Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so
Trang 1PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết)
1 Các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1) ( 2 1)+ 2 2) ( 2 1)− 2 3) ( 3 2)− 2 4) ( 3 2)− 2
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
1) x2 − 5x + 6 2) x2 − 7x + 6 3) x2 + 9x + 20 4) x2 + 6x + 8
5) 2x2 + 3x − 5 6) 3x2 − 4x + 1 7) 4x2 − 7x + 3 8) 5x2 + 12x − 17
Bài 4: Với x ≥ 0 Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử
1) x 5 x 6− + 2) x 3 x 2− + 3) x 4 x 3− + 4) x 7 x 6− + 5) 2x 3 x 1− +
Bài 5: Giải các hệ phương trình
1) x 2y 3
2x y 1
− =
3x 4y 2 2x 3y 7
+ =
2x y 11
+ =
2x 3y 10 3x 2y 2
− =
Bài 6: Tìm giá trị của x để
1) x2 − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2) 2 1
x +2x 5+ có giá trị lớn nhất
3) 2x22 5
2x 1
+
2 2
+ + có giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A = 6
14
x 5
x 2
+
4x 3 2x 6
+
−
Bài 8: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3) 5x 2 1 2x
− > −
4) 11 3x 5x 2
2 Các bài toán tổng hợp
Các dạng toán:
1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
2) Rút gọn biểu thức
3) Dạng giải phương trình, bất phương trình
4) Tìm cực trị của biểu thức
5) Xác định giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 1: Cho biểu thức A = 1 1 : 1 1 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1 Rút gọn ta đượcA 1
x (1 x )
=
−
b) x 7 4 3 (2 3) : A2 1(3 3 5)
2
c) min A = 4 khi x 1
4
=
Trang 2Bài 2: Cho biểu thức: A x 1 2 10 5
+
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2
b) A x 1
x 2
+
=
−
c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
Bài 3: Cho biểu thức C x 3 1 : x 1 1 : x 2
+
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi x= 6+ 20
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0
b) C x 2
x 2
−
=
+
c) C= 5 2−
d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 4: Cho biểu thức: B x 2x x
−
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi x 3= + 8
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B= x 1− b) x 3= + 8 ( 2 1) : B= + 2 = 2
c) B > 0 ⇔ x > 1 (thỏa); B < 0 ⇔ x < 1 (Không có nghiệm do đk: x > 0); B = 0 ⇔ x = 1 (loại)
Bài 5: Cho biểu thức H 1 x : 1 2 x
a) Rút gọn biểu thức H
b) Tính giá trị của biểu thức H khi x 53
9 2 7
=
−
c) Tìm giá trị của x để H = 16
HD: a) x > 1: H x 2 x 1= − − b) x 9 2 7= + ⇒ =H 7 c) H = 16 ⇔ x = 26
Bài 6: Cho biểu thức N a b a b
+
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị của N khi a = 4 2 3, b+ = 4 2 3−
c) Chứng minh rằng nếu a a 1
+
= + thì N có giá trị không đổi.
HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0: N a b
b a
+
=
−
b) N= − 3
+ −
3 N 2
=
Trang 3PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ 20
phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình: x x 1 55
30 25 3+ + = 6 Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô đi với vận
tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Ta có phương trình: x 60 : 40 x 60 : 50 x 1
Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút Tính vận tốc
của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: 80 80 81
x 4+x 4 = 3
+ − Giải ra ta được: 1
4 x 5
= − (loại), x2 = 20 (km)
Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h,
canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình: x x 2
20 24− = 3 Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau khi đi được 24
km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình: 24 16 2
x 4+ x 4=
+ − Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi
xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1)
x = 2,5x + + Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ
mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi
xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
Ta có phương trình: 100 100 5
x 2− x = 2
− Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc
của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 2
5 diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
Trang 4Ta có phương trình: 4x2 2(24 2x)(18 2x)
5
= − − Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)
Bài 9: Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần,
nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y ∈ Z)
Ta có hệ: 6(x y) 10x y x 5
Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảy
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 2
5 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
1
x 120
+ =
Bài 11: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3giờ và
người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
1
x 24
+ =
+ =
(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x ∈ Z, x > 0)
Ta có phương trình: (x 1) 360 1 400
x
Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy
PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết)
Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3 Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
HD: a) Hai đường thẳng cắt nhau ⇔ 2m + 1 ≠ 2 ⇔ m 1
2
≠
b) Hai đường thẳng song song với nhau ⇔ m 1
2
=
c) Không xảy ra
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1 ; 3) và B(0 ; 5)
HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B Nên (a, b) là nghiệm của hệ: a b 3 a 2
Trang 5Bài 3: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y − 11 = 0 a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)
c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P)
HD: a) Khi m = 1 thì giao của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ: x y 2 x 3
b) (d1) song song với (d2) ⇔ m 3
2
= −
c) (d1) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔∆ = 0 ⇔ m2 = 16 ⇔ = −m 4m= 4
Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2) Tìm các giá trị của m, n trong mỗi trường hợp
sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(−1 ; 2) và B(3 ; −4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1− 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1): −2y + x − 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d2): 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d3): y − 2x + 3 = 0
HD: a) ĐS: m n 1
2
= =
b) ĐS: m 1 2 ; n 3 2
2
c) ĐS: (d) cắt (d1) khi m ≠ 2,5 và n tùy ý
d) ĐS: (d) song song với (d2) ⇔ m = 0,5 và n ≠ 0,5
e) ĐS: (d) ≡ (d3) ⇔ m = 4 và n = 3
Bài 6: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a) AB= (5 1)− 2 + −(4 1)2 =5
b) AB= (3 2)+ 2 + −(5 2)2 ≈5,83
Bài 7: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d1): 5x + 11y = 8 (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = 7 (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)
+ =
− =
b)
15 7
9
35
− =
+ =
c)
d)
2 2x 3y 3x y
21
HD: a) ĐS: (x ; y) 2 ; 10
3
= ÷ b) (x ; y) = 1 ; 1
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
(x ; y) ;
66 11
Trang 6PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (3 tiết)
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1
= 2 Tìm nghiệm x2
HD: m = 2, x2 = 2
Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m 1
2
> −
b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 3: Cho phương trình x2 + 3x− 5 0= và gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
1 2
1 2
x +x HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0
b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3
Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 7= ±
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P = (2m 5)2 15 15
− + ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ m 5
2
=
Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 5
b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3
b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4 ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}
Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5
b) ĐS: m = − 20
Trang 7Bài 10: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0 (*)
1) Giải phương trình (*) khi m = 1
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Khi m = 1: x 1
2
=
b) ĐS: m 2, m 1
3
PHẦN V: SỐ HỌC (2 tiết) (Phép chia hết và phép chia còn dư)
Tính chất 1: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥1)”
Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau đôi một, trong n số dư
khác nhau đôi một này có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n
Khái niệm: a) Số nguyên tố là số chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
b) Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất là 1
Tính chất 2: a) Nếu a Μ m, a Μ n và (m, n) = 1 thì: a Μ mm
b) Nếu a Μ m, a Μ n, a Μ p và m, n, p là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau thì a Μ mnp
Bài 1: Chứng minh rằng:
1) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
2) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24
3) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120
4) Tích của 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720
5) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
6) Tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
HD: Dựa trên cơ sở tính chất 1 và 2 để chứng minh
Bài tập: Chứng minh rằng ∀m, n ∈ N:
1) n3 + 11n Μ 6
HD: n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n Μ 6
2) n(n + 1)(2n + 1) Μ 6
HD: n(n + 1)(2n + 4 – 3) = 2n(n + 1)(n + 2) – 3n(n + 1) Μ 6
3) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n Μ 24
HD: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n Μ 384 (n chẵn và n > 4)
HD: n = 2k và 384 = 27.3
5) n2(n2 – 1) Μ 12
HD: n2(n2 – 1) = (n – 1)n.n(n + 1) Μ 12
6) n2(n4 – 1) Μ 60
HD: n4 – 1 = (n – 1)(n + 1)(n2 – 4 + 5)
7) 2n(16 – n4) Μ 30
HD: 2n(16 – n4) = 32(n – n5) + 30n5
8) mn(m4 – n4) Μ 30
HD: m4 – n4 = (m4 – 1) – (n4 – 1)
9) n3 – 13n Μ 6
HD: n3 – 13n = n(n – 1)(n + 1) – 12n
10) m2n2(m4 – n4) Μ 60
HD: (Kết hợp câu 5 và câu 8)
PHẦN VI: HÌNH HỌC (8 tiết)
Bài 1: Cho ∆ABC vuôn tại A, đường cao AH Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E a) Tính ·DOE
b) Chứng minh: DE = BD + CE
1
1
M D
E
A
Trang 8c) Chứng minh BD.CE = R2 (R là bán kính đường tròn tâm O)
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
2
+ = + = (Vì BD // CE) ⇒ ·DOE 90= 0
b) DE = AD + AE = BD + CE (Vì BD = AD và CE = AE)
c) ∆v.DOE đường cao OA: OA2 = AD.AE = BD.CE ⇒ BD.CE = R2
d) Gọi M là trung điểm của DE nối OM ta có: OM là đường trung bình
của hình thang BDEC ⇒ OM // BD mà BD ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC mà O thuộc
đường tròn đường kính DE do ·DOE 90= 0 Vậy: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Bài 2: Cho ∆c.ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE a) Chứng minh ED = 1BC
2 b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm
HD: a) ∆v.BEC có DE là trung tuyến ⇒ DE = 1BC
2 b) ∆BDE cân ⇒ µ µ µ µ 0
E +E =B +D =90 ⇒ ·DEO 90= 0⇒ DE là tiếp tuyến c) ∆BDH ∆ADC ⇒ BD DH BD 2
AD= DC ⇒ 8 = BD ⇔ DE = BD = 4cm
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua một
điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và
D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) MN // AC
c) CD.MN = CM.DB
d) M ở vị trí nào trên nửa đường tròn đã cho thì tổng AC + BD
có giá trị nhỏ nhất?
HD: a) CD = CM + MD = AC + BD (Vì AC = CM và BD = DM)
b) AC // BD ⇒ AC AN
BD = ND hay: CM AN
MD = ND ⇒ MN // AC c) MN // BD ⇒ MN CM
BD = CD ⇒ CD.MN = CM.DB d) AC + BD nhỏ nhất ⇔ CD nhỏ nhất ⇔ CD = AB ⇔ M là điểm nằm chính giữa »AB
Bài 4: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O, R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn
Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q
a) Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên »BC thì chu vi ∆APQ có giá trị không đổi
b) Cho ·BAC 60= 0 và R = 6cm Tính độ dài của tiếp
tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi
hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC
HD: a) Gọi chu vi của ∆APQ là p Ta có:
p = AP + (BP + CQ) + AQ = AB + AC = Const
(Vì PQ = MP + MQ = BP + CQ do BP = MP, MQ = CQ)
b) ·BAC 60= 0 ⇒∆ABC đều ⇒∆AOB là một nửa của
tam giác đều nên:
AB = 2.OB = 2R = 2.6 = 12 (cm)
Bài 5: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp µA , O là
trung điểm của IK
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
x
1
2
2 1
1
1
O
D
A
y
x
D' N
C
D
O
M
D
Q P
C
B
M
2 1
H
O A I
Trang 9c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
HD: a) ·KBI KCI 180+· = 0 (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O)
1
C +OCI C= + =I$ 90 ⇒ OC ⊥ AC ⇒ AC là tiếp tuyến của (O)
c) AH= AC2 −HC2 = 202 −122 =16 (cm)
Vậy: OC = OH2 +HC2 = 92 +122 = 225 15= (cm)
Bài 6: Cho ∆v.ABC ( µA 90= 0), đường cao AH Gọi HD là đường kính của đường tròn (A, AH) Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E
a) Chứng minh rằng ∆BEC là tam giác cân
b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, chứng minh rằng AI = AH
c) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)
d) Chứng minh BE = BH + DE
HD: a) ∆ADE = ∆AHC (g.c.g)⇒ AE = AC mà BA ⊥ CE ⇒∆BEC cân
b) ∆ABI = ∆AHB (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AI = AH
c) AI = AH ⇒ I ∈ (O) mà AI ⊥ BE (gt) ⇒ BE là tiếp tuyến của (O)
d) BE = EI + BI = DE + BH
Bài 7: Cho ∆v.ABC ( µA 90= 0)
a) Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC tại B và nêu cách dựng đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC tại C
b) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí đối với nhau như thế nào?
c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến
chung của hai đường tròn
d) Cho AB = 36cm, AC = 48cm Tính độ dài BC và các bán
kính của các đường tròn (O) và (O’)
HD: a) O là giao của đường trung trực của AB và Bx ⊥ BC
A +A =B +B =90 ⇒ OA ⊥ AM Tương tự với O'
c) BC = 60(cm).∆AO'H ∆BCA⇒O'A = 40(cm).T2: OA = 22,5(cm)
Bài 8: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,
đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc ·CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động
trên đường nào?
HD: a) ·BHD BCD 90= · = 0⇒ BHCD nội tiếp
b) ·DHC DBC 45=· = 0 ⇒CHK 45· = 0
c) ∆KCH ∆KDC (g.g) ⇒ KC.KD = KH.KB
d) ·BHD 90= 0 ⇒ Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên »BC
Bài 9: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn thẳng AB
lấy một điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định
HD: a) ·OMP ONP 90= · = 0⇒ ONMP nội tiếp
b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC
Suy ra: CMPO là hình bình hành
Trang 9
2 1
C B
E
A D
H I
2
1 2
3 2
1 1
H
O' O
A
B
K H B
C
A
D
E
11 1
1
N
C
O
Trang 10c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra:
CD = CN ⇒ CM.CN = CO.CD = Const
d) ∆ONP = ∆ODP (c.g.c) ⇒ ·ODP 90= 0 Suy ra: P chạy trên đường
thẳng cố định Vì M ∈ [AB] nên P ∈ [EF]
Bài 10: Cho ∆ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,
vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
HD: a) AEHF có ba góc vuông ⇒ AEHF là hình chữ nhật
b) µB E=µ1 =F$1 ⇒ BEFC nội tiếp
c) ∆AEF ∆ACB (g.g) ⇒ AE.AB = AF.AC
Bài 11: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A Trên đường thẳng d lấy một điểm K
a) Chứng minh BC ⊥ KH
b) Kẻ AI là đường cao của ∆KAH Chứng minh rằng AI ⊥ (KBC)
c) Cho AB = 15cm, AC = 20cm, AK = 16cm Tính độ dài của các
đoạn thẳng BC, KH, IH, IK và tính khoảng cách từ A đến (KBC)
HD: a) BC ⊥ AH (gt), BC ⊥ AK vì d ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ KH
b) BC ⊥ (AKH) ⇒ BC ⊥ AI, AI ⊥ KH ⇒ AI ⊥ (KBC)
c) BC2 = AC2 + AB2 = 625 ⇒ BC = 25cm
AH.BC = AB.AC (= 2SABC) ⇒ AH = 12cm
KH2 = AK2 + AH2⇒ KH = 20cm IH.KH = AH2⇒ IH = 7,2cm ⇒ IK = 12,8cm
Ta có: AI.KH = KA.AH (= 2SKAH) ⇒ AI = 9,6cm
Bài 12: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Một đường thẳng d
vuông góc với mp (ABCD) tại O Lấy một điểm S trên đường thẳng d, nối SA, SB, SC và SD
a) Chứng minh AC ⊥ (SBD)
b) Chứng minh mp(SAC) ⊥ mp(ABCD) và mp(SAC) ⊥ mp(SBD)
c) Tính SO biết AB = a và SA = a 3
d) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp S.ABCD
HD: a) AO ⊥ BD (ABCD là hình vuông), SO ⊥ AO vì SO ⊥ (ABCD)
Suy ra: AO ⊥ (SBD) hay: AC ⊥ (SBD)
b) SO ∈ (SAC), SO ⊥ (ABCD)⇒(SAC) ⊥ (ABCD)
Tương tự: (SAC) ⊥ (SBD) vì AO ∈ (SAC) và AO ⊥ (SBD)
c) AO 1AC a 2
= = SO2 = SA2 − AO2⇒ SO 1a 10
2
=
d) Kẻ SE ⊥ BC: OE = AB a
2 = 2 Sxq = 4SABC SE2 = SO2 + OE2 ⇒ SE a 11
2
2 xq
1
2
ABCD
d
15
20
H
K
A
B
C I
d
E O
D
S
C
2
2
1 1
1
O2
O1
F E
A
B