e hoc sinh thay duoe cách giai nhất quán của dạng toán lập phương trình đường thàng chứa cạnh tam giác, chúng ta cẩn làm nổi bật yếu tế giải tích trong việc giải quyết bài tập hình.. Bài
Trang 1e hoc sinh thay duoe cách giai nhất
quán của dạng toán lập phương trình
đường thàng chứa cạnh tam giác,
chúng ta cẩn làm nổi bật yếu tế giải tích
trong việc giải quyết bài tập hình Bài viết
này nhằm mục dích giúp học sinh lập phương
trình đường thẳng với công việc ban đầu là
xác định tọa độ các điểm (đình, trọng tâm tam
giác, .) Muốn vậy, học sinh cần nám vững
mot s6 tinh chat hinh hoc sau:
1) Cho diém M va dudng thang (A) Diém M’
đối xứng với điểm M qua (A) khi va chi khi
doan MM‘ vung géc voi (A) tai trung điểm
cua no
2) Tam giác AZC có đỉnh Alyy; vụ), (A) là
đường thắng chứa trung tuyến 8ð Khi đó
C(x,; vị) là đỉnh của tam giác khi và chỉ khi
trung điêm của đoạn tháng ÁC năm trén (A)
3) Điểm là giao điềm của tia phân giác
trong (ngoài) của góc BA€C với đường thăng
BC khi và chỉ khi 2 chia đoạn 8C theo tỉ xố #
= đối với phân giác trong (/ =——- đối
với phân giác ngoài) Tu cong thie do tinh
duoc toa dé D qua toa dé cdc diém B, C
Khi người học đã nắm được định nghi tính
chất của các đường đặc biệt trong tam giác
như: đường cao, trung tuyển, phần giác, trung
trực bàng việc cho biết tọa độ ba điểm không
thẳng hàng: tọa độ của một điểm cùng với
phương trình của hai đường thẳng giao nhau;
phương trình của ba đường thang đôi một giao
nhau ta có thể tổ hợp được nhiều bài toán
bằng cách gán điểm đã biết tọa độ vào vị trí
đặc biệt trong tam giác Đường thang đã biết
phương trình sẽ là đường tháng chứa các
Về đài toán
TIẾT LjP NWK THN Mử TK
NGUYEN THANH CANH
(GV trường CĐSP Hưng Yên)
đường đặc biệt kể trên Sau đây, tôi xin đơn
cử một vài thí dụ cùng với hướng giải quyết
đẻ mình họa cho ý kiến của mình
* Thi du 1 Lap phương trình các cạnh của
tum giác ABC nếu biết đính AQ ; Ì), trực tám H(-<6;: 3) và trung diểm cạnh BC là D@2 ; 2) Hướng giải
e Viết được phương trình đường thăng ØC là
2v-y+3=0,_ x+y_— 6=0
Hướng giải
se Gọi Ö(x : y) thì x + y— 6= 0 và trung điểm
: wa at MOA VEL , cua BC là A —Ẻ € (AA’),
2 2 Suy ra 2x—y—3=0
x+y-B =Ũ Giai hệ : tìm được Ö(3 ; 3)
Trang 2e Lap hệ phương trình
om yr 5 = {do OX tien = 0)
x++—l15ã =0 (do./c BR
Tính được toa do C ' (5 ; 1O) từ đó lap được PT
các đường tháng chứa các cạnh của tan giác
* Thi du 3 Lựự phường trình các Canh] cưa
tươi giác ABC” biết ACS ; 2) Phim Trình
cftfỜi1g trung trực cụnh: ĐC”, cÍhg trang tuyến
Bài toán được giải quyết trọn vẹn khi ta từm
được nghiệm: của hệ phương trình trên
phương trình
*& Thi du 4 Che tam giác ABC biết các điường
trang teven AA’, duérg cao CH fan lượt có
piitong trinh
(đ(,): x +2v—= 7= (d;,):—v+v+2=0
Điểm AÁ(L : —21 thuốc: đường thống AB Lap
phơng trinh: đường thàng cứu cụưai BC,
Huéng giai
© Ta thiét lap duoc phuong trinh duémg thang
(AĐ) là x + y+ | =0
© Goi Bix; — «— 1) € (AB), Cly + 2: v) € (d;}
Toa độ trung điểm của BC la
a(t? aot) i1:
2 2
Suy ra — x + 3y — 14=O
Dé thây bài toán có vô số nghiệm hình
« Việc hướng dẫn học sinh quy bài toán lập
PT đường thẳng về việc xác định tọa độ các
điểm sẽ thuận lợi hơn khi giải quyết các bài
toán thuộc dạng may trong không gian Da
chiều Chẳng hạn ta xét hài toán sau đây
* Thí dụ Š 7?rong không gián với hệ toa
di Descartes Oxyz che tam giác ABC` vớt
C(O; 2: 3), phuwong trinkh hai ditémng cao la
Trén day ta da xét duce mot sé thi du minh
hoa cho việc lập he phương trình để tìm tọa
độ các điểm và hoàn thiện bài toáp thiết lặp
phương trình đường thang trong mặt phẳng
cũng như troig không gian lIÍ vọng rằng các
ban dang On thí tốt nghiệp PCHEPFE nhận thấy
được tính tích cực cua việc ấp dụng những
phép toán giai tích khi siải các hài tập hình
2 Cho tam giác ABC, điểm D (0; 5; 2) 1A trung điểm cạnh #C Đường cao 8#, đường
phân giác trong góc C' lần lượt có phương trình x — 2y + 3 = Ô; v = 3 Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác đó
3 Lap phương trình các cạnh của tarmn giác ABC nếu biết A(—3 ; L ; 1) và phương trình hai đường trung tuyến theo thứ tư là
Š Tam giác ABC có ă(3 ; 2 ; ©) nằm trên
đương thang A&C Phuong trinh tia phan giác góc #8, đường trung trực cạnh #8C' lần lượt là
Trang 3HAM SO DONG BIEN, NGHICH BIEN
va mot số đang (oán liên quan
NGUYEN ANH DUNG
(Hè Nội)
ông biến, nghịch biến là các khái niệm
cơ bản nhất của hàm số (HS) Sử dụng
khảo sát sự biến thiên của HS, giúp chúng ta
giải quyết được một lớp rất rộng các bài toán
(Các bạn có thể xem thêm các bài trong cùng
chuyên mục trên các số báo 359 (512007) hoặc
361 (7/2007) Sau đây là một số vấn để và dạng
toán thường gặp trong chương trình phổ thông
I LÍ THUYẾT
¢ Ham sé y = y(x) đồng biến trong khoảng
(a ; b) khi va chi khi y'(x) 20 Vx e (a; b),
và tập hợp các giá tri x trong khoang (a ; ở)
thoa man y’(x) = 0 1a hitu hạn
e Nếu hàm số y = y(x) xdc dinh trén R,
y(x)>0,VxelR và tập hợp các giá trị x
trong mối khoảng (a ; b) thoả mãn y”(+) = 0 là
hữu hạn thì hàm số đồng biến trên |
Đối với HS nghịch biến, ta cũng có các mệnh
đề tương tự
II CÁC DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN
I Tìm điều kiện để hàm số đồng biến,
nghịch biến trong một khoảng cho trước
* Thí dụ 1 Cho hàm số
y= 2” = (2m +1)z” +(3m + 2)x— 5m +2
8) Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng
(0; 1)
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong mội
khoảng có độ dài lớn hon 1
Lời giải a) Ta có y'=x? —(2m+])x+3m+2
HS nghịch biến trong khoảng (0;1) khi va
chỉ khi y'= ƒ(x) =x?—(2m+])x+3m+2<0, Vxe (0:1) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi phương trình (PT) f(x) =0 có hai nghiệm xị, x; thoả mãn
biến trong khoảng (x¡;x;} Để HS nghịch
biến trong khoảng có độ dài lớn hơn | thi
trong một khoảng có độ dài lớn hơn É
Cách giải Tính y`; Điều kiện của bài toán
được thỏa mãn khi PT y` = 0 có hai nghiệm
x,, X, phan biét (A > 0) sao cho
|: —)| >k = (x ~ x2) > k?
= (4 +22 —4xjx > k?;
Sử dụng định lí Viềte suy ra kết quả
Trang 4* Thí dụ 2 Tìm m để hàm số
l
y=ZP—-Bm-—1)x? +(m+3)x+ 4m — 3
đồng biến trong khoảng (1;+=}
Lời giải Ta có y`= x? -2(3m—1)x+ m+3
HS đồng biến trong khoảng (1;+ee) khi và
chỉ khi y'= ƒ(x)= x?—2(3m—1]x+m+3>0,
Vxe (l;+©}
Điều kiện để ra được thoả mãn trong hai
trường hợp sau:
l) A'<0 (vì khi đó y'>0, Vxe lR, HS đồng
biến trên ï& )
Hợp kết quả hai trường hợp, ta duge m <1
Lưu ý Giả sử a là một số thực dương thì HS
y=at2+bx+c>0, Vxe (ơ,Ø)
trong hai trường hợp sau:
(0 ; 1)
Lời giải Điều kiện xác định x # m
HS xác định trong khoảng (O;l) khi m < 0
Vi fo) là một tam thức bậc hai có
me (0:1) nên f(x) (déng biến trong
khoảng (0 ; 1) khi và chỉ khi
` : (@)>0 y'=ƒf(Œ@)3>0, Vxre (0;1) © —
—4m+12>0
c 3m? ~ 6m + 2 > ÔÖ
Kết hợp (1) và (2), ta được m<0
Lưu ý ® Khi nói một HS đồng biến hoặc
nghịch biến trong khoảng nào đó thì trước:
hết, nó phải xác định trong khoảng đó
f(x) 20, Vre (a Ble
¢
f(x) s0, Vxe(a;,8)= |
2 Sử dụng tính đông biến, nghịch biến của
hàm số để giải phương trình, bất phương trình
* Thí dụ 4 Giỏi phương trình
x7 +x4+1 2x* -2x+3
Lời giải Đặt u=x?+x+1; v=2x?—2x+3 (u > O,
Từ (1) có ƒ) = /), suy rau =
)—u =0, tức là x—-3x+2=0
PT có nghiệm x = 1, x = 2
v hay
Trang 5Lưư ý ® Với phương trình dạng log, — —Vv—u
Vv
với #, ' dương và đ > 1, ta thường biến đối
log, 4—log, v= v—u = loggu+u=log,v+y
Vì HS ƒ(Œ)=log„f+r đồng biến khi / > O,
Suy ra v = uw
® Với các điều kiên trên, ta có BPT
lOg„—< w— © ƒ(œ) < ƒ(v) © H < v
Vv
* Thi du 5 Giai bat phuong trinh
logs (3 +afx) > log, x
BPT trở thành ƒŒ)> (1) 72<1, ta được
log¿ x<Í 0< x<4
Luu y ¢ Voi BPT dang log,u<log,v, ta
thường giải như sau:
Đặt ;?—log„# (hoặc / = log,ạ w); đưa về BPT
mũ; sử dụng chiều biến thiên của IS để suy
Dat r=log,w =lose v => |
3 Sử dụng tính đóng biến, nghịch biến của
Lời giải Xét HS ƒ(x) =sin x+ tanx— 2x, để
ý rằng với xe (0:3) thi O<cos« <I, suy ra
Trang 6GIAI PHUONG TRINH LUONG GIAC
NGUYEN MINH NHIEN (GV THPT Quế Võ số 1, Bốc Ninh)
rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng những năm gần đây, đa số
các bài toán về giải phương trình lượng
giác đều rơi vào một trong hai dạng: Phương
trình đưa về dạng tích hoặc phương trình chứa
ấn ở máu Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả
tốt, chúng tôi xin giới thiệu một số kĩ năng
quan trọng để giải các dạng toán đó
L PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1) Sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác : công thức biến đổi tích thành tổng,
<> 2sin eos (2 cosz+l)=0
Giải các PT sin—=0 : cos =; 2cœsx+l =0
ta được các họ nghiệm của PT (1) là 1,
ng : rat + 2x (voik € Z)
ˆ kưu ý Khi nhóm các số hạng chứa sin (hoặc côsin) của các góc với nhau, cần để ý đến
những góc sao cho tông hoặc hiệu các góc đó
bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung
_ Thí dụ 2 Giải phương trình
cos3xcos3x—-sin3xsin3 x= 2+342
8
Lời giải PT (2) tương đương với
I cos*x(cos4x+cos2x} 5 sin? xÍcos2x - cos4x)
*Lưu ý Việc khéo léo sử dụng công thức biến
đổi tích thành tổng có thể giúp ta tránh được
việc sử dụng công thức lượng giác góc nhân ba
tử chung nhanh nhất Sau đây là một số công
thức biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó.
Trang 7*) sin’x = (1
cœs2x = (]
cosv)( Í + cos}:
- Sinvx)(Í + sinw):
cœs2Y = (COS+x — xinixYMCOsx + sinv}:
*) 1 + sin2v =(sinx + cosx}:
1 — sin2x = (sine — cosrF:
sinx+cosx _
*) 1 + tanc =
cœsx + V2sin{ x+4 |=sinx+cosx
*) L +cos2e + sin2d« = 2cosr(sinxsy + cosx):
*) 1 — cos2x + sin2« = 2sins(sinr + cos)
* Thi du 4 Giai phueong trinh
2 Sin x{14+cos2x}+sin2x=—1+2cosx (4>
Loi giai
PFI(4)ì<> 2sinx.2coœs2x+2sinxcosx = Í +2cosx
= (2cosx+1)(2sin xcosx —1)=0-
Phan con lai danh cho ban doc-
* Thi du S Gidi phiuong rink
cos2x + 3sin2x+5sinz~—3cosx=3 {5}
Lời gidi PT (Š} tương đương với
(Gsin xcosx—3cœsx )—{2sin 2 x—5sin x+2})—0
<> 3cosx(2sinx—1)—(2sinx—1\Msinx—2}=0
=> (2sinx—I)(3cosx—sinx+2)=0
Phuong tinh nay tuong cucng vai hai PT co
ban (xin danh cho ban doc giải tiếp)
i PHUONG TRINH CHUA AN G MAU
Voi loai phitomeg trinh nay khí giấát néu khong
can thu: rất đê dẫn đến lấy thừa loặc thiéu
nehiém Diéu quan irone dau tién aé& giai
dang nay là đạt diéu kién va kiém tra diéu
kiện tác (đinh Thông thang ta hay dang
duéne tran rane gide dé toat nghiém Ngoat
ra fa cũng gap nhieu PT chita tan, cot Khi
dd c6 thé sit dung mot sO cong thitc sau
sin 2x sin2x
— cos4x = cos2x Sx =rer hoặc zrrc ằ
x= = me Zz Đối chiếu điều kiện ta được nghiệt x= + + max.(m = Zz)
*& Thi du 7 Gidi phwone trinh
4oos' x+2o0s* xf 2sinx—1) —sin2x—2 sinax+cosx}
Đếi chiếu điều kiện ta duct nehiém
x=“=*”.( c Z}
*w Thi du 8 Gidi phuwong irink
Bạn đọc tiếp tục hoàn thành nốt hài giải
Để kết thúc bài báo, raời các bạn hãy giải mot s& bai tap sau
Gidi cdc phicong trint-
1 conde + cos2« — conr — 1 = O:
Trang 8va thi vao Đại học
ff
(HỐi Me~ cưa íe~ Vế
VA MOT SO DANG TOÁN
n0 22) ah lim |I+—| =e
sell x toe toe x
Hai giới hạn cơ bản hay được sử dụng là
ence (eae 2sin @
e Ham so y = /\) liên tục tại điểm v = vụ khi
hạn dạng > Đây là giới hạn thường gập nhât
trong chương trình phô thông
#) Cúc đang toán thương gap wThidal, Lim gro han
Trang 9Tí dụ 2 Tim giới lụn
I, " — aus ty - cos 3 tr
x=
Loi giai, Bien doi
eos conta _— | | =~ COs 5y
eters oon a | ev! — |
Laicd lim =lim—— =I
Lưu ý Khi tìm giới hạn dạng = bài i” )
Trang 10Lưu ý Gia sit P(x) là một đa thức bậc n, ta
quy ước coi bậc của &/(x) là =
trong đó @ là bậc cao nhất trong ƒ(x) và g(v)
Tip theo tim lim “) và lim = „ từ đó
ren yy? row
ta biến đổi như sau:
L= lim (Vax' +bx ` +cx+d —ax)
trong đó Ỷ Hla) =\/e(a) =1, ta làm như sau:
Ta viet b=tin| LEON , Me &(x) |
Luu ý Để tìm giới hạn 7 =lim
Tìm từng giới hạn
3 —— ¬
ra x-a ru 6 Xa rồi suy ra kết quả cần tìm
Whi du 7 Vinh dao hàm hàm so sau tại
Trang 11(€V khối THPT chuyên, ĐHSP Hò Nội)
D5 rong những năm gần day, trong dé thi
tuyển sinh vào Đại học và Cao đăng, các
bài toán cực trị trong không gian xuất hiện
ngày càng nhiều và học sinh thường tỏ ra rất
lúng túng khi giải dạng toán này Bài viết này
đưa ra một số bài toán cực trị với lời giải chỉ
tiết nhằm giúp các em nắm bắt được cách giải
đạng toán này (Xin xem thêm THTT số 366,
tháng 12/2007)
I BÀI TOÁN
Trong không gian với hệ toa dé Descartes
vưông óc Oxvz, cho hai điểm A(I:4:2)
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (P) là lớn nhất
3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy)
một góc nhỏ nhất
4) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa
thường thăng cÌ và tạo với trục Óy góc lớn nhát
5) Trong số các đường thang di qua A va cat
đường thẳng d, viết phương trình các dường
thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhát?
Trang 12Ji? +(14+2by 4+(-b)2 V5b2 +4642
Thu”, b? ‘ Xét ham sé e(b) = —————_ Ta cd
Do đó cosơ lớn nhất băng ft khi b = -]
So sánh hai trường hợp trên ta thấy cosø lớn
nhất hay mặt phẳng (Ợ) tạo với mặt phẳng
(xÓy) góc nhỏ nhất khi b = —I Lúc đó mặt
Trang 135) Gia sit d, là đường thắng bất kì đi qua A và
cất đ tại M(I—t†;— 2+1; 21) Khi đó
AM II = 3041 +416
II MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1 (Dé thi Dai hoc va Cao dang khéi A - 2008) Trong không gian với hé toa dd Oxyz, cho diém
Bài 2 (Đại học An Giang, khối B - 2001)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dai
$ố Ẳ0 góc a.