(SKKN 2022) một số kinh nghiệm giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở lớp 9

Ởchương trình THCS các bài toán chứng minh chiếm một lượng khá Các bài toán về chứng minh hình học thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổthông, nhất là trung học cơ sở, kể c

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG

TRƯỜNG THCS QUẢNG LƯU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

NỘI DUNG Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 042.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 04

Danh mục SKKN đã được hội đồng SKKN đánh giá, xếp loại cấp

phòng GD - ĐT trở lên

21

1 Mở đầu

1.1.Lí do chọn đề tài

Đảng ta đã xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu Nhà nước đã và đang đầu tư trí tuệ, tiền của, nhân lực để phát triển ngành giáo dục nước nhà nhằm đáp ứng được những yêu cầu mới mà xã hội đang cần, theo kịp được sự phát triển của

xã hội hiện đại Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam

xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinhtiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

Năm học 2021 - 2022 tiếp tục là năm học đổi mới phương pháp dạy học, đẩymạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin, là năm học đầu tiên thực hiện chương trình sách giáo khoa 2018 ở lớp 6.Thực hiện nghị quyết 29 của Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục

Ngành giáo dục đã và đang thực hiện tốt những chỉ thị của Đảng, sự chỉ đạo của chính phủ về định hướng phát triển của ngành giáo dục nước nhà.Trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang thực hiện hàng loạt các biện pháp, chương trình hành động nhằm phát triển ngành giáo dục nước nhà đem lại hiệu quả rõ rệt

đó là: áp dụng khoa học kỹ thuật hiện đại, cải tạo cơ sở vật chất, chuẩn hoá, bồi dưỡng đội ngũ giáo viên

Tuy nhiên trong điệu kiện hiện nay để làm được điều này thì chúng ta gặp không ít khó khăn đó là: Học sinh học tập chương trình còn năng tính lý thuyết, khảnăng thực hành, sáng tạo, trải nghiệm chưa cao Đa số các trường ở vùng sâu, vùng

xa, vùng biên giới hải đảo, vùng nông thôn, miền núi có cơ sở vật chất không đáp ứng được yêu cầu mà chương trình đề ra, Số đông giáo viên chưa tiếp cận được vớichương trình dạy học phát triển năng lực theo tinh thần nghị quyết số 29-NQ/TW

về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục

Để giải quyết vấn đề này không phải cách duy nhất là đầu tư đồng bộ về cơ

sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đội ngũ giáo viên, đội ngũ quản lí mà chúng ta

có thể kết hợp các trang thiết bị và phương pháp dạy học mới với các phương pháp dạy học truyền thống và các sáng kiến trong quá trình dạy học mà vẫn đạt được kếtquả tốt trong quá trình dạy học

Toán học là môn khoa học có từ lâu đời và gắn bó mật thiết với nhau Ởchương trình THCS các bài toán chứng minh chiếm một lượng khá Các bài toán

về chứng minh hình học thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổthông, nhất là trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toán này.Thực sự đây là một phần rất quan trọng của hình học Việc dạy học môn toán cókhả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh, nắm được một cách chínhxác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ

bản, hiện đại sát với thực tiễn Việt Nam và có khả năng vận dụng những tri thức đóvào những tình huống cụ thể khác nhau như vào đời sống, vào lao động sản xuất vàvào việc học tập các bộ môn khác…

Tuy nhiên trong điệu kiện hiện nay để làm được điều này thì chúng ta gặpkhông ít khó khăn đó là: Học sinh học tập chương trình mới còn nhiều bỡ ngỡ Đa

số các trường ở vùng sâu, vùng xa, vùng biên giới hải đảo, vùng nông thôn, miềnnúi có cơ sở vật chất không đáp ứng được yêu cầu mà chương trình đề ra Số đônggiáo viên chưa tiếp cận được với chương trình mới, trang thiết bị dạy học hiện đại

Để giải quyết vấn đề này không phải cách duy nhất là đầu tư đồng bộ về cơ

sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đội ngũ giáo viên, đội ngũ quản lí Mà chúng ta

có thể kết hợp các trang thiết bị và phương pháp dạy học hiện đại với các phươngpháp dạy học truyền thống và các sáng kiến trong quá trình dạy học mà vẫn đạtđược kết quả tốt trong quá trình dạy học

Xuất phát từ những lí do trên và thực tiễn trong quá trình dạy học mà tôi

chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở lớp 9” nhằm giúp học sinh tiếp cận với chương trình giáo dục phổ thông 2018 dễdàng và chương trình giáo dục phổ thông hiện hành đem lại hiệu quả tốt hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức và các bài toán có liên quan Học sinh lớp 9 Trường THCS Quảng Lưu nói riêng và học sinh lớp 9 ở các trường THCS nói chung

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Tự nghiên cứu thông qua các tài liệu, thông qua các lớp học bồi dưỡng, các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do Phòng GD& ĐT tổ chức

Kết hợp giữa nghiên cứu lí thuyết và thực tiễn giảng dạy tại Trường THCS Quảng Lưu

Thảo luận, học hỏi kinh nghiệm của các giáo viên trong nhà trường và các đơn vị bạn.

2 Nội dung nghiên cứu.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập

do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoávấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán chứng minh bất đẳng thức ởbậc THCS nói chung và chương trình lớp 9 nói riêng, đáp ứng yêu cầu này, là nềntảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơn trong việc phát hiện và tìm ra lờigiải của bài toán

Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức là các bài toán khó đối với với họcsinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắmvững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định,

có sự sáng tạo nhất định Để tạo các giả thiết, các bài toán phị liên kết tường minhcác mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cầnphải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp,

so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá Hay nói cách khác giải một bài toán về bbaatsđẳng thức về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thểhiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý, tính chất nàođó hay còn gọi là quy lạ về quen Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thìmức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán về chứng minh bất đẳngthức có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa họccủa học sinh

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại,giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên mộtphong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duymới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học

2.2 Thực trạng vấn đề vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thực trạng đối với giáo viên

Bất đẳng thức là một dạng toán khó đối với học sinh nhiều giáo viên chưatìm được cách dạy phù hợp, chưa nhận thấy tầm quan trọng của các định lí, các tínhchất, các bài toán hay và khó về bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức là nhữngbài toán không có một thuật toán nào để giải, đòi hỏi học sinh phải luôn tư duy,động não

Vì vậy, khi dạy những bài chứng minh bất đẳng thức, giáo viên hãy cố gắnghướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đồng thời, biết đề ra cho

học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ củatừng đối tượng.

Việc hướng học sinh làm bài toán các bất đẳng thức và các bài toán liên quanđược thực hiện theo một số cách biến đổi đơn giản nhẹ nhàng thị nhiều giáo viênchưa có phương pháp phù hợp:

2.2.2 Thực trạng đối với học sinh

Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán về bất đẳng thức , tôi thấy họcsinh thường gặp một số khó khăn sau đây:

- Học sinh chưa nhận dạng được các dạng, phân loại được các bài toán bấtđẳng thức thức

- Việc áp dụng các công thức, các phép biến đổi để giải các bài toán về bấtđẳng thức thì học sinh cò nhiều lúng túng

- Số lượng học sinh làm thành thạo các bài toán về bất đẳng thức và các bàitoán có liên quan còn chưa nhiều Cụ thể qua khảo sát tại trường THCS Quảng Lưunăm học 2021-2022 như sau:

(3,0-Loại TB 6,75 điểm)

(5,0-Loại khá 8,75 điểm)

2.31 Hướng dẫn học sinh tiếp cận với các vấn đề bất đẳng thức nhẹ nhàng,

đơn giản, tỉ mĩ theo trình tự từ các bài toán thực tế, các bất đẳng thức số, đến địnhnghĩa, tính chất cách chứng minh các bất đẳng thức, các bất đẳng thức đơn giản đếncác bất đẳng thức phức tạp và các bài vận dung bất đẳng thức

2.3.2 Hướng dẫn học sinh ôn tập lí thuyết.

2.2.1 Năm vững khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất, dấu hiệu, hệ quả,hiểu rõ và phân tích được nội dung của bài toán

2.3.2.2 Tìm hiểu thêm một số chuyên đề bổ trợ:

* Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, tính chất chia hết trong tập sốnguyên và phương trình nghiệm nguyên

* Đối với môn đại số cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề:

- Hằng đẳng thức và 1 số phép biến đổi hằng đẳng thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

- Bất đẳng thức, bất phương trình và ứng dụng

- Phương trình, hệ phương trình

- Tính giá trị biểu thức có điều kiện

- Bài tập cực trị đại số ( có điều kiện hoặc không có điều kiện)

- Các bất đẳng thức cổ điển.

* Đối với môn hình học cần tìm hiểu thêm một số chuyên đề:

- Định lý Talét trong tam giác và ứng dụng

- Các dạng của tứ giác, tứ giác nội tiếp

- Bài tập cực trị độ dài, diện tích

- a lớn hơn hoặc bằng b ( a  b ) nếu a - b  0

- a nhỏ hơn hoặc bằng b ( a  b ) nếu a- b  0

2.3.3.2 Các tính chất của bất đẳng thức:

1 a > b <=> b < a 7 ac bc

b c a

2.3.4 Giáo viên cung cấp cho học sinh một số bài toán thường gặp.

1 Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm

a + b  2 ab (với a  0; b  0) dấu “=” xảy ra: a = b

* Hệ quả 1: a b a b





 1 4 1

 2 ( ab > 0)

2 Bất đẳng thức Bunhia Cốpxki.

( ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) dấu “=” xảy ra: ay = bx

2.3.5 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức lựa chọn phương pháp nào

là tuỳ thuộc vào tính chất, yêu cầu của mỗi bài tập và căn cứ vào kĩ năng nhận biếtcủa học sinh Để tạo điều kiện cho học sinh tiếp thu tốt, luyện các kĩ năng toán vàcác thao tác trí tuệ tôi đã hướng dẫn học sinh nghiên cứu 7 phương pháp chứngminh bất đẳng thức

2.3.5.1 Dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.

- Để chứng minh: A > B ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0

1/ Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức

( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y  R )Xét hiệu: ( ax + by)2 - (a2 + b2 )( x2 + y2)

= (ax)2 + 2axby + (by)2 - (ax)2 - (ay)2 - (bx)2 - (by)2 = - [ (ay)2 - 2axby + (bx)2 ] = - (ay - bx)2 ≤ 0

Dấu “=” xảy ra : ay = bx

Vậy: ( ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) ( với a, b, x, y  R )

Dấu “=” xảy ra  ay = bx (điều phải chứng minh)

2.3.5.2 Dùng phương biến đổi tương đương.

Nếu a < b bất đẳng thức (3) luôn đúng

Nếu a  b thì

b a b

a    a2 - 2ab + b2

 a2 - 2 ab + b2

 -ab   ab  ab ab (4)Bất đẳng thức (4) luôn đúng nên bất đẳng thức (3) đúng

Vậy: a b a  b dấu “=” xảy ra: ab  0 ,a  b

2.3.5.3 Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Ví dụ: cho a + b > 1 chứng minh rằng a4 + b4 >

8 1

Ta có: a + b > 1 > 0

 (a + b)2 > 1 (bình phương 2 vế không âm)

 a2 + 2ab + b 2 > 1 (1)

Mặt khác: (a - b)2  0  a2 - 2ab + b 2  0 (2)

Từ (1)(2): 2(a2+ b2) > 1  a2+ b2 >

2

1

(3)  (a2+ b2) >

c c b

b c a

c c b

b c a

c b a

(a - b)2  0  a2 - 2ab + b 2  0

 a2+ b2  2ab => 2(a2+ b2 )  a2 + 2ab + b 2

a2+ b2  2 (giả thiết) => 2(a2+ b2 )  4

=> a2 + 2ab + b 2  4` (2)

Bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn => giả sử sai

Vậy a2+ b2  2 thì a + b  2

2.3.5.6 Phương pháp quy nạp toán học:

Ví dụ: Chứng minh rằng với x > -1 thì (1 + x)n 1 + nx (với n  Z, n > 0)

Vì kx2

 0 => l + (k + l)k + kx2

 l + (k + l)x => (1 + x)k+l  l + (k + l)x

DÊu “=” x¶y ra: x = 0

2.3.5.7 Dùng phương pháp hình học

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau:

2 2 2

2 )(

(a c b c ) + (a2 d2 )(b2 d2 )  (a + b) (c + d ), trong đó a, b, c, d làcác số thực dương

Giải: Xét tứ giác ABCD có ACBD,

O là giao điểm hai đường chéo, OA = a, OB = b,

Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh bất đẳng thức trên

2.3.6 Nội dung bài tập áp dụng:

Bước phân loại, chọn lọc hệ thống bài tập theo từng dạng phù hợp với trình

độ học sinh, giúp học sinh hình thành được cách giải bài tập và đưa ra được nhiềuphương án giải, phát triển khả năng tư duy lô gíc, hỗ trợ việc tự học, tự nghiên cứu

O d

c

b a

D

C B

A

của học sinh trong quá trình ôn luyện Đối với học sinh THCS tạm thời phân thànhbốn dạng cơ bản sau:

0 ) 2 1 (

với x, y > 0

2.3.6.1.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh:

c b a b a c a c b c b

a

1 1 1 1

1 1

a

2 2

4 4

1 1

2 1

a          



c b a b a c a c b c b a

1 1 1 1

1 1

4

1 3

1 2

1

4 3

3     <

4 1

( 1) ( 1)( )( 1)

k k  k k k   k k k

1 3

1 2

1

4 3

3     <

4

1

(với  2)b/ B = 1 + 2 1 1

3

1 2

1

2

1

15

1

2

1 7

1 6

1 4

1 2

1 3

1 2

1

1 3

2 3

2

1 2 1 2

1

1 6

n

1 2 2

1

2 2

1

3

1 2

2

3

1 2

1 1

n n

n n

n n

2 1

2

1

2 2

1

2 1

1

1

=>

n n

n n n

n n

1

2

1 2

1 2

1 1 2

2

3

1 2

2

3

1 2

1 1

2

1 2 2

1 2

1 3

1 4

1 3

1 2

1

6

1 5

1 4012 2

1

3

1 2 1

2

1 2

2

1 2

1

1 2

1

4012

4011 4012 4012

1 2

3

12

2.3.6.1.7 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh:

abc  (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) (1)

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác: b + c – a > 0, a + c – b > 0, a + b – c >0

Đặt b + c – a = y , a + c – b = x, a + b – c= z

áp dụng bất đẳng thức: (x+y)(y+z)(z+x)  8xyz (với x, y, z  0 )

Ta có: [a + c – b + b + c – a] [b + c – a + a + b – c] [a + b – c + a + c – b] 

 8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b)

 2c.2b.2a  8(a + b - c)( b + c - a)( a + c - b)

abc  (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)

2.3.6.1.8 Cho a+b+c =1 chứng minh rằng a2 + b2 + c2 

3 1

1

Dấu “=” xảy ra: x = y = z = 0

 a = b = c =

3 1

2.3.6.1.9 Cho a + b + c + d = 2 chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2

 1Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki

(a + b + c + d)2  (12 + 12 +12 +12 )( a2 + b2 + c2 + d2 ) (1)

Từ (1)(2): 4  4(a2 + b2 + c2 + d2)

 1  a2 + b2 + c2 + d2 dấu “=”xảy ra  a = b = c = d = 12.Cách 2: Đặt a =

k

a

x n

k

a

2 2

1 1

x1 + x2 + … + xn = 0

2.3.6.2 Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình.

2.3.6.2.1 Giải phương trình: x2 + y2 + z2 = x(y + z)

Bài toán quy về chứng minh: x2 + y2 + z2  x(y + z) dấu “=” khi nào ?

Dấu “=”xảy ra: x = y = z = 0

Vậy nghiệm của phương trình là: x = y = z = 0

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = -1

2.3.4.3 Tìm nghiệm của phương trình:

(x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(x + y + 1)2  (1 + 1 +1)(x2 + y2 + 1)  x + y + 1)2  3(x2 + y2 + 1)

Dấu “=”xảy ra: x = y = 1

Vậy nghiệm cuả phương trình là: x = y = 1

2.3.6.2.4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2 ; 3

3 1

3 1 1

x

x