Tìm quỹ tích giao điểm P của các đờng thẳng AC và BD khi cát tuyến chuyển động nhng luôn đi qua M.
Trang 1đề thi tuyển sinh vào 10 môn: toán chuyên
( Thời gian: 150 phút, không kể giao đề )
Bài 1(2đ) ( Đề thi vào chuyên toán THPT Lê Hồng Phong- Nam Định – 2002 và chuyên
toán tin -ĐHSPHN-2003 )
1/ Không sử dụng máy tính và bảng số , chứng minh rằng
2029
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2 5
7
<
−
−
− + + +
+
<
2/ Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x
x
x x
A
+ +
−
− +
− +
=
5 2 5 4 9
3 4 7 3 2 4
6 3
Bài 2(2đ) (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)
Ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
(y−z) 3 1 −x3 + (z−x)31 −y3 + (x−y) 3 1 −z3 = 0
Chứng minh rằng
( 1 −x3 )( 1 −y3 )( 1 −z3 ) = ( 1 −xyz) 3
Bài 3(2đ) (Tuyển chọn các bài toán từ các cuộc thi của một số nớc Đông Âu-Th.s Nguyễn
Văn Nho)
Giả sử phơng trình x2 + (m− 4 )x+m2 − 3m+ 3 = 0( với m ≠ 0, m ≠ 2) có hai nghiệm x1 và x2 1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho x12+ x22 = 6
2/ Chứng minh rằng
9
121 8 1
1
1
2
2 2 1
2
−
+
−
<
x
mx x
mx
Bài 4(2đ) (Phơng pháp giải toán đại số – Lê Hồng Đức chủ biên)
Giải hệ phơng trình
= +
=
− +
+
128
4
2
x
y x y x
Bài 5(2đ) (Đề thi vào 10 – THPT Chu Văn An –2003)
1/ Giải phơng trình 15
1
1
=
+ +
x x
2/ Giải phơng trình x2 − 3x+ 2 + x+ 3 = x− 2 + x2 + 2x− 3
Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 – TPHCM 1994 –1995)
Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P) y= −x42 và điểm I(0;-2), gọi (d) là đờng thẳng
đi qua I có hệ số góc là m
1/ Vẽ (P) Chứng minh rằng với mọi số thực m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
2/ Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB ngắn nhất
Bài 7(2đ) ( Phơng trình và các bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình)
Trang 2Tìm nghiệm nguyên của hệ phơng trình
= + +
= +
+
3
3
3 3
x
z y x
Bài 8(2đ) (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2001)
Các đờng cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tơng ứng M, N và K Tính
CF
CK BE
BN AH
AM
+ +
Bài 9(2đ) ( Bất đẳng thức hình học – TSKH Vũ Đình Hoà)
Từ một điểm M trong tam giác ABC cho trớc , hạ các đờng vuông góc MA1 , MB1 và MC1 xuống các đờng thẳng BC, CA và AB Với vị trí nào của điểm M thì đại lợng
1 1
c MB
b MA
a
P= + + đạt giá trị nhỏ nhất ? ( với BC = a, CA = b, BA = c)
Bài 10(2đ)(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2002)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Gọi M là điểm đối xứng của O qua A Một cát tuyến qua M ( không đi qua O) cắt đờng tròn tại C và D Tìm quỹ tích giao điểm P của các đờng thẳng AC và BD khi cát tuyến chuyển động nhng luôn đi qua M
==========Hết==========