b > 0, c > 0 CMR:

b c b a

4) Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x y  1 CMR: x+y

c c a

b c b

a a b c

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2

2

3 3

1

=2 1

Vậy

2

1

3 3 3

b c b

a Dấu “Bất đẳng thức”=” xảy ra khi a = b = c =

3 1

Ví dụ 4:

Cho a,b,c,d > 0 và abcd = 1 Chứng minh rằng:

      10 2

2 2 2

Do abcd =1 nên cd =

ab

1 (dùng

2

1 1

ac ab ab

Ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

a d b c

 a2b2c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cách 2: Giả sử a,b,c ≥ 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu

d c a

d c a

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1

6

5

  1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1 1

a

Ph ¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè

KiÕn thøc:

1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th×

c a b

c a b

a





 2)NÕu b,d >0 th× tõ

d

c d b

c a b

a d

c b

d a d c

c d c b

b c b a a

Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã

d c b a

d a c b a

a c

b a

a c

b a

a



 <

d c b a

d a

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

c b a d c

c d

c b a

c d b a d

d d

c b a

d a d c

c d c b

b c b a

cd ab







2 2

cd d b

cd ab b

cd ab







2

2 (®iÒu ph¶i chøng minh)

VÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

 =

d c

999 1



Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999

Vậy giá trị lớn nhất của

d

b c

a

 = 999 +

999

1 khi a= d=1; c= b= 999

2 2

n a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

k     2 1

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1

1      n 

n

Ví dụ 3 :

1 1

1 1

1 1

3

1 2 1

1 1

1 1

3

1 2

1 3 1

2

1 1 2 1

2 2

2 2

2 2

u ý: NÕu a;b;c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÝ dô1 : Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng:

c a b

c b a

0 0

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

b c b

a

(1)Gi¶i :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

z

y z

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111 9

z y

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

a.f x  0 với x1xx2