Cho tam giác ABC có A B C và nội tiếp trong đường tròn .O Trên cung nhỏ BC của O và không chứa điểm A, lấy điểm D tùy ý.. Gọi O1 là tâm đường tròn nằm trong tam giác EBD, tiếp xúc vớ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
DỰ THI IMO 2014 Ngày thi thứ nhất (25/03/2014)
Bài 1
Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn điều kiện
2 ( ) ( ) ( ) ( )
f mf m f m f n nf m m
với mọi ,m n là các số nguyên
Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các điểm nguyên có tọa độ thuộc tập hợp
( ; ) : , 20,( ; ) (0; 0)
T x y x y x y
Tô màu các điểm thuộc T sao cho với mọi điểm có tọa độ ( , )x y thì có đúng một T
trong hai điểm ( ; )x y và ( được tô màu Với mỗi cách tô như thế, gọi x; y) N là số các
bộ ( ;x y1 1),( ;x y2 2) mà cả hai điểm này cùng được tô màu và x12 ,x y2 12 (mod 41)y2 Tìm tất cả các giá trị có thể có của N
Bài 3
Cho tam giác ABC có A B C và nội tiếp trong đường tròn ( ).O Trên cung nhỏ BC
của ( )O và không chứa điểm A, lấy điểm D tùy ý Giả sử CD cắt AB ở E và BD cắt
AC ở F Gọi O1 là tâm đường tròn nằm trong tam giác EBD, tiếp xúc với EB ED và , tiếp xúc với đường tròn ( ).O Gọi O2 là tâm đường tròn nằm trong tam giác FCD, tiếp xúc với FC FD và tiếp xúc với đường tròn ( )., O
a Gọi M là tiếp điểm của (O1) với BE và N là tiếp điểm của O2 với CF Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn đi qua một điểm cố định
b Đường thẳng qua M và song song với CE cắt AC ở P, đường thẳng qua N và song song với BFcắt AB ở Q Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
(AMP),(ANQ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định )
Trang 2ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
DỰ THI IMO 2014 Ngày thi thứ hai (26/03/2014)
Bài 4
a Cho tam giác ABC có đường cao AD và P là một điểm di động trên AD Các đường thẳng PB và AC cắt nhau E, các đường thẳng PC và AB cắt nhau F Giả sử tứ giác AEDF nội tiếp Chứng minh rằng
(tan tan )cot
2
b Cho tam giác ABC có trực tâm H và P là một điểm di động trên AH Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt BP tại M, đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt CP
tại N Gọi K là hình chiếu của A trên MN Chứng minh BKCMAN không đổi
Bài 5
Tìm tất cả đa thức P x Q x có hệ số nguyên và thỏa mãn điều kiện: ( ), ( )
Với dãy số ( )x n thỏa mãn điều kiện: x0 2014,x2n1P x( 2n),x2nQ x( 2n1) với n thì 1 mỗi số nguyên dương m là ước của một số hạng nào đó của dãy ( )x n
Bài 6
Cho m n p, , là các số tự nhiên không đồng thời bằng 0 Không gian tọa độ được chia thành các mặt phẳng song song cách đều nhau Một cách điền vào mỗi khối lập phương đơn vị một trong các số từ 1 đến 60 được gọi là cách điền Điện Biên nếu thỏa mãn: trong mỗi hình hộp chữ nhật với các mặt trên các hệ mặt đã cho và tập hợp độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là 2m1, 2n1, 2p1 Khối lập phương đơn vị có tâm trùng với tâm của hình hộp chữ nhật được điền số bằng trung bình cộng của các số điền ở tâm của 8 hình lập phương ở các góc của hình hộp đó Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền Điện Biên?
Những cách điền là giống nhau nếu các số được điền vào các khối lập phương đơn vị có cùng tọa độ trong các cách này đều giống nhau